Tema 1
1.1. Introducción
Con lo que conocemos de Teoría de Circuitos, es
posible abordar y resolver los siguientes problemas:
1) Circuitos resistivos: Leyes de Kirchoff ⇒ Sistemas de ecuaciones lineales
2) Circuitos R, L, C + respuesta natural + respuesta al escalón: Ec. Diferenciales + Cond. Iniciales ⇒ Homogénea + Particular
3) Régimen Permanente Sinusoidal: Dominio fasorial + Leyes de Kirchhoff ⇒ Sistemas de ecuaciones lineales
Problemática:
2) permite resolver cualquier circuito, pero el desarrollo
analítico es complicado.
3) se basa en operaciones sencillas, pero sólo es aplicable
1.1. Introducción
Buscamos un método que:
Sea sencillo desde el punto de vista analítico.
Permita analizar circuitos alimentados con cualquier tipo de
fuente
Esta herramienta es la Transformada de Laplace
Ventajas de la Transformada de Laplace:
Transforma ecuaciones integro-diferenciales en ecuaciones
polinómicas
1.2. La Transformada Bilateral de Laplace
La Transformada bilateral de Laplace se define como:
En general:
En general, X(s) es una función compleja: y
{ }
∫
∞ ∞ − −∈
⋅
=
=
X
s
x
t
e
dt
s
C
t
x
b st b(
)
(
)
ˆ
(
)
,
L
ω
σ
j
s
=
+
)
(s
X
∠
{
X
(s
)
}
) (s0 X ) (s X σ ω (σ0,ω0) =s0 {X(s0)} ∠ 0 0 0, ) (σ ω = s σ ω{
X(s)}
∠1.2. La Transformada Bilateral de Laplace
Algunas consideraciones:
La integral es IMPROPIA ⇒ puede converger o no La convergencia depende de
Región de Convergencia (ROC) ⇒ conjunto de valores de la variable
compleja ‘s’ para los que la integral que representa la TL converge
La ROC depende exclusivamente de : la ROC está
constituida por franjas paralelas al eje ‘jω’ en el plano complejo.
{ }
s
=
σ
Re
{ }
s
Re
=
σ
a −Re
{ }
s
{ }
s m I ROC1.2. La Transformada Bilateral de Laplace
Relación con la Transformada de Fourier de señales
continuas
Luego: De otra forma:
{ }
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
s
x
t
e
dt
x
t
e
( )dt
x
t
e
dt
x
t
X
b∫
st∫
j t∫
∞ j tF
∞ − − ∞ ∞ − + − ∞ ∞ − −=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
σ ω ω ω σ j s = + Caso particular: ω σ j s = = 0{ }
(
)
)
(
s
x
t
X
j s b = ω=
F
{
t}
bs
x
t
e
X
(
)
=
F
(
)
⋅
−σLa Transformada de Fourier es un caso particular de la Transformada de Laplace. En concreto, resulta de evaluar la Transformada de Laplace en los puntos
s
=
j
ω
1.3. La Transformada Unilateral de Laplace
La Transformada unilateral de Laplace se define como:
Consideraciones:
La integral es IMPROPIA, esto es, puede converger o no
(no todas las señales tienen Transformada de Laplace; las que manejamos en Teoría de Circuitos, sí van a tener)
El límite 0- aparece en la transf. unilateral: es decir, que señales iguales
para tendrán idéntica TL unilateral (pues lo que ocurra en no influye)
Dos señales idénticas para tendrán la misma TL unilateral y, en
general, distinta TL bilateral
Si una señal es nula para , sus TL unilateral y bilateral son idénticas
En análisis de circuitos nos interesa la TL unilateral, pues las señales de
las fuentes serán siempre finitas
{ }
∫
∞ − −⋅
=
=
0(
)
ˆ
)
(
)
(
t
X
s
x
t
e
dt
x
stL
0
≥
t
t
<
0
0
≥
t
0
<
t
1.3. La Transformada Unilateral de Laplace
Ejemplos:
La función ‘escalón’: La función ‘impulso’: t ) (t u 1 t ) (t δ{ }
s s e s dt e dt e t u t u st st st 1 ) 1 0 ( 1 1 ) ( ) ( 0 0 0 = − − = − = = = ⋅ = ∞ − ∞ − ∞ −∫
∫
− L)
(
)
(
t
u
t
x
=
s s X( ) = 1L
J
{ }
( ) ( ) ( ) 1 0 0 ⋅ = = =∫
∞ −∫
∞ − t e dt t dt t δ st δ δ L)
(
)
(
t
t
x
=
δ
J
L
X (s) =11.3. La Transformada Unilateral de Laplace
Ejemplos (sigue):
La función ‘exponencial decreciente’:
{ }
{ }
