Capitulo V MCII EDP Elípticas pdf

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(1)1. ECUACIONES DIFERENCIALES ELÍPTICAS EN DERIVADAS PARCIALES Armando Blanco A..

(2) Capitulo V ECUACIONES DIFERENCIALES ELÍPTICAS EN DERIVADAS PARCIALES •Introducción •Diferencias finitas •Métodos de relajación sucesiva •Métodos de solución directa •Imposición de Condiciones de Neumann •Referencias. 2.

(3) 3. Introducción Las ecuaciones diferenciales parciales (EDP) de 2do orden en dos variables independientes se escriben, en forma general como. ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u A 2 +B +C 2 + D + E + Fu + G = 0 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y donde. A, B, C , D, E , F , G. son constantes. Según el valor de B2-4AC, una clasificación de las EDP es. EDP eliptica :. B 2 − 4 AC < 0. EDP parabólica :. B 2 − 4 AC = 0. EDP hiperbólica :. B 2 − 4 AC > 0.

(4) 4. Introducción Ejemplos típicos de EDP son: (a) Ecuación elíptica (B2-4AC<0). ∂ 2T ∂ 2T Ecuación de Laplace + 2 =0 2 ∂x ∂y (b) Ecuación parabólica (B2-4AC=0). ∂ 2T ∂T =α 2 ∂t ∂x. Ecuación de conducción del calor. (c) Ecuación hiperbólica (B2-4AC>0). ∂2 y 1 ∂2 y = 2 2 2 ∂x c ∂t. Ecuación de onda.

(5) 5. Introducción Un problema esta bien planteado (EDP + condiciones auxiliares) si •La solución existe •La solución es única •La solución depende continuamente de los datos auxiliares (las condiciones iniciales y/o de frontera) Las condiciones auxiliares representan el punto de partida para hallar la solución a nuestro problema bien planteado. El dominio computacional podría representarse como ∂R. ŝ n̂ R.

(6) 6. Introducción Las condiciones auxiliares se especifican de tres maneras diferentes: •Condición de Dirichlet. u= f. sobre ∂R. •Condición de Neumann ∂u ∂u = f ó = g sobre ∂R ∂n ∂s •Condiciones mixtas o de Robin ∂u + ku = f sobre ∂R ∂n.

(7) 7. Introducción Encontrar una solución numérica aproximada a una EDP implica el seguimiento de los siguientes pasos: 1.- Establecer la EDP y las condiciones auxiliares 2.- Discretizar las ecuaciones 3.- Reducir el sistema a un sistema de ecuaciones algebraicas 4.- Utilizar un algoritmo para resolver el sistema de ecuaciones algebraicas, acorde con las características del sistema 5.- Solución numérica aproximada.

(8) Capitulo V ECUACIONES DIFERENCIALES ELÍPTICAS EN DERIVADAS PARCIALES •Introducción •Diferencias finitas •Métodos de relajación sucesiva •Métodos de solución directa •Imposición de Condiciones de Neumann •Referencias. 8.

(9) 9. Diferencias Finitas Consideremos la ecuación de Laplace en dos dimensiones. ∂ 2T ∂ 2T + 2 =0 2 ∂x ∂y. (1). Según la clasificación anterior tendremos que. A = C =1. (2). Luego,. B 2 − 4 AC = −4 < 0 por lo que la ec. (1) es de tipo elíptico. Supongamos que se desea resolver la ec. (1) en el dominio mostrado en la lamina siguiente, con condiciones de Dirichlet. (3).

(10) 10. Diferencias Finitas y =1. T ( x,1) = d ( x). T (1, y ) = b( y ). T (0, y ) = a ( y ). y=0 x=0. T ( x,0 ) = c( x). x =1. La solución numérica de la ecuación de Laplace consistirá en generar una malla constituida por un conjunto discreto de puntos en los cuales se encontrará el valor aproximado de la variable T. La lámina siguiente presenta la discretización genérica para este caso..

(11) 11. Diferencias Finitas T ( x,1). y =1 T (0, y ). T (1, y ). ∆y y=0 x=0. ∆x. T (x,0). x =1. En cada punto del dominio se hallará el valor de T. La distancia entre nodos sucesivos en las direcciones x e y es Dx y Dy respectivamente. A las coordenadas x e y de cada punto en cual se hallará la solución numérica se le asigna un par de índices i y j, tal como muestra la lámina siguiente..

(12) 12. Diferencias Finitas y =1 T (0, y ) = a ( y ). T ( x,1) = d ( x) ∆y. ∆x Ti , j. i −1 i y=0 x=0. j +1 j. i +1. T ( x,0 ) = c( x). T (1, y ) = b( y ). j −1 x =1. La discretización en diferencias finitas de orden 2 de la ecuación de Laplace es. ∂ 2T ∂ 2T + 2 =0 2 ∂x ∂y es:. Ti −1, j − 2Ti , j + Ti +1, j. (∆x ). 2. +. Ti , j −1 − 2Ti , j + Ti , j +1. (∆y ). 2. =0. (4).

