Estudio multifisico de micromotores piezoeléctricos

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(1)ESTUDIO MULTIFISICO DE M ICROM OTORES PIEZOELECTRICOS. JAIR DE JESUS AVILA GUTIERREZ. UNIV ERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE ING ENIERÍA DEPARTAM ENTO DE ING ENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA BOGOTÁ D.C., COLOM BIA 2007.

(2) ESTUDIO MULTIFISICO DE M ICROM OTORES PIEZOELECTRICOS. JAIR DE JESUS AVILA GUTIERREZ. Tesis de Grado para optar por el tít ulo de Magíster en Ingeniería Ele ctrónica. Asesor: Ph. D. Alba Avila Bernal. UNIV ERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE ING ENIERIA DEPARTAM ENTO DE ING ENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA BOGOTÁ D.C., COLOM BIA 2007.

(3) Estudio m ultifísico de m icromotores piezoeléctrico s. Dedicatoria. DEDICATORIA En pr imer lugar, al Dios Todopoder os o y Eter no que habita en los c ielos, quien fue el que me dio la opor tunidad de es tudiar esta maes tr ía, también fue el artíf ic e de esta tes is, fue Él quien le dio v ida, y la hizo for mar realidad a tr avés de mi, y a que er a algo que le había pedido al Señor par a trabajar en es tos temas, y Él me entr ego el mejor tema. “Dios es la fuente de inspiración, inteligencia y sabiduría que todo hombre debe int eresar se por buscar ansiosament e”. A mis padres, Afrodicio y Elsa, por entr egarme s u confianz a, tranquilidad y responsabilidad, y aunque dudar on de mi capac idad par a enfrentar estos retos, les demostr é que nada es imposible par a Dios , cuando aprendemos a depender de Él. A mis hermanos, Car men Liliana y Hugo Armando, les ofrezco es te sacr ificio de valor, sinceridad y compr omiso frente a grandes retos que se nos pres entan a lo lar go de la v ida. A todos mis familiares , quienes s iempr e crey eron en mis habilidades, destrezas, y capac idades par a s uperar gr andes r etos académicos, laborales, y sociales .. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en In g. Electrónica. Mayo del 2007. i.

(4) Estudio m ultifísico de m icromotores piezoeléctrico s. Agradecimientos. AGRADECIM IENTOS Quier o agradecer a la prof. A lba Av ila Bernal, por su constante esfuerzo animándome para logr ar ter minar este pr oyec to mar avilloso. Agradezco también al pr of. Fer nando Ramír ez por s us innumerables c ons ejos sobr e vibrac ión en estr uctur as. Igualmente quiero agr adec er al pers onal del laborator io de Ingeniería Mecánica, al personal de laboratorio de Ingenier ía Eléctr ica y Electrónica: Will iam, Alejandro y Luisa, por s u pacienc ia y colaborac ión dur ante el des arrollo de es te proy ecto. De la misma maner a, agradezco al personal de laboratorio de Físic a, y en espec ia l al pr of. Benjamín Ostr a por su ayuda e interés en las mediciones realizadas des de la fís ica óptica. Agradezco en gener al, a mis c olegas de maestr ía en ing. Electrónica, Ric ardo Arjona, Andr és Caballer o, Osc ar River a, Gonzalo Díaz, Javier Rubio, Her nán Uribe, Sandr a Cancino, Robinson Arr ieta, Haider Amaranto y a mis c olegas de maes tría en ing. Mec ánic a, Álv aro Ramírez, Jor ge Grues o, Gustavo Jiménez, Julián Ospina, Andrés Guascas, Humberto Ballestas y A lfredo Dávila, por su compañeris mo, frater nidad y ayuda en todos los momentos dif íciles que afrontamos en nuestr os estudios, y en nuestr as v idas. Finalmente, igualmente agradezco a todos y todas aquellas pers onas que hicieron posible, de una u otr a manera, alcanz ar este logro.. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en In g. Electrónica. Mayo del 2007. ii.

(5) Estudio m ultifísico de m icromotores piezoeléctrico s. Contenido. TABLA DE CONTENIDO. INTRODUCCION. 1. OBJ ETIVOS. 3. 1. M ODELOS COM ERCIALES DE M ICROM OTORES PIEZOELECTRICOS. 4. 1.1. Empres as líderes en el mercado mundial. 4. 1.2. Es pecific aciones técnicas de muestr as reales de micr omotores piezoeléctric os. 6. PROPIEDADES DE LOS M ATERIALES PIEZOEL ECTRICOS. 8. 2.1. Descr ipción del efecto piezoeléctric o. 8. 2.2. Ef ectos piez oeléctr icos dir ecto e invers o. 9. 2.3. Ec uaciones piezoeléctric as c ons titutivas básic as. 10. 3. COM PORTAMIENTO FISICO DE LAS ONDAS ACUSTICAS SUP ERFICIALES ( SAW’S) EN LOS M ATERIALES PIEZOEL ECTRICOS. 12. 2. 3.1. Intr oducc ión. 12. 3.2. His tor ia de los dispositivos SAW’s. 12. 3.3. Gener ación, propagación y distribución de las ondas SAW’s. 13. 3.4. Modelamiento fís ico de las ondas SA W’s. 13. 3.5. Modelamiento matemático de las ondas SA W’s. 14. 3.6. Simulaciones computacionales de ondas SAW’s. 14. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en In g. Electrónica. Mayo del 2007. iii.

(6) Estudio m ultifísico de m icromotores piezoeléctrico s. 4. 4.1. M OTORES PIEZO ELECTRICOS ULTRASONICOS DE ONDA VIAJERA FLEXIONANT E. Contenido. 16. Conv ersión de energía electr omecánica en el micr omotor piezoeléctrico. 16. Descr ipción bás ica del func io namiento del micromotor piez oeléctr ico. 16. 4.3. Modos de vibrac ión flex ionante en los micromotores piezoeléctr ic os. 17. 4.4. Vibrac ión libr e en anillos planos delgados. 18. 4.5. Fr ecuenc ias naturales y velocidades de onda. 19. 4.6. Ondas viajer as y movimientos elípticos. 20. 4.7. Modelamiento mec ánic o del estator. 22. 4.8. Deflex iones estáticas y dinámicas en el estator. 25. 4.9. Modelamiento de las inter acc iones de contac to entr e el estator y el r otor. 31. 4.9.1. Ley de línea de c ontacto s egún fricc ión de Coulomb. 32. 4.9.2. Ley de ár ea de c ontacto s egún fricc ión de Coulomb. 34. 4.9.3. Curvas c aracter ístic as par a ley de línea según fricción de Coulomb. 36. Curvas c aracter ístic as par a la ley de ár ea según fricción de Coulomb. 37. 4.2. 4.9.4. 5. SIM ULACIONES COM PUTACIONALES POR ELEM ENTOS FINITOS DEL MICROM OTOR PIEZOELECTRICO. 39. 5.1. Gener alidades. 39. 5.2. Pr opiedades de los materiales utilizados. 39. 5.3. Simulación modal para vibrac ión libre del anillo plano delgado c ompuesto del estator. 40. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en Ing. Electrónica. Mayo del 2007. iv.

(7) Estudio m ultifísico de m icromotores piezoeléctrico s 5.4. Contenido. Simulación modal y transiente para el modelamiento mecánico del estator. 42. Ef ectos de la validac ió n de resultados entr e la teor ía y la simulación en ANSY S. 46. 5.6. Simulaciones es tátic a y tr ans iente de las deflex iones estátic a y dinámica en el estator. 52. 5.7. Simulación tr ansiente de la onda viajer a flexionante en el estator. 53. PROCESO DE FABRICACION Y ENSAM BLE DEL PROTOTIPO DEL MICROM OTOR PIEZOEL ÉCTRICO. 57. 5.5. 6. 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7. 7. 7.1. 7.1.1. Adquisición del material piezoeléctr ico por parte de las empr esas fabric antes. 57. Pr oces o de lijado para obtener el es pes or deseado en el anillo plano delgado piez oeléctr ico. 57. Creac ión del patr ón de electr odos en el anillo plano delgado piez oeléctr ico. 58. Polar izac ión media nte alt o voltaje DC al patr ón de electrodos en el anillo plano delgado piezoeléc tric o. 59. Creac ión de los anillos planos delgados metálicos del es tator y el rotor del micromotor piez oeléctr ico. 60. Soldadur a de ter minales exter nos de conex ión y cr eación del anillo compuesto del estator del micr omotor piezoeléctrico. 61. Ensamble de las piezas totales que c onfor man el diseño físico del pr ototipo del micromotor piez oeléctr ic o. 62. PRUEBAS PARA LAS M EDICIONES FÍSICAS AL DISEÑO PROTOTIPADO DEL MICROM OTOR PIEZO ELECTRICO. 64. Pr uebas de visualiz ación del modo resonante en el estator del micr omotor piez oeléctr ico. 64. Pr ueba de resonanc ia mediante polv o micr oscópico altamente gr anulado. 64. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en In g. Electrónica. Mayo del 2007. v.

(8) Estudio m ultifísico de m icromotores piezoeléctrico s 7.1.2 7.2 7.3. Contenido. Pr ueba de resonanc ia media nte dispers ión de haz lu minoso con r ayo lás er. 66. Pr uebas de medición del torque mec ánic o s obre el rotor del micr omotor piezoeléctrico. 67. Pr uebas de medición de la veloc idad angular del rotor en el micr omotor piez oeléctr ico. 68. 8. CONCLUSIONES. 69. 9. TRABAJOS FUTUROS. 71. 10. BIBLIOG RAFIA. 73. ANEXOS. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en In g. Electrónica. Mayo del 2007. 76. vi.

