Chapter 1
Fuerzas
En Est´atica es muy usual tener un cuerpo u objeto que tiene varias fuerzas aplicadas. Es por esto que solucionar un problema de est´atica en pocas palabras quiere decir calcular cu´anto vale alguna de esas fuerzas. Para esto lo primero que tenemos que recordar es: ¿Qu´e es Fuerza? o a que se llama Fuerza.
FUERZA: Son muchos los significados que se conocen acerca de este t´ermino es dif´ıcil y poco pr´actico dar una sola definici´on; teniendo en cuenta uno de los primeros escritos que dio Newton es que ‘Fuerza es a veces la presi´on de un cuerpo sobre otro’, ‘Fuerza es cualquier interacci´on entre dos o m´as cuerpos, teniendo en cuenta que ´esta definici´on hace referencia a las cuatro interacciones funda-mentales de la natutaleza interacci´on gravitatoria, interacci´on electromagn´etica, interacci´on nuclear fuerte e interacci´on nuclear d´ebil’; pero en un lenguaje m´as popular tenemos que es ‘La acci´on que se ejerce con la mano cuando uno empuja algo o tira de algo’.
Por ejemplo:
Si empujas una nevera, al empujarla se ejerce una fuerza. Esta fuerza se representa as´ı:
Entre las fuerzas m´as comunes y que siempre aparece en los problemas de est´atica esta la fuerza PESO. La atracci´on que ejerce un cuerpo es llamada Fuerza de gravedad o peso, y esta var´ıa seg´un la masa del cuerpo. Por ejemplo, si sueltas un bloque, ´este cae. En ese caso la representaci´on de la fuerza peso ser´ıa:
Figure 1.2: Representaci´on de la Fuerza peso
Como se observa en la figura 1.2. el peso W esta definido como:
W=mg (1.1)
dondeg es la gravedad tomada como una constante≡9.81m/s2 ym es la masa del bloque, de manera similar la masa y el peso poseen varias unidades de medida pero la m´as utilizada es el Newton(N), el cual es una unidad derivada, cuando la masa se encuentra en Kg y adem´as la aceleraci´on de la gravedad esta en (m/s2).
1.2
Fuerzas de contacto
Las fuerzas de contacto entre dos superficies, es una fuerza que posee dos componentes, una com-ponente perpendicular a la supeficie de contacto denomina fuerza Normal(N) y otra paralela a la superficie de contacto denomina fuerza de fricci´on(fr).
La fuerza de rozamiento es una fuerza que es directamente proporcional a la fuerza normal, donde la costante de proporcionalidad entre la fuerza de fricci´on y la fuerza normal es conocida como co-eficiente de fricci´on, este coeficiente de fricci´on existe en dos condiciones diferentes est´atica y en movimiento, en el primer caso se conoce como coeficiente de fricci´on est´atico µe y en el segundo caso como coeficiente de fricci´on cin´etico µc, y las fuerzas de fricci´on correspondientes, fuerza de fricci´on est´atica y cinetica respectivamente.
Fuerzas
Figure 1.3: Peso y fuerzas de contacto
1. µc es menor que µe.
2. µc depende de la velocidad relativa de las superficies, pero para velocidades comprendidas en el intervalo de 1cm/sa varios metros, µc es aproximadamente constante
3. µc depende de la naturaleza de las superficies, pero es independiente del ´area macrosc´opica de contacto.
Una aplicaci´on importante del algebra vectorial, es la utilizaci´on de fuerzas, sin importar el tipo de fuerza, como sabemos la fuerza es un vector la cual tiene magnitud y direcci´on; luego podemos operar dichas fuerzas, (suma, resta y producto). Existen diferentes combinaciones de fuerzas entre ellas:
1.2.1
Fuerzas Concurrentes
Las fuerzas concurrentes son aquellas que se encuentran aplicadas sobre un mismo punto,es decir, (cuando todas las fuerzas que act´uan sobre un mismo cuerpo PASAN POR UN MISMO PUNTO); la resultante de un conjunto de fuerzas de ´estas caracter´ısticas es la suma vectorial, y el punto de aplicaci´on es el punto donde est´an aplicadas ´estas fuerzas.
La resutante de un conjunto de fuerzas, es una fuerza que reemplazar´a a todas las fuerzas actuantes, es decir produce el mismo efecto de traslaci´on y rotaci´on que el conjunto de fuerzas.
