Teoría de operación de un Transformador Real
El devanado primario esta conectado a una fuente de potencia ca y el devanado secundario esta abierto.
La ley de operación de un transformador se deriva de la ley de Faraday:
Donde:
λ es el flujo concatenado en la bobina a través de la cual se induce
el voltaje.
El flujo concatenado es la suma del flujo que pasa a través de cada vuelta en todas las vueltas de la bobina:
El flujo concatenado total a través de una bobina no es exactamente NΦ, donde N es el número de vueltas en la bobina, puesto que el flujo que pasa a través de cada vuelta de la bobina es ligeramente diferente del flujo en las demás vueltas, lo cual depende de la posición de la vuelta dentro de la bobina.
No obstante, es posible definir el flujo promedio por vuelta en una bobina. Si el flujo ligado total en todas las vueltas de la bobina es λ y si hay N
vueltas, entonces el flujo promedio por vuelta esta dado por:
Se ha mencionado que no todo el flujo que se produce en la bobina primaria pasa a través de la bobina secundaria, algunas abandonan el núcleo de hierro y pasan a través del aire.
La porción del flujo que pasa a través de una bobina del transformador pero no a través de la otra se le llama flujo disperso. El flujo en la bobina primaria del transformador se puede dividir en dos componentes: un flujo mutuo que permanece en el núcleo y une ambos devanados, y un flujo disperso mínimo que pasa a través del devanado primario pero regresa a través del aire, sin cruzar el devanado secundario:
Con la división del flujo primario en los componentes mutuo y disperso, la ley de Faraday para el circuito primario se puede expresar:
V
p(t)=N
P(dΦ/dt) = N
P(dΦ
M/dt) +N
P(dΦ
DP/dt) = e
P(t)+e
DP(t)
El voltaje en la bobina secundaria del transformador también se puede expresar en términos de la ley de Farday como:
V
S(t)=N
S(dΦ/dt) = N
S(dΦ
M/dt) +N
S(dΦ
DS/dt) = e
S(t)+e
DS(t)
Al relacionarla tenemos:
e
P(t)/N
P= dΦ
M/dt = e
S(t)/ N
SPor lo tanto:
e
P(t)/ e
S(t) = N
P/N
S= a
Esto significa que la razón entre el voltaje primario causado por el flujo mutuo el voltaje secundario causado por el flujo mutuo es igual a la relación de vueltas del transformador. Si un transformador esta bien diseñado entonces: ΦM>>ΦDP y ΦM>>ΦDS ; la relación del voltaje total en el primario de un transformador con el voltaje secundario es aproximadamente:
V
p(t)/ V
S(t) = N
P/N
S= a
Corriente de Magnetización de un Transformador
Cunado se conecta una fuente de potencia ca a un transformador, la corriente fluye en su circuito primario, incluso si el circuito secundario esta abierto. Esta corriente es la que se requiere para producir flujo en un núcleo ferromagnético real y consta de dos componentes:
1. La corriente de magnetización (iM) que es la que se requiere para producir el flujo en el núcleo del transformador.
2. La corriente de perdidas en el núcleo (ih+e) que es la que se requiere para compensar la histéresis y las perdidas de corrientes parasitas.
La conformación de la corriente de magnetización y la corriente de perdidas en el núcleo se conoce como corriente de vacío total del núcleo y se expresa de la siguiente forma:
i
EX=
i
M+
i
h+eTransformador real con una carga conectada a su secundario
El significado de la convención de puntos en transformador real al que se la ha conectado una carga en el secundario, define que una corriente que fluye hacia el extremo de un devanado marcado por un punto produce una fuerza magnetómotriz positiva, mientras que una corriente que fluye hacia el extremo de un devanado marcado con un punto produce una fuerza magnetómotriz negativa
Esta Fuerza magnetómotriz debe producir el flujo neto en el núcleo por lo tanto Fneta será igual a:
Fneta = NPiP -NSiS= ΦR
Donde R es la Reluctancia del núcleo del transformador
Debido a que la reluctancia del núcleo de un transformador bien diseñado es muy pequeña (casi cero) hasta que se satura el núcleo, la relación entre las corrientes primaria y secundaria es aproximadamente cero:
Fneta = NPiP -NSiS= 0
Siempre y cuando el núcleo no este saturado, entonces:
NPiP = NSiS y iP / iS = NS/NP= 1/a
El Circuito Equivalente de un Transformador
Las perdidas que ocurren en los transformadores reales deben tomarse en cuenta para obtener un modelo exacto de su comportamiento. Los principales a considerar son los siguientes:
1) Perdidas en el Cobre(I2R). Son causadas por el calentamiento resistivo en
los devanados del primario y secundario. Son proporcionales al cuadrado de la corriente en los devanados.
2) Perdidas por corrientes parasitas. Son provocadas por el calentamiento resistivo en el núcleo del transformador. Son proporcionales la cuadrado del voltaje aplicado al transformador.
3) Perdidas por Histéresis. Están asociadas con la reubicación de los dominios magnéticos en el núcleo durante cada semi ciclo. Son una función compleja y no lineal del voltaje aplicado al transformador.
