Programa educativo para el diseño y revisión de vigas de concreto presforzado Primera edición

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(1)INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY CAMPUS MONTERREY. DIVISIÓN DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA PROGRAMA I)E GRADUADOS EN INGENIERÍA. PROGRAMA EDUCATIVO PARA EL DISEÑO YRE VISION DE VIGAS DE CONCRETO PRESFORZADO. TESIS PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL GRADO ACADEMICO DE. MAESTRO EN CIENCIAS ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA CIVIL CON ACENTUACIÓN EN INGENIERÍA ESTRUCTURAL. ALBERTO ANTONIO PALACIOS OTERO. MONTERREY, N.L.. MAYO DE 1999.

(2) INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY CAMPUS MONTERREY. DIVISIÓN DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA PROGRAMA EDUCATIVO PARA EL DISEÑO YREVISIÓN DE VIGAS DE. CONCRETO PRESFORZADO. TESIS PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL GRADO ACADEMICO DE. MAESTRO EN CIENCIAS ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA CIVIL CON ACENTUACIÓN EN INGENIERÍA ESTRUCTURAL. ALBERTO ANTONIO PALACIOS OTERO. MONTERREY, N.L.. MAYO DE 1999.

(3) INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY CAMPUS MONTERREY. DIVISIÓN DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA. PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA Los miembros del comité de tesis recomendamos que la presente tesis del Ing. Alberto Antonio Palacios Otero sea aceptada como requisito parcial para obtener el grado académico de: MAESTRO EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA CIVIL CON A CENT! TACIÓN EN INGENIERÍA A ESTRUCTURAL R Al.

(4) A Dios nuestro señor, por la gracia de permitirme vivir cada día. A mis padres Alberto y Marlitt, por el amor incondicional, comprensión y apoyo que me han brindado toda la vida.. A mis hermanos Marion y Yasser, por su amor y apoyo.. A mi querida Mayrita, por su amor, comprensión y ayuda.. A la memoria de mi querida abuelita Chela, que siempre ha sido un símbolo de luchay esperanza..

(5) Agradecimientos. Agradezco infinitamente a Dios nuestro Padre por todas las bendiciones que me ha dado a través de todos estos años de estudio, y humildemente ofrezco a El, los resultados de este trabajo.. A mis Papas, por sus sabios consejos, por todos los sacrificios por los que han tenido que pasar, y por su apoyo incondicional en todo momento.. A mis hermanos por su apoyo moral en la culminación de mis estudios.. Agradezco a mis maestros, por brindarme su amistad y por ser mis guías en el transcurso de este tiempo, muy en especial al Dr. Francisco Yeomans, a la Ing. Delma Almada y al Dr. Felipe Orozco, por su apoyo en la realización de esta tesis.. Agradezco al Dr. Cázares, al Ing. Matienzo y al Ing. Nungaray, por la oportunidad de servirles estos años como asistente del departamento.. Agradezco a mis grandes amigos, Ricardo, Enrique y Luis, por su amistad, y apoyo durante este tiempo que, compartimos juntos.. Agradezco a mi querida Mayrita, por su paciencia durante este último semestre y por su apoyo durante la carrera y la maestría..

(6) Contenido. Contenido Capítulo 1. Introducción 1.1 Concreto Presforzado 1.2 Visual Basic 5 1.3 Propósito y Alcance. Capítulo 2. Prediseulo de la Sección por Flexión. Capítulo 3.. Capítulo 4.. 1 1 3 5. 7. 2.1 Diseño de Secciones de Concreto Excedidas 2.2 Zona Límite del centroide del Tendón. 7 13. Pérdidas en ¡a Fuerza de Presfuerzo. 15. 3.1 Pérdidas Instantáneas 3.1.1 Pérdidas por Fricción 3.1.2 Pérdidas por Deslizamiento de la Cufia 3.1.3 Pérdidas por Acortamiento Elástico del Concreto 3.1.4 Pérdidas por Relajamiento de! Acero 3.1.5 Obtención de F, 3.2 Pérdidas Diferidas o Dependientes de! Tiempo 3.2.1 Pérdidas por Flujo Plástico del Concreto 3.2.2 Pérdidas por Retracción del Concreto 3.2.3 Pérdidas por Relajamiento de! Acero 3.2.4 Obtención de J~,. 15 15 16 19 22 23 24 24 25 26 28. Revisión por Esfuerzos Permisibles. 29. 4.1 Notación y Convención de signos 4.2 Determinación de los Esfuerzos Elásticos en Secciones de Concreto no Agrietadas 4.3 Determinación de las propiedades de la Sección de Concreto 4.3.1 Cálculo de Propiedades Gruesas 4.3.2 Cálculo de Propiedades Netas 4.3.3 Cálculo de Propiedades Transformadas 4.4 Esfuerzos Permisibles en la Sección de Concreto 4.5 Determinación de los Esfuerzos en el Acero de Presfuerzo 4.6 Esfuerzos Permisibles en el Acero de Presfuerzo. 29 29 30 31 32 32 33 34 34.

(7) Contenido. Capítulo 5. Resistencia Última por Flexión 5.1 Ecuaciones Propuestas por el ACI 5.2 Compatibilidad de Deformaciones 5.2.1 Esfuerzos en el Acero de Presfuerzo 5.2.1.1 Ecuaciones Recomendadas por el PCI 5.2.1.2 Ecuación de Ramberg Osgood Modificada.. 5.2.2 Esfuerzos en el Concreto 5.2.2.1 Teoría del Bloque Rectangular Equivalente.... 5.2.2.2 Teoría Propuesta por M.P.Collins y D.Mitchell (Teoría de Fibras) 5.2.3 Esfuerzos en el Acero Ordinario 5.2.4 Algoritmo para determinar el momento resistente por compatibilidad de deformaciones utilizando la teoría rectangular del bloque equivalente 5.2.5 Algoritmo para determinar el momento resistente por compatibilidad de deformaciones utilizando el método de fibras 5.3 Momento Resistente en Secciones no adheridas 5.4 Indice del Refuerzo 5.5 Momento de Agrietamiento 5.6 Revisión por Resistencia a Flexión. Capítulo 6. Resistencia Última por Corte 6.1 Contribución del Concreto a resistir la fuerza cortante 6.1.1 Falla por Corte en el alma 6.1.2 Falla por Flexión-Cortante 6.2 Contribución del Refuerzo a resistir la fuerza cortante 6.3 Separación Máxima 6.4 Area de Acero Mínima 6.5 Cálculo de la Separación Requerida. Capítulo 7. Revisión de Deflexiones 7.1 Deflexiones Instantáneas 7.1.1 Deflexiones por la Fuerza de Presfuerzo 7.1.1.1 Segmentos Lineales 7.1.1.2 Segmentos Parabólicos 7.1.2 Deflexiones por la Carga 7.1.2.1 Cargas Concentradas 7.1.2.2 Cargas Distribuidas. 11. 35 35 38 38 38 38 39 39 40 40 41. 43. 46 46 47 48. 51 51 51 52 53 54 55 55. 57 57 57 58 59 61 61 61.

(8) Contenido. Capítulo 8. 7.2 Deflexiones a Largo Plazo 7.2.1 Deflexiones en Secciones No Agrietadas 7.2.2 Deflexiones en Secciones Agrietadas 7.2.2.1 Relación Bi!ineal Momento-Deflexión 7.2.2.2 Momento de Inercia Efectivo. 62 63 64 64 67. Manual del Usuario 8.1 Introducción 8.2 Menú Principal 8.3 Menú de Archivo 8.4 Menú de Geometría 8.5 Menú de Propiedades 8.5.1 Sección Transversal 8.5.2 Concreto 8.5.3 Esfuerzos Permisibles 8.5.4 Acero de Presfuerzo 8.5.5 Acero de Refuerzo 8.6 Menú de Cargas 8.6.1 Cargas Primarias 8.6.2 Combinaciones de Carga 8.6.3 Fases de Revisión 8.7 Menú de Análisis 8.7.1 Momento 8.7.2 Cortante 8.7.3 Deflexión 8.8 Menú de Prediseño 8.8.lMagnel —Pi vs e 8.8.2 Magnel Pimin vs Pimax 8.8.3 Zona Límite 8.9 Menú de Revisión 8.9.1 Parámetros 8.9.1.1 Perfil del Presfuerzo 8.9.1.2 Acero de Refuerzo 8.9.1.3 Propiedades 8.9.2 Pérdidas 8.9.2.1 Parámetros 8.9.2.2 Pérdidas 8.9.3 Esfuerzos Permisibles 8.9.3.1 Gráfica de Esfuerzos 8.9.3.2 Secciones 8.9.4 Resistencia por Flexión 8.9.4.1 Parámetros 8.9.4.2 Gráfica de Momentos. 69. —. 111. 69 69 70 73 74 75 78 78 78 79 80 80 82 83 84 85 86 86 87 87 89 91 92 93 93. 94 95 96 96 98. 99 99 101 102 102 103.