(9) Estudio m ultifísico de m icromotores piezoeléctrico s. Introduccion. INTRODUCCION Algunos actuadores que s e utiliz an para funcionar los dispositivos teler obotizados de las misiones espaciales de la NASA, que inc luy en los braz os, las r uedas, as í c omo los mecanis mos y /o los instrumentos del espacio tales como mec anismos del lanzamiento, antenas y despliegue de instrumentos, localización de elementos, abertura y cerr ado de dispositiv os, etc., hac en cada vez más neces ar ios los ac tuadores que tengan r educ ido tamaño, poc a masa, y bajo c onsumo de energía, as í c omo un costo más bajo [1]. La miniaturiz ación de motor es electr omagnéticos c onv encionales esta limitada por dificultades práctic as en los proces os de fabr icación [2,3]. Dic hos motores es tán compr ometiendo la velocidad debido al tor que mecánico us ado por los engr anajes o reduc tor es de velocidad. El uso de engranajes agr ega masa, volu men y c omplejidad, así como dis minuciones en la confiabilidad del sistema de impuls ión del motor , por aumento de un número más gr ande de los componentes del s istema. La introducción rec iente de los motores ultrasónicos rotatorios ( USM’s) per mitió una nueva tec nología eficiente par a la impuls ió n de mecanis mos de arras tre de los instrumentos miniatur a [4,5,6]. Estos motores tienen muc has ventajas, tales como alta dens idad de energía, bajos voltajes de excitación, no nec esitan c ajas de engr anajes, no funcionan mediante levitac ión por car ga electrostática como los motores de capac itancia var iable, utilizan acoplamiento ax ial en vez del acoplamiento radial de los motores conv encionales, pueden utilizarse cualquier mater ial para fabr icar el r otor, y finalmente, pos een alto torque de sos tenimiento en ausencia de potencia aplicada [19]. Mediante todas estas raz ones mencionadas anter ior mente, además de inter actuar con nuev os mater iales para des arr ollar nuev os métodos no explorados en Colombia en sis temas de actuación electromecánicos , fuer on el propósito princ ipal de ejec utar esta investigación, en base a la validac ión de los resultados dados en [19], para el modelamiento y simulación por elementos finitos para el funcionamiento y operac ión de un modelo de micr omotor piez oeléctr ico. Dentr o del modelamiento realiz ado al micr omotor piez oeléctr ic o, se hace en base a la teor ía de v ibrac ió n en anill os delg ados planos, y s u aprox imación al modelo de v iga Ber noulli- Euler asumiendo la extensión del anillo plano delgado como una v iga infinitamente lar ga c apaz de sostener ondas v iajeras flexionantes, c on ello encontr ando las veloc idades de onda viajera, el modelamiento mec ánico del es tator , y la frec uencia natur al de r esonancia que permita func io nar de ac uer do al modo de forma adec uado al func ionamiento del motor, en este cas o, en el 4to. modo flexionante de onda viajer a. Con ell o, se obtienen las deflexiones trasvers ales par a la superficie de interacción entre el estator y el motor , mediante las ec uac iones matemátic as constitutiv as que definen el comportamiento de los materiales piezoeléctricos [7], y de acuer do al voltaje de exc itación en DC ( deflexiones estáticas), y de voltajes AC en la. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en In g. Electrónica. Mayo del 2007. 1.

(10) Estudio m ultifísico de m icromotores piezoeléctrico s. Introduccion. frecuenc ia de resonanc ia del 4to. modo flex ionante de onda viajera, encontr ando así la deflex ión dinámica, las c uales dichas deflexiones se encuentran relacionadas por medio del factor de amplificación dinámic a, que depende de los materiales utilizados [19]. Igualmente en la simulac ión por elementos finitos, se utiliz a el paquete computac ional de A NSYS® Multiphysics v9.0, per mitiendo inter actuar para enc ontr ar los res ultados de lo estimado en la teor ía modelada ya menc io nada anter ior mente, en bas e a las pr opiedades de los materiales utilizados para efec tos de la validac ión, as í c omo las mis mas geometr ías del mecanismo de actuación, como también la car gas aplic adas de voltaje, presión, fuerz a y apoyos neces ar ios par a el modelo. Finalmente, se pr opus o el pr oc eso de fabric ación local en Colombia, mediante técnic as artes anales , utilizando par a ello los materiales similar es a los modelados, y elementos similares par a obtener el modelo real. En esta etapa se plantea el juego c ompleto de piezas utilizadas, los materiales empleados, y los demás elementos neces ar ios par a ensamblar y constr uir un pr ototipo r eal de micr omotor piezoeléctrico, y todo lo r elacionado con los inconvenientes, problemas y soluc iones de fabr icac ión y proc eso de ensamblaje, debido a las limitantes de recursos tecnológicos y s oporte de equip os de alta tec nología, en función de las mediciones r eales para el prototipo ens amblado y corroborac ión con el modelo s imulado.. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en In g. Electrónica. Mayo del 2007. 2.

(11) Estudio m ultifísico de m icromotores piezoeléctrico s. Objetivo s. OBJ ETIV OS Los objetivos planteados para el desarr ollo de esta tesis son: Realiz ar un pr oces o de inves tigación sobr e los diferentes modelos comerc iales de micr omotores piez oeléctr icos y a ex istentes en el merc ado, obteniendo s us especificac io nes téc nicas de operación en comparac ión con el modelo planteado en es te tr abajo. Realiz ar un proc eso de investig ación acerca de las pr opiedades de los materiales piezoeléctricos generadores de ondas SA W’s existentes en la actualidad. Selecc ionar c onv enientemente el material piez oeléctr ico par a el modelaje multif ís ico del micromotor ultr asónico. Realiz ar el modelaje multif ísic o completo del c ompor tamiento del micromotor piez oeléctr ico mediante herr amienta computacional CADFEM. Plantear el proces o de fabr icac ión mediante un prototipo r eal f ís ico adecuado a las c aracter ísticas del modelo simulado, y realiz ar mediciones en laboratorio corrobor ando el modelo simulado.. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en In g. Electrónica. Mayo del 2007. 3.

(12) Estudio m ultifísico de m icromotores piezoeléctrico s. Cap itulo 1. CAPITULO 1. Modelos comerciales de micromotores piezoeléctricos 1.1. EM PRESAS LIDERES EN EL M ERCADO M UNDIAL. Durante la explor ación del merc ado para la intr oducción de micr omotores con materiales piezoeléc tric os, sur gió desde mediados de los 90’s diferentes empr es as dedic adas a la pr oducc ión y fabricac ió n de s istemas micromaquinados, en es pec ial de micr omotores piezoeléctricos. Sin embargo, en la ac tualidad, las empres as mas consolidadas en el mercado de pr oducc ión, fabric ac ión y merc adeo de micromotor es piez oeléctr icos , s egún [8] s on: Flexmotor (w ww .flex motor .com) PI Cer amic GmbH (www.picer amic.de/index.html) EDO Ceramic ( http://w ww .edocer amic.c om/default.htm) MicroPropuls ion Corp. (www.micr opr opuls ion.c om) La empresa Fle xm otor® es una c ompañía der ivada del Centro de Nanotecnología de la Universidad de Cranfield, que se estableció en el año de 1994, por el Pr of. Roger W. W hatmore. Tiene sus instalaciones en el Reino Unido ( UK), en la ciudad de Cr anfield, en la s gte. dirección: Cr anfield Univ ersity, Nanotec hnology Group, Building 70, SIMS.. Fig. 1 Algunos motor es fabr icados por la empresa Flex motor ®, en las ins talaciones del Gr upo de Nanotec nologia de la Univers idad de Cranfield. Tomado de [9]. La empr esa PI Ceramic® GmbH es una c ompañía deriv ada de una divis ión piez o c erámic a de Phys ik Instrumente ( PI), el fabric ante líder mundial en sistemas de nanopos icionamiento piez oeléctr ico de ultra-alta-pres ición. Bas ado en el conoc imiento y la experiencia ganada en más de 40 años de c ontinua investigación y fabric ac ión de mater iales piez oeléctr icos y c omponentes, PI Ceramic es el prov eedor de c las e mundial en alto r endimiento de componentes transductor es y actuador es piez oeléctr icos .. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en In g. Electrónica. Mayo del 2007. 4.

(13) Estudio m ultifísico de m icromotores piezoeléctrico s. Cap itulo 1. Fig. 2 Algunos micr omotores piezoeléctricos desarr ollados en la empr esa PI Cer amic Gmb H®, en las ofic inas pr incipales en Alemania. Tomado de [10]. La empr esa EDO Corporat ion® es una compañía fundada inicialmente en 1925 por el inv entor de los flo tadores de aluminio par a los hidroav iones, Earl Dodge Osborn (1893- 1988) que us o las iniciales de su nombre para cr ear esta nuev a c ompañía [11]. EDO Corpor ation® es uno de los más grandes prov eedores de mater iales piez oeléctr icos en Norte Amér ica. Des de 1958 han aprov isionado pr oductos basados en cerámicos para aplic aciones aeroespaciales y de defens a inc luyendo tr ans ductores ac ústic os submarinos y arreglos de sonar es par a la nav egac ión y c omunic ación de la Armada de los Estados Unidos en sus primer os contratos, ex plor ac ión de petr óleo en platafor mas c oster as y sís mic as, actuac ión y posic ionamiento industrial, y equipos médic os.. Fig. 3 Algunos micromotores piezoeléc tric os desarr ollados en la empr es a EDO Cer amic® en las ofic inas pr inc ipales en Salt Lake City, Utah, Es tados Unidos. Tomado de [11]. Finalmente, la empres a MicroPropulsion® es una compañía de consultor ía y desarrollo de pr ototipos. Fundado en 1999 por dos (2) gr aduados del MIT con un extenso conoc imiento en ingeniería mecánica, ingenier ía eléctr ica y cienc ias computacionales, Micr oPropuls ion® esta dedicada a s oluc ionar problemas de clientes a tr avés de un ex per to análisis y diseño. Sus últimos micr omotor es piezoeléctricos v istos fuer on des arrollados por la compañía en colaborac ión c on el MIT [12], que fuer on un micr omotor piez oeléctr ico “ thin-film” ( lámina delgada), y un motor piez oeléctr ico ultr asónico de 8mm de diámetr o.. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en In g. Electrónica. Mayo del 2007. 5.