La corriente de magnetización (iM) es proporcional al voltaje aplicado al núcleo y tiene 90º de retraso con respecto al voltaje aplicado . Por lo que se puede
modelar por una reactancia XM Conectada a través de la fuente de voltaje primaria. La corriente de perdidas en el núcleo (ih+e) es una corriente proporcional al voltaje aplicado al núcleo que esta en fase con el voltaje aplicado, por lo que se puede considerar una resistencia RN Conectada a través de la fuente de voltaje primaria.
En este circuito RP es la resistencia del devanado primario, Xp(= ωLp) la reactancia debida a la inductancia de fuga del primario, RS es la resistencia del devanado secundario y XS(= ωLS) es la reactancia debida a la inductancia de dispersión del secundario. La derivación de excitación se modela por la resistencia RN (histéresis y perdidas de núcleo) en paralelo con la reactancia XM (la corriente de magnetización).
Los elementos que forman la rama de excitación se colocan dentro de la resistencia RP y la reactancia Xp. Esto se debe a que el voltaje que efectivamente se aplica al núcleo es realmente el voltaje de entrada menos las caídas internas de voltaje del devanado.
Circuitos equivalentes de un transformador
a) Modelo de transformador referido a su nivel de voltaje primario
Circuitos equivalentes Aproximados de un transformador a) Referido al lado primario
En ciertas aplicaciones se puede omitir por completo la rama de excitación sin causar graves errores de calculo. En este caso el circuito equivalente del transformador se reduce a los circuitos simples.
a) Sin rama de
excitación referido al lado primario.
b) Sin rama de
Componentes en el modelo de transformador
Para obtener la aproximación adecuada de los valores de las componentes (Impedancias y resistencias) de un transformador existen dos pruebas:
La prueba de circuito abierto y la prueba de cortocircuito.
1) Prueba de Circuito Abierto (Cab). En esta prueba se deja abierto el circuito del devanado secundario y el devanado primario se conecta a una línea de voltaje pleno. En estas condiciones toda la corriente de entrada debe fluir a través de la rama de excitación hacia el transformador. Los elementos en serie RP y Xp son demasiados pequeños en comparación con RN y XM como para causar una caída significativa de voltaje, por lo que esencialmente todo el voltaje de entrada cae a través de la rama de excitación.
La manera mas fácil de calcular los valores de RN y XM consiste en estimar primero la admitancia de la rama de excitación. La conductancia del resistor de perdidas en el núcleo esta dada por:
La susceptancia del inductor de magnetización esta dada por:
Puesto que los elementos están en paralelo, se suman sus admitancias y la admitancia de excitación total es:
El ángulo de admitancia se puede calcular con base al factor de potencia (fp) del circuito:
Y el ángulo θ del factor de potencia esta dado por:
b) Prueba de Cortocircuito (cc). Se hace un corto circuito en las terminales de bajo voltaje y las terminales de alto voltaje se conectan a una fuente de voltaje variable (normalmente esta medición se realiza en el lado de alto voltaje ya que las corrientes serán mas bajas). Se ajusta el voltaje de entrada hasta que la corriente en los devanados en cortocircuito sea igual a su valor nominal.
La magnitud de las impedancias en serie referidas al lado primario es:
El factor de potencia de la corriente esta dado por:
Si el fp esta en retraso entonces el ángulo de corriente es negativo y el ángulo de impedancia θ es positivo:
Por lo tanto
Regulación de Voltaje del Transformador
La regulación de voltaje (RV) a plena carga es una cantidad que compara el voltaje de salida de un transformador sin carga (en vacío) con el voltaje de salida a plena carga y se define con la ecuación siguiente:
RV= ((VS,nl –VS,fl)/VS,fl)x 100%
Debido a que en vacío VS=VP/a, la regulación también se puede expresar como:
RV=( (VP/a-VS,fl)/VS,fl)x100%
Si el circuito equivalente del transformador esta en el sistema por unidad, entonces la regulación de voltaje se puede expresar como:
Diagrama Fasorial del transformador
La manera mas fácil de determinar el efecto delas impedancias y los ángulos de fase reales en la regulación de voltaje de un transformador es a través de diagramas fasoriales lo cual es una representación grafica de las corrientes y voltajes del transformador.
En todos los diagramas fasoriales se supone que el voltaje VS esta en un ángulo 0o y todos los demás voltajes y corrientes se comparan con esta
referencia.
Aplicando un LVK al circuito propuesto encontramos que:
a) Diagrama fasorial que opera con un fp en retraso.
Se observa que Vp/a >VS para cargas en retraso por lo que la RV deberá ser mayor que cero.
b) Diagrama fasorial que opera con un fp igual a uno.
c) Diagrama fasorial que opera con un fp en adelanto.
Eficiencia del transformador
La eficiencia de un transformador se define como:
η= (Psal/Pent)x 100%
η= ((Psal/ (Psal +Pent))x 100%
Para calcular la eficiencia de un transformador con una carga dada se toman en cuenta las perdidas de transformación, sabemos que:
Psal=VsIscosθs
