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Algebra Lineal
Tema 2
Daniel Cabarcas Jaramillo
Escuela de Matem´aticas
Universidad Nacional de Colombia, Medell´ın
Medell´ın, 6 de agosto de 2015
Contenido
Ecuaciones Lineales
Eliminaci´
on Gaussiana
Rango
Ecuaciones Lineales
I Unaecuaci´on linealennvariables tiene la forma
a1x1+· · ·+anxn=b, donde los coeficientesa1, . . . ,an y el t´ermino independientebson constantes. Ej. de la siguientes, ¿cuales son lineales?
a)x−0,5y = 4 b)√3(senπ)x1+ 2x2= 3 + (1/2)x3
c) tan(πx) + 2x2=−1 d)x+ 1 = 1/y
I Unasoluci´onde una ecuaci´on lineal a1x1+· · ·+anxn=bes un vector [s1, . . . ,sn] cuyos componentes satisfacen la ecuaci´on, es decir,a1s1+· · ·+ansn=b
I ej. [1,2] y [−3,0] son soluci´on dex−2y=−3
Ecuaciones Lineales
I Unaecuaci´on linealennvariables tiene la forma
a1x1+· · ·+anxn=b, donde los coeficientesa1, . . . ,an y el t´ermino independientebson constantes. Ej. de la siguientes, ¿cuales son lineales?
a)x−0,5y = 4 b)√3(senπ)x1+ 2x2= 3 + (1/2)x3
c) tan(πx) + 2x2=−1 d)x+ 1 = 1/y
I Unasoluci´onde una ecuaci´on lineal a1x1+· · ·+anxn=bes un vector [s1, . . . ,sn] cuyos componentes satisfacen la ecuaci´on, es decir,a1s1+· · ·+ansn=b
Ecuaciones Lineales
I Unaecuaci´on linealennvariables tiene la forma
a1x1+· · ·+anxn=b, donde los coeficientesa1, . . . ,an y el t´ermino independientebson constantes. Ej. de la siguientes, ¿cuales son lineales?
a)x−0,5y = 4 b)√3(senπ)x1+ 2x2= 3 + (1/2)x3
c) tan(πx) + 2x2=−1 d)x+ 1 = 1/y
I Unasoluci´onde una ecuaci´on lineal a1x1+· · ·+anxn=bes un vector [s1, . . . ,sn] cuyos componentes satisfacen la ecuaci´on, es decir,a1s1+· · ·+ansn=b
I ej. [1,2] y [−3,0] son soluci´on dex−2y=−3
Ecuaciones Lineales
I Unaecuaci´on linealennvariables tiene la forma
a1x1+· · ·+anxn=b, donde los coeficientesa1, . . . ,an y el t´ermino independientebson constantes. Ej. de la siguientes, ¿cuales son lineales?
a)x−0,5y = 4 b)√3(senπ)x1+ 2x2= 3 + (1/2)x3
c) tan(πx) + 2x2=−1 d)x+ 1 = 1/y
I Unasoluci´onde una ecuaci´on lineal a1x1+· · ·+anxn=bes un vector [s1, . . . ,sn] cuyos componentes satisfacen la ecuaci´on, es decir,a1s1+· · ·+ansn=b
Sistema de Ecuaciones Lineales
I Unsistema de ecuacioneslineales es un conjunto finito de ecuaciones lineales.
I Unasoluci´onde un sistema es un vector que es soluci´on de todas las ecuaciones
I El conjunto soluci´ones el conjunto de todas las soluciones del sistema
I Existen dos importantes matrices asociadas a un sistema de ecuaciones lineales:
I Lamatriz de coeficientescontiene los coeficientes de las variables.
I LaMatriz aumentadaes la matriz de coeficientes aumentada
por una columna que contiene los t´erminos constantes.
Sistema de Ecuaciones Lineales
I Unsistema de ecuacioneslineales es un conjunto finito de ecuaciones lineales.
I Unasoluci´onde un sistema es un vector que es soluci´on de todas las ecuaciones
I El conjunto soluci´ones el conjunto de todas las soluciones del sistema
I Existen dos importantes matrices asociadas a un sistema de ecuaciones lineales:
I Lamatriz de coeficientescontiene los coeficientes de las variables.
I LaMatriz aumentadaes la matriz de coeficientes aumentada
Sistema de Ecuaciones Lineales
I Unsistema de ecuacioneslineales es un conjunto finito de ecuaciones lineales.
I Unasoluci´onde un sistema es un vector que es soluci´on de todas las ecuaciones
I El conjunto soluci´ones el conjunto de todas las soluciones del sistema
I Existen dos importantes matrices asociadas a un sistema de ecuaciones lineales:
I Lamatriz de coeficientescontiene los coeficientes de las variables.