(14) Estudio m ultifísico de m icromotores piezoeléctrico s. Cap itulo 1. Fig. 4 Algunos micr omotores piezoeléc tric os desarr ollados en la empr es a MicroPr opuls ion® en las oficinas principales en Ber keley, Califor nia, Estados Unidos . Tomado de [12].. 1.2. ESP ECIFICACIONES TECNICAS DE M UESTRAS REALES DE M ICROM OTORES PIEZO ELECTRICOS. Dentr o de las c ar acterísticas de funcionamiento y oper ación de los micromotor es piez oeléctr icos, és tas vienen definidas básic amente por las sgtes. cualidades, dependiendo si s on motores lineales o rotacionales. Sin embargo, para el interés de esta tes is, es nec esario conocer las cualidades básic as par a los motores rotacionales, como son: a) b) c) d) e). Veloc idad de rotac ión Torques mecánicos de salid a Voltaje y frecuenc ia de operación Corr ientes de alimentación Potencia mecánica de salida. Ahor a, en la empr esa Flexmotor ®, tienen has ta el momento tres (3) diferentes tipos de micromotor es piezoeléctric os, los cuales todos son motores rotacionales: De las r eferenc ias MM a MM10 [9] para motor es en miniatura y aplicaciones MEMS, y de las r efer enc ias M10 a M25 par a aplic aciones comunes. A quí se muestr an a continuación:. Fig. 5 Especificaciones técnicas para el modelo MM desarr ollado por la empr es a Flex motor®. Tomado de [9].. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en In g. Electrónica. Mayo del 2007. 6.

(15) Estudio m ultifísico de m icromotores piezoeléctrico s. Cap itulo 1. Fig. 6 Especific aciones técnicas para el modelo M10 desarrollado por la empr es a Flex motor®. Tomado de [9].. Fig. 7 Especific aciones técnicas para el modelo M25 desarrollado por la empr es a Flex motor®. Tomado de [9].. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en In g. Electrónica. Mayo del 2007. 7.

(16) Estudio m ultifísico de m icromotores piezoeléctrico s. Cap itulo 2. CAPITULO 2. Propiedades de los materiales piezoeléctricos 2.1. DESCRIPCION DEL EFECTO PIEZOELECTRICO. Los mater iales cer ámicos piez oeléctr icos pertenec en al grupo de materiales ferroeléctricos [13]. Los mater iales ferroeléctric os s on cris tales polares s in la pres encia de c ampo eléctr ico aplicado. Este es tado es también deter minado como polarización es pontánea. Las car acter ís tic as de este estado es su reversibilidad ter modinámicamente estable del eje de polariz ación bajo la influenc ia de un c ampo eléc tric o externo, descr ito gráfic amente por un laz o de histér es is.. Fig. 8 Histéres is ferr oeléctr ica. Un campo eléctr ico de oposic ión des polariz ará solamente al mater ial s i exc ede la fuerza coerc itiva. Un aumento poster ior al campo eléc tric o de opos ición conducir á a la r epolar iz ación, per o en la direcc ión opuesta. Tomado de [13]. Desde un punto de vis ta cristalogr áfic o, es tos materiales piez oeléctr icos exhiben la estr uctura cristalina de Perovskite. Esto se aplic a a una serie de compuestos químic os con tr es ( 3) tipos de átomos con una fór mula general de ABCx. Los princ ipales mater iales piezoeléctr icos cer ámicos usados hoy en día, el PbTiO3, y el PbZr O3, que son sintetizados a par tir de óxidos de plomo, del titanio y del zirconio. El BaTiO3 suele s er utilizado también, que s on óx idos del bario y del titanio.. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en In g. Electrónica. Mayo del 2007. 8.

(17) Estudio m ultifísico de m icromotores piezoeléctrico s. Cap itulo 2. Fig. 9 La es tructur a c úbic a ( paraeléctrica) y tetr agonal ( piezoeléctric a) del PZT y del BaTiO3 antes y después de que un campo eléctrico es aplicado, o una tensión mecánica ha tenido efecto. Tomado de [13].. 2.2. EFECTOS PIEZOELECTRICOS DIRECTO E INV ERSO. Para estos materiales, podemos exper imentar dos efectos bás ic os en el comportamiento de estos elementos: el efecto piezo direc to y el efecto pi ezo invers o. En el efecto piezo direc to, una fuerz a ex terna aplicada al material piez oeléctr ico induce desplazamientos positivos y negativos en el entramado del ele mento, que se manifiestan en momentos de dipolo modificados produciendo un c ampo eléctr ico que pone un potencial eléctr ic o en los electr odos aislados.. Fig. 10 El efecto piezo dir ecto se der iva c uando una fuerz a externa es aplicada, pr oduciendo un voltaje neto en el cilindr o piez oeléctr ico. Tomado de [13]. En el efecto piez o inv erso, la aplicac ión de un voltaje eléctr ico en un cuerpo piez ocer ámico libre no defor mado, produce una defor mac ión en el material. El movimiento de la defor mac ión es una función de la polar id ad del voltaje aplicado y de la dir ección del vector de polariz ac ión.. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en In g. Electrónica. Mayo del 2007. 9.

(18) Estudio m ultifísico de m icromotores piezoeléctrico s. Cap itulo 2. Fig. 11 El efec to piezo inverso se der iva cuando un voltaje eléctrico externo es aplicado, pr oduciendo una deformación mec ánic a en el cuer po piez ocer ámico. Tomado de [13].. 2.3. ECUACIONES PIEZOEL ECTRICAS CONSTITUTIV AS BASICAS. Las ecuaciones matemáticas constitutiv as que definen el comportamiento lineal de los mater iales piez oeléctr icos [7], pueden s er gener alizadas como: σ. Di = d ik ⋅ σ k + ε ik ⋅ E i (1) s k = d ik ⋅ Ei + S ik ⋅ σ k (2) E. Aquí se definen s eis ( 6) componentes de los vector es de esfuerzo mecánico: σx, σy, σz que son de tensión o de compr esión, y τ xy, τxz, τyz que s on las componentes de esfuerzo c ortante. También se definen s eis ( 6) componentes de los v ectores de deformac ión mec ánica: s x, s y, sz son de ex pansión o contracc ión, y γ xy, γ xz, γ yz s on las componentes de defor mac ión cor tante. El c ompor tamiento piez oeléctr ico de un mater ial puede ser c ompletamente descr ito por una s erie de ecuac iones matriciales que involucr an las c onstantes piez oeléctr icas (di k), las c onstantes elástic as ( Si kE) y las per mitividades ( εi kσ). En las sgtes. ecuaciones matr iciales , podemos relacionar estas ex pr esiones desde las ecuaciones dadas en ( 1) y (2), donde interv ienen las anter iores cons tantes matric iales menc ionadas como constantes piez oeléctr ic as (dik), las cons tantes elás tic as ( SikE) y las per mitiv id ades ( εi kσ) .. ⎡Dx ⎤ ⎢D ⎥ = ⎢ y⎥ ⎢⎣ D z ⎥⎦. ⎡ d11 ⎢d ⎢ 21 ⎢⎣ d31. d12 d 22 d 32. d13 d23 d33. d14 d 24 d 34. d15 d25 d35. ⎡σ x ⎤ ⎢ ⎥ σy d16 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ ε 11 ⎢σ z ⎥ d 26 ⎥⎥ ⋅ ⎢ ⎥ + ⎢⎢ε 21 τ xy d 36 ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ε 31 ⎢τ xz ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢τ yz ⎦⎥. ε 12 ε 22 ε 32. ε 13 ⎤ ⎡ Ex ⎤ ε 23 ⎥⎥ ⋅ ⎢⎢ E y ⎥⎥ (3) ε 33 ⎥⎦ ⎢⎣ Ez ⎥⎦. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en In g. Electrónica. Mayo del 2007. 10.

(19) Estudio m ultifísico de m icromotores piezoeléctrico s ⎡ sx ⎤ ⎢ ⎥ ⎢sy ⎥ ⎢ sz ⎥ ⎢ ⎥= ⎢γ xy ⎥ ⎢γ xz ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢γ yz ⎦⎥. ⎡ d11 ⎢d ⎢ 21 ⎢ d31 ⎢ ⎢ d41 ⎢ d51 ⎢ ⎣⎢ d61. d12 d 22 d 32 d 42 d 52 d 62. d13 ⎤ ⎡ S11 ⎥ ⎢S d23 ⎥ ⎡ E ⎤ ⎢ 21 d33 ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ S31 ⎥⋅ E + ⎢ d43 ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢ S41 ⎢E ⎥ d53 ⎥ ⎣ z ⎦ ⎢ S51 ⎥ ⎢ d63 ⎦⎥ ⎣⎢ S61. S12 S22 S32 S42 S52 S62. S13 S23 S33 S43 S53 S63. Cap itulo 2 S14 S 24 S34 S 44 S54 S 64. S15 S25 S35 S45 S55 S65. S16 ⎤ ⎡σ x ⎤ ⎢ ⎥ S 26 ⎥ ⎢σ y ⎥ ⎥ S 36 ⎥ ⎢ σ z ⎥ ⎥ ⋅ ⎢ ⎥ (4) S 46 ⎥ ⎢τ xy ⎥ S 56 ⎥ ⎢τ xz ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ S 66 ⎦⎥ ⎣⎢τ yz ⎦⎥. Hay que aclar ar que estas matric es son s imétric as ( Sik = S ki, di k = dki y εi k = εki) y reduc e de 45 tér minos difer entes incluy endo 21 cons tantes de elastic idad, 6 permitiv idades y 18 constantes piez oeléctr icas . Generalmente, los fabric antes de estos materiales ofrec en ciertas propiedades físicas bás icas , que están inter pr etadas en las anter iores ecuaciones cons titutivas.. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en In g. Electrónica. Mayo del 2007. 11.