a s a s e a s dt e dt e e e t x t a s t a s st t a t a + = − + − = + − = = = ⋅ = = ∞ + − ∞ − + ∞ − − −∫
∫
− 1 ) 1 0 ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 L L t ae
t
x
(
)
=
− a s s X + = 1 ) (L
J
t ) (t x1.4. Propiedades de la transformada Unilateral
Multiplicación por una constante
Suma Diferenciación
)
(
2t
x
J
LX
2(
s
)
)
(
1t
x
J
LX
1(
s
)
)
(t
x
J
LX
(s
)
)
(
)
(
2 1t
x
t
x
+
J
LX
1(
s
)
+
X
2(
s
)
)
(t
x
k
⋅
J
Lk
⋅
X
(s
)
La TL es lineal)
(t
x
J
LX
(s
)
)
0
(
)
(
)
(
−−
⋅
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
x
s
X
s
dt
t
dx
L
1 ) 1 2 1 ) ) 0 ( ... ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( − − − − − − − − − − − ⋅ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n n n n n n dt x d dt x d s x s s X s dt t x d L Una derivada se transforma en un producto1.4. Propiedades de la transformada Unilateral
Integración
Desplazamiento en el tiempo
Desplazamiento en el dominio de la frecuencia
)
(t
x
J
LX
(s
)
)
(
)
(
t
a
u
t
a
x
−
⋅
−
J
Le
−as⋅
X
(
s
),
a > 0)
(t
x
J
LX
(s
)
{
}
s
s
X
d
x
(
)
(
)
0=
∫
∞−τ
τ
L
Una integral se transforma en una división
)
(t
x
J
LX
(s
)
multiplicar por una exponencial en frecuenciaUn desplazamiento en el tiempo equivale a)
(t
x
e
−at⋅
J
LX
(
s
+
a
)
Multiplicar por una exponencial en el tiempo equivale a un desplazamiento en frecuencia
1.4. Propiedades de la transformada Unilateral
Escalado en el tiempo
Diferenciación en el dominio de la frecuencia
)
(t
x
J
LX
(s
)
)
(t
x
t
⋅
ds
s
X
d
(
)
−
LJ
)
(t
x
J
LX
(s
)
)
( t
a
x
1
⋅⎟
,
> 0⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
aa
s
X
a
LJ
)
(t
x
t
n⋅
( )
n n nds
s
X
d
(
)
1
)⋅
−
L
J
1.4. Propiedades de la transformada Unilateral
Ejemplo:
Calcular la Transformada de Laplace de
De forma alternativa, aplicando las propiedades:
t a
e
t
t
x
(
)
=
2⋅
−{ }
(
)
{
}
...
0 ) ( 2 0 2 2∫
∫
∞ − − ∞ − + − − −⋅
⋅
=
⋅
=
⋅
=
t
e
t
e
e
dt
t
e
dt
t
x
L
at at st s a tL
t ae
t
x
1(
)
=
−a
s
s
X
+
=
1
)
(
1 LJ
)
(
)
(
t
t
2x
1t
x
=
⋅
J
L( )
3 4 2 2 1 2 2)
(
2
)
(
)
(
2
)
(
1
)
(
1
)
(
a
s
a
s
a
s
a
s
ds
d
ds
s
X
d
s
X
+
=
+
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
=
=
⋅
−
=
1.5. Transformadas Racionales
Una transformada de Laplace es RACIONAL cuando se
puede expresar como el cociente de dos polinomios:
Interés de las transformadas racionales: una clase de sistemas
LTI particularmente útil son aquellos cuyas entradas y salidas se relacionan mediante ecuaciones diferenciales de coeficientes
constantes (filtros analógicos)
TL de la derivadas ⇒ polinomios ⇒ transformadas racionales
0 1 1 1 0 1 1 1
...
...
)
(
)
(
)
(
b
s
b
s
b
s
b
a
s
a
s
a
s
a
s
Q
s
P
s
X
m m m m n n n n+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
=
− − − −∑
∑
= =⋅
=
⋅
M k k k N k k kdt
t
y
d
b
dt
t
x
d
a
0 ) 0 ))
(
)
(
1.5. Transformadas Racionales
1.5.1. La Transformada Inversa:
Partimos de una transformada racional:
y dividimos entre (coeficiente de )
0 1 1 1 0 1 1 1
...
...
)
(
b
s
b
s
b
s
b
a
s
a
s
a
s
a
s
X
m m m m n n n n+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
− − − − mb
s
m=
1
)
(
)
(
...
...
)
(
0 1 1 1 0 1 1 1s
Q
s
P
b
b
s
b
b
s
b
b
s
b
a
s
b
a
s
b
a
s
b
a
s
X
m m m m m m m m n m n n m n=
+
⋅
+
+
⋅
+
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
− − − −)
(t
x
J
LX
(s
)
X
(s
)
x
(t
)
1 -LJ
racionalEste es el problema que queremos resolver ahora
1.5. Transformadas Racionales
Si grado{P(s)} ≥ grado{Q(s)} ⇒ Dividir, de forma que:
grado{N(s)} < grado{Q(s)}
Encontrar las raíces de Q(s):
• ‘r’ raíces:
• La raíz ‘pk’ tendrá multiplicidad ‘Mk’
Podemos escribir: donde:
{ }
r k k rp
p
p
p
1,
2,
...