I LaMatriz aumentadaes la matriz de coeficientes aumentada
por una columna que contiene los t´erminos constantes.
Sistema de Ecuaciones Lineales
I Unsistema de ecuacioneslineales es un conjunto finito de ecuaciones lineales.
I Unasoluci´onde un sistema es un vector que es soluci´on de todas las ecuaciones
I El conjunto soluci´ones el conjunto de todas las soluciones del sistema
I Existen dos importantes matrices asociadas a un sistema de ecuaciones lineales:
I Lamatriz de coeficientescontiene los coeficientes de las variables.
I LaMatriz aumentadaes la matriz de coeficientes aumentada
Eliminaci´
on Gaussiana
I
Al primer elemento diferente de cero de cada fila se le llama
pivote.
I
Una
forma escalonada por filas
de una matriz satisface que:
1. Las filas de ceros est´an en la parte baja
2. Para cada fila diferente de cero, el pivote est´a a la izquierda de cualquier pivote debajo de ´el
I
Hay 3
operaciones elementales por filas.
1. Ri↔Rj: Intercambiar filasi conj
2. kRi: Multiplicar la fila i pork
3. Ri←Ri−kRj: Restar un m´ultiplo de la filaj de la filai
I
Toda matriz se puede reducir a una forma escalonada por filas
mediante operaciones elementales por filas. A ese proceso se
le conoce como
eliminaci´
on Gaussiana.
Eliminaci´
on Gaussiana
I
Al primer elemento diferente de cero de cada fila se le llama
pivote.
I
Una
forma escalonada por filas
de una matriz satisface que:
1. Las filas de ceros est´an en la parte baja
2. Para cada fila diferente de cero, el pivote est´a a la izquierda de cualquier pivote debajo de ´el
I
Hay 3
operaciones elementales por filas.
1. Ri↔Rj: Intercambiar filasi conj
2. kRi: Multiplicar la fila i pork
3. Ri←Ri−kRj: Restar un m´ultiplo de la filaj de la filai
Eliminaci´
on Gaussiana
I
Al primer elemento diferente de cero de cada fila se le llama
pivote.
I
Una
forma escalonada por filas
de una matriz satisface que:
1. Las filas de ceros est´an en la parte baja
2. Para cada fila diferente de cero, el pivote est´a a la izquierda de cualquier pivote debajo de ´el
I
Hay 3
operaciones elementales por filas.
1. Ri↔Rj: Intercambiar filasi conj
2. kRi: Multiplicar la fila i pork
3. Ri←Ri−kRj: Restar un m´ultiplo de la filaj de la filai
I
Toda matriz se puede reducir a una forma escalonada por filas
mediante operaciones elementales por filas. A ese proceso se
le conoce como
eliminaci´
on Gaussiana.
Eliminaci´
on Gaussiana
I
Al primer elemento diferente de cero de cada fila se le llama
pivote.
I
Una
forma escalonada por filas
de una matriz satisface que:
1. Las filas de ceros est´an en la parte baja
2. Para cada fila diferente de cero, el pivote est´a a la izquierda de cualquier pivote debajo de ´el
I
Hay 3
operaciones elementales por filas.
1. Ri↔Rj: Intercambiar filasi conj
2. kRi: Multiplicar la fila i pork
3. Ri←Ri−kRj: Restar un m´ultiplo de la filaj de la filai
Eliminaci´
on Gaussiana
I
Al primer elemento diferente de cero de cada fila se le llama
pivote.
I
Una
forma escalonada por filas
de una matriz satisface que:
1. Las filas de ceros est´an en la parte baja
2. Para cada fila diferente de cero, el pivote est´a a la izquierda de cualquier pivote debajo de ´el
I
Hay 3
operaciones elementales por filas.
1. Ri↔Rj: Intercambiar filasi conj
2. kRi: Multiplicar la fila i pork
3. Ri←Ri−kRj: Restar un m´ultiplo de la filaj de la filai
I
Toda matriz se puede reducir a una forma escalonada por filas
mediante operaciones elementales por filas. A ese proceso se
le conoce como
eliminaci´
on Gaussiana.
Eliminaci´
on Gaussiana
I
Al primer elemento diferente de cero de cada fila se le llama
pivote.
I
Una
forma escalonada por filas
de una matriz satisface que:
1. Las filas de ceros est´an en la parte baja
2. Para cada fila diferente de cero, el pivote est´a a la izquierda de cualquier pivote debajo de ´el
I
Hay 3
operaciones elementales por filas.
1. Ri↔Rj: Intercambiar filasi conj
2. kRi: Multiplicar la fila i pork
3. Ri←Ri−kRj: Restar un m´ultiplo de la filaj de la filai
Eliminaci´
on Gaussiana
I
Al primer elemento diferente de cero de cada fila se le llama
pivote.