(9) Contenido. 8.9.4.3 Secciones. 8.9.5 Resistencia por Corte 8.9.5.1 Parámetros 8.9.5.2 Gráfica de Cortante 8.9.5.3 Tabla de Cálculos 8.9.6 Cálculo de Deflexiones 8.9.6.1 Parámetros 8.9.6.2 Deflexiones Instantáneas 8.9.6.3 Deflexiones a Largo Plazo (Sostenidas) 8.9.6.4 Deflexiones a Largo Plazo (Totales) 9.loMenúdeReporte 9.11 Instalación y Requerimientos Conclusiones Recomendaciones Bibliografía. 103 105 105 105 106 107 108 109 110 110 111 lii 113 115 121. iv.

(10) ¡niroducción. CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN 1.1 CONCRETO PRESFORZADO El concreto presforzado se puede definir como el concreto en el cual han sido introducidos esfuerzos internos de tal magnitud y distribución que los esfuerzos resultantes de las cargas externas dadas se equilibran hasta un grado deseado. Estos esfuerzos internos se introducen aplicando un esfuerzo de tensión al acero de presfuerzo. El concreto es un material que trabaja a compresión. Su resistencia a la tensión es mucho más baja que a la compresión, y normalmente no se considera su aportación en el diseño. Por medio del presfuerzo del concreto se reducen o eliminan los esfuerzos de tensión a través de una cargade compresión previa a la aplicación de las cargas de diseño. El concreto presforzado permite tener mejores condiciones de servicio, control del agrietamiento y deflexión, y lo más importante, permite emplear materiales de alta resistencia. La reducción de las grietas del concreto y su mayor capacidad para resistir las cargas, permiten disminuir las secciones de concreto, reducir la relación carga muerta a la viva y aumentar los claros, que se traducen en una mayor economia Existen dos sistemas tradicionales para poder inducir la fuerza de presfuerzo en el concreto • •. Concreto pretensado Concreto postensado. El concreto pretensado se logra estirando o tensando los tendones del presfüerzo entre anclajes extremos antes de hacer el colado del concreto Una vez endurecido el concreto y que haya alcanzado una resistencia adecuada, se libera o corta el presfuerzo de sus anclajes para transmitir por adherencia la fuerza de presfuerzo. El concreto postensado se logra dejando los ductos y anclajes de! acero de presfuerzo en la sección de concreto al momento de! vaciado y una vez que el concreto haya alcanzado la resistencia adecuada, se tensan y anclan los tendones a la sección de concreto. Dependiendo de la presencia de los esfuerzos de tensión en el concreto presforzado lo podemos clasificar como: • •. Presforzado Completo Presforzado Parcial.

(11) Introducción. El presforzado completo consiste en la eliminación total de los esfuerzos de tensión en la sección de concreto bajo las cargas de servicio actuantes. En éste se puede eliminar la aparición de grietas bajo las cargas de servicio, pero tiene el inconveniente de producir combadura o deflexiones hacia arriba en los elementos, dependiendo de la presencia de las cargas no sostenidas (Viva). El presforzado parcial permite una cierta presencia de esfuerzos de tensión en la sección de concreto bajo la totalidad de las cargas de servicio. El presforzado parcial es la solución intermedia entre el concreto presforzado completo y el concreto reforzado. El permitir ciertos esfuerzos de tensión controlados permite una reducción en la cantidad del acero de presfuerzo, evita las combaduras o deflexiones hacia arriba excesivas en la ausencia de las cargas no sostenidas (Vivas). Las grietas formadas bajo la totalidad de las cargas son controladas por medio de acero ordinario. Una de las principales ventajas del concreto presforzado es la reducción en los tiempos de construcción, al ser un concreto que se puede fabricar en planta de una manera industrializada, reduce la utilización excesiva de cimbra y permite el manejo de claros más grandes y mejora las condiciones de servicio comparado con el concreto reforzado. El proceso de revisión y diseño de vigas de concreto presforzado lo podemos resumir en los siguientes pasos: •. • • •. Prediseffo de la sección de concreto, fuerza de presfuerzo y excentricidad del tendón del presfuerzo. Cálculo de las pérdidas en la fuerza de presfuerzo debido a las condiciones de construcción y de los materiales al momento de fabricar la viga. Revisión de los esfuerzos en la sección de concreto y acero de presfuerzo en las etapas más críticas: de transmisión y de servicio. Revisión de la resistencia última por flexión de la sección. Revisión de la resistencia última por corte de la sección. Revisión de las deflexiones en la viga (instantáneas y a largo plazo).. 2.

(12) Introducción. 1.2 VISUAL BASIC 5 El Visual Basic 5 es una poderosa herramienta para el desarrollo de aplicaciones con el sistema operativo de Microsoft Windows 98/95. El paquete no solo incluye un lenguaje de programación familiar y accesible sino también un eficiente ambiente interactivo para diseñar formas y ventanas. Con ésta combinación única, Visual Basic 5 simplifica las labores de programación, reduce los tiempos de desarrollo de la aplicación y mejora la calidad del producto terminado. Desarrollar un aplicación para Windows solía requerir un programador experto en lenguaje C y mucho más información de programación y espacio disponible para el compilador de C; con Visual Basic 5 uno puede diseñar rápidamente los elementos visuales de cualquier nuevo programa. La interface creada puede utilizar la variedad de controles que los usuarios de Windows ya conocen como operar (botón de comandos, lista de opciones, cajas de textos, barras de desplazamientos, etc.) Lo que hace a Visual Basic 5 ser diferente a cualquier otra herramienta de programación es la facilidad con la que se diseña la pantalla. Se puede dibujar literalmente la interfaz del usuario, parecido a la forma de dibujar en un programa de dibujo. Además una vez dibujados, los botones de órdenes, caja de textos y otros controles, reconocerán automáticamente las acciones del usuario, tales como el movimiento de! ratón y los clic en los botones. Después de diseñar la interface del usuario es cuando se empieza a hacer algo que se parezca a la programación. Los objetos de Visual Basic 5 reconocerán sucesos como los clic del raton, la forma en que los objetos respondan dependera del codigo que se escriba Se necesitará escribir códigos para que los controles respondan a los usuarios. Todo ‘esto hace que Visual Basic 5 sea diferente a los programas convencionales. Los programas en los lenguajes convencionales se ejecutan de arriba a abajo. En los antiguos lenguajes de programación la ejecución comienza en la primera línea y se desplaza con el flujo del programa a las distintas partes según se necesite. Con Visual Basic 5 los programas funcionan de un modo totalmente diferente. El núcleo de un programa en Visual Basic 5 es un conjunto de diferentes partes de código que son activados por, y que solamente responden a, los sucesos que se les han indicado que reconozcan. Esto es un avance fundamental, ahora, en lugar de diseñar un programa que haga lo que el programador piense que debe hacer, el usuario tiene el control, lo que permite una mayor participación del usuario en el desarrollo del programa. La mayor parte del código de programación en Visual Basic 5 indica al programa el modo de responder a determinados sucesos, como el clic del ratón, en lo que en Visual Basic se denominan procedimientos de suceso. Esencialmente, cualquier cosa ejecutable en Visual Basic 5 es, o bien un procedimiento de suceso, o es utilizada por un procedimiento de suceso para ayudar al procedimiento a realizar su trabajo.. 3.

(13) Introducck$iz. Los programas controlados por suceso, como Visual Basic 5, son más reactivos que activos, lo que hace que sean más amigables con el usuario. Los pasos a seguír para desarrollar una aplicación en Visual Basic 5 los podemos resumir en los siguientes: • • • •. Personalizar la ventana que utiliza el usuario. Decidir los sucesos que deben reconocer los controles en la ventana. Escribir los procesos de sucesos para los controles. Escribir cualquier procedimiento que necesiten los procedimientos de suceso para realizar su labor.. 4.

(14) Introducción. 1.3 PROPÓSITO Y ALCANCE El objetivo de esta tesis es desarrollar un programa educativo para el análisis, diseño y revisión de vigas de concreto presforzado. La teoría que utiliza el programa es la que se estudia en un curso básico de diseño de estructuras de concreto presforzado; con el objeto de permitir al estudiante que cursa esta materia, poder afianzar los conocimientos aprendidos y ayudar en el proceso de enseñanza-aprendizaje. El programa se realizó con el paquete de programación Visual Basic 5, debido a su facilidad para crear interfaces amigables con el usuario y al control que se le proporciona al usuario en la ejecución del programa, lo que permite el involucramiento del estudiante en el proceso de diseño de estructuras de concreto presforzado.. 5.