,
≡
=1∑∑
= =−
=
r k M m m k km kp
s
A
s
Q
s
N
1 1(
)
)
(
)
(
⎪⎭
⎪⎩
⎣
⎝
⎠
⎦
= k p s k)!
(
)
(
⎪
⎬
⎫
⎪
⎨
⎧
⎥
⎤
⎢
⎡
⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛
−
⋅
−
=
−− k k k M k m M m M kms
p
s
Q
s
N
ds
d
m
M
A
1
(
)
(
)
) • Akm: ‘residuos’ • pk: ‘polos’)
(
)
(
)
(
)
(
s
Q
s
N
s
M
s
X
=
+
1.5. Transformadas Racionales
La transformada inversa es:
puesto que la transf. inversa de cada término es:
En resumen:
∑∑
= = −⋅
⋅
⋅
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
r k M m t p m km k ku
t
e
t
m
A
s
Q
S
N
1 1 1)
(
)!
1
(
)
(
)
(
1-L
{
}
{
}
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
=
)
(
)
(
)
(
)
(
s
Q
s
N
s
M
s
X
-
1
-
1
1
-L
L
L
)
(
)!
1
(
1t
u
e
t
m
A
km⋅
m⋅
pkt⋅
−
− m k kmp
s
A
)
(
−
J
1 -L1.5. Transformadas Racionales
Y añadimos en nuestra tabla de transformadas, las siguientes:
m
a
s
s
X
)
(
1
)
(
+
=
)
(
)!
1
(
1
)
(
t
1e
u
t
m
t
x
⋅
m⋅
at⋅
−
=
− −J
L1
)
(t
δ
J
Ls
dt
t
d
δ
(
)
J
L 2s
2 2)
(
dt
t
d
δ
J
L ns
n ndt
t
d
)δ
(
)
J
L1.5. Transformadas Racionales
Ejemplo: Calcular la transformada inversa de:
Simplificamos:
Grado{P(s)}=2 ≥ Grado{Q(s)}=1 ⇒ Dividir
)
(
)
(
6
2
4
2
2
)
(
2s
Q
s
P
s
s
s
s
X
=
+
−
+
=
3
+
s
2
2+ s
−
s
s
s
2−
3
−
s
−
2
=
M
(
s
)
2
2
−
− s
6
2
+
+ s
)
(
4
=
N
s
3
2
6
2
4
2
2
)
(
2 2+
−
+
=
+
−
+
=
s
s
s
s
s
s
s
X
1.5. Transformadas Racionales
Con lo que queda:
Cuya transf. inversa (aplicando propiedades) es:
3
4
)
2
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
+
+
−
=
+
=
=
s
s
s
Q
s
N
s
M
s
Q
s
P
s
X
)
(
4
)
(
2
)
(
)
(
t
e
3u
t
dt
t
d
t
x
=
δ
−
δ
+
− t1.5. Transformadas Racionales
Ejemplo: Calcular la transformada inversa de:
Calculamos las raíces de Q(s):
Las raíces deben ser divisores del término independiente
)
(
)
(
6
11
6
12
2
)
(
3 2s
Q
s
P
s
s
s
s
s
X
=
+
+
+
+
=
6
11
6
)
(
s
=
s
3+
s
2+
s
+
Q
6
11
6
1
6
5
1
−
−
−
0
6
5
1
6
2
−
−
0
3
1
3
−
0
1
3
−
2
−
1
−
1.5. Transformadas Racionales
Por consiguiente, resulta:
De esta forma, tendremos:
Siendo:
)
3
(
)
2
(
)
1
(
6
11
6
)
(
s
=
s
3+
s
2+
s
+
=
s
+
⋅
s
+
⋅
s
+
Q
3
2
1
)
(
11 21 31+
+
+
+
+
=
s
A
s
A
s
A
s
X
raíz m k
A
multiplicidad 5 2 12 2 ) 1 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( 12 2 )! 1 1 ( 1 1 11 = + − = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ − = − = s s s s s s A 8 1 12 4 ) 2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( 12 2 )! 1 1 ( 1 2 21 = − − + − = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ − = − = s s s s s s A 3 2 12 6 ) 3 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( 12 2 )! 1 1 ( 1 31 = + − = ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ − = s s s s s A 3⎭ ⎩ s=−
1.5. Transformadas Racionales
Así, quedará:
Por lo que la transformada inversa resultará ser:
3
3
2
8
1
5
)
(
+
+
+
−
+
=
s
s
s
s
X
)
(
3
)
(
8
)
(
5
)
(
t
e
u
t
e
2u
t
e
3u
t
x
=
−t−
− t+
− t1.5. Transformadas Racionales
Ejemplo: Calcular la transformada inversa de:
En Q(s) podemos sacar ‘s’ factor común:
Hallamos las raíces
)
(
)
(
45
39
11
5400
180
)
(
4 3 2s
Q
s
P
s
s
s
s
s
s
X
=
+
+
+
+
=
)
45
39
11
(
)
(
s
=
s
⋅
s
3+
s
2+
s
+
Q
45
39
11
1
45
24
3
−
−
−
0
15
8
1
15
3
−
−
0
5
1
5
−
0
1
5
−
3
−
3
−
1.5. Transformadas Racionales
En este caso, las raíces son:
De forma que queda:
Es decir, que:
)
5
(
)
3
(
)
45
39
11
(
)
(
s
=
s
⋅
s
3+
s
2+
s
+
=
s
⋅
s
+
2⋅
s
+
Q