(20) Estudio m ultifísico de m icromotores piezoeléctrico s. Cap itulo 3. CAPITULO 3. Comportamiento físico de las ondas acústicas superficiales (SAW’s) en los materiales piezoeléctricos 3.1. INTRODUCCION. Las ondas acústic as superficiales [14] han s ido us adas en la electr ónica por muchos años, notablemente en r es onador es de cuarzo que prov een altos valor es Q (factor de calidad mec ánic o), c omo r esultado de bajas pérdidas acús ticas. Un enor me rango de difer entes dispositivos fueron salie ndo, desde radar es pr ofesionales hasta sistemas de comunicaciones para áreas de usuar ios como TV’s, beepers y teléfonos c elular es. En general [15], una onda acústic a superficial (SA W) es una onda acústica viajando a lo largo de un mater ial que tiene alguna elas ticidad, con una amplitud que típicamente decr ece exponenc ia lmente con la pr ofundidad del subs trato del material utilizado. Los dis pos itiv os SAW son empleados en filtr os, oscilador es, y tr ansformadores basados en la trans ducción de las ondas acús ticas. 3.2. HISTORIA DE LOS DISPOSITIV OS SAW’s. La ex istenc ia del tipo básic o de las ondas acústicas s uperfic iales [14], en un material isotrópico, fue inicialmente demos trado por Lord Ray leigh (J. Strutt) en un documento hecho en el año de 1885, y entonces la onda ac ústica fue llamada a menudo la onda Rayleigh. Esta onda de gr an intens idad de cresta se propaga a lo lar go de una superficie plana en un medio espac ial, c on un movimiento de la partíc ula en el plano frontal ( el plano contenido en la superfic ie nor mal a la dirección de propagación), y con una amplitud que decr ece con la pr ofundid ad.. Fig. 12 Elementos de un dispos itivo SAW us ado como filtr o RF @ 1 GHz. Tomado de [16].. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en In g. Electrónica. Mayo del 2007. 12.

(21) Estudio m ultifísico de m icromotores piezoeléctrico s 3.3. Cap itulo 3. GENERACION, PROPAGACION Y DISTRIBUCION DE LAS ONDAS SAW’s. Cuando una onda Rayleigh se pr opaga sobr e una superficie de un material elástico, las partíc ulas de la superficie se muev en a lo largo de tray ector ias elíptic as [17] como s e indic a en la sgte. figura. Un arr eglo deslizador sobre el subs trato elástico es manejado por una fuerz a friccionante. El desliz ador esta pre-c ar gado, de modo que la fuerza friccionante pueda llev arlo a generar el movimiento sobre el material elástico.. Fig. 13 Movimiento de las partíc ulas s obre la superficie producida por una onda Rayleigh. Tomado de [17]. 3.4. M ODELAMIENTO FISICO DE LAS ONDAS SAW ’s. El tipo de ondas superficiales tomadas en cuenta para este análisis es la llamada onda Ray leigh [18], es dec ir s on ondas polariz adas en el plano frontal y se propagan en una s uperfic ie libr e a una velocidad menor que la onda elástica del volumen c ortante.. Fig. 14 Modelamiento de las ondas acústic as superficiales ( SA W’s). Tomado de [18]. El plano frontal es el plano atr av esado por la superficie del v ector unitar io normal y el vector de onda real k [18] (el plano x 1-x3 en la fgra. anterior). Podemos decir que, la amplitud del des plazamiento u decae exponencialmente con la pr ofundidad del substrato. En las ondas Ray leigh ver daderas, más del 90% de la energía total de la onda, s e c oncentra dentro de una longitud de onda en la superficie. Por tanto, el desplazamiento mec ánic o u c omo el potencial eléctr ico φ podr ían des aparecer cuando x3 tienda hac ia menos infinito (-∞).. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en In g. Electrónica. Mayo del 2007. 13.

(22) Estudio m ultifísico de m icromotores piezoeléctrico s. Cap itulo 3. Estas cons ider aciones nos llevan a obtener las sgtes. expr es iones para el desplaz amiento mecánic o y el potencial eléctrico para las ondas SAW`s [18]:. u i = u0 e − β kx3 e j( ωt − kx1 ) (7) Φi = Φ0 e − βkx3 e j (ωt − kx1 ) (8) Donde β mide la tasa de dec aimiento exponenc ial sobre el substr ato del material piez oeléctr ico, k es el número de onda, ω es la frec uencia angular.. 3.5. M ODELAMIENTO MATEM ATICO DE LAS ONDAS SAW’s. Usando la transformada de Fourier, debido a que las ondas SAW’s son usualmente exc itadas por una fuente IDT operando a una frec uencia fija ω > 0, cons ider emos que la soluc ión ar mónica en el tiempo [18] esta dada de la forma:. − jω t ⎤ u( x, t ) = ℜ ⎡ u (x )e (7) ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ − j ωt ⎤ Φ (x , t ) = ℜ Φ ( x )e (8) ⎢⎣ ⎥⎦ Donde las v ar iables u(x,t) y Φ(x,t) denotan los desplazamientos mecánicos y los potenciales eléctr ic os en función de la direcc ión de pr opagación en el eje x y en el tiempo, u(x) y Φ(x) representan las funciones de onda en dir ecc ión del eje x para los desplazamientos mecánicos y los potenciales eléctr ic os. La repr esentac ión ℜ() denota la parte r eal de la expr esión.. 3.6. SIM ULACIONES COM PUTACIONALES DE ONDAS SAW’s. Aquí se mues tra un es quema de simulación de un dis pos itivo SAW ’s [18], tomando un valor de λIDT = 40 um, y una frec uencia de operac ión de 100 MHz. La longitud del chip SAW’s es de tamaño cuadrado de 1.2 mm, y un espesor de 0.6 mm. Las simulaciones s e muestr an en el plano x1-x3 (plano frontal), y se asume que todas las var iable no dependen de la direcc ión x2. La temper atura de operación es de 20°C. El material piez oeléctr ico us ado es el LiNbO3 en un corte de 128° que es c omúnmente utiliz ado en tr ansductor es SAW ’s. La s gtes. figur as muestr an las amplitudes del potencial eléc tric o y de las ondas Rayleigh polar izadas. Las amplitudes del desplazamiento mec ánico, están dadas en la región de los nanómetros, mientr as que las amplitudes del potencial eléctrico están dadas en voltios.. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en In g. Electrónica. Mayo del 2007. 14.

(23) Estudio multifísico de micromotores piezoeléctricos. Capitulo 3. Fig. 15 Simulación de la onda SA W. Onda de potencial eléc trico (plano frontal) . Tomado de [18].. Fig. 16 Simulación de la onda SAW . Onda de desplazamiento mecánico (plano frontal) . Tomado de [18].. Fig. 17 Simulación de la onda SA W. Vector es de des plaz amiento mec ánico ocurr idos por la onda SAW. Tomado de [18].. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en Ing. Electrónica. Mayo del 2007. 15.

(24) Estudio multifísico de micromotores piezoeléctricos. Capitulo 4. CAPITULO 4. Motores piezoeléctricos ultrasónicos de onda viajera flexionante 4.1. CONVERSION DE ENERGIA ELECTROM ECANICA M ICROM OTOR PIEZOELECTRICO. EN. EL. Vemos que cuando un v oltaje eléc tric o es transfor mado en una defor mac ión mecánica a tr avés del material piez oeléctr ico, esto sucede porque los c ampos eléctr icos variables en el tiempo producen movimientos vibr atorios v ariables en el tiempo. Luego estas v ibrac iones de pequeña amplitud, cerc anas al or den de micrómetros ( ≅ µm), o hasta nanómetr os (≅ nm), son r ectificadas par a generar un movimiento unidir ecc io nal [19] a tr av és del acoplamiento friccionante vibrator io.. Fig. 18 Sistema de c onvers ión de ener gía en el micr omotor piezoeléctric o ultras ónic o. Tomado de [19]. La figura anterior tiene una fác il interpretación pr ocedente de sis temas elec tromecánicos de conversión de ener gía: Debido a que se establec e el efecto motor en el material piez oeléctr ico, s e aplic a a la entrada del material piez oeléctr ico un v oltaje eléc tric o definido a una cierta frecuencia de operac ión, de ac uerdo al modo de oscilación que se des ee obtener par a generar las vibrac io nes mecánicas y establecer un mov imiento osc ilator io ar mónico, mediante una onda viajera flex ionante y es tac ionaria. Luego, a través de la conv ers ión piezoeléctric a se obtiene unas defor mac iones mecánicas en el material, que por medio del acoplamiento friccionante, se gener a un mo mento de torsión mecánico (tor que mecánico de r otación), y una velocidad angular de rotación, que corr esponden a la potenc ia mec ánica de s alida.. 4.2. DESCRIPCION BASICA DEL FUNCIONAMIENTO DEL M ICROM OTOR PIEZOELECTRICO. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en Ing. Electrónica. Mayo del 2007. 16.