I
Una
forma escalonada por filas
de una matriz satisface que:
1. Las filas de ceros est´an en la parte baja
2. Para cada fila diferente de cero, el pivote est´a a la izquierda de cualquier pivote debajo de ´el
I
Hay 3
operaciones elementales por filas.
1. Ri↔Rj: Intercambiar filasi conj
2. kRi: Multiplicar la fila i pork
3. Ri←Ri−kRj: Restar un m´ultiplo de la filaj de la filai
I
Toda matriz se puede reducir a una forma escalonada por filas
mediante operaciones elementales por filas. A ese proceso se
le conoce como
eliminaci´
on Gaussiana.
Eliminaci´
on Gaussiana
I
Al primer elemento diferente de cero de cada fila se le llama
pivote.
I
Una
forma escalonada por filas
de una matriz satisface que:
1. Las filas de ceros est´an en la parte baja
2. Para cada fila diferente de cero, el pivote est´a a la izquierda de cualquier pivote debajo de ´el
I
Hay 3
operaciones elementales por filas.
1. Ri↔Rj: Intercambiar filasi conj
2. kRi: Multiplicar la fila i pork
3. Ri←Ri−kRj: Restar un m´ultiplo de la filaj de la filai
Eliminaci´
on Gaussiana
I
Al primer elemento diferente de cero de cada fila se le llama
pivote.
I
Una
forma escalonada por filas
de una matriz satisface que:
1. Las filas de ceros est´an en la parte baja
2. Para cada fila diferente de cero, el pivote est´a a la izquierda de cualquier pivote debajo de ´el
I
Hay 3
operaciones elementales por filas.
1. Ri↔Rj: Intercambiar filasi conj
2. kRi: Multiplicar la fila i pork
3. Ri←Ri−kRj: Restar un m´ultiplo de la filaj de la filai
I
Toda matriz se puede reducir a una forma escalonada por filas
mediante operaciones elementales por filas. A ese proceso se
le conoce como
eliminaci´
on Gaussiana.
Eliminaci´
on Gaussiana
I
Al primer elemento diferente de cero de cada fila se le llama
pivote.
I
Una
forma escalonada por filas
de una matriz satisface que:
1. Las filas de ceros est´an en la parte baja
2. Para cada fila diferente de cero, el pivote est´a a la izquierda de cualquier pivote debajo de ´el
I
Hay 3
operaciones elementales por filas.
1. Ri↔Rj: Intercambiar filasi conj
2. kRi: Multiplicar la fila i pork
3. Ri←Ri−kRj: Restar un m´ultiplo de la filaj de la filai
Variables Pivote y Variables Libres
Definici´
on
Suponga que B= [A|#»b]es la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales y que R= [C|#»d]es su forma escalonada por filas.
1. A las variables que corresponden a columnas con pivote en R se les llama variables pivote.
2. A las variables que corresponden a columnas en las que R no tiene pivote se les llama variables libres.
Teorema
I El sistema esinconsistentesi y solo si hay una fila de la forma
0 · · ·0|d
con d6= 0.
I El sistema tienesoluci´on ´unicasi es consistente y todas las variables son variables pivote.
I El sistema tieneinfinitas solucionessi es consistente y tiene variables libres.
Variables Pivote y Variables Libres
Definici´
on
Suponga que B= [A|#»b]es la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales y que R= [C|#»d]es su forma escalonada por filas.
1. A las variables que corresponden a columnas con pivote en R se les llama variables pivote.
2. A las variables que corresponden a columnas en las que R no tiene pivote se les llama variables libres.
Teorema
I El sistema esinconsistentesi y solo si hay una fila de la forma
0 · · ·0|d
con d6= 0.
I El sistema tienesoluci´on ´unicasi es consistente y todas las variables son variables pivote.
Variables Pivote y Variables Libres
Definici´
on
Suponga que B= [A|#»b]es la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales y que R= [C|#»d]es su forma escalonada por filas.
1. A las variables que corresponden a columnas con pivote en R se les llama variables pivote.
2. A las variables que corresponden a columnas en las que R no tiene pivote se les llama variables libres.
Teorema
I El sistema esinconsistentesi y solo si hay una fila de la forma
0 · · ·0|d
con d6= 0.
I El sistema tienesoluci´on ´unicasi es consistente y todas las variables son variables pivote.
I El sistema tieneinfinitas solucionessi es consistente y tiene variables libres.
Variables Pivote y Variables Libres
Definici´
on
Suponga que B= [A|#»b]es la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales y que R= [C|#»d]es su forma escalonada por filas.