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−
=
=
−
=
=
=
1
:
5
2
:
3
1
:
0
3 3 2 2 1 1M
r
M
r
M
r
5
)
3
(
3
)
(
11 21 22 2 31+
+
+
+
+
+
=
s
A
s
A
s
A
s
A
s
X
1.5. Transformadas Racionales
Siendo: 105 36 3780 36 4860 ) 6 ( 180 ) 15 9 ( ) 5 6 ( ) 5400 540 ( ) 15 9 ( 180 ) 5 ( ) 5 2 ( ) 5400 180 ( ) 5 ( 180 5 5400 180 ) 3 ( ) 5 ( ) 3 ( 5400 180 )! 1 2 ( 1 2 2 2 2 3 2 3 2 2 21 3 = = + − ⋅ = = − + − ⋅ + − − − = + + ⋅ + − + = = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − = − = − = − = s s s s s s s s s s ds d s s s s s ds d A s s 120 5 . 9 5400 ) 5 ( ) 3 ( 5400 180 )! 1 1 ( 1 0 2 11 = = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − = = s s s s s s A 810 ) 2 ( 3 5400 3 180 ) 3 ( ) 5 ( ) 3 ( 5400 180 )! 2 2 ( 1 3 2 2 22 = − ⋅ − + ⋅ − = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − = − = s s s s s s A 225 ) 4 ( 5 5400 5 180 ) 5 ( ) 5 ( ) 3 ( 5400 180 )! 1 1 ( 1 5 2 31 = − ⋅ − + ⋅ − = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − = − = s s s s s s A1.5. Transformadas Racionales
Con lo que resulta:
Y la transformada inversa será:
)
5
(
225
)
3
(
810
)
3
(
105
120
)
(
2+
−
+
−
+
+
=
s
s
s
s
s
X
)
(
225
)
(
810
)
(
105
)
(
120
)
(
t
u
t
e
3u
t
t
e
3u
t
e
5u
t
x
=
+
− t−
− t−
− t1.5. Transformadas Racionales
Ejemplo: Calcular la transformada inversa de:
Las raíces serán:
Por lo que tendremos que:
)
(
)
(
)
5
4
(
40
)
(
2 2s
Q
s
P
s
s
s
X
=
+
+
=
2 2)
5
4
(
)
(
s
=
s
+
s
+
Q
0
5
4
2+ s
+
=
s
s = − ± − = − ± − = − ± j = −2± j 2 2 4 2 4 4 2 20 16 4 ⇒ 2 2)
2
(
)
2
(
)
(
s
s
j
s
j
Q
=
+
−
⋅
+
+
⎩
⎨
⎧
=
−
−
=
=
+
−
=
2
:
2
2
:
2
2 2 1 1M
j
r
M
j
r
1.5. Transformadas Racionales
Por lo que: 2 22 21 2 12 11)
2
(
2
)
2
(
2
)
(
j
s
A
j
s
A
j
s
A
j
s
A
s
X
+
+
+
+
+
+
−
+
+
−
+
=
10 A 4 40 ) 2 ( 40 ) 2 2 ( 40 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 40 )! 2 2 ( 1 2 2 2 2 2 2 12 = − + + + = = − = − ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⋅ + + ⋅ − + ⋅ − = + − = j j j j s j s j s j s j j j j j j j j j s j s j s j s ds d j s j s j s ds d j s j s j s 10 16 160 ) 2 ( 160 ) 2 2 ( ) 2 2 ( 80 ) 2 ( ) 2 ( 2 40 ) 2 ( 0 ) 2 ( 40 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 40 )! 1 2 ( 1 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 11 2 − = − = − = + + + − + + + − ⋅ − = + + + + ⋅ − + + ⋅ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⋅ + + ⋅ − + ⋅ − = + − = + − = + − = A =1.5. Transformadas Racionales
y: Así: 10 4 40 ) 2 ( 40 ) 2 2 ( 40 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 40 )! 2 2 ( 1 2 2 2 2 2 2 22 = − − + − = − = − = − ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⋅ + + ⋅ − + ⋅ − = − − = j j j j s j s j s A j s j j j j j j j j j j j s j s j s ds d j s j s j s ds d A j s j s j s 10 10 8 80 ) 2 ( 80 ) 2 ( ) 2 ( 80 ) 2 2 ( ) 2 2 ( 80 ) 2 ( ) 2 ( 2 40 ) 2 ( 40 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 40 )! 1 2 ( 1 3 4 4 4 2 2 2 2 2 2 21 2 = − = − = − − = − − ⋅ − = − + − − − + − − ⋅ − = − + − + ⋅ ⋅ − = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⋅ + + ⋅ − + ⋅ − = − − = − − = − − = 2 2)
2
(
10
)
2
(
10
)
2
(
10
)
2
(
10
)
(
j
s
j
s
j
j
s
j
s
j
s
X
+
+
−
+
+
+
−
+
−
−
+
−
=
1.5. Transformadas Racionales
De forma que la transformada inversa resulta ser:
)
(
)
cos(
20
)
(
)
sen(
20
)
(
)
cos(
2
10
)
(
)
sen(
2
10
)
(
)
(
10
)
(
)
(
10
)
(
)
(
10
)
(
)
(
10
)
(
10
)
(
