Funciones

(1)

Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones

Funciones

Dra. Karen R. Ríos-Soto

Departamento de Ciencias Matemáticas

Universidad de Puerto Rico - Mayaguez

(2)

Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones

Outline

1 _{Funciones Crecientes y Decrecientes}

2 _{Otros tipos de funciones}

Función Recíproca

Función a Trozos

Función Valor Absoluto

3 _{Combinación de Funciones}

Operaciones Básicas de Funciones

Composición de Funciones

(3)

Funciones Crecientes y Decrecientes

Otros tipos de funciones Combinación de Funciones Transformaciones

Definición

Definition

Sea

I

un intervalo que pertenece al dominio de la función

f

.

Entonces,

f

es creciente en un intervalo

I

si

f

(b)

>

f

(a)

siempre que

b

>

a

en

I. f

es decreciente en un intervalo

I

si

f

(b)

<

f

(a)

siempre

que

b

>

a

en

I.

(4)

Definición

Definition

Sea

I

un intervalo que pertenece al dominio de la función

f

.

Entonces,

f

es creciente en un intervalo

I

si

f

(b)

>

f

(a)

siempre que

b

>

a

en

I. f

es decreciente en un intervalo

I

si

f

(b)

<

f

(a)

siempre

que

b

>

a

en

I.

(5)

Definición

Definition

Sea

I

un intervalo que pertenece al dominio de la función

f

.

Entonces,

f

es creciente en un intervalo

I

si

f

(b)

>

f

(a)

siempre que

b

>

a

en

I. f

es decreciente en un intervalo

I

si

f

(b)

<

f

(a)

siempre

que

b

>

a

en

I.

(6)

Definición

Definition

Sea

I

un intervalo que pertenece al dominio de la función

f

.

Entonces,

f

es creciente en un intervalo

I

si

f

(b)

>

f

(a)

siempre que

b

>

a

en

I. f

es decreciente en un intervalo

I

si

f

(b)

<

f

(a)

siempre

que

b

>

a

en

I.

(7)

Ejemplo Función Creciente

(8)

Ejemplo Función Decreciente

(9)

Ejemplo 1

(10)

Otros tipos de funciones

Combinación de Funciones Transformaciones

Función Recíproca

Función a Trozos Función Valor Absoluto

Outline

1 _{Funciones Crecientes y Decrecientes}

2 _{Otros tipos de funciones}

Función Recíproca

Función a Trozos

Función Valor Absoluto

3 _{Combinación de Funciones}

Operaciones Básicas de Funciones

Composición de Funciones

(11)

Función Recíproca

Función a Trozos Función Valor Absoluto

Definición y Ejemplo Función Recíproca

Definition

(12)

Función Recíproca

Función a Trozos

Función Valor Absoluto

Outline

1 _{Funciones Crecientes y Decrecientes}

2 _{Otros tipos de funciones}

Función Recíproca

Función a Trozos

Función Valor Absoluto

3 _{Combinación de Funciones}

Operaciones Básicas de Funciones

Composición de Funciones

(13)

Función Recíproca

Función a Trozos

Función por Partes

Definition

Una función definida a trozos es aquella cuya expresión

contiene más de una fórmula para distintos valores del dominio.

Ejemplos de la vida real:

Enviar paquetes por correo dependiendo del peso, el

origen y el destino.

(14)

Función Recíproca

Función a Trozos

Función por Partes

Definition

Una función definida a trozos es aquella cuya expresión

contiene más de una fórmula para distintos valores del dominio.

Ejemplos de la vida real:

Enviar paquetes por correo dependiendo del peso, el

origen y el destino.

(15)

Función Recíproca

Función a Trozos

Función por Partes

Definition

Una función definida a trozos es aquella cuya expresión

contiene más de una fórmula para distintos valores del dominio.

Ejemplos de la vida real:

Enviar paquetes por correo dependiendo del peso, el

origen y el destino.

(16)

Función Recíproca

Función a Trozos

(17)

Función Recíproca

Función a Trozos

Ejemplo 2

Grafique las siguientes funciones a trozos.

a.

f

(x

) =

(

−x

s

i x

<

0 2 s

i x

≥

0 b.

f

(

x

) =











(18)

Función Recíproca

Función a Trozos

Ejemplo 2

Grafique las siguientes funciones a trozos.

a.

f

(x

) =

(

−x

s

i x

<

0 2 s

i x

≥

0 b.

f

(x

) =











x

2 s

i x

≤ −

1

(19)

Función Recíproca Función a Trozos

Outline

1 _{Funciones Crecientes y Decrecientes}

2 _{Otros tipos de funciones}

Función Recíproca

Función a Trozos

Función Valor Absoluto

3 _{Combinación de Funciones}

Operaciones Básicas de Funciones

Composición de Funciones

4 Transformaciones

(20)

Función Recíproca Función a Trozos

Radicales con Varibles

La función valor absoluto es un ejemplo de una función a

trozos.