(25) Estudio multifísico de micromotores piezoeléctricos. Capitulo 4. Básic amente, los componentes pr incipales del micromotor piezoeléc tric o son el estator y el rotor [19]. El estator s e compone básicamente del material piez oeléctr ico, que esta encar gado de generar las vibrac iones mec ánicas de movimiento a trav és de la aplic ación de un voltaje alter no sinusoidal de entrada. Ahor a, el r otor se compone del mater ial enc ar gado de recibir esas vibrac io nes mecánicas de movimiento, recibiendo el efecto de ac oplamiento friccionante del estator, establec iendo el mov imiento rotator io en el motor.. Fig. 19 Pr oces o de funcionamiento básico del micromotor piez oeléc tric o ultras ónic o. Tomado de [19].. 4.3. M ODOS DE VIBRACION FLEXIONANT E EN LOS M ICROM OTORES PIEZOELECTRICOS. Dependiendo de la geometr ía de la estructur a, y de la for ma de exc itac ión del material (longitudinal, transv ers al, tors ional o modos flexionantes), pueden ser inducidos en la estr uctura las ondas estacionarias v iajeras SAW ’s con defor mac ió n mecánic a s obre la superficie del material. Us ando un ejemplo de las dimens iones de la geometr ía de la estr uctura [19], s obr e un anillo plano delgado (thin film flat ring) , de material PZT adherido a material acer o, c on las sgtes. dimensiones dadas: Un diámetr o externo (φext) de 8 mm, un diámetro inter no ( φint) de 5 mm, un espesor de la capa de PZT (thkp) de 195 µm y un espes or de la capa de acer o (thkh) de 820 µm. A continuac ión s e muestran los difer entes modos flexionantes o modos de vibrac ión que pr esenta la estruc tura, de ac uerdo a esta geometría entregada:. Fig. 20 Simulación por elementos finitos de un anillo plano delgado compuesto, mostr ando los modos de for ma y las frecuenc ias naturales. Tomado de [19].. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en Ing. Electrónica. Mayo del 2007. 17.

(26) Estudio multifísico de micromotores piezoeléctricos 4.4. Capitulo 4. VIBRACION LIBRE EN ANILLOS PLANOS DELGADOS. La v ibrac ió n de anillos , membranas, platos y discos fue estudia da por el Lord Rayleigh and Kirc hoff en el siglo XIX [19], y la ec uación de mov imiento de vibrac ió n libr e en un anillo plano fue for mulada c omo:. ∂2 w Eh 2 2 2 ∇ ∇ + ρ = 0 (9 ) w 3(1− υ 2 ) ∂t 2 Donde. ∂2 1 ∂ 1 ∂2 ∇ = 2+ + r ∂r r 2 ∂θ 2 ∂r 2. Dado par a el s istema de coordenadas cilíndricas (r ,θ,z) que per miten descr ibir esta ecuac ión, tal como s e v e en la fig . 20. Aquí en es tas ecuaciones, v emos que w es la deflex ión transv ersal en el anillo delgado en la dir ecc ión z, E es el módulo de Y oung del material, h es el distancia neutr al de vibr ación transv ersal en el anillo delgado (corres ponde a la mitad del es pesor) , ν es la tasa de Poisson´s, y ρ es la dens idad de masa del material. La s oluc ión a este pr oblema de vibración libre sobr e anillos planos delgados esta dada c omo:. w(r, θ , t ) = A(r) cos(nθ )e jωt. ( 10). donde los modos de for ma y las func iones transcendentales en la dirección θ con un factor de escalamiento A(r) . Coloc ando esta solución en la ecuac ió n de movimiento libre, intr oduc imos las for mas de las funciones de Bessel para A(r), asi: A(r ) = C1 J n ( βr ) + C 2Y n (β r ) + C 3 I n ( βr ) + C 4 K n ( βr ) Donde. β4 =. (. 3ρ 1 − ν 2 2 Eh. ). (11). Además, las func iones Jn y Yn s on llamadas func iones de Bessel, y las funciones In y Kn s on llamadas func iones de Bessel modific adas. Debido a que el estator de nuestr o motor tiene condic iones de fronter a librelibre en los diámetros interno y exter no del disco anular delgado, y la dimens ión radial con el r otor es muy corta, podemos asumir que la var iación r adial de la vibrac ió n de amplitud es c onstante, y podemos asumir que el disco anular delgado como una v iga Ber noulli-Euler infinitamente larga [19] capaz de sostener ondas viajer as estacionar ias.. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en Ing. Electrónica. Mayo del 2007. 18.

(27) Estudio multifísico de micromotores piezoeléctrico s. Capitulo 4. Fig. 21 Visualizac ió n del 4to. modo lambda ( 4λ) de vibrac ión en el anillo plano delgado, as í como el modelo de viga Ber noulli-Euler par a el anillo plano delgado en su 4to. modo de v ibr ación flex ionante. Tomado de [19]. 4.5. FRECUENCIAS NATURALES Y V ELOCIDADES DE O NDA. Para una v iga con des plazamiento transv ersal w, densidad de masa por unidad de longitud ρ , con módulo de Young`s del mater ial E, mo mento de inercia de sección transv ersal I, y área de secc ión tr ansv ers al A, la ec uac ión de movimiento de libr e v ibrac ión flexionante [19] en una viga es:. ∂4 w(x ,t ) ρ A ∂ 2 w( x, t ) + = 0 (12) 4 2 ∂x EI ∂t Esta ec uac ión pres enta una s olución de la for ma:. w( x, t ) = W ( x) e jω t (13) con c ondic iones de frontera sostenida (“ pinned”) en los nodos donde la onda estacionaria pr es enta L = λ/2. Esto se deduc e porque las condiciones de frontera son:. W ( x = 0) = W (x = L) =. ∂2W ∂ 2W ( x = 0) = (x = L ) = 0 ∂x 2 ∂x2. Tomando los modos de for ma de res onancia de la estructura W(x) como una forma s inus oidal, tenemos que:. W ( x) = C1 sin(kx) (14) donde k es el número de onda. Además sabemos que:. k=. 2π. λ. =. ω cT. (15). donde λ es la longitud de onda de la onda viajer a flex ionante, w es el desplaz amiento transv ersal en el anillo plano delgado, y cT es la v eloc id ad de la. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en In g. Electrónica. Mayo del 2007. 19.

(28) Estudio multifísico de micromotores piezoeléctrico s. Capitulo 4. onda transv ersal flexionante. Par a una viga en condiciones de fronter a “pin nedpinned” (sostenida-sos tenida), sabemos que: k=. nπ (16) L. Adic ionando la soluc ión de la ec uac ión de movimiento, enc ontr amos que la relac ión de dis persión [19] es:. k 4 = ω2. pA (17) EI. De la solución de la ecuación de movimiento, podemos encontrar la frec uencia natur al por medio de la r elac ión de dis persión, descrita así:. ⎛ nπ ⎞ EI (18) ⎟ ⎝ L ⎠ ρA. ωn = ⎜. Donde ω n es la frecuenc ia natur al, que en este cas o, c orresponde al 4to. modo de v ibrac ió n flexionante en el anillo plano delgado. Finalmente, vemos que la veloc idad de las onda flexionante viajer a es dependiente de la frec uencia de excitación, y esta dada por la sgte. expr es ión: cT =. 4.6. ω = k. ω 4. ω2. pA EI. = ω4. EI (19) ρA. ONDAS VIAJERAS Y M OVIMIENTOS ELIPTICOS. La v eloc idad de la onda puede ser justamente descr ita c omo la veloc idad de fase de la onda viajer a flexionante a lo lar go del eje neutral de la viga [19]. Sin embargo, para una viga de espes or medio h, los puntos sobre la superficie descr iben tr ay ectorias elípticas . Por eso, acoplando es te movimiento al r otor, se produce una veloc idad de rotor difer ente a la velocidad de la onda. Puede s er mostrado que par a la solución de la onda viajer a [19] es : w( x, t ) = w0 cos( kx − ωt ) ( 20). Donde w (x,t) es la solución de la onda viajer a para el desplazamiento transvers al en func ió n del espacio (dir ecc ión del eje X) y del tiempo, w 0 es el máximo desplazamiento tr ansv ers al de la onda v iajera, k es el númer o de onda, y ω es la frec uencia angular mecánica en la v iga flex ionante.. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en In g. Electrónica. Mayo del 2007. 20.

(29) Estudio m ultifísico de m icromotores piezoeléctrico s. Capitulo 4. Fig. 22 (a) Para una viga en flexión, la onda viajera es la solución de la ecuac ión de onda. ( b) Un material por tador en el r otor pr esionado s obre es ta viga infinita es propulsado por fricción en la direcc ión opuesta a la onda viajera. Tomado de [19]. Para un punto P que se mueve en la superficie de la viga, debe moverse con desplaz amiento horiz ontal, ζ, y des plaz amiento v ertic al, ξ, donde:. ξ = w0 cos(kx − ωt) ( 21). ζ = hkw0 sin( kx − ωt) =. 2πhw0. λ. sin (kx − ωt) (22). La velocidad del desplazamiento horizontal en un punto s obr e la superficie de la viga es:. vh =. ∂ζ 2πωhw0 =− cos (kx − ωt) ( 23) ∂t λ. Donde esta as egura su máximo v alor en el pico de la deflexión contactando con el rotor . Asumiendo que no hay desliz amiento entre el es tator y el rotor, el rotor es pr opuls ado en la dir ección opuesta de la onda v iajera, a la velocidad de:. v h ,max = −. 2 πωhw0 λ. ( 24). Esta máxima v elocidad hor izontal es simplemente la velocidad nominal del motor, es decir, la velocidad en vac ío (sin car ga) del motor. Nótes e que es muy difer ente a la velocidad de fase, cT , de la onda v iajer a:. cT =. ω EI = ω4 ( 25) k ρA. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en In g. Electrónica. Mayo del 2007. 21.