10
)
(
10
)
(
10
)
(
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 (t
u
t
e
t
t
u
t
e
t
u
t
e
t
t
u
t
j
e
j
t
u
e
e
e
t
t
u
e
e
e
j
t
u
e
e
e
e
t
t
u
e
e
e
e
j
t
u
e
t
t
u
e
j
t
u
e
t
t
u
e
j
t
x
t t t t t j t j t t j t j t t j t t j t t j t t j t t j t j t j t j⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
−
=
=
⋅
+
⋅
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅
⋅
−
=
=
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
−
−
=
=
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅
−
=
− − − − − − − − − − − − − − − − − − + − + −1.5. Transformadas Racionales
1.5.2. Diagrama de Ceros y Polos:
Una función racional se puede expresar como el cociente de dos
polinomios factorizados:
“zi”: ceros, raíces del polinomio del numerador “pj”: polos, raíces del polinomio del denominador
Se representan en el plano complejo: “Diagramas de polos y ceros”
∏
∏
−
−
⋅
=
=
j j i ip
s
z
s
k
s
Q
s
P
s
X
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1.5. Transformadas Racionales
Ejemplo:
Ceros: raíces del numerador,
Complejos conjugados (función real)
Polos: raíces del denominador,
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
X
15
8
25
6
10
15
8
250
60
10
)
(
3 2 2 2 3 2+
+
+
+
⋅
=
+
+
+
+
=
0
25
6
2+ s
+
=
s
j
j
s
3
4
2
8
6
2
64
6
2
100
36
6
±
−
=
±
−
=
−
±
−
=
−
±
−
=
0
15
8
2 3+
+
=
s
s
s
⎨
⎧
−
−
=
±
−
=
±
−
=
−
±
−
=
8
64
60
8
4
8
2
3
s
j
z
j
z
1=
−
3
+
4
2=
−
3
−
4
0
15
8
;
0
2+
+
=
=
s
s
s
1.5. Transformadas Racionales
Con lo que tenemos finalmente:
El diagrama de polos y ceros quedará:
j
z
j
z
1=
−
3
+
4
2=
−
3
−
4
5
3
0
2 3 1=
p
=
−
p
=
−
p
{ }
s Re{ }
s Im -1 -2 -3 -4 -5 -6 -1 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4 2Los ceros indican los puntos en que
Los polos indican los puntos en que
Un sistema será estable si sus polos están a la izquierda del eje ‘jω’
∞
=
)
(s
X
0
)
(
s
=
X
1.6. Teoremas del valor inicial y final
Bajo las suposiciones:
(i) Existen las TL de y (ii) Existen los límites de
(iii) no contiene funciones impulso ni singularidades en el
origen
(iv) Los polos de están estrictamente en la mitad
izquierda del plano ‘s’ complejo (salvo, a lo sumo, un polo de orden ‘1’ en el origen)
Teorema del Valor Inicial
Teorema del Valor Final
)
(t
x
x′
(t
)
)
(s
X
s
⋅
)
(
lim
)
(
lim
0s
X
s
t
x
s t⋅
=
∞ → → +)
(
lim
)
(
lim
0s
X
s
t
x
s t→∞=
→⋅
)
(t
x
)
(s
X
1.6. Teoremas del valor inicial y final
Ejemplo:
Ceros: Polos:s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
X
48
14
)
60
17
(
96
48
14
5760
1632
96
)
(
3 2 2 2 3 2+
+
+
+
⋅
=
+
+
+
+
=
0
60
17
2+ s
+
=
s
⎩ ⎨ ⎧ − = − = = ± − = − ± − = 12 5 2 7 17 2 240 289 17 2 1 z z s ⇒0
48
14
2+ s
+
=
s
⎩ ⎨ ⎧ − = − = = ± − = − ± − = 8 6 2 2 14 2 192 196 14 3 2 p p s ⇒0
0
⇒
1=
=
p
s
8
6
)
(
11 21 31+
+
+
+
=
s
A
s
A
s
A
s
X
1.6. Teoremas del valor inicial y final
Resultando: Por lo que: 120 48 60 96 ) 8 ( ) 6 ( ) 60 17 ( 96 0 2 11 = ⋅ = + ⋅ + + + ⋅ = = s s s s s A 48 12 576 ) 8 6 ( 6 ) 60 6 17 36 ( 96 ) 8 ( ) 60 17 ( 96 6 2 21 = − − = + − ⋅ − + ⋅ − ⋅ = + ⋅ + + ⋅ = − = s s s s s A 72 ) 6 8 ( 8 ) 60 8 17 64 ( 96 ) 6 ( ) 60 17 ( 96 8 2 21 = − + − ⋅ − + ⋅ − ⋅ = + ⋅ + + ⋅ = − = s s s s s A)
(
72
)
(
48
)
(
120
)
(
t
u
t
e
6u
t
e
8u
t
x
=
+
− t−
− t1.6. Teoremas del valor inicial y final
De forma que podemos verificar que:
Valor inicial: Valor final:
96
48