(15) Prediseflo por Flexión. CAPÍTULO 2 PREDISEÑO POR FLEXIÓN Para el diseño de la fuerza de presfuerzo definitivamente sólo puede usarse el criterio de servicialidad, es decir teoría elástica. Por resistencia sólo podría diseñarse la cantidad de acero requerido, pero no la fuerza de presfuerzo, puesto que para que ésta exista el acero deberá de esforzarse no más allá de su límite elástico. Existen dos métodos que adoptan el criterio elástico para el diseño por flexión. El método de los esfuerzos permisibles es uno de ellos, y el método de la carga balanceada es el otro. El que se programO debido a que es más completo fue el método de los esfuerzos permisibles. E! método de los esfuerzos permisibles establece como requerimientos para diseñar, tanto para la sección de concreto como la fuerza de presfuerzo, que los esfuerzos desarrollados por las cargas de servicio no sobrepasen ciertos límites que llamamos esfuerzos permisibles. Los requerimientos son tanto para la fase inicial como para la fase final, también llamadas fase de transmisión y fase de servicio. E! método de los esfuerzos permisibles permite diseñar la sección de concreto así como la fuerza de presfuerzo con su excentricidad. Una vez conocida la magnitud de la fuerza de presfuerzo se puede determinar la cantidad de acero suponiendo que el esfuerzo desarrollado en él es igual al permisible. En el programa se incluyeron los siguientes opciones de predisefío basados en el método de los esfuerzos permisibles: • •. Diseño de secciones de concreto excedidas. Zona límite para el centroide del tendón.. 2.1 Diseño de secciones de concreto excedidas El diseño de secciones de concreto óptimas (en las que se desarrollan los esfuerzos permisibles en la sección de concreto) no resulta, en muchas ocasiones, en la sección más económica o en la sección más adecuada desde el punto de vista práctico. Por ejemplo se puede requerir a una viga I para aprovechar el patín como sistema de piso; pero resulta que para que el diseño sea óptimo tiene que ser una T invertida y al colocarla con el patín hacia arriba quedaría con sección excedida. En una sección excedida los esfuerzos desarrollados serán (en magnitud) menores a los permisibles. Por lo cual, para diseñar la fuerza de presfuerzo requerida ya no son válidas las ecuaciones para secciones óptimas, que están en función de los esfuerzos permisibles que se supone se desarrollarán y que se presentan a continuación:. 7.

(16) Prediseño por F1exió,~. En secciones excedidas estas ecuaciones tendrían que expresarse en función de los esfuerzos desarrollados:. LÇ~.. Esfuerzo debido a la fuerza de presfuerzo en el centroide de la sección de concreto. Como podemos observar, ahora, tanto la fuerza de presfuerzo como su excentricidad están en función de los esfuerzos desarrollados que no se conocen ni se pueden conocer puesto que a su vez, dependen d Una forma de resolver el problema podría ser fijando los esfuerzos desarrollados a ciertos valores menores, en valor absoluto, que los permisibles. El inconveniente de igualar los esfuerzos desarrollados a ciertos valores es que las alternativas de solución son infinitas y dríamos que seleccionar la que nos diera la combinación de P, y e más económica, es ir, la fuerza de presfuerzo más pequeña. Magnel sugirió una solución gráfica, que actualmente gracias a las computadoras vuelve a cobrar actualidad, siendo su aplicación relativamente sencilla, La solución que nos propone Magnel consiste en determinar cuatro desigualdades, que son resultado de satisfacer los requerimientos de esfuerzos permisibles (dos en la fase inicial y dos en la fase de servicio), en cuya región solución (de estas cuatro desigualdades) se encuentran todas las posibles combinaciones de F, y e, y es sumamente sencillo seleccionar la más económica.. 8.

(17) Prediseño por Flexión. En la fibra inferior: ~ j~ ó también. ~21. b) En la fase final: En la fibra inferior:. ~. ~. ó también. En la fibra superior:. ~. ~. ó también. Donde: Esfuerzo en la fibra superior en la fase inicial. f2~ Esfuerzo en la fibra inferior en la fase inicial f2~ Esfuerzo en la fibra inferior en la fase de servicio (Total) =. =. = =. Esfuerzo en la fibra superior en la fase de servicio (Total) Esfuerzo permisible a tensión en la fase inicial. f~1=Esfuerzo permisible a compresión en la fase inicial =. Esfuerzo permisible a tensión en la fase de servicio (Total). =. Esfuerzo permisible a compresión en la fase de servicio (Total). R = Razón de pérdidas de la fuerza de presfuerzo M0 = Momento debido al peso propio M~ Momento debido a la totalidad de las cargas En las ecuaciones anteriores, las incógnitas son Pi y e, puesto que las ecuaciones son cuatro la solución es una región, de la cual debemos escoger la combinación de Pi y e que resulte más económica, pero que al mismo tiempo sea posible desde el punto de vista práctico. Estas igualdades-desigualdades las podemos reescribir en la siguiente forma, para facilitar sus gráficas:. 9.

(18) Prediseño por Flexió,. Las gráficas típicas de estas igualdades-desigualdades las podemos ver en la figura que se presenta a continuación:. Diagramas de Magnet para el diseño de Pi y e Las rectas 1 y 2 nos dan el límite superior de Pi y las rectas 3 y 4 nos dan su límite inferior, es decir el valor máximo y mínimo que puede tomar la fuerza de presfuerzo para cumplir con los cuatro requerimientos (dos en la fase inicial y dos en la fase final). En algunos casos, por ejemplo cuanto se tienen vigas T, puede resultar la recta 4 con pendiente negativa, esto quiere decir que el término M~/ S~ que es el esfuerzo desarrollado por las cargas en la fibra superior, resulta más pequeño que el término ~ que es el esfuerzo permisible a compresión en la fase final, esto se debe a que el área a. lo.

(19) Prediseflopor Flexión. compresión esta sobrada y teóricamente la fuerza de presfuerzo puede ser muy grande, es decir, se elimina la recta y amplia la región solución. En secciones cercanas a los apoyos, también la recta 3 resulta con pendiente negativa (pues desapareciendo del diagrama de Magnel. Esto quiere decir que la fuerza de presiuerzo no tiene límite inferior (puede ser cero), sólo límite superior. Usando el diagrama de Magnel podemos determinar la fuerza de presfuerzo que podemos tener en los apoyos conservando la excentricidad constante a lo largo de la viga. Esto nos dará la pauta para saber cuantos cables tenemos que dejar adheridos en secciones cercanas a los apoyos en una viga pretensada.. uiagrama ae iviagnei para una seccion en ci apoyo La combinación de Pi y e más económica, según el diagrama de Magnel corresponde al cruce de la recta I con la 3 pues en ese punto la fuerza de presfuerzo toma su mínimo valor. Sin embargo, es común que para ese punto la excentricidad de la fuerza sea tal que el acero de presfuerzo quede fuera de! concreto o inadecuadamente recubierto. En estos casos lo que se hizo fue estimar la excentricidad máxima que se le puede dar al acero y con ella entrar al diagrama para calcular los valores mínimo y máximo que puede tomar la fuerza de presfuerzo. Para estimar la excentricidad máxima debe darse como un dato un valor para el recubrimiento mínimo del centroide de! acero de presfuerzo. Una vez que se ha determinado Pi, se puede determinar el área del acero y el número de cables con su consiguiente arreglo en la sección de acuerdo a las especificaciones en cuanto a separación y recubrimientos se refiere. Esto nos permitirá determinar el valor real del recubrimiento del centroide de! acero de presfuerzo y mejorar nuestro diseño. Si se desea mantener la excentricidad constante a lo largo de la viga tendrán que revisarse las secciones de! extremo hacia la de máximo momento para determinar los tramos donde habrá acero no adherido (y cuánto). Para esto se puede usar la misma técnica de Magnel descrita, que nos indicará los límites máximo y mínimos para la fuerza de presfuerzo en esas secciones.. 11.

(20) Prediseño por Flexión. Es import~u-~te indicar que la técnica de Magnel, también es válida para secciones de Concreto óptimas. Incluso, como éstas usualmente están un poco sobradas, pues por razones de orden práctico se redondean las dimensiones aumentándose los módulos de la sección, co~la técnica de Magnel se puede afinar la fuerza de presfuerzo. Teóricamente, para una sección óptima, la líneas 2 y 3 se juntan, al igual que las líneas 3 y 4, existiendo sólo dos líneas en el cruce de las cuales tendremos la solución óptima. En el programa se usaron dos opciones para programar este método que se denoi-nínaron de la Siguiente manera: • •. Magnel Pi vs e Magnel Pimin-Pimax. En Magnel Pi vs e, el programa establece la excentricidad basado en la combinación más económica de p, y e, comparándola con la Ciflax de la sección. Sin embargo como programa encuentra la combinación más económica para cada una de las secciones de viga, el perfil del tendón puede ser que no sea el mejor. Por lo que se decidió incluir opción de establecer el perfil del tendón y que el programa únicamente muestre la ~ ~,max’. para ese perfil, que fue lo que se programó en la opción de Magnel Pimin-Pimax. En el caso que la sección de concreto seleccionada tuviera los módulos de sección elásticos menores a los mínimos requeridos, el programa muestra los valores mínimos de los módulos de sección elásticos. Los módulos de sección elásticos mínimos requeridos se obtuvieron con la siguientes ecuaciones, que resultan de suponer que la sección de concreto sea la óptima (Las curva5 iguales): -.