Definition

La función valor absoluto está definida como

f(x) =

|x

|

=

(

−x

s

i x

<

0

(21)

Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones

Combinación de Funciones

Transformaciones

Operaciones Básicas de Funciones

Composición de Funciones

Outline

1 _{Funciones Crecientes y Decrecientes}

2 _{Otros tipos de funciones}

Función Recíproca

Función a Trozos

Función Valor Absoluto

3 _{Combinación de Funciones}

Operaciones Básicas de Funciones

Composición de Funciones

4 Transformaciones

(22)

Transformaciones

Suma y Resta de Funciones

Para obtener la función

f

+

g, resultado de sumar dos

funciones,

f

y

g, sumamos, punto a punto, los valores de

sus ordenadas. Es decir:

h(x

) = (f

+

g)(x

) =

f

(x

) +

g(x

).

Similarmente, para obtener la función

f

−

g

, resultado de

restar dos funciones,

f

y

g

,restamos, punto a punto, los

valores de sus ordenadas. Es decir:

h(x

) = (f

−

g)(x) =

f(x

)

−

g(x

)

.

(23)

Transformaciones

Suma y Resta de Funciones

Para obtener la función

f

+

g, resultado de sumar dos

funciones,

f

y

g, sumamos, punto a punto, los valores de

sus ordenadas. Es decir:

h(x

) = (f

+

g)(x

) =

f

(x

) +

g(x

).

Similarmente, para obtener la función

f

−

g, resultado de

restar dos funciones,

f

y

g,restamos, punto a punto, los

valores de sus ordenadas. Es decir:

h(x

) = (f

−

g)(x) =

f(x

)

−

g(x

).

(24)

Transformaciones

Suma y Resta de Funciones

Para obtener la función

f

+

g, resultado de sumar dos

funciones,

f

y

g, sumamos, punto a punto, los valores de

sus ordenadas. Es decir:

h(x

) = (f

+

g)(x

) =

f

(x

) +

g(x

).

Similarmente, para obtener la función

f

−

g, resultado de

restar dos funciones,

f

y

g,restamos, punto a punto, los

valores de sus ordenadas. Es decir:

h(x

) = (f

−

g)(x) =

f(x

)

−

g(x

).

(25)

Transformaciones

Ejemplo Suma y Resta

Si

f

(x) =

x

2 +

2 y

g(x

) =

2x

−

1 entonces,

Suma:

(f

+

g)(x

) =

f

(x

) +

g(x) =

x

2 +

2 x

−

1 =

x

2 +

2 x

+

1 Resta:

(26)

Transformaciones

Ejemplo Suma y Resta

Si

f

(x) =

x

2 +

2 y

g(x

) =

2x

−

1 entonces,

Suma:

(f

+

g)(x

) =

f

(x

) +

g(x) =

x

2 +

2x

−

1 =

x

2 +

2x

+

1 Resta:

(27)

Transformaciones

Ejemplo Suma y Resta

Si

f

(x) =

x

2 +

2 y

g(x

) =

2x

−

1 entonces,

Suma:

(f

+

g)(x

) =

f

(x

) +

g(x) =

x

2 +

2x

−

1 =

x

2 +

2x

+

1 Resta:

(f

−

g)(x) =

f(x)

−

g(x) = (x

2 +

2)

−

(2x

−

1) =

x

2 −

2x

+

3

(28)

Transformaciones

Ejemplo Suma y Resta

Si

f

(x) =

x

2 +

2 y

g(x

) =

2x

−

1 entonces,

Suma:

(f

+

g)(x

) =

f

(x

) +

g(x) =

x

2 +

2x

−

1 =

x

2 +

2x

+

1 Resta:

(f

−

g)(x) =

f(x)

−

g(x) = (x

2 +

2)

−

(2x

−

1) =

x

2 −

2x

+

3

(29)

Transformaciones

Multiplicación y Cociente de Funciones

Para obtener la función

f

· g, resultado de multiplicar dos

funciones,

f

y

g, multiplicamos, punto a punto, los valores

de sus ordenadas. Es decir:

h(x) = (f

· g)(x

) =

f

(x

)

· g(x

).