Si se tiene un cinjunto de fuerzas concurrentes
→
F1,
→
F2,
→
F3 ...,
→
Fn; la resultante de este conjunto de fuerzas concurrentes es:
→
R=
→
F1 +
→
F2 +
→
F3 ...+
→
Fn=
X
i
→
Fi (1.2)
Ejemplo 1: Calcular la resultante del siguiente sistema de fuerzas concurrentes.
Soluci´on: Son dos los m´etodos que existen para dar soluci´on al ejercicio; m´etodo grafico y m´etodo anal´ıtico. Utilizando la suma de fuerzas analiticamente tenemos:
1.Tomo un par de ejes x -y con el origen puesto en el punto por el que pasan todas las fuerzas. 2.Descompongo cada fuerza en 2 componentes. Una sobre el eje xFx y otra sobre el ejey Fy. 3.Hallo la suma de todas las componentes en el eje x y en el eje y
Es decir, lo que estamos haciendo es calcular el valor de la resultante en x Rx y el valor de la resul-tante en y Ry.
Los ´angulos con respecto al eje positivo de las X de cada fuerza son: 0o, 60o, 160o, 160o y 230o respectivamente.
Luego:
F1x = 300∗cos0o = 300
F1y = 300∗sin0o = 0
F2x = 400∗cos60o = 200
F2y = 400∗sin60o = 346.41
F3x = 300∗cos160o =−281.91
F3y = 300∗sin160o = 102.61
F4x = 600∗cos230o =−385.7
F4y = 600∗sin230o =−459.63
La componente en x- y de la resultante del conjunto de fuerzas concurrentes es:
Rx =F1x+F2x+F3x+F4x =−167.61
Ry =F1y +F2y +F3y +F4y =−10.61
Es decir, la fuerza resultante es R→= −167.61ˆi−10.61ˆj por lo tanto la magnitud y direcci´on de la fuerza resultante es: R=pRx2 +Ry2 = 167.95 N, y tanθ = Ry
Rx de donde θ =4
o.
Ejemplo 2: Calcular la fuerza resultante del conjunto de fuerzas concurrentes que act´ua sobre la torre, debido a los cables que la sostienen, la tensi´on del cableAD es 500N, la tensi´on del cable BD
Fuerzas
es 600N y la tensi´on del cable CD es 650N.
Figure 1.5: Ejemplo 2. Fuerzas Concurrentes
Soluci´on: Las fuerzas de tensi´on que act´uan en una cuerda o cable se dirigen a lo largo de la cuerda;
primero se deben calcular las direcciones de las fuerzas y calculamos los vectores
→ DA, → DB y → DC, como:→
DA= (2.5−0)ˆi+ (0−0) ˆj+ (0−10 ˆk) [m]= 2.5ˆi−10ˆk[m]
→
DB= (−2−0)ˆi+ (1−0) ˆj+ (0−10 ˆk) [m]=−2ˆi+ ˆj−10ˆk[m]
→
DC= (−2−0)ˆi+ (3−0) ˆj+ (0−10 ˆk) [m]=−2ˆi+ 3ˆj −10ˆk[m]
Los vectores unitarios que son las direcciones de cada una de las tensiones son:
→
UDA= √2.5ˆ2.5i−2+1010ˆk2 =
2.5ˆi−10ˆk 10.307
→
UDB=
−2ˆi+ˆj−10ˆk
√
22+12+102 =
−2ˆi+ˆj−10ˆk 10.246
→
UDC= √2ˆi+3ˆj−10ˆk
2.2+32+102 =
2ˆi+3ˆj−10ˆk 113
Las tensiones de cada fuerza son:→
TDA= 500N ∗ √2.5ˆ2.5i−2+1010ˆk2 =
1250ˆi−5000ˆk
10.307 = 121.28ˆi−485.107ˆk
→
TDB= 600N ∗√−22ˆ2i+ˆ+1j2−+1010ˆk2 =
−1200ˆi+600ˆj−6000ˆk
10.246 =−117.119ˆi+ 58.56ˆj−585.6
→
TDC= 650N ∗ 2ˆi+3ˆj
−10ˆk
√
2.2+32+102 =
1300ˆi+1950ˆj−6500ˆk
113 = 11.504ˆi+ 17.26ˆj−57.52ˆk
La resultante del conjunto de tensiones es:
→
R=
→
TDA +
→
TDB +
→
TDC= 15.665ˆi+ 75.82ˆj−158.013ˆk
La magnitud de la tensi´on resultante es 175.961 [N], la direcci´on se puede expresar de dos formas, con el vector unitario y con los ´angulos directores; por ejemplo el vector unitario es:
→
UR= 15.665ˆi+75.82ˆj
−158.013ˆk
√
Consideremos una fuerza F que act´ua en un cuerpoC, a la capacidad de rotaci´on que se hace sobre
C se llama Torque o momento de la Fuerza con respecto al punto O; por ende tenemos que entre m´as lejos se hace m´as torque, luego el torque es proporcional a la distancia d y a la fuerza F como se observa en la figura 1.5
τ =F d (1.3)
Figure 1.6: Momento de una fuerza con respecto al punto O
As´ı, en el sistema MKSC el torque de una fuerza se expresa en newton-metro oN m; de igual manera se utilizan unidades como Kgf m o lbf pie.