(21) 2.2 Zona límite para el centroide del tendón Esta opción permite establecer cual es la excentricidad máxima y mínima que se le puede dar al centroide del acero de presfuerzo a lo largo de la viga, dada una fuerza de presfuerzo constante. Esta opción puede ser de mucha ayuda para determinar la forma que puede tener el perfil del acero de presfuerzo, una vez que se establece el valor de la fuerza de presfuerzo. Las ecuaciones que se utilizaron se obtuvieron de la siguiente manera: a) En la fase inicial: En la fibra superior:. Despejando el valor de la excentricidad:. En la fibra inferior:. Despejando el valor de la excentricidad:. b) En la fase final: En la fibra inferior:.

(22) Despejando el valor de la excentricidad:. El menor valor de excentricidad de las ecuaciones 2.15 y 2.17 nos dan la máxima excentricidad que puede tener el perfil del tendón y el mayor valor de excentricidad de las ecuaciones 3.19 y 3.21 nos dan la mínima excentricidad que puede tener el perfil del tendón. El diagrama de la zona límite del tendón puede ser de mucha ayuda, pero sin embargo para poder establecer la fuerza de presfuerzo, es necesario utilizar antes la opción de diseño de secciones de concreto excedidas, para obtener un valor de fuerza de presfuerzo adecuado.. 14.

(23) Pérdidas en ¡a Fuerza de Presfuerzo ~~fl ~. ~. CAPÍTULO 3 PÉRDIDAS EN LA FUERZA DE PRESFUERZO La fuerza de presfuerzo no es constante a lo largo de la vida útil de la viga. Desde el momento en que se tensa el acero de presfuerzo, el esfuerzo inducido se disminuye por diversas causas. Estas pérdidas las podemos clasificar en instantáneas y diferidas o dependientes del tiempo. En el programa se consideraron las siguientes pérdidas •. Pérdidas instantáneas • Fricción • Deslizamiento de la cufla de anclaje Acortamiento elástico del concreto • Relajamiento del acero de presfuerzo. •. Pérdidas diferidas • Flujo plástico del concreto • Retracción del concreto • Relajamiento del acero de presfuerzo. 3.1 Pérdidas instantáneas 3.1.1 Pérdidas por fricción Las pérdidas por fricción son producidas por el deslizamiento que existe entre el acero de presfuerzo y los ducto para la construcción postensada y los orificios de las formas para la construcción pretensada. En la construcción pretensada esta pérdida es prácticamente nula, por lo que su aportación es despreciable. En la construcción postensada la pérdida por fricción dependerá de la curvatura que presente el ducto. Esta curvatura se debe a dos factores, uno debido a la curvatura intencional para obtener el perfil deseado y otra no intencional debido al proceso constructivo. La ecuación que se utilizó para considerar esta pérdida es la adoptada por el Ad, la cual está en función de un coeficiente de fricción (,u) para tomar en cuanta la curvatura intencional y un coeficiente de oscilación (K) para considerar la curvatura no intencional. Dicha ecuación es la siguiente’: ‘“Recommendations for Estimating Prestress Losses,” reported by PCI Committee on Prestress Losses, J.PCI, Vol 20, No.4, JulyAugust 1975 pp 43-75 — ....

(24) Donde:. El procedimiento que se utilizó para calcular las pérdidas por fricción para cada tendón es la siguiente: 1. 2. 3. 4.. Dividir cada tendón de presfuerzo en 101 puntos igualmente espaciados. Para cada punto se calculó su pendiente de acuerdo al perfil seleccionado. Se estableció en que extremo de! tendón se tiene e! anclaje activo. Se utilizó la ecuación por pérdidas de fricción arriba expuesta desde el punto donde esta el anclaje activo hacia el otro extremo del tendón. El esfuerzo en el punto donde está el anclaje activo es el esfuerzo transmitido por el gato. En el cálculo de a se utilizó el valor absoluto de la diferencia de pendientes entre los puntos.. Las pérdidas por fricción calculadas con el procedimiento anterior son diferentes para cada tendón de presfuerzo, ya que varían en proporción a su curvatura.. 3.1.2 Pérdidas por deslizamiento de la cuña de anclaje Básicamente existen dos sistemas de anclaje, el anclaje a base de tuercas y el anclaje a base de cuñas. El anclaje a base de tuercas no presenta mayor problema, en cuanto a pérdida de esfuerzo se refiera, pues estás estaría en función de la deformación de los herrajes de anclaje que sería mínima, por lo cual se desprecia. El anclaje a base de cuñas sí es una fuente de pérdidas en el esfuerzo que puede ser significativa su consideración, pues su deslizamiento permite que el acero de presfuerzo recupere en algo su longitud original convirtiéndose en una pérdida de esfuerzos. Debido a que la fricción juega un papel muy importante en este tipo de pérdidas, los cálculos para sistemas postensados y pretensado se calculan de diferente manera.. 16.

(25) Pérdidas por deslizamiento de cuña en sistemas pretensados En la construcción pretensada la fricción existente entre los cables y los orificios de las formas o anclajes es despreciable; por lo que el deslizamiento de la cuña de anclaje se reparte uniformemente en toda la longitud del cable. La ecuación que se utilizó para considerar este tipo de pérdida es la siguiente2:. Deslizamiento que experimenta la cuña al aflojar el gato. ‘ongitud del Cable (A lo largo de toda la cama de tensado). Módulo de Elasticidad del Acero de Presfuerzo. Debido a que normalmente en la construcción pretensada todos los cables en la cama de tensado tiene la misma longitud, todos los cables y todas las secciones de cable a lo largo de la viga, tendrán la misma pérdida debido al deslizamiento de la cufla.. Pérdidas por deslizamiento de duña en sistemas postensados Para el cálculo de la pérdida por deslizamiento de la cufia se dividió en dos casos dependiendo de la distancia a la cual se disipa por la fricción el efecto del deslizamiento. La distancia en la cual, por la fricción, se disipa el efecto del deslizamiento de la cuña se calculó de la siguiente manera: Suponiendo una variación lineal de las pérdidas debido a la fricción, las pérdidas debido al deslizamiento de la cuña. la podemos obtener de la siguiente manera:. Pérdida de esfuerzo en el acero de presfuerzo por deslizamiento de cuñas 2. Nilson, Arthur.H., “Design of Prestressed Concrete”, 2I’d. Edition, John WHey & Sons, USA,1987, pp. 264-265.. 17.

(26) Para la primera sección donde se considera aplicado el fpj, la pérdida de esfuerzo por e. Pérdidas en la Fuerza de Presfuerz~. deslizamiento de la cuña estará dado por:. para encontrar la x debemos de encontrar la distancia a partir del anclaje activo en la cual. Para hacer lo anterior, como ya se tienen evaluados para cada sección los esfuerzos incluyendo las pérdidas por fricción, se fue verificando a partir del anclaje activo el punto donde la diferencia entre. y una vez encontrado ese punto se realizó. una interpolación para encon. de la x entre ese punto y el anterior. Si ningún. punto cumple con que fp1. entonces se estableció que la x >. —.. 3:. Dependiendo del valor de la x, las pérdidas se calcularon de la siguiente manera. El esfuerzo para cada sección incluyendo las pérdidas por deslizamiento de la cuña se calculó, usando funciones de singularidad como:. Para el primer caso las pérdidas para todas las secciones de cada tendón son iguales, pero para el segundo caso para cada tendón las pérdidas son diferentes para cada sección. ‘Huang, 1., “Anchorage Takeup Loss in Posttensioned Members,” J.PCI, Vol 14, No. 4, August 1969, pp. 30-35.. 18.

(27) Pérdidas en la Fuerza de Presfuerzo. 3.1.3 Pérdidas por acortamiento elástico de! concreto Al transmitir la fuerza de presfuerzo de! acero al concreto, éste se acortará elásticamente permitiendo que el cable recupere en algo su longitud origina!, lo que ocasionará una pérdida en el esfuerzo del cable. Para la construcción pretensada será significativo la forma en que se aflojen el acero de sus anclas para trasmitir la fuerza de presfuerzo del concreto. Es muy común, sobretodo en plantas grandes, que todos los cables se aflojen simultáneamente, sin embargo en plantas pequeñas puede suceder que se aflojen secuencialmente, por lo que se contempló en el programa esta situación. En la construcción postensada, definitivamente, por razones de orden práctico, el tensado de los tendones se hace uno a la vez secuencialmente en base a un plan preestablecido para no inducir esfuerzos desfavorables en el concreto. Acortamiento elástico en concreto pretensado Para el concreto pretensado se consideraron dos casos. El primero si todos los cables se aflojan simultáneamente, y el segundo cuando los cables se aflojan uno a la vez secuencialmente. Todos los cables se aflojan simultáneamente. En este caso, por la ley de Hooke, la pérdida se obtuvo por la siguiente expresión:. Donde debido a la adherencia entre el acero y el concreto e~,= e~,y esta última deformación, que ocurre debido al acortamiento elástico del concreto, está dada por:. 19.