14
)
60
17
(
96
lim
)
(
lim
96
72
48
120
)
(
lim
2 2 0=
+
+
+
+
⋅
=
⋅
=
−
+
=
∞ → ∞ → → +s
s
s
s
s
X
s
t
x
s s t120
48
14
)
60
17
(
96
lim
)
(
lim
120
)
(
lim
2 2 0 0+
+
=
+
+
⋅
=
⋅
=
→ → ∞ →s
s
s
s
s
X
s
t
x
s s t1.6. Teoremas del valor inicial y final
Ejemplo:
Ceros: Polos: Quedando:25
)
(
2+
=
s
s
s
X
0
1=
z
0
25
2+
=
s
⎩ ⎨ ⎧ − = = ⇒ ± = ⇒ − = j p j p j s s 5 5 5 25 2 1 2 ⇒j
s
A
j
s
A
s
X
5
5
)
(
11 21+
+
−
=
1.6. Teoremas del valor inicial y final
Con lo que: Y, en consecuencia:2
1
10
5
5
5
5
5
5 11=
+
=
+
=
=
=j
j
j
j
j
j
s
s
A
j s)
(
)
5
cos(
)
(
2
1
)
(
2
1
)
(
t
e
5u
t
e
5u
t
t
u
t
x
=
jt+
− jt=
⋅
2
1
10
5
5
5
5
5
5 21=
−
−
=
−
−
−
=
−
=
− =j
j
j
j
j
j
s
s
A
j s1.6. Teoremas del valor inicial y final
Resultando que:
Valor inicial:
Valor final:
En este caso, no se puede aplicar el th. del valor final
porque hay dos polos en el eje
‘jω’
1
25
lim
)
(
lim
1
)
(
lim
2 2 0=
+
=
⋅
=
∞ → ∞ → → +s
s
s
X
s
t
x
s s t0
25
0
25
lim
)
(
lim
ado
indetermin
)
(
lim
2 2 0 0⋅
=
+
=
=
=
→ → ∞ →s
s
s
X
s
t
x
s s t1.7. Aplicación de la Transformada de
Laplace a la resolución de circuitos
7.1. Elementos pasivos en el dominio ‘s’
a) Resistencia:
Dominio temporal: Dominio de Laplace: R i(t) v(t) R I(s) V(s))
(
)
(
t
R
i
t
v
=
⋅
⇒ = ⋅ = R Z s I R s V R ) ( ) ( Impedancia en el dominio ‘s’1.7. Aplicación de la Transformada de
Laplace a la resolución de circuitos
7.1. Elementos pasivos en el dominio ‘s’
b) Bobina:
Dominio temporal: Dominio de Laplace: L i(t) v(t) I0 Ls I(s) V(s) LI0 Ls I(s) I0 /s 0 0 ( ) 1 ) ( ) ( ) ( I d v L t i dt t i d L t v t + ⋅ = ⋅ =∫
τ
τ
(
)
⇒ = + ⋅ = − = = − ⋅ = s L Z s I s s V L s I I L s I s L I s I s L s V L 0 0 0 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( Impedancia en el dominio ‘s’1.7. Aplicación de la Transformada de
Laplace a la resolución de circuitos
7.1. Elementos pasivos en el dominio ‘s’
c) Condensador:
Dominio temporal: Dominio de Laplace: C i(t) v(t) 1/Cs I(s) V(s) V0 /s 1/Cs I(s) V(s) CV0 0 0 ( ) 1 ) ( ) ( ) ( V d i C t v dt t v d C t i t + ⋅ = ⋅ =∫
τ
τ
(
)
⇒ = + ⋅ = − = = − ⋅ = s C Z s V s s I C s V CV s V s C V s V s C s I C 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0 Impedancia en el dominio ‘s’1.7. Aplicación de la Transformada de
Laplace a la resolución de circuitos
7.1. Elementos pasivos en el dominio ‘s’
Corolario:
Se utilizará una configuración u otra según las características
del circuito global.
La impedancia será aquel término que incluirá todo aquello
que relacione
V(s)
conI(s)
en el dominio de Laplace, de modo que:V(s) = Z · I(s)
1.7. Aplicación de la Transformada de
Laplace a la resolución de circuitos
7.2. Leyes de Kirchhoff en el dominio ‘s’
Puesto que la Transformada de Laplace es lineal,
podemos aplicar directamente las leyes de Kirchhoff:
1ª Ley de Kirchhoff o Ley de las Corrientes:
2ª Ley de Kirchhoff o Ley de las Tensiones:
∑
∑
=
⇒
=
nudo nudos
I
t
i
(
)
0
(
)
0
∑
∑
=
⇒
=
malla mallas
V
t
v
(
)
0
(
)
0
1.7. Aplicación de la Transformada de
Laplace a la resolución de circuitos
7.3. Resolución de circuitos mediante la
transformada de Laplace
Procedimiento para usar la TL con circuitos:
0) Calcular las condiciones iniciales: vC(0-), iL(0-) (tensión en C y corriente
en L)
1) Representar el circuito equivalente en el dominio de Laplace. 2) Aplicar métodos de resolución de circuitos.