Similarmente, para obtener la función

_g

f

, resultado de

dividir dos funciones,

f

y

g

, dividimos, punto a punto, los

valores de sus ordenadas. Es decir:

(30)

Transformaciones

Multiplicación y Cociente de Funciones

Para obtener la función

f

· g, resultado de multiplicar dos

funciones,

f

y

g, multiplicamos, punto a punto, los valores

de sus ordenadas. Es decir:

h(x) = (f

· g)(x

) =

f

(x

)

· g(x

).

Similarmente, para obtener la función

_g

f

, resultado de

dividir dos funciones,

f

y

g, dividimos, punto a punto, los

valores de sus ordenadas. Es decir:

(31)

Transformaciones

Multiplicación y Cociente de Funciones

Para obtener la función

f

· g, resultado de multiplicar dos

funciones,

f

y

g, multiplicamos, punto a punto, los valores

de sus ordenadas. Es decir:

h(x) = (f

· g)(x

) =

f

(x

)

· g(x

).

Similarmente, para obtener la función

_g

f

, resultado de

dividir dos funciones,

f

y

g, dividimos, punto a punto, los

valores de sus ordenadas. Es decir:

(32)

Transformaciones

Ejemplo Multiplicación y Cociente

Si

f

(x) =

x

2 +

2 y

g(x

) =

2x

−

1 entonces,

Suma:

(f

· g)(x

) =

f

(x

)

· g(x) = (x

2 +

2 )

· (

2 x

−1

) =

2 x

2 −

x

2 +

4 x

−2

y el dominio es todos los reales.

(33)

Transformaciones

Ejemplo Multiplicación y Cociente

Si

f

(x) =

x

2 +

2 y

g(x

) =

2x

−

1 entonces,

Suma:

(f

·g)(x

) =

f

(x

)·g(x) = (x

2 +2)

·(2x

−1) =

2x

2 −x

2 +4x

−2

y el dominio es todos los reales.

(34)

Transformaciones

Ejemplo Multiplicación y Cociente

Si

f

(x) =

x

2 +

2 y

g(x

) =

2x

−

1 entonces,

Suma:

(f

·g)(x

) =

f

(x

)·g(x) = (x

2 +2)

·(2x

−1) =

2x

2 −x

2 +4x

−2

y el dominio es todos los reales.

(35)

Transformaciones

Ejemplo 3

Halle la suma, resta, multiplicación y cociente de las siguientes

funciones. Para cada uno de los casos establecer el dominio.

a.

f

(x

) =

x

+

5 y

g(x

) =

3

(36)

Transformaciones

Ejemplo 3

Halle la suma, resta, multiplicación y cociente de las siguientes

funciones. Para cada uno de los casos establecer el dominio.

a.

f

(x

) =

x

+

5 y

g(x

) =

3

(37)

Transformaciones

Outline

1 _{Funciones Crecientes y Decrecientes}

2 _{Otros tipos de funciones}

Función Recíproca

Función a Trozos

Función Valor Absoluto

3 _{Combinación de Funciones}

Operaciones Básicas de Funciones

Composición de Funciones

4 Transformaciones

(38)

Transformaciones

Composición

Definition

Dada las funciones

f

(x

)

y

g(x

), la composición de

f

con

g, está

dada por

(f

◦

g)(x

) =

f

(g(x

))

donde

g(x)

es el dominio de

f

(x

).

Definition

(39)

Transformaciones

Composición

Definition

Dada las funciones

f

(x

)

y

g(x

), la composición de

f

con

g, está

dada por

(f

◦

g)(x

) =

f

(g(x

))

donde

g(x)

es el dominio de

f

(x

).

Definition

(40)

Transformaciones

(41)

Transformaciones

Ejemplo Composición

Si

f

(x) =

x

2 +

2 y

g(x

) =

2x

−

1 entonces,

(f

◦

g)(x

) =

f

(g(x)) =

f

(

2 x

−1

) = (

2 x

−1

)

2 +

2 =

4 x

2 +

4 x

+

3 (g

◦

f

)(x

) =

g(f(x

)) =

g(x

2 ₊

₂

_{) =}

₂

_(x

2 ₊

₂

₎

₋

₁

₌

₂

_x

2 ₊

_3.

(42)

Transformaciones

Ejemplo Composición

Si

f

(x) =

x

2 +

2 y

g(x

) =

2x

−

1 entonces,

(f

◦g)(x

) =

f

(g(x)) =

f

(2x

−1) = (2x

−1)

2 ₊₂

₌

_4x

2 _+4x

₊₃

(g

◦

f

)(x

) =

g(f(x

)) =

g(x

2 ₊

₂

_{) =}

₂

_(x

2 ₊

₂

₎

₋

₁

₌

₂

_x

2 ₊

_3.