(28) Pérdidas en la Fuerza de Presfuerz~. En la ecuación anterior para el cálculo de ]~se supuso como O.9P1, y las propiedades d la sección transversal, se calcularon dependiendo de lo que el usuario seleccionó, cor propiedades gruesas ó transformadas. Los cables se aflojan uno a la vez secuencialmente Para este caso, el primer cable que se afloje es el que experimentará más pérdida, debidc a que cada vez que se afloje los siguientes cables el concreto se acortará haciendo que este primer cable vuelva a recuperar algo de su longitud original; el último cable en aflojarse es el que menos pérdida experimenta. 4: La pérdida de esfuerzo se calculó para cada cable según la siguiente ecuación. en el cable considerado después de pérdidas por deslizamiento de la cuña de! acero sección del cable considerado en los demás cables después de pérdidas por deslizamiento de la cuña y ~lacero sección de cada uno de los demás cables lad de los cables a sección de concreto (Usando propiedades gruesas ó transformadas) giro de la sección de concreto (Usando propiedades gruesas, netas ó. Debido a que para cada sección a lo largo del cable, varía el M. 0 , e, y las propiedades de la sección sí se utilizan propiedades netas ó transformadas, se utilizó la ecuación anterior para cada una de las secciones de los cables a lo largo de la viga. Para utilizar la ecuación anterior se comenzó con el último cable en aflojarse. La ecuación anterior sirve para determinar la pérdida del cable n cuando ya se aflojaron los N cables. El primer término dentro de los corchetes representa la contribución del cable considerado, y el segundo término la contribución subsecuente de los siguientes cables en aflojarse.. Khachaturian, N.y (iurfinkel, (1, 1979, “Concreto Presforzado”, P ed, Diana.. 20.

(29) Pérdidas en la Fuerza de Presfuerzo .......~. ..~. %~.~‘4r’. Acortamiento elástico en concreto postensado Regularmente en la construcción postensada se puede dar el caso de tener un sólo tendón. En este caso no habrá pérdidas de esfuerzo por acortamiento elástico del concreto, pues el gato se apoya directamente sobre el concreto y se pueden compensar directamente el acortamiento del concreto en el mismo acto de tensado. Sólo que haya más de un tendón habrá pérdidas por acortamiento elástico del concreto, pues el primero experimentará el acortamiento elástico ocasionado por el tensado de los siguientes tendones. En el programa para evaluar este tipo de pérdidas se consideraron dos opciones: Cuando todos los tendones se tensan al mismo tiempo, en el cual no habría pérdidas por acortamiento elástico del concreto, y cuando se tensan de una manera secuencial. Para este último caso se utilizó la siguiente fórmula5:. Debido a que en ésta etapa los cables no se encuentran adheridos a la sección del concreto, todas las secciones para cada tendón tendrán la misma pérdida, por lo que se obtuvo un promedio de las pérdidas para evaluar la pérdida por acortamiento elástico de cada tendón.. =Esfuerzo en los demás cables después de pérdidas por fricción, deslizamiento de la la y acortamiento elástico del concreto por los tendones que ya hayan sido tensados. = Área de sección de cada uno de los demás cables Excentricidad de los cables. Área de la sección de concreto (Usando propiedades gruesa o netas) ‘Radio de giro de la sección de concreto (Usando propiedades gruesas o netas) =. p~la,n=. Pérdida de presfuerzo promedio para cada tendón.. Khachaturian, N. y Gurfinkel, 0., 1979, “Concreto Presforzado”, I’ ed, Diana.. 21.

(30) Pérdidas en ¡a Fuerza de Presfuerz. En el caso de vigas POstensadas, la pérdida por acortamiento elástico de! concreto, debid a que no has adherencia todavía entre el tendón y la sección del concreto, las pérdida para todas las secciones de cada tendón serán iguales.. 3.1.4 Pérdidas por relajamiento del acero de presfuerzo (Pretensado). El relajamiento del acero es un fenómeno fisico que redunda en pérdida de esfuerzo deformación constante. Depende principalmente del tiempo y del nivel de esfuerzo inicia a que se somete el acero. Aunque el relajamiento del acero que ocurre en el tiempo que transcurre entre el tensadc y la transmisión de la fuerza del acero al concreto, en la construcción pretensada, nc constituye una pérdida de esfuerzo instantánea, debe substraerse del esfuerzo inducidc por el gato para a continuación calcular las pérdidas instantáneas. Las pérdidas instantáneas por relajamiento del acero en vigas pretensadas se calcularor utilizando la siguiente ecuación6:. Liujiue; t, =. Tiempo cuando se tensan los tendones.. Las ecuaciones anteriores suponen un intervalo mínimo de tiempo de una hora entre el tensado y la transmisión de las fuerzas. En la ecuaciones anteriores, sí las pérdidas resultan positivas se supusieron iguales a cero, ya que no habría relajamiento en el acero de presflierzo. Las pérdidas instantáneas por relajamiento del acero son iguales para todas las secciones de cadatendón.. ~Magura, D.D., Sozcn, MA., and Siess, C.P, “A Study of Stress Relaxation in Prestressing Reinforcement,” J.PCI, Vol.9, No.2, April 1964, pp.13-5 7.. 22.

(31) Pérdidas en la Fuerza de Presfuerzo O*~~4.. 3.1.5 Obtención de F~ Una vez evaluadas todas las pérdidas instantáneas se prosiguió a evaluar la fuerza de presfuerzo inicial y la excentricidad del centroide del acero de presfuerzo en la fase inicial. Para realizar lo anterior para cada sección a lo largo de cada tendón, se calculó el esfuerzo reducido por las pérdidas instantáneas.. Una vez que se obtuvieron los esfuerzos en la fase inicial se calcularon la excentricidad del centroide del tendón y la fuerza de presfuerzo en la fase inicial de la siguiente manera:. Esfuerzo después de pérdidas instantáneas en el tendón k y en la sección x Alendónk = Área del tendón k ekX = Excentricidad del tendón k en la sección x. fPI,k,~=. e~=. Excentricidad de! centroide del acero de presfuerzo en la sección x. =. Fuerza de presfuerzo inicial en la sección x. 23.

(32) Pérdidas en la Fuerza de Presfuerzo. 3.2 Pérdidas diferidas 3.2.1 Pérdidas por flujo plástico del concreto El flujo plástico lo podemos definir como un cambio en la longitud del elemento (acortamiento) a esfuerzo constante. Aunque, debido a las pérdidas que experimenta la fuerza de presfuerzo el esfuerzo no es constante, para efectos prácticos se considera como tal un valor promedio del mismo. Este acortamiento producirá que el acero recupere parte de su longitud original, produciendose una pérdida en la fuerza de presfuerzo.. Coeficiente de flujo plástico último. La deformación adicional por flujo plástico (se,,) está relacionada con el esfuerzo en el concreto (no mayor de 0.5 f~)en una forma casi lineal, por lo tanto se puede definir el coeficiente de flujo plástico como la relación de la deformación por flujo plástico a la deformación elástica inicial.. La pérdida por flujo plástico en el acero estará dada por la ley de Hooke como:. pero por la ley de Hook. Donde:. 24.

(33) Pérdidas en ¡a Fuerza de Presfuerzo. Se utilizó el 90% de la fuerza de presfuerzo inicial en lugar de su totalidad por recomendación ( A.H.Nilson, 1987) para considerar que las pérdidas diferidas no son independientes entre sí. Las pérdidas por flujo plástico para vigas pretensadas y postensadas con cables adheridos, será diferente para cada sección. Sin embargo para concreto postensado con cables no adheridos, la pérdida será más o menos uniforme en todo el elemento, debiéndose tomar un valor promedio para f~.1entre anclajes. En el programa se calcularon las pérdidas por flujo plástico para cada tendón, utilizando la Pi de cada sección y la excentricidad de cada tendón. En el caso de que los cables no estén adheridos las pérdidas para cada tendón serán iguales para todas las secciones utilizando un promedio para el cálculo de Se utilizó un valor básico recomendado por Branson, el cual se tiene que modificar por dos factores que dependen del tiempo en el que se tensan ó7.cortan los cables y de la humedad relativa del medio ambiente en el cualtrabajará la viga Para concreto curado con humedad y edades de carga mayores de 7 días:. Para concreto curado por vapor y edades de carga mayores a un día:. Para humedades relativas de! medio ambiente mayores de 40%. 3.2.2 Pérdidas por retracción del concreto La retracción del concreto es un fenómeno físico que básicamente consiste en el acortamiento del elemento por la pérdida de humedad (agua libre que no se necesita para la hidratación del cemento). Este acortamiento empieza a ocurrir desde el mismo instante en que empieza el fraguado de! concreto. Debido a que parte del acortamiento empieza cuando todavía no se ha transferido la fuerza a la sección de concreto, no será causa de pérdida de esfuerzo en el acero. Para. Branson,D.E. and Kripanarayanan, KM., “Loss ofPrestress, Camber and Deflection ofNon-Composite and Composite Prestressed Concrete Structures,” J.PCI, Vol. 16, No. 5, September 1971, pp. 22-52.. 25.