(30) Estudio m ultifísico de m icromotores piezoeléctrico s. Capitulo 4. La figur a 22 (b) muestra el mov imiento elíptico r etr ogr ado en la superficie del estator tal que la onda viajer a se muev e hacia la der echa. La v elocidad angular del r otor es:. ωrotor , max =. vh, max. ( 26). r. Donde r es el radio de la circ unferencia del rotor que hace c ontacto con el estator. Comparando esta v eloc id ad del rotor , con la frec uencia de vibrac ión, encontr amos que:. ωrotor,max 2 πhw0 =− ω λr 4.7. ( 27). M ODELAM IENTO M ECANICO DEL ESTATOR. Podemos modelar nues tro estator como una viga compuesta de la manera ilustr ada en la figura 21. Así es, para la calculac ión de las frec uencias natur ales [19] s on:. ⎛ nπ ⎞ ωn = ⎜ ⎟ ⎝L ⎠. 2. EI ρA. Donde podemos modelar que el término de r igidez elástica o “stiffness”, EI, como la rigidez elástic a equivalente de la viga compues ta, as í como el tér mino de dens idad de masa por unidad de longitud, ρ A, como la c ontribución de la dens idad de masa por unidad de longitud equivalente de la viga c ompuesta. La viga es c onsiderada como una es truc tur a compues ta de material piez oeléctr ico y de metal, una estr uctura monomorfa, donde el espes or de la viga es la suma del es pes or del material piez oeléctr ico, y del espes or del material de metal, hp + hb , la longitud de la viga es L = λ/2, y la pr ofundidad de la viga es b. El momento de inerc ia de secc ión tr ansvers al, I, es medido con respecto al eje neutral de la viga. La localizac ión del eje neutral es la distancia desde la c apa inferior del material piez oeléctr ico, g, c alculada c omo una fracción del es pesor del material piezoeléc tric o, y deter minada por los módulos de elasticidades (“s tiffnesses”) de c ada mater ial:. g = hp. c 1+ m cp. 2. ⎛ hb ⎞ c ⎜ ⎟ +2 m ⎜h ⎟ cp ⎝ p⎠ ⎛ c h ⎞ 2⎜1 + m b ⎟ ⎜ c h ⎟ p p ⎠ ⎝. ⎛ hb ⎜ ⎜h ⎝ p. ⎞ ⎟ ⎟ ⎠. ( 28). Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en In g. Electrónica. Mayo del 2007. 22.

(31) Estudio multifísico de micromotores piezoeléctricos. Capitulo 4. Donde, cm es el módulo elástico de la capa de metal, y cp es el módulo elástico de la capa del material piezoeléctrico (igual a 1/sE11 en la notación piezoeléctrica convencional por medio de las definiciones de las propiedades de los materiales).. Fig. 23 (a) Una lámina delgada de pegamento es usada para juntar el electrodo ferroeléctrico en la parte inferior del anillo plano delgado de acero. (b) El proceso de polarización por alto voltaje (“poling”) alinea los dominios para crear una polarización remanente. (c) Después de la polarización, dos grupos de electrodos son conectados como se muestra en la parte inferior de la figura con pintura plateada, y los cables son soldados en el lugar. Tomado de [19]. Ahora, antes de proceder a la aplicación del voltaje de polarización sobre los electrodos del estator, debemos tener en cuentas las consideraciones respecto al voltaje de breakdown, así como las restricciones por máximas energías de trabajo sobre el motor, para evitar que la microestructura se destruya por exceso de energías debidamente no orientadas en el material para su correcto funcionamiento. Según la ley de Paschen, se afirma que a altas presiones atmosféricas, las características de voltaje de breakdown a través de un espesor entre dos electrodos, es una función (generalmente no lineal) del producto de la presión atmosférica y de la distancia entre los electrodos. Es decir que V = f(Pd), donde P es la presión atmosférica del gas y d es la distancia entre los electrodos.. Pd-min_bd. Fig. 24 Curva de Paschen para “aire”, determinando el voltaje de breakdown a través de los electrodos de potencial. Tomado de [20].. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en Ing. Electrónica. Mayo del 2007. 23.

(32) Estudio multifísico de micromotores piezoeléctricos. Capitulo 4. Los v alores para deter minar en la curv a de Pasc hen, es buscar el míni mo voltaje de br eakdow n, de tal manera que s e tiene que: V min_breakdow n = 385 V Pd_min_br eakdow n = 0.7 mmHg*c m Esto significa que se puede calcular el máx imo campo eléc trico que s e debe suministr ar a una par de electr odos c uando es tán separ ados a una distancia míni ma por un medio ais lante o dieléctr ico, en este c aso, el aire. Por ej., a una pres ión atmosféric a de 1 atm ( 760 mmHg), el máx imo campo eléctr ic o es de 41.8 x 106 V/m. Sin embar go, par a los materiales piezoeléc tric os, v emos que estudios realizados por Gerson and Mars hall [19] sobr e fuerz as eléctr ic as de r uptur a de material vs. es pes or en muestr as volumétricas de materiales PZT, llev ar on a encontr ar una r elac ión empír ica que describe la curv a mostr ada a continuac ión:. E breakdown = 27.2h p. − 0. 39. ( 29). Donde Ebrea kdo wn es la intens idad del campo eléctr ico de r uptura, esta dado en kV/cm, y hp es el espesor del material piez oeléctr ico, esta dado en cm.. Fig. 25 Gr áfic a de campo eléctric o de ruptur a vs. espesor en mater iales PZT. Tomado de [19]. Recor demos además, que la dens id ad de energía eléc trica almac enada de entrada en un motor piez oeléctr ico esta dado por:. u piezo ,input =. 1 ∈0 ∈ pzt E 2 (30) 2. Donde el campo eléctric o E es ta limitado por el c ampo eléctr ic o de r uptura, Ebre akdo wn , par a limitar as í la máx ima dens idad de ener gía eléctrica almac enada por unidad de volumen. A hor a, s i quis iér amos obtener la ener gía eléctr ic a total almac enada, s implemente integramos sobre el volumen r equerido, obteniendo as í la sgte. expres ión:. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en Ing. Electrónica. Mayo del 2007. 24.

(33) Estudio multifísico de micromotores piezoeléctrico s. U piezo , input =. Capitulo 4. 1 2 ∫vol 2 ∈0 ∈pzt E dv ( 31). Después del pr oc eso de fabricación del anillo monomorfo piez oeléctr ico, luego aplicamos un voltaje de c ontr ol sobre los elec trodos, causando que los segmentos vecinos que están polar izados hacia arr iba y abajo, se expanden y contraen res pectiv amente en la dir ecc ión 1 (eje X, usando la constante d31 del efecto motor), llev ando a la estructur a a doblarse en bucle. Los voltajes de control osc ilatorios cerc anos a la frecuencia de resonancia forzan a la estr uctura a vibr ar con la máx ima amplitud en ondas estacionarias.. Fig. 26 Un motor de onda v iajera flexionante de 4λ con s eis ( 6) electrodos λ/2 polariz ados alt er nadamente y cuatr o (4) segmentos λ/4 de espaciamiento. Tomado de [19]. Los elementos piez oeléctr icos s on dis eñados de maner a que s e induzc a el 4to. modo de v ibrac ió n flexionante ( 4λ flex ur e mode), tal como s e muestr a en la figur a 26. Así, vemos que s i dos ( 2) elec trodos vecinos cr ean una longitud de onda del 4to. modo flexionante, ocho (8) electr odos s on requeridos para un motor de 4 λ ( 4to. longitudes de onda). Debemos tener en cuenta que c ada sección del patr ón de electrodos deben estar separ ados por la misma c antidad tanto en el espacio como en el tiempo, es decir en 90 gr ados, obteniendo c omo resultado que la ondas viajeras estacionar ias que se mueven en sentido positivo se refuerz an, y eliminando las ondas viajer as estac ionar ias que se muev en en sentido negativ o, dando una única onda viajera estac ionaria en sentido pos itiv o en el estator.. 4.8. DEFLEXIONES ESTATICAS Y DINAM ICAS EN EL ESTATOR. En or den de inves tigar la deflex ión dinámic a de la viga, tenemos que comenzar con el análisis de la deflexión estática de la viga debido a la excitac ión piez oeléctr ica [19]. Podemos examinar una secc ión de longitud L = λ/2 modelada c omo una v iga simplemente soportada.. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en In g. Electrónica. Mayo del 2007. 25.

(34) Estudio multifísico de micromotores piezoeléctrico s. Capitulo 4. Después de enc ontr ar la deflexión estátic a de la v iga, la magnitud de la deflex ió n en la frecuencia de r esonanc ia puede ser calculada multiplic ando el valor de la deflexión estátic a por el fac tor de amplificación dinámica de la v iga compuesta. El f actor de amplificac ión dinámic a [19] de una estr uctura monomorfa compues ta es el factor de calid ad del mater ial piez oeléctr ico multiplic ado por la r elac ión de energías de deformación de cada uno de los materiales.. Fig. 27 a) Una s ecc ión de longitud L = λ/2 del estator es modelado como una viga s implemente soportada en ambos extr emos. b) Con la polar iz ación y el campo eléctric o orientados en la dirección 2 (eje Y), la estr uctur a monomorfa podr ía c urvarse como es mostrado en la figur a. Tomado de [19]. Para enc ontrar la deflex ión estátic a, sabemos que en equilibr io estático, las ecuac io nes de balanc e del momento y de la fuerz a llev an a la determinac ión de la curvatur a en tér minos de los esfuerz os y defor maciones , que pueden ser entonces tomadas en la deflexión de la v iga, de ac uerdo a las c ondiciones de frontera apr opiadas. Realmente nos inter esa es la magnitud de la deflexión en el punto medio (x = L/2).. Fig. 28 El r adio de curv atur a, p k, debido al momento de flexión c aus ado por la contracción del material piezoeléctrico. Tomado de [19].. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en In g. Electrónica. Mayo del 2007. 26.