3) Resolver: obtener V(s), I(s).
4) Calcular la transformada inversa.
1.7. Aplicación de la Transformada de
Laplace a la resolución de circuitos
Ejemplo:
vg(t) C R1 R2 L iL(t) Vg(s) = 12/s 1/C·s = 1/s L·I0=2 L·s = s IL(s) 1 1 V0/s = 4/s Ia(s) Ib(s) A B ) 1 ( 8 ) ( ) 1 ( ) ( 8 ) ( 1 ) ( 8 ) ( 1 1 ) ( 0 ) ( ) ( 12 ) ( 1 4 = ⋅ − + ⋅ ⇒ = − + ⋅ = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ = − + − + ⇒ s s I s s I s s I s s s I s s I s s I s I s I s s I s s A Malla b a b a b a b a a ) 2 ( 2 ) ( ) 2 ( ) ( 2 ) ( ) 2 ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( − ⋅ + = ⇒ = ⋅ + + − = − + + − ⋅ ⇒ s I s s I s I s s I s I s I s I s I s B Malla b a b a a b b b Vg(t) = 12·u(t) V C= 1 F; R1 = 1 Ω; L = 1 H; R2 = 1 Ω Vc(0) = 4 V; iL(0)= 2 A1.7. Aplicación de la Transformada de
Laplace a la resolución de circuitos
Sustituyendo (2) en (1), queda:
[
]
(
)
10
2
)
(
2
)
(
2
)
(
8
)
(
2
)
(
2
)
(
2
)
(
2
)
(
8
)
(
)
1
(
2
)
(
2
)
(
8
)
(
)
1
(
2
)
(
)
2
(
2 2+
=
+
+
=
−
−
+
+
−
+
=
⋅
−
+
⋅
−
⋅
+
⋅
=
⋅
−
+
⋅
−
⋅
+
s
s
I
s
I
s
s
I
s
s
I
s
s
I
s
I
s
s
s
I
s
s
I
s
s
I
s
s
s
I
s
I
s
s
I
s
s
s
I
s
b b b b b b b b b b b b b)
(
2
2
10
2
)
(
2I
s
s
s
s
s
I
b=
L+
+
+
=
j
s
A
j
s
A
s
I
L+
+
+
−
+
=
1
1
)
(
11 210
2
2
2+ s
+
=
s
⎩ ⎨ ⎧ − − = + − = = ± − = ± − = − ± − = j s j s j j s 1 1 1 2 2 2 2 8 4 2 2 1 ⇒1.7. Aplicación de la Transformada de
Laplace a la resolución de circuitos
Con lo que:
De forma que queda:
j j j j j j j j j s s A j s 4 1 4 2 2 8 1 1 10 2 2 1 10 2 1 11 = − + = + = + + + − + + − = + + + = + − = j j j j j j j j j s s A j s 4 1 4 2 2 8 1 1 10 2 2 1 10 2 1 21 = + − = − − = − + − − + − − = − + + = − − =
[
]
[
cos(
)
4
sen
(
)
]
(
)
2
[
cos(
)
4
sen
(
)
]
(
)
2
)
(
)
(
sen
2
4
)
cos(
2
)
(
)
4
4
(
)
(
)
4
1
(
)
(
)
4
1
(
)
(
(1 ) (1 )t
u
t
t
e
t
u
t
e
t
e
t
u
t
j
e
j
t
e
t
u
e
e
j
e
e
e
e
j
e
e
t
u
e
j
t
u
e
j
t
i
t t t t t t j t t j t t j t t j t t j t j L⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
=
=
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
=
⋅
+
+
−
=
=
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
−
=
− − − − − − − − − − − + − − −1.7. Aplicación de la Transformada de
Laplace a la resolución de circuitos
Verificándose asimismo que:
Valor inicial: Valor final:
2
2
2
10
2
lim
)
(
lim
2
)
(
lim
2 2 0=
+
+
+
=
⋅
=
∞ → ∞ → → +s
s
s
s
s
I
s
t
i
s L s L t0
2
2
10
2
lim
)
(
lim
0
)
(
lim
2 2 0 0+
+
=
+
=
⋅
=
→ → ∞ →s
s
s
s
s
I
s
t
i
s L s L t1.7. Aplicación de la Transformada de
Laplace a la resolución de circuitos
Ejemplo:
0 100 ) ( 20 4 ) ( ) ( 1 1 superior nudo el En + = + + − ⇒ V s s s V s Ig R1 = 20 Ω; L = 4 H; R2 = 100 Ω; I0 = 0 A ig(t) R1 R2 L iL(t) i g(t) t 0.15 0 0.2 Ig(s) 20 4s 100 IL(s) I1(s) I2(s) V1(s) ) 1 ( 2 . 0 1 2 . 0 1 2 . 0 ) ( ) 15 . 0 ( 2 . 0 ) ( 2 . 0 ) ( 15 . 0 15 . 0 s s g g e s e s s s I t u t u t i − − = − ⋅ ⋅ − ⋅ = − − = s s s I s V s I s s s V g g 4 120 ) 20 4 ( 100 ) ( ) ( ) ( ) 20 4 ( 100 4 120 ) ( 1 1 + + ⋅ ⋅ = ⇒ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⋅ + ⋅1.7. Aplicación de la Transformada de
Laplace a la resolución de circuitos