(34) Pérdidas en ¡a Fuerza de Presfuerzo. poder considerar solo el acortamiento que ocurre cuando exista fuerza de presfuerzo, se utilizó la siguiente expresión desarrollada por D.E.Branson y Kripanarayanan8: Para concreto curado con humedad:. =. deformación por retracción a cualquier tiempo t. = deformación última por retracción ~.iempotranscurrido, en días. Esta ecuación se tienen que modificar para humedades relativas diferentes a las que se prestablecieron en la investigación, el factor por humedades relativas diferentes que se uso es el siguiente:. Las pérdidas por retracción en base a lo anterior se calcularon con la siguiente fórmula:. programa. ~‘sh,If se. propuso igual a. rdida por retracción del concreto será igual para todos los cables, ya sea pretensada ;ensada.. Pérdidas por relajamiento del acero de presfuerzo Para poder obtener las pérdidas por relajamiento tuvimos que distinguir entre la construcción postensada y pretensada. 8. Ibidem. 26.

(35) Pérdidas en la Fuerza de Presfuerzo. Para concreto pretensado se utilizó9: Para aceros de relajamiento normal: -. /. \. —-. I. \. ... -. i. ~. -. -. Donde: = tiempo final, en horas =. tiempo en la transferencia, en horas. Para concreto postensado se utilizó:. Para aceros de relajamiento normal:. Para aceros de bajo relajamiento: 1. \i.-.. .... Para considerar la interdependencia de las pérdidas dependientes del tiempo se utilizó como una recomendación usar el 90% d& . -. En la ecuaciones anteriores, silas pérdidas resultan positivas se supusieron iguales a cero, ya que no habría relajamiento en el acero de presfuerzo.. Magura, D.D., Sozen, MA., and Siess, C.P., “A Study ofStress Relaxation in Prestressing Reinforcement,” J.PCI, Vol.9, No.2, April 1964, pp. 13-57. Nilson, Arthur.H., “Design of Prestressed Concrete”, 2”~Edition, John Wiley & Sons, USA, 1987, pp. 264-265.. 27.

(36) Pérdidas en la Fuerza de Presfuerzo. 3.2.4 Obtención de J~ Una vez evaluadas todas las pérdidas diferidas se prosiguió a evaluar la fuerza de presfuerzo efectiva y la excentricidad del centroide del acero de presfuerzo en la fase de servicio. Para realizar lo anterior para cada sección a lo largo de cada tendón, se calculó el esfuerzo reducido por las pérdidas instantáneas y diferidas.. ma vez que se obtuvieron los esfuerzos en la fase de servicio se calcularon la xcentricidad del centroide del tendón y la fuerza de presfuerzo en la fase de servicio de a siguiente manera:. = Esfuerzo después de pérdidas instantáneas y diferidas en e! tendón k y en la sección x Área del tendón k ~xcentricicladde! tendón k en la sección x .=. ~centricidaddel centroide del acero de presfuerzo en la sección x uerza de presfuerzo efectiva en la sección x. 28.

(37) Revisiónpor Esfuerzos Permisibles. CAPÍTULO 4 ANÁLISIS POR ESFUERZOS PERMISIBLES Analizar una viga por esfuerzos permisibles lo entenderemos como la determinación de los esfuerzos que ocurren tanto en la sección de concreto como en el acero de presfuerzo para las cargas de servicio y la comparación de éstos con los esfuerzos permisibles que marcan los diferentes reglamentos. El análisis por esfuerzos permisibles se revisó para las siguientes fases:. 4.1 Notación y convención de signos La notación que se siguió en el programa será la adoptada por el ACI. La convención de signos que se usó es la que comúnmente se utiliza en Mecánica Elástica. Las fuerzas y esfuerzos de tensión con sus correspondientes deformaciones se consideraron positivos, siendo negativos los de compresión. Las distancias arriba del eje centroidal serán negativas, y positivas medidas hacia abajo. Los momentos serán negativos cuando la curvatura sea cóncava hacia arriba, y positiva para concavidad hacia abajo. Esfuerzos, deformaciones y propiedades con subíndice uno se refieren a la fibra superior de la sección; e! subíndice dos será reservado para la fibra inferior.. 4.2 Determinación de los esfuerzos elásticos en secciones de concreto no agrietadas En el programa se supone que los esfuerzos desarrollados en el concreto no se salen de su rango lineal elástico y que la sección de concreto no se agrieta. El problema de la determinación de los esfuerzos desarrollados se reduce a un problema de esfuerzos combinados (flexión más compresión, es decir, flexocompresión). Las ecuaciones que se utilizaron para determinar los esfuerzos en la fibra superior e inferior de la sección de concreto son las siguientes: Para la fase inicial:. 29.

(38) Revisión por Esfuerzos Permisibles. En las ecuaciones anteriores el cálculo de la Pe y la Pi para cada sección de la viga, se obtuvo después de realizar el cálculo de las pérdidas de la fuerza de presfuerzo, su determinación se puede observar en el capítulo de pérdidas. Las propiedades de la sección transversal se calculó para cada fase de acuerdo a la elección del usuario (gruesa, neta o transformada).. 4.3 Determinación de ¡as propiedades de ¡a sección de concreto La determinación de las propiedades de la sección de concreto se obtuvo de tres maneras, dependiendo de la selección del usuario: •. Sección Gruesa SecciónNeta Sección Transformada. -. Concreto Pretensado En concreto pretensado los cables están adheridos tanto en la fase inicial como en la fase final, por lo tanto para ambas fases las propiedades se pueden determinar basados en el área transformada de la sección de concreto. En el caso de pretensado e! usuario no puede utilizar las secciones netas, pero si se deja la opción de utilizar sección gruesa ó sección transformada.. 30.

(39) Revisiónpor Esfuerzos Permisibles. Concreto Postensado En la fase inicial, debido a que los ductos no están lechadeados todavía, las propiedades deberán determinarse en base al área neta de la sección. Sin embargo en el programa para la fase inicial se deja la opción de utilizar sección gruesa ó sección neta. En las fases de servicio, silos cables se encuentran adheridos, las propiedades deberán determinarse en base al área transformada de la sección, pero sí los cables no están adheridos, las propiedades se determinarán en base al área neta de la sección. Por lo que en el programa para vigas postensadas en al fase de servicio, el usuario puede acceder a los tres tipos de secciones (Gruesas, Netas y Transformadas). 4.3.1 Cálculo de propiedades gruesas Para el cálculo de las propiedades gruesas de la sección transversal, se utilizaron las coordenadas de las intersecciones de las líneas que forman la sección. En el caso que se tengan huecos en la sección, unicamente se superponen considerando negativas las áreas de lo huecos. En las ecuaciones siguientes x(n) y y(n) son las coordenadas de las intersecciones.. 31.

(40) Revisión por Esfuerzos Permisible. 4.3.2 Cálculo de propiedades neta La posición de los duetos varía a lo largo de la viga por lo que cada sección transversal de la viga tendrá propiedades diferentes. Para considerar esto, se calcularon las propiedades para cada una de las secciones de la viga. Debido a que se permite el uso de varios duetos en una misma sección, para efectuar el cálculo de las propiedades netas, se consideraron cada uno de los duetos y no se utilizó el centroide común de éstos. Las ecuaciones que se utilizaron para cada sección fueron las siguientes:. vonae lay se mide desde la tibrainferior de la sección.. 4.3.3 Cálculo de propiedades Transformadas Al igual que en el cálculo por áreas netas, cada sección transversal tendrá diferentes propiedades, además en la construcción pretensada, debido a que se utiliza el módulo elástico del concreto, sus propiedades serán ligeramente diferentes a las de la fase de servicio.. 32.

(41) Revisión por EsfuerzosPermisibles. También se consideraron cada uno de los cables o tendones por separado y no se utilizó el centroide común del acero de presfuerzo para el cálculo de las propiedades. Las ecuaciones que se utilizaron para cada sección fueron las siguientes:. Donde:. Lay se mide desde la fibra inferior de la sección.. 4.4 Esfuerzos permisibles en la sección de concreto Los esfuerzos permisibles que se usaron son los que establece el ACT, aunque se permite al usuario poder modificarlos a cualquier valor. En la fase inicial:. En los apoyos, debido a que solamente se revisan vigas simplemente apoyadas:. 33.