1. A las variables que corresponden a columnas con pivote en R se les llama variables pivote.
2. A las variables que corresponden a columnas en las que R no tiene pivote se les llama variables libres.
Teorema
I El sistema esinconsistentesi y solo si hay una fila de la forma
0 · · ·0|d
con d6= 0.
I El sistema tienesoluci´on ´unicasi es consistente y todas las variables son variables pivote.
Variables Pivote y Variables Libres
Definici´
on
Suponga que B= [A|#»b]es la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales y que R= [C|#»d]es su forma escalonada por filas.
1. A las variables que corresponden a columnas con pivote en R se les llama variables pivote.
2. A las variables que corresponden a columnas en las que R no tiene pivote se les llama variables libres.
Teorema
I El sistema esinconsistentesi y solo si hay una fila de la forma
0 · · ·0|d
con d6= 0.
I El sistema tienesoluci´on ´unicasi es consistente y todas las variables son variables pivote.
I El sistema tieneinfinitas solucionessi es consistente y tiene variables libres.
Matrices Equivalentes por Filas
Definici´
on
Las matrices A y B son equivalentes por filas si existe una
secuencia de operaciones elementales por filas que convierta A en
B.
Teorema
Matrices Equivalentes por Filas
Definici´
on
Las matrices A y B son equivalentes por filas si existe una
secuencia de operaciones elementales por filas que convierta A en
B.
Teorema
Las matrices A y B son equivalentes por filas si y solo si ambas
pueden reducirse a la misma forma escalonada por filas.
Soluci´
on param´
etrica
Los siguientes son los pasos para encontrar la soluci´
on param´
etrica
de un sistema de ecuaciones
1.
Reducir matriz aumentada a equivalente escalonada
2.
Identificar variables libres y variables pivote
3.
Escribir las variables pivote en t´
erminos de las libres
Soluci´
on param´
etrica
Los siguientes son los pasos para encontrar la soluci´
on param´
etrica
de un sistema de ecuaciones
1.
Reducir matriz aumentada a equivalente escalonada
2.
Identificar variables libres y variables pivote
3.
Escribir las variables pivote en t´
erminos de las libres
4.
Escribir en forma vectorial convirtiendo las variables libres en
par´
ametros
Rango
Definici´
on
El rango de una matriz es el n´
umero de filas diferentes de cero en
su forma escalonada
Teorema (del Rango)
Sea A la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones
lineales en n variables. Si el sistema es consistente, entonces
Rango
Definici´
on
El rango de una matriz es el n´
umero de filas diferentes de cero en
su forma escalonada
Teorema (del Rango)
Sea A la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones
lineales en n variables. Si el sistema es consistente, entonces
el n´
umero de variables libres
=
n
−
rango(A)
Rango - Preguntas
Diga si los enunciados siguientes son verdaderos o falsos. En cada
caso justifique su respuesta.
(a)
El rango de una matriz es el n´
umero de filas diferentes de cero.
(b)
Un sistema lineal
Ax
=
b
es consistente si
rango(A) = rango([A
|
b]).
(c)
Si
A
es una matriz
n
×
n
entonces rango(A)
≤
n.
Gauss-Jordan y Sistemas Homogeneos
I
El proceso de reducir una matriz por filas se puede continuar
hasta encontrar una
forma escalonada reducida
donde
1. el valor de todos los pivotes es 1
2. encima de los pivotes hay tambi´en ceros
I
A este proceso se le llama de Gauss-Jordan
I
Un sistema se denomina
homog´
eneo
si el t´
ermino constante
es cero
I
Un sistema homog´
eneo siempre tiene al menos una soluci´
on,
la trivial
Gauss-Jordan y Sistemas Homogeneos
I
El proceso de reducir una matriz por filas se puede continuar
hasta encontrar una
forma escalonada reducida
donde
1. el valor de todos los pivotes es 1
2. encima de los pivotes hay tambi´en ceros
I
A este proceso se le llama de Gauss-Jordan
I
Un sistema se denomina
homog´
eneo
si el t´
ermino constante
es cero
Gauss-Jordan y Sistemas Homogeneos
I
El proceso de reducir una matriz por filas se puede continuar
hasta encontrar una
forma escalonada reducida
donde
1. el valor de todos los pivotes es 1
2. encima de los pivotes hay tambi´en ceros
I
A este proceso se le llama de Gauss-Jordan
I
Un sistema se denomina
homog´
eneo
si el t´
ermino constante
es cero
I
Un sistema homog´
eneo siempre tiene al menos una soluci´
on,
la trivial
Gauss-Jordan y Sistemas Homogeneos
I
El proceso de reducir una matriz por filas se puede continuar
hasta encontrar una
forma escalonada reducida
donde
1. el valor de todos los pivotes es 1
2. encima de los pivotes hay tambi´en ceros
I
A este proceso se le llama de Gauss-Jordan
I