) 15 . 0 ( 1 ) 15 . 0 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 6 1 5 6 1 30 5 30 0 : 30 ) 30 ( 5 ) ( ) 15 . 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 30 ( 5 ) 30 ( 5 30 25 ) 1 ( 2 . 0 ) ( 30 25 ) ( 4 120 100 ) ( 20 4 ) ( ) ( ) 15 . 0 ( 30 30 1 30 12 0 11 12 11 1 1 1 15 . 0 1 1 15 . 0 15 . 0 1 − ⋅ ⋅ + − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ = − = = = + = − = = + + = + ⋅ = − − = ⋅ − = − ⋅ + ⋅ − + ⋅ = + ⋅ − ⋅ = ⇒ + ⋅ = + ⋅ = + = − − − − = = − − − t u e t u t u e t u t x s A s A s s Polos s A s A s s s X t x t x t i e s X s X s I e s s s s s e s s I s s I s s I s s V s I t t s s L s L s s L g g L V. I. 0 ) ( lim 0 ) ( lim 0 = ⋅ = ∞ → → + s X s t i s L t V. F. 0 6 1 6 1 30 5 30 5 ) ( lim 0 ) ( lim 0 15 . 0 0 ⋅ = + − + ⋅ = − = = = − → ∞ → s s s L t e s s s X s t i
1.8. La Función de Transferencia
La Función de Transferencia es el cociente, en el
dominio ‘s’, entre la salida (respuesta) y la entrada
(excitación); es decir, es el cociente entre la TL de la
señal de salida y la TL de la señal de entrada.
Excitación:
Respuesta:
H(s): Se supone que las condiciones iniciales son NULAS
(de forma que el circuito sea un sistema lineal e
invariante, LTI)
)
(
)
(
t
E
s
e
→
L)
(
)
(
t
R
s
r
→
L⇒
=
)
(
)
(
)
(
s
E
s
R
s
H
Función de Transferencia1.8. La Función de Transferencia
1.8.1. Relación con la respuesta en frecuencia:
La relación entre la función de transferencia y la respuesta en frecuencia resulta ser:
ω
ω
H
s
s jj
H
(
)
=
(
)
= Sistema LTI ) ( ) ( ) ( ω j E s E t e ) ( ) ( ) ( ω j R s R t r frecuencia en respuesta ) ( ncia transfere de función ) ( impulso al respuesta ) ( ⇒ ⇒ ⇒ ω j H s H t h •R, L, C, generadores1.8. La Función de Transferencia
De forma que se cumple que:
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ω ω ω E j H j j R s H s E s R t h t e t r ⋅ = ⋅ = ∗ =
{ }
{ }
ω ω ω j s s H j H t h j H t h s H = = = = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( F L• sólo existe si el sistema es estable: polos a la izquierda del eje ‘jω’ • La localización de polos en ‘ω’ indica máximos en
• La localización de ceros sobre ‘ω’ indica mínimos en
) (jω H ) ( jω H ) ( jω H
1.8. La Función de Transferencia
Así, si tenemos una función de transferencia con:
Ceros:
z
1=-3 (ω
=0) Polos:p
1=-2+j (ω
=1) yp
2=-2-j (ω
=-1) ) (jω H ω 1 -1{ }
s =σ Re{ }
s = jω Im -1 -2 -3 -1 1 1• Cuanto más cercanos estén los polos y los ceros al eje ‘jω’, más acentuados
serán, respectivamente, los máximos y los mínimos en H( jω)
1.8. La Función de Transferencia
1.8.2. Tipos de Filtros
Banda de paso (Frecuencia de corte) ) (jω H ω c ω − ωc Paso Bajo ) (jω H ω 1 c ω − 2 c ω − 2 c ω 1 c ω Paso Banda ) (jω H ω c ω − ωc Paso Alto ) (jω H ω 1 c ω − 2 c ω − 2 c ω 1 c ω Banda Eliminada Banda eliminada1.7. Aplicación de la Transformada de
Laplace a la resolución de circuitos
Ejemplo:
Suponiendo condiciones iniciales nulas, encontrar lafunción de transferencia y la respuesta en frecuencia, y representar el diagrama de polos y ceros, del siguiente circuito:
vg(t) R2=250 Ω C=1 μF L=50 mH R1=1 kΩ v0(t)
