3. Movimiento vibratorio armónico

Tema 3. Movimiento vibratorio armónico

3.1.

Movimientos vibratorios armónicos

3.2.Cinemática del movimiento armónico simple (MAS)

3.3. Dinámica del MAS

3.1. Movimientos vibratorios armónicos

• Un sistema realiza un movimiento vibratorio u oscilatorio

cuando los puntos que lo componen oscilan o vibran alrededor de una posición de equilibrio.

• Ejemplos: cuerda de una guitarra, muelle oscilante, membrana de un tambor, cristal de una ventana, …

• Movimiento armónico simple (MAS): Es el más sencillo de los movimientos vibratorios. Características:

1. Es periódico

2. La oscilación tiene lugar en un plano constante.

3. Movimiento rectilíneo con cambio de sentido, limitado a moverse entre dos puntos separados de la posición de equilibrio la misma distancia.

)

(









Asen

t

x

• Magnitudes que lo caracterizan:

1. Elongación, x: Separación del cuerpo del equilibrio.

2. Amplitud, A: Máxima elongación del cuerpo.

3. Período, T: Tiempo que tarda el cuerpo en realizar una oscilación completa. Se mide en segundos (s)

4. Frecuencia, f: Número de oscilaciones por unidad de tiempo, f= 1/T. Se mide en hercios (Hz).

5. Pulsación o frecuencia angular, ω: Número de períodos comprendidos en 2π segundos. Se mide en rad/s.

ω = 2π/T=2πf

3.2. Cinemática del movimiento armónico

simple (MAS)

• Magnitudes cinemáticas y ecuaciones:

1. Posición:

La posición del cuerpo oscila entre –A y +A y se expresa en metros.

2. Velocidad:

La velocidad oscila entre –ωA y +ωA. Se mide en metros/segundo.

Si tenemos en cuenta que cos2φ = 1- sen2φ:

A cada posición le corresponden dos velocidades, una de ida y otra de vuelta. Cuando la elongación es máxima (x = ±A), v = 0. Cuando x = 0, el valor de la velocidad es máximo (v = ±ωA).

) ( ₀

 Asen t

x

) cos( ₀

 



 A t

dt dx v

2 2

x A

3. Aceleración:

El valor de la aceleración oscila entre –Aω2 _{y +Aω}2_{. Se mide en m/s}2_. Teniendo en cuenta que x = Asen (ωt + φ₀), se puede escribir:

a = -ω2_·x

La aceleración es proporcional a la elongación y de signo contrario: Cuando estiramos el muelle (x > 0), la aceleración es negativa, tendente a que el muelle recupere su tamaño original; cuando lo comprimimos (x < 0), la aceleración es positiva, con lo que tiende a estirarse para recuperar el tamaño original. En el punto de equilibrio (x = 0) la aceleración es nula.

) ( ₀

2  

 

 

 A sen t

3.3. Dinámica del MAS

• Un oscilador armónico es todo cuerpo material que realiza un m.a.s. Su comportamiento dinámico se obtiene sustituyendo la condición de la aceleración en la ley fundamental de la dinámica:

• Ley de Hooke: La fuerza necesaria para producir un m.a.s. en un cuerpo es directamente proporcional al desplazamiento del cuerpo respecto de la posición de equilibrio, pero de sentido contrario.

El período y la frecuencia de un oscilador armónico es independiente de la amplitud.

x k x m a m

F  ·  ·(



k m T m k m k    

 2 2

· 2     

• Péndulo simple: Es un dispositivo que consta de una masa suspendida verticalmente de un hilo inextensible y de masa despreciable que se deja oscilar libremente por efecto de la gravedad.

• La masa suspendida (lenteja) está sometida a la acción de dos fuerzas: el peso y la tensión que el hilo ejerce sobre ella. La composición de ambas producen el MAS del péndulo en torno a la posición de equilibrio (punto de la vertical del péndulo).

La resultante de las fuerzas es la componente tangencial del peso, mgsenθ, responsable de las

• Calculemos la aceleración de las oscilaciones:

• Para oscilaciones pequeñas (θ < 10º):

• El arco de una circunferencia es igual al radio por el ángulo:

Por ser un MAS:





m

a

a

gsen

gsen

m











·

·





g

gsen

a









L x g g

a     

g L T L g x L g x a    

2·   ·     2  2

• Así, el período de las pequeñas oscilaciones de un péndulo simple viene dado por:

• Conclusiones:

1. El período no depende de la amplitud de las oscilaciones, como en cualquier MAS.

2. El período no depende de la masa de la lenteja. Esto es porque la gravedad actúa de la misma manera sobre todos los cuerpos, independientemente de su masa (ley de la caída libre).

3. El período depende de su longitud. Cuanto mayor sea, mayor será el tiempo de las oscilaciones.

4. El período depende de la gravedad. Cuanto mayor sea, menor será el tiempo de las oscilaciones.

g

L

3.4. Aspectos energéticos del MAS

• Energía cinética:

• Energía potencial elástica:

• Energía mecánica:







E  _c  _p  2 