(43)

Transformaciones

Ejemplo Composición

Si

f

(x) =

x

2 +

2 y

g(x

) =

2x

−

1 entonces,

(f

◦g)(x

) =

f

(g(x)) =

f

(2x

−1) = (2x

−1)

2 ₊₂

₌

_4x

2 _+4x

₊₃

(g

◦

f

)(x

) =

g(f(x

)) =

g(x

2 ₊

_{2) =}

_2(x

2 ₊

₂₎

₋

₁

₌

_2x

2 ₊

_3.

(44)

Transformaciones

Ejemplo Composición

Si

f

(x) =

x

2 +

2 y

g(x

) =

2x

−

1 entonces,

(f

◦g)(x

) =

f

(g(x)) =

f

(2x

−1) = (2x

−1)

2 ₊₂

₌

_4x

2 _+4x

₊₃

(g

◦

f

)(x

) =

g(f(x

)) =

g(x

2 ₊

_{2) =}

_2(x

2 ₊

₂₎

₋

₁

₌

_2x

2 ₊

_3.

(45)

Transformaciones

Ejemplo 4

Halle las composiciones

f

◦

g,

g

◦

f

,

g

◦

g

y

f

◦

f

de las siguientes

funciones. Para cada uno de los casos establecer el dominio.

a.

f

(x

) =

x

+

5 y

g(x

) =

3

(46)

Transformaciones

Ejemplo 4

Halle las composiciones

f

◦

g,

g

◦

f

,

g

◦

g

y

f

◦

f

de las siguientes

funciones. Para cada uno de los casos establecer el dominio.

a.

f

(x

) =

x

+

5 y

g(x

) =

3

(47)

Transformaciones

Ejemplo 5

Halle los valores de

(f

◦

g)(8)

y

(g

◦

f

)(9), para las funciones:

(48)

Transformaciones

Ejemplo 6

(49)

Transformaciones

Reconociendo Composiciones de Funciones

Dado una función debemos reconocer cuando es una

composición identificando sus componentes.

Por ejemplo en dado

F

(x

) =

₃

_x

1 ₊

₇

hallar

f

y

g

tal que

F

(x) = (f

◦

g)(x

)

.

En este caso

f

(x) =

1 _x

y

g(x

) =

3 x

+

7. Verificando

(50)

Transformaciones

Reconociendo Composiciones de Funciones

Dado una función debemos reconocer cuando es una

composición identificando sus componentes.

Por ejemplo en dado

F

(x

) =

₃

_x

1 ₊₇

hallar

f

y

g

tal que

F

(x) = (f

◦

g)(x

).

En este caso

f

(x) =

1 _x

y

g(x

) =

3 x

+

7. Verificando

(51)

Transformaciones

Reconociendo Composiciones de Funciones

Dado una función debemos reconocer cuando es una

composición identificando sus componentes.

Por ejemplo en dado

F

(x

) =

₃

_x

1 ₊₇

hallar

f

y

g

tal que

F

(x) = (f

◦

g)(x

).

En este caso

f

(x) =

1 _x

y

g(x

) =

3x

+

7. Verificando

(52)

Transformaciones

Reconociendo Composiciones de Funciones

Dado una función debemos reconocer cuando es una

composición identificando sus componentes.

Por ejemplo en dado

F

(x

) =

₃

_x

1 ₊₇

hallar

f

y

g

tal que

F

(x) = (f

◦

g)(x

).

En este caso

f

(x) =

1 _x

y

g(x

) =

3x

+

7. Verificando

(53)

Transformaciones

Ejemplo 7

Dado las siguientes funciones hallar

f

y

g

tal que

F

(x

) = (f

◦

g)(x

).

a.

F

(x) =

√

8 x

+

5 b.

F

(

x

) =

|

x

2 ₊

₁

_|

(54)

Transformaciones

Ejemplo 7

Dado las siguientes funciones hallar

f

y

g

tal que

F

(x

) = (f

◦

g)(x

).

a.

F

(x) =

√

8 x

+

5 b.

F

(x) =

|x

2 ₊

₁

_|

(55)

Transformaciones

Ejemplo 7

Dado las siguientes funciones hallar

f

y

g

tal que

F

(x

) = (f

◦

g)(x

).

a.

F

(x) =

√

8 x

+

5 b.

F

(x) =

|x

2 ₊

₁

_|

(56)

Funciones Crecientes y Decrecientes Otros tipos de funciones Combinación de Funciones