(42) Revisión por Esfuerzos Permisibles. Debido a que la viga se divide en 101 secciones, se consideró este esfuerzo de los apoyos en las secciones que queden a una distacia igual al peralte de cada apoyo. En la fase de servicio sostenida:. 4.5 Determinación de los esfuerzos en el acero de presfuerzo La determinación de los esfuerzos en el acero de presfuezo se obtuvo después de calcular las pérdidas que sufre la fuerza de presfuerzo en cada fase. Su obtención se puede observar en el capítulo de pérdidas. 4.6 Esfuerzos permisibles en el acero de presfuerzo Los esfuerzos permisibles que se usaron son los que establece el ACT. Debido a la acción del gato El menor valo: En la fase inic~.. Para pretensado El menor valor d. f~r~ ~. En la fase de servicio sostenida y servicio total, se consideraron los mismos de la fase uncial, ya que normalmente los esfuerzos en el acero de presfuerzo son menores a los de la fase inicial, y el reglamento no marca un límite para éstas fases.. 34.

(43) Resistencia última porflexión. CAPÍTULO 5 RESISTENCIA ÚLTIMA POR FLEXIÓN Para obtener la resistencia última porflexión de la viga se utilizaron dos procedimientos: • •. Utilizando las ecuaciones propuestas por el Ad. Utilizando compatibilidad de deformaciones.. 5.1 Ecuaciones Propuestas por el ACT. El Reglamento del ACT propone una serie de ecuaciones para evaluar tanto la fuerza de presfuerzo como el momento resistente, basados en una distribución rectangular equivalente de esfuerzos en la sección de concreto (Teoría del bloque rectangular de esfuerzos de Whitney). Las ecuaciones propuestas por el Ad, tienen una limitante que fue considerada al momento de realizar el programa y es que sí el nivel de esfuerzos en el acero de presfuerzo en la fase de servicio es menor al 50% del esfuerzo último ya no son válidas. Las ecuaciones del ACI que se utilizaron son las siguientes: Para evaluar la fuerza en el acero de presfuerzo: Para tendones adheridos:. 35.

(44) Resistencia última porflexión. AA. ~. acero de Relajamiento Normal” ira acero de Bajo Relajamiento tes no adheridos. Una vez evaluado el esfuerzo en el acero de presfuerzo se procedió a realizar una sumatoria de fuerzas horizontales, para evaluar la profundidad del bloque rectangular de esfuerzos en el concreto y luego una sumatoria de momentos igual a cero en el centroide del bloque rectangular de esfuerzos para calcular el momento nominal. Todos los casos se dividieron en dos: • •. Vigas Rectangulares o Vigas T eon a<hf. Vigas T con a>hf.. Para el. r~sn d~vi~. r~~t~inaiilar ~ vic~ T. ~ii. ~ Mattoc, AH., “Modification ofAC! Code Equation for Stress in Bonded Prestressed Reinforcement at Flexural Failure”, J.ACI, Vol.81, No.4, July-August 1984, pp.331-339.. 36.

(45) Resistencia última porflexión •. ~. Para el caso de vigas T con a>hf Se recurrió al artificio de dividir el área de concreto a compresión en dos: las alas del patín y el alma. De igual manera el acero presforzado a tensión se divide en dos: una parte para balancear la fuerza de compresión de las alas y otra para balancear la fuerza de compresión del alma, A~1= 0.85f’~(b—b,~)h1 ~. =. a. +. (5.6). A~f~ + A’~~. (5.7). Ap%Vfp, 0.85f’~b4,. ~Mn =. (5.8). a/2)+ A~1f~~(d~ h~12)+ A~f.(d a12)+ A’~f’~(d~—a/2)](5.9) —. —. Donde:. Ø. =. Factor de Reducción 0.9 Esfuerzo en el Acero de Presfuerzo.. Esfuerzo en el Acero Ordinario a Tensión = Esfuerzo en el Acero Ordinario a Compresión A~= Area del Acero de Presfuerzo Area del Acero ordinario a Tensión = Area del Acero ordinario a Compresión b = Ancho de la sección ó b~para vigas T con a =. Area asociada al patín de la viga T Area asociada al alma de la viga T a = Profundidad del bloque rectangular de esfuerzos En las ecuaciones arriba escritas, los esfuerzos en el acero de presfuerzo y refuerzo ordinarios se consideran positivos si se encuentran a tensión y negativos si están a compresión. En el caso de que los esfuerzos en el acero ordinario a tensión y/o compresión no alcanzarán el esfuerzo a la fluencia, el esfuerzo se calculó en base a una compatibilidad de deformaciones, manteniendo el esfuerzo en el acero de presfuerzo calculado con las ecuaciones del ACI y encontrando la localización del eje neutro que produzca una sumatoria de fuerzas igual a cero.. 37.

(46) Resistencia última porflexión. 5.2 Compatibilidad de Deformaciones. Para los casos en donde las ecuaciones del ACT no pueden ser aplicadas, o cuando queremos tener una mayor precisión en el cálculo del momento resistente de una sección podemos usar el procedimiento basado en una compatibilidad de deformaciones, para el cual es necesario tener las curvas esfuerzo-deformación de cada uno de los materiales. 5.2.lEsfuerzos en el Acero de Presfuerzo Para evaluar los esfuerzos en el acero de presfuerzo, se utilizaron dos ecuaciones para modelar la curva esfuerzo-deformación. Estas ecuaciones son: • •. Ecuaciones recomendadas por el PCI. Ecuación de Ramberg-Osgood modificada.. 5.2.1.1 Ecuaciones recomendadas por el PCI Ecuaciones para cables trenzados de siete alambres’2. Síe~~0.008 f~~=E. 1,c~~. Sí. >. (5.10). 0.008. Para cable trenzado de Grado 270 5065. ,Kg/cm2. (5.11). fPx~8760_e~~ Para cable trenzado de Grado 250. ,KgIcm2. ~. (5.12). 5.2.1.2 Ecuación de Ramberg-Osgood Modificada’3. =. E~e~ A+. (5.13). ~.. [1+ (Bs~jr. ‘2. PCI Design Handbook, 3” ed., Prestressed Concrete Institute, Chicaao, 1985. Mattock, AIan.H.,. 38.

(47) Resistencia última porflexión ~. Parámetros de Rarnberg-Osgood”. Grado 270 Cable. 250. f. 1)y/fpu. 0.90. 0.85. 250. 0.90 0.85 0.90. Alambre. 0.85. 235. 0.90 0.85 0.85 0.80. Cable. Alambre 150 Varilla. 2) E1,(Kg/cm l.89E+06 l.89E+06 l.89E+06 l.89E+06 2.03E+06 2.03E+06 2.03E+06 2.03E+06 2.03E+06 2.03E+06. A 0.0151 0.0271 0.0137 0.0246 0.0151 0.0253 0.0139. 0.0235 0.0161 0.0217. B 1108 117.3 119.7 126.7 125.1 132.5 133.1 140.9 225.2 239.3. C 8.449 6.598 6.431 5.305 6.351 5.256 5.463 4.612 4.991 4.224. 5.2.2 Esfuerzos en el Concreto Para evaluar los esfuerzos en la sección del concreto se utilizaron dos opciones para modelar la curva esfuerzo-deformación: • •. La teoría del bloque rectangular equivalente. La teoría propuesta por M.P. Collins y D. Mitchell (1991).. 5.2.2.1 Teoría del bloque rectangular equivalente Se adoptó la teoría de Whitney, del bloque rectangular de esfuerzos equivalente. Los parámetros de la teoría de Whitney se definen como sigue’5: a=/3,c. (5.14). Donde:. fi. o85. 0o5~f!~28o) pero. 0.65 fi1 0.85. (5.15). y la intensidad del esfuerzo en el concreto es igual a O.85f’~,constante en toda la profundidad a.. 5Nilson,A.H. and Winter,G.. Design ofConcrete Structures, 10”Nostnind cd., McGraw-Hill, 1986.por F.J. Orozco, 1994) “Libby, J.R.,1990, “Modem Prestressed Concrete”, 4ta cd, Van Reinhold. New P.172York, (adaptada ‘. .2.

(48) Resistencia última porflexión. 5.2.2.2 Teoría propuesta por M.P. Collins y D. Mitchell. o.. fi. fc. E. Curva Esfuerzo-Deformación (M.P.Collins y D.Mitchel). =ft~[2(4J-(~JJ. (5.16). Donde: =. Esfuerzo de compresión desarrollado. Deformación de compresión desarrollado Resistencia del concreto a la compresión efe = Deformación del concreto cuando f~=f’~. se tomó como 0.002 =. Esta ecuación describe razonablemente la relación esfuerzo deformación para resistencias de concreto menores o iguales a 420 Kg/cm2. 5.2.3 Esfuerzos en el Acero ordinario Para el acero ordinario a Tensión y Compresión se utilizó la siguiente curva esfuerzodeformación. Si e,. IE. 4. f5=eJ~. (5.17). Si ~. 40.