Ahora si ejercemos la fuerza de manera perpendicular tenemos:
Figure 1.7: Relaci´on vectorial entre el torque, la fuerza y el vector posici´on
donde:
Fuerzas
concluyendo podemos decir que el torque de una fuerza puede considerarse como una cantidad vec-torial dada por:
τ =r×F (1.5)
Ejemplo 1. Calcular el torque de la fuerza F sobre la varilla, con respecto al punto O.
Figure 1.8: Torque de una fuerza
Este torque se puede calcular de dos formas; la forma escalar y la forma vectorial, en la forma escalar se busca la componente perpendicular a la varilla debido a que la fuerza paralela no ejerce torque; la
F⊥es:
F⊥= 10 cos (20o+ 45o) [N] = 16.47; luego el torque es:
τ =F⊥ •2m = 32.94 [N m];
y la direcci´on se puede expresar en la direci´on de las manecillas del reloj; luego:
→
τ= 32.94←- (esta flecha indica la direcci´on).
Para la forma vectorial del torque se calcula →r y F→como:
→
r= 2 cos 45oˆi+ 2 sin 45oˆj = 1.41ˆi+ 1.41ˆj
→
F= 10 cos 20oˆi+ 10 sin 20oˆj = 9.4ˆi+ 3.4ˆj; lo que produce:
τ =→r ×F→=
ˆi ˆj ˆk 1.41 1.41 0 9.4 3.4 0
Cuando se tienen fuerzas concurrentes, el torque de ´estas fuerzas se puede calcular teniendo en cuenta de que como son concurrentes el vector→r es el mismo para todas las fuerzas.
→
τ=→r ×F→1 +
→
r ×F→2 +...+
→
r ×F→n (1.6)
de donde;
→
τ=→r ×
→
F1 +
→
F2 +...+
→
Fn
=→r ×
→
F R (1.7)
donde
→
F R es la suma de todas las fuerzas.
1.4
Tensi´
on superficial
La tensi´on superficial es una propiedad originada por las fuerzas de atracci´on entre las mol´eculas. como tal, se manifiesta solo en l´ıquidos en una interfaz, casi siempre una interface l´ıquido-gas. Las
fuerzas entre las mol´eculas en la masa de un l´ıquido son iguales en todas las direcciones, y en consecuencia, ninguna fuerza neta es ejercida por las mol´eculas. Sin embargo, en una interfaz las mol´eculas ejercen una fuerza que tiene una resultante en la interfaz. Esta fuerza mantiene una gota de agua suspendida de una varilla y limita el tama˜no de una gota de agua que puede ser sostenida.
Tambi´en provoca que las peque˜nas gotas de un rociador o atomizador asuman formas esf´ericas.
1.5
Fuerza centr´ıpeta
En el movimiento circular uniforme, el vector aceleraci´on est´a dirigido hacia el cntro de la circunferencia, y u valor es ac =v2/R, dondeR es el radio de la circunferencia yv es la velocidad lineal del objeto en movimiento, est´a aceleraci´on hacia el centro se llama aceleraci´on centr´ıpeta, la fuerza resultante hacia el centro de est´a circunferencia se llama fuerza centr´ıpeta, la cual est´a dada
por
Fc =m
v2
R (1.8)
1.6
Fuerza el´
astica
Cuando un resorte sujeto a un soporte por uno de sus extremos y con el otro unido a un objeto, la posici´on del objeto, cuando el resorte est´a sin estirar se conoce como posici´on de equilibrio, seax la
posici´on del objeto en cualquier momento con respecto a la posici´on de equilibrio, es decir x
Fuerzas
magnitud de la fuerza que ejerce es proporcional a su deformaci´onx, este comportamiento es descrito por la llamada ley de Hooke
Fs =−kx
donde Fs, es la fuerza que ejerce el resorte sobre el objeto y k es la constante de elasticidad del
resorte, en caso de referirnos a la fuerza que se debe realizar para deformar el resorte el signo de la ley de Hooke es positivo.