(35) Estudio multifísico de micromotores piezoeléctrico s. Capitulo 4. La figur a 28 ilustra la distribución del esfuerzo en la dir ección X, T1( y), actuando en las c aras de la v iga en la dir ección X [T1(y) es la notac ión de matr iz reducida Txx(y)] donde la viga ha estado s ujeta a flexión c on un radio de curvatur a, p k. A lo lar go del eje neutral de la v ig a no defor mada de longitud ds, tenemos que:. pk dφ = ds ( 32) Para pequeñas deflexiones, podemos tomar la s gte. aproximación matemática como:. dφ dφ 1 d 2w ≈ = = (33) ds dx pk dx 2 Donde dx es la longitud del eje neutral en el estado inicial no defor mado en la dir ecc ió n X [19], y el inverso del radio de curv atura, 1/pk , es igual a la s egunda deriv ada de la deflexión w (x) de la v iga. Un elemento de línea de longitud difer enc ial a una distancia y- g desde la localizac ión del eje neutr al, g, ex hibe una deformación de la for ma: S1 ( y ) =. ∆L y − g = L pk. Donde S1(y) es la c omponente de defor mación en la dirección X ac tuando sobr e la cara normal al eje X [S 1(y) = S xx(y)]. El balance del momento r equier e que la distribución del esfuerzo, T1(y), multiplic ado por el mo mento del br azo e integrándolo s obre el área de secc ión transvers al de la viga sea cero, teniendo en cuenta que no existen mo mentos aplicados externamente ni fuerz as actuando en la estructur a: M = 0 = b ∫ ( y − g )T1 ( y)dy y. La distr ibuc ión del esfuerz o sobr e las car as de la viga c ompuesta en la dir ecc ió n X debido al campo eléctr ic o aplicado en la dir ección Y es: T1 ( y ) = c E ( y )S1 ( y) − e21 ( y )E 2. La matr iz c ons tante de esfuerz o piezoeléctrico, e, es r elac ionada por medio de la matr iz cons tante de deformación piez oeléctr ica y la matr iz constante de rigidez elástica como:. e = dc Tomando c omo:. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en In g. Electrónica. Mayo del 2007. 27.

(36) Estudio m ultifísico de m icromotores piezoeléctrico s. Capitulo 4. e21 ( y) = d21( y)c( y) Los resultados en la distr ibuc ión del esfuerzo son de la for ma:. T1 ( y) = c( y)S1 ( y) − d 21 ( y)c( y)E2 Donde c(z) y d21(z) son funciones de pas o unitar io par a los materiales de interface: ⎧⎪c m h p < y < h p + hb c( y ) = ⎨ ⎪⎩c p 0 < y < h p ⎧⎪ 0 h p < y < h p + hb d 21 ( y) = ⎨ ⎪⎩ d 2 1 0 < y < h p. Sustituyendo la ex pres ión de S1(y) en la ex pr esión de T1(y) , tenemos que: ⎛ y− g⎞ T1 ( y ) = c( y ) ⎜ ⎟ − d 21 ( y )c( y )E2 ⎝ pk ⎠. Reemplazando la ex pres ión de la dis tribución del esfuerz o en la ec uación del balance del momento, obtendremos que: 2 ⎡ ⎤ y − g) ( M = 0 = b ∫ ⎢c ( y) − ( y − g ) d 21 ( y )c ( y) E2 ⎥dy pk ⎥⎦ y ⎢ ⎣. Soluc ionando esta ex presión par a el r adio de c urvatur a y notando que el segundo tér mino en la in tegr al exis te solamente en la capa de material piez oeléctr ico, entonc es enc ontr amos que: hp ⎫ ⎧ ⎪ ⎪ y g dy ( ) − ∫0 ⎪ ⎪ 1 = d 21 c p E 2 ⎨ h ⎬ h + h p p b pk 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ ∫ c p ( y − g ) dy + ∫ c m ( y − g ) dy ⎪ hp ⎭ ⎩0. Realizando los proces os de integr ación s imbólic a, y enc ontr ando el radio de curvatur a en tér minos de los es pes or es y de los módulos de elasticidad de los materiales, tenemos que:. 1 1 = d 21c p E2 pk rk. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en In g. Electrónica. Mayo del 2007. 28.

(37) Estudio m ultifísico de m icromotores piezoeléctrico s. Capitulo 4. Donde el parámetr o 1/rk es un parámetro de curvatura, con dimensiones en el sistema MKS c omo metros/New tons [m /N], que esta dado c omo: hp. 1 = rk. ∫ ( y − g ) dy hp + hb. ∫ c (y − g ) p. 2. dy +. 0. ∫. cm ( y − g ) dy 2. hp. hp 1 = rk. ( 34). 0 hp. 2. 2. − gh p. 3 ⎡h 3 ⎤ ⎡ (h + hb )3 ⎤ h − (h p + hb )2 g + g 2 (h p + hb ) − p + h p 2 g − g 2 h p ⎥ c p ⎢ p − h p 2 g + g 2 h p ⎥ + cm ⎢ p 3 3 ⎢⎣ 3 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦. Podemos r esolver par a la deflexión estática de la viga, w(x), des de la r elac ión curvatur a-desplaz amiento transv ersal, dada como:. 1 d 2 w (x ) 1 = = d 21c p E 2 2 pk dx rk Ahor a, tomando las condic iones de frontera par a una viga simplemente soportada en ambos extremos, dadas así:. w( x = 0) = 0 w( x = L) = 0. d 2w d 2w x ( = 0 ) = (x = L) = 0 2 2 dx dx. Al realiz ar el pr oc eso de integr ación s imbólic a de nuev o, enc ontramos que el desplaz amiento transv ersal, enc ontramos que:. (. 1 1 2 w( x) = d 21c p E 2 x − Lx rk 2. ). Obteniendo el res ultado de la deflexión estática en el punto medio (x = L/2), esta dado c omo: L⎞ 1 L2 ⎛ wmax ⎜ x = ⎟ = − d 21c p E2 2⎠ 8 rk ⎝. ( 35). Como el campo eléc tric o es igual al v oltaje aplic ado, V 2, div idido entre el espes or del material piezoeléctrico, podemos tener una ex presión par a la deflex ió n estátic a de la v iga en términos del v oltaje aplic ado: ⎛ L⎞ 1 d 21 c pV 2 L2 wmax ⎜ x = ⎟ = − 2⎠ 8 hp rk ⎝. (36). Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en In g. Electrónica. Mayo del 2007. 29.

(38) Estudio m ultifísico de m icromotores pie zoeléctrico s. Capitulo 4. Ahor a, lo que en realidad in teres a, sin embar go, es la magnitud de la deflex ión dinámic a en el es tator en la frec uenc ia de res onanc ia. En la frecuencia de resonanc ia, el sistema es ta amortiguadamente contr olado y dependiente de las pérdidas fís icas en los mater iales. El resultado de la deflex ión dinámica es igual a la deflex ión estática de la v iga multiplicado por el fac tor de amplificac ión dinámic a [19], o factor de calidad, Q . Las c aracter ísticas del amortiguamiento de un sistema están expresadas en tér minos del factor de pér didas, η, donde: 1. Q=. ( 37). η. Para una estructur a c ompuesta tal c omo la viga monomorfa pr esentada aquí, el factor de la estr uctura completa puede ser ex presado en términos del factor de pérdidas del material piezoeléc trico multiplicado por la r elación de las energías de defor mac ión [19] del mater ial piezoeléctrico y de la estr uctura monomorfa completa, as í:. η mono = η piezo. U piezo ,strain. (38). U mono ,strain. Donde la energía de defor mación almac enada en el modo flex ionante, Us train, esta definida c omo la integr al sobre el volumen definido de la dens idad de la ener gía de deformación, así: 1 2. U strain = Lb∫ S1 ( y)T1 ( y)dy ( 39) y. Sustituyendo las ex pres iones par a los esfuerz os y defor mac iones para la ener gía flexionante, es ta dado como: 2. U strain. ⎛ y− g ⎞ 1 ⎟⎟ dy (40) = Lb∫ c( y)⎜⎜ 2 y ⎝ pk ⎠. Resolviendo s obre c ada uno de los espesor es de los materiales en la integr ación, res ulta que la energía de deformac ión almacenada ( en Joules) en el mater ial piezoeléctrico esta dada como:. U piezo ,strain =. (. 2. 2. 1 Lbc p d21 c p E2 2 rk 2. 2. ) ⎡h. ⎤ − h p 2 g + g 2 hp ⎥ (41) ⎢ ⎢⎣ 3 ⎥⎦ 3. p. Ahor a, la energía de defor mación almac enada para toda la estr uctura monomorfa compuesta, esta dada c omo:. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Ma estría en In g. Electrónica. Mayo del 2007. 30.