(49) Resistencia última porflexión. ae: es positivo para deformaciones por tensión y negativo para deformaciones por presión. t Algoritmo para determinar el momento resistente por compatibilidad de defui macjones utilizando la teoría rectangular del bloque equivalente. Para el caso de vigas rectangulares ó vigas I. se progranió el siguiente algoritmo que utiliza la teoría del bloque rectangular equivalente.. ación en el acero de presfuerzo debido a la fuerza efectiva). (‘5.19,). Deformación en el Concreto a nivel del centroide del acero de presfuerzo debido a la fuerza efectiva). creto correspondiente a la falla a nivel del acero. En las ecuaciones 5.2 1,5.23 y 5.24 ~ se tomó como —0.003, para que las deformaciones por compresión sean negativas y las de tensión sean positivas.. 41.

(50) Resistencia última porflexión. 5. Determinar 4, fi., f’~ Determinar. f,,,., ya sea utilizando Ramberg-Osgood Modificada ó las ecuaciones del PCI. con el valor de En el caso de que se estén utilizando las ecuaciones del ACI, el J,.se calcula utilizando la ecuación 5.1. Determinar el fi. y f’,~, utilizando el modelo para acero ordinario arriba descrito, en este caso el signo del esfuerzo será determinado por el signo de la deformación (Positivo tensión, negativo compresión). 6. Realizarla sumatoria de fuerzas horizontales. Dnrn. nl. isfl. on. EICS. 17;. nfl c,. ranto.~ ful nrar’. Cs ‘1’. 711 1 fi. C’ fi. cnn,. n~,-tan. e. rs..-, ,.. ..CSÇ.+.,. s~...~ ,l.~..e.. ~. ‘nde. Para el caso de Vigas T donde a> h~. Donde: b = Ancho de la Viga o Ancho del Patín para vigas T.. ar la cpropuesta y regresar al paso 3. (Hay que disminuir las. minuir la c propuesta y regresar al paso 3. (Hay que disminuir las fuerzas de Compresión). 8. Una vez que se conocen los valores d procede a hacer una sumatoria de momentos en cualquier punto de la sección transversal, para obtener el momento nominal. Para el caso de vigas rectangulares o T que se comporten como rectangulares donde a <h,:. 42.

(51) Resistencia últimaporflexión. Para el caso de Vigas T donde a. >. h1. 5.2.5 Algoritmo para determinar el momento resistente por compatibilidad de deformaciones utilizando el método de libras. La teoría del bloque rectangular equivalente se desarrolló para secciones rectangulares, y aunque da buenos resultados para otras secciones, se prefirió utilizar el método de fibras para aquellas secciones de formas no muy comunes. El método de fibras consiste en discretizar la sección transversal en una serie de fibras de espesor muy pequeño en las cuales se considerará el esfuerzo de compresión actuante constante a lo largo de éstas. Las deformaciones en cada fibra son calculadas en base al supuesto de que las secciones planas permanecen planas después de la deformación y utilizando una relación de triángulos semejantes de acuerdo a su posición, utilizando como deformación de referencia la de la fibra extrema a compresión (Ea,, = —0.003). Los esfuerzos en cada fibra de concreto se obtienen entrando a la curva esfuerzodeformación adoptada (Collins y Mitchell) con el nivel de esfuerzos calculado para cada fibra. Una vez que se encuentran los esfuerzos para cada fibra, se supondrá que estos son constantes dentro de! espesor de la fibra y se calculará la fuerza equivalente de cada fibra multiplicando el esfuerzo de cada fibra por el área de la fibra. El método de fibras que se progranió no toma en cuenta la aportación del concreto a resistir fuerzas de tensión, ya que la mayoría de los reglamentos desprecian esta aportación que prácticamente es nula. La ecuación para describir la curva esfuerzo-deformación del concreto es la propuesta por M.P. Collins y D.lo Mitchell, da resultados muy buenos para resistencias menores 2, por que para que resistencias mayores a éstas, se debe de utilizar este métodoa 420 Kg/cm reservas, ó buscar una curva esfuerzo-deformación más apropiada. con algunas. ‘+3.

(52) Resistencia última porflexión. Algoritmo: 1. Determinar e~y s~. ición en el acero de presfuerzo debido a la fuerza efectiva). (5.29). Deformación en el Concreto a nivel del centroide del acero de presfuerzo debido a la fuerza efectiva). (5.30). 2. Estimar c (Centroide del eje neutro). 3. Determinar e~. en el concreto correspondiente a la falla a nivel del acero. rn en el acero de presfuerzo en la falla). el acero ordinario a tensión en la falla). i. 6. TfI~I.mI,I~I. lflQ. r~ vflfl(’;rslicsc7. el acero ordinario a compresión en la falla). cs,, l,c’. ,-le.~~. ~co. J~nlas ecuacio mó como —0.003, para que las deformaciones por compresión sean negativas y las de tensión sean positivas.. Determinar. a utilizando Ramberg-Osgood Modificada ó las ecuaciones del PCI. Con el valor. En el caso d las ecuación. ~sténutilizando las ecuaciones del ACT, el. ~. ~. T.._~—. 44. ~. fi,,, se calcula utilizando. ~. ~.

(53) Resistencia últimaporflexión. Determinar el fi. y f~,utilizando el modelo para acero ordinario arriba descrito, en este caso el signo de! esfuerzo será determinado por el signo de la deformación (Positivo tensión, negativo compresión).. 7. Determinar los esfuerzos y Fuerzas para cada fibra. Para determinar los esfuerzos en cada fibra hay que entrar a la curva esfuerzodeformación del concreto arriba descrita con el valor de EfihrQ~ Sí el valor de la deformación es positivo (de tensión), el esfuerzos será igual a cero. Para determinar la fuerza de cada fibra de concreto hay que multiplicar el esfuerzo obtenido para cada fibra por su ancho y por su espesor.. Las fuerzas debido a cada fibra, debido a que están en compresión serán valores negativos. 8. Una vez obtenidos los pasos anteriores se procede a una sumatoria de fuerzas horizontales.. 45.

(54) Resistencia última por flexión. bfibra(i) =. Ancho en el centroide de cada fibra.. hfibra(i) =. Espesor de cada fibra, en el programa todos los espesores son constantes.. 5.3 Momento Resistente de Secciones No Adheridas Para vigas postensadas con el acero de presfuerzo no adherido se pueden utilizar las ecuaciones propuestas por el ACT. Sin embargo muchas veces, debido a la limitante de estas ecuaciones, no pueden ser usadas, por lo que se utilizó la recomendación que sugiere Arthur Nilson, de determinar la capacidad última a flexión de las secciones con acero no adherido como el 75% de la capacidad de la sección como si el acero de presfuerzo se encontrara adherido y utilizando la compatibilidad de deformaciones.. 5.4 Índice del Refuerzo. El índice del refuerzo nos permite poder clasificar las vigas en sobrereforzadas y subreforzadas. Esta clasificación se hizo en base a las ecuaciones propuestas por el ACT. El ACI considera como vigas sobrereforzadas aquellas vigas que al momento de la falla el acero de presfuerzo no a alcanzado el esfuerzo de fluencia, y como vigas subreforzadas aquellas que al momento de la falla si alcanzaron el momento de la fluencia. En las ecuaciones siguientes el ACT propone como vigas subreforzadas, aquellas que tienen una cuantía menor al 75% de la cuantía balanceada. (Cuando al momento de la falla el acero alcanza exactamente el esfuerzo de fluencia). Sin embargo a diferencia de concreto reforzado el reglamento permite el uso de vigas sobrereforzadas, pero siempre y cuando el momento resistente sea calculado únicamente eon la cantidad de acero correspondiente a la falla balanceada. Todas estas consideraciones fueron tomadas en cuenta en el programa, y éste mismo indica sí la viga se comporta como sobrereforzada o subreforzada, por lo que si saliera sobrereforzada se podría aumentar la cantidad de acero ordinario a compresión para convertirla en una subreforzada y no perder por la reducción que marca el ACI. Para vigas de sección rectangular o vigas T que se comporten como rectangulares, serán sobrereforzadas:. 46.

(55) Resistencia última porflexión. Donde: Para determinar los índices de refuerzo (w’~,~. se toma el ancho del alma.. Momentos Resistentes para Vigas Sobrereforzadas. Para viga de sección rectangular o vigas T que se comporten como rectangular. 5.5 Momento de Agrietamiento. El momento de agrietamiento es un indicativo de la cuantía mínima de acero de presfuerzo que se debe de proveer a la viga para que no tenga una falla frágil. Es el equivalente al 1 4/fy a vigas de concreto reforzado. En vigas de concreto presforzado es necesario asegurarse que la viga tendrá un mínimo de refuerzo longitudinal (A,, + A~)tal que la resistencia a la flexión sea mayor, o al menos igual que el momento de agrietamiento incrementado por cierto factor.. 47.