(39) Estudio multifísico de micromotores piezoeléctrico s. U mono,strain. (. 2 2 2 1 Lb d 21 c p E 2 = 2 rk. ) ⎛⎜ h. Capitulo 4. ⎞ − gh p ⎟ (42) ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ 2. p. El factor de pérdidas para la estr uctura c ompleta monomorfa es entonces calculado c omo:. η mono = η piezo. ⎞ c p ⎛ hp 3 2 ⎜ − hp g + g 2 h p ⎟ ⎟ rk ⎜⎝ 3 ⎠ 2 ⎞ ⎛ hp ⎜ − ghp ⎟ ⎟ ⎜ 2 ⎠ ⎝. ( 43). Por tanto, el factor de amplificac ión dinámica s e puede deducir como:. Q mono = Q p Q = Q p. ⎞ ⎛ hp2 ⎜ − gh p ⎟ ⎟ ⎜ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎞ c p ⎛⎜ h p − h p2 g + g 2hp ⎟ ⎟ rk ⎜⎝ 3 ⎠. (44). Donde Qmo no es el fac tor de calidad mec ánic o de la v iga monomorfa, Qp es el factor de c alidad del material piez oeléctr ico, y Q es el factor de amplificac ión dinámic a.. 4.9. M ODELAM IENTO DE LAS INTERACCIONES DE CONTACTO ENTRE EL ESTATOR Y EL ROTOR. Dentr o de los mec anismos de contacto existentes par a el modelamiento del acoplamiento fricc ionante entre el estator y el rotor, tal que per mita descr ibir las condiciones de interfaces entre el rotor y el estator, tenemos que ignorar los difer entes efectos de s uperfic ies como aspers iones, dur ezas y humedades. Podemos ver que, para un voltaje de excitac ión dado y una fuerza nor mal aplicada, esté puede proveer un c onjunto de puntos de oper ación de tor queveloc idad par a que el motor pueda func ionar, dependiendo de la c arga manejada. La velocidad en v acío (sin car ga) y el torque de sostenimiento prov een dos puntos de operac ión sobre la c urva caracter ístic a tor queveloc idad, per o también s e podr ía conocer la relación de velocidad y tor que en deter minados puntos de oper ación determinando. Los dif erentes mecanismos de contacto es tán sujetos a diferentes leyes de contacto, las cuales modelan las c urvas c arac ter ísticas de tor que-velocidad. En tér minos de las ley es de fricción, el c oeficiente de fricc ión describe las relac iones entr e las superficies de inter acción ( estator-rotor) , y como las fuerzas son trans mitidas alrededor del ár ea de contacto. Podemos tener básic amente dos ley es de fricc ión utilizadas [19]: La l ey de línea de c ontacto. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en In g. Electrónica. Mayo del 2007. 31.

(40) Estudio multifísico de micromotores piezoeléctrico s. Capitulo 4. según la fricción de Coul omb, y la ley del ár ea de c ontacto según la fricción de Coulomb.. Fig. 29 a) Para cada fuerza nor mal aplicada FN, y volt aje de excitac ión V , podr íamos tener una c urva caracter ístic a que relacione la v elocidad de r otac ión con el torque mec ánico. b) Par a un v oltaje de excitación aplic ado, obtenemos difer entes c urvas par a la velocidad en v ac ío (s in c arga), enc ontrando una relac ió n entre velocidad en vac ío y la fuerza nor mal aplicada. Tomado de [19].. 4.9.1 LEY DE LINEA DE CONTACTO SEGÚN FRICCION DE COULOM B La ley de línea de contacto s egún fricc ión de Coulomb define que s e tiene un estator r ígido sobr e una línea de contacto de rotor r ígido. En esta ley, se definen algunas gráfic as que descr iben esta ley así:. Fig. 30 Diagrama de cuerpo libr e del r otor y el estator modelando una línea de contac to, as i como el perfil de velocidad de la tr ayectoria elíptica retrógrada, junto con la componente de velocidad hor izontal. Tomado de [19]. Podemos ver que las v ariables mostr adas en la figur a 30 del diagr ama de cuer po libr e son: RA es la fuerz a normal de reacc ión del estator, FT es la fuerza friccionante de arras tre, FB es la fuerz a de bloqueo o de frenado (c arga coloc ada), y FN es la fuerz a nor mal sobre el r otor. La carga más alta que puede ser aplic ada sin des liz amiento es igual a:. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en In g. Electrónica. Mayo del 2007. 32.

(41) Estudio multifísico de micromotores piezoeléctrico s. Capitulo 4. FT = µ s F N ( 45) Después que el desliz amiento es iniciado, la fuerz a de fricc ión lle ga a ser:. FT = µd FN ( 46) Donde µs y µd s on los c oefic ientes de fricc ión estático y dinámico respectiv amente, entr e los materiales que forman las superficies de c ontacto entre el estator y el rotor. Recor demos que los desplazamientos v erticales y horiz ontales oc as ionados por la trayector ia elíptica r etr ogr ada son:. ξ = w0 cos(kx − ωt ) 2πhw0 ζ = sin(kx − ωt ) λ La v eloc idad hor izontal en un punto de la s uperfic ie es la derivada del desplaz amiento horiz ontal respecto al tiempo:. υh =. 2πω hw0 ∂ζ =− cos (kx − ωt ) ∂t λ. Para es te c aso, la velocidad hor izontal es máx ima en un punto de la superficie, y esta dada por:. υh ,max = −. 2πωhw0. λ. Debido a es to, la veloc idad del rotor podr ía s er constante e in dependiente de la carga, y de un v alor de:. ω rotor =. υ h ,max r. =. 2πωhw0 λr. (47). El tor que mec ánic o desarr ollado por el motor ser á c onstante, y ser á dado como:. τ rotor = µ d FN r (48) La potencia mecánica des arr ollada por el motor estar á dada como:. ⎛ 2πωhw0 ⎞ Pmech = τ rotor ωrotor = (µ d FN r )⎜ ⎟ ( 49) ⎝ λr ⎠. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en In g. Electrónica. Mayo del 2007. 33.

(42) Estudio multifísico de micromotores piezoeléctrico s. Capitulo 4. 4.9.2 LEY DE AREA DE CONTACTO SEGÚN FRICCION DE COULOM B La ley de ár ea de contac to s egún fricción de Coulomb defin e que se tiene un estator r ígido sobr e un ár ea de contacto de rotor flexible. En esta ley, se definen algunas gráfic as que descr iben esta ley así:. Fig. 31 Diagrama de c uer po libre del rotor y el estator modelando un área de contac to, asi como el perfil de velocidad horizontal en el área de contacto en diferentes puntos de la superficie por la fuerza de penetr ación. Tomado de [19]. Donde las var iables mostradas en la figura 31 del diagrama de c uerpo libre son: p(x) es la distr ibución de pr es ión s obre el ár ea de c ontac to, FT es la fuerza friccionante de arras tre, FB es la fuerz a de bloqueo o de frenado (c arga coloc ada), y FN es la fuerz a nor mal sobre el r otor. La fuerz a nor mal es la integral de la dis tribución de pr es ión sobre el área de contacto es ta dada como: x0. FN =. ∫ p( x) dx. (50). − x0. La fuerz a friccionante por fricción de Coulomb esta dada c omo:. FT = −µd. x0. ∫. − x0. ∆υ ( x) p( x)dx (51) ∆υ ( x). Donde:. ∆υ (x) = υ stator( x) −υ rotor (52). υstator ( x) = υ h,max cos(kx − ωt ) (53) Dependiendo s i es mayor la longitud de contacto neta del estator sobr e el rotor, tendr emos que mayor es la fuerz a nor mal aplicada s obre el rotor , y por ende se cons igue un mayor torque de sostenimiento en el motor .. Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en In g. Electrónica. Mayo del 2007. 34.

(43) Estudio multifísico de micromotores piezoeléctrico s. Capitulo 4. Ahor a, de acuerdo al modelo de c ontac to Her tziano, tenemos que la fuerza friccionante total es : µ F FT , total = d N [2φ ( xr ) − φ ( x0 ) ] (54) φ (x0 ). φ( x) = sin(kx) − kxcos(kx0) (55) Donde:. x0 = 0.80 FN DCE xr =. ⎛υ ⎞ (56, 57) 1 cos−1 ⎜ rotor ⎟ ⎜υ ⎟ k ⎝ h , max ⎠. Donde x0 es una longitud de parametriz ación de contacto, xr es la longitud efectiva r eal de contacto, FN es la fuerz a nor mal por unidad de longitud, D es el diámetr o del cilindr o equivalente, que puede ser c alculado c omo el doble del radio de curvatura del estator defor mado, 2ρ k, que igualmente es ta r elac ionado con la deflexión del estator w 0, y CE esta dado por los las pr opiedades de los materiales que confor man la interfac e de contacto: 1 − υ1 1 − υ2 + E1 E2 2. CE =. 2. ( 58). Donde E1 y E2 s on los módulos de elastic idad de los dos mater iales en la interface de contac to, al igual que ν1 y ν 2 s on las tasas de Poiss on’s de c ada uno de los materiales de la interfac e. Debido a esto, la v eloc idad del rotor depende del valor de x r , y esta dado como:. ωrotor = ωstator, max cos(kxr ) (59) El tor que mec ánic o des arrollado por unidad de longitud es el pr oducto de la fuerza de fricc ión neta por unid ad de longitud y del r adio del motor, y esta dado como:. τ rotor =. µ d FN r [2φ (x r ) − φ (x0 )] ( 60) φ ( x0 ). Seleccionando de la ec uación del tor que mecánic o del motor, e igualando a cero, hallamos la v eloc id ad en vacío (sin c ar ga), esta dada as í: 0=. µ d FN r [2 φ ( xr ) − φ ( x0 )] ( 61) φ ( x0 ) φ ( xr ) =. 1 φ ( x0 ) 2. (62). Ing. Jair Avila Gutiérrez. Maestría en In g. Electrónica. Mayo del 2007. 35.