(13) 13. Diferencias Finitas T ( x,1) = d ( x). y =1. ∆y. T (0, y ) = a ( y ). ∆x Ti , j. i −1 i y=0 x=0. i +1. j +1 j. T (1, y ) = b( y ). j −1 x =1. T ( x,0 ) = c( x). Al punto (i, j) están asociadas las coordenadas. Ti −1, j − 2Ti , j + Ti +1, j. (∆x ). 2. +. Ti , j −1 − 2Ti , j + Ti , j +1. (∆y ). 2. =0. (4).

(14) 14. Diferencias Finitas Definiendo. β=. ∆x ∆y. (5). Tenemos que (4) se escribe como. Ti −1, j − 2Ti , j + Ti +1, j + β 2Ti , j −1 − 2 β 2Ti , j + β 2Ti , j +1 = 0. (6). o, reagrupando. (. ). Ti −1, j − 2 1 + β 2 Ti , j + Ti +1, j + β 2Ti , j −1 + β 2Ti , j +1 = 0. (7). Si el espaciamiento en cada dirección es el mismo tendremos que β=1 y (7) se reduce a. Ti −1, j − 4Ti , j + Ti +1, j + Ti , j −1 + Ti , j +1 = 0. (8).

(15) Capitulo V ECUACIONES DIFERENCIALES ELÍPTICAS EN DERIVADAS PARCIALES •Introducción •Diferencias finitas •Métodos iterativos y de relajación sucesiva •Métodos de solución directa •Imposición de Condiciones de Neumann •Referencias. 15.

(16) 16. Métodos Iterativos Una alternativa para hallar los valores de los Tij podría ser utilizar un método iterativo, tipo Jacobi o Gauss-Seidel. En este caso, se despeja de cada ecuación la variable Tij, para escribir. Ti , j =. Ti −1, j + Ti +1, j + Ti , j −1 + Ti , j +1. (9). 4. En cada caso creamos un proceso iterativo a partir de. Ti ,kj+1 = Ti ,kj+1 =. Ti −k1, j + Ti +k1, j + Ti ,kj −1 + Ti ,kj +1 4 Ti −k1+,1j + Ti +k1, j + Ti ,kj+−11 + Ti ,kj +1. Jacobi. (10). Gauss-Seidel. (11). 4. Partiendo de una aproximación inicial podemos iterar hasta convergencia..

(17) 17. Métodos Iterativos Ejemplo: Halle la temperatura en una placa cuadrada con las condiciones T (x,1) = 0 y =1. T (1, y ) = 0. T (0, y ) = 100 y=0 x=0. T ( x ,0 ) = 0. x =1. con una malla de 11*11. Como aproximación inicial se tomó T=0.0 en todos los puntos interiores. Luego de 109 iteraciones, con una tolerancia de 10-8 se obtiene.

(18) 18. Métodos Iterativos. 90. 80 100 90. 70. 80 70. 60. 60 50. 50. 40 40. 30 20. 30. 10 0 1. 0 2. 2. 3. 20. 4. 4 5. 6. 6 7. 8. 8 9. 10. 10 11. 12. 10.

(19) 19. Métodos Iterativos 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000. 0.000 48.877 67.449 75.394 78.845 79.830 78.845 75.394 67.449 48.877 0.000. 0.000 28.060 45.530 55.291 60.165 61.641 60.165 55.291 45.530 28.060 0.000. 0.000 17.842 31.330 40.092 44.900 46.424 44.900 40.092 31.330 17.842 0.000. 0.000 11.985 21.871 28.867 32.947 34.280 32.947 28.867 21.871 11.985 0.000. 0.000 8.237 15.322 20.584 23.770 24.832 23.770 20.584 15.322 8.237 0.000. 11 10. 90. 9. 80. 8. 70. 7. 60. 6. 50. 5. 40. 4. 30. 3. 20. 2. 10. 1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 0.000 5.651 10.614 14.403 16.750 17.541 16.750 14.403 10.614 5.651 0.000. 0.000 3.761 7.101 9.689 11.313 11.866 11.313 9.689 7.101 3.761 0.000. 0.000 2.300 4.354 5.959 6.974 7.321 6.974 5.959 4.354 2.300 0.000. 0.000 1.092 2.069 2.836 3.322 3.489 3.322 2.836 2.069 1.092 0.000. 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000.

(20) 20. Programa en MATLAB: Jacobi % Laplace nx=11; ny=nx; tol=1e-8; T=zeros(nx,ny); dif = 1e3; T(:,1)=0; T(:,ny)=0; T(1,:)=100; T(nx,:)=0; T_n=T; cont = 0; while dif>tol cont=cont+1 for i=2:nx-1 for j=2:ny-1 T_n(i,j)=(T(i-1,j)+T(i+1,j)+T(i,j-1)+T(i,j+1))/4; end end. % Determinación de la convergencia num=0; den=0; for i=1:nx for j=1:ny num=num + (T_n(i,j)-T(i,j))^2; den = den + T_n(i,j)^2; end end dif=num/den; T=T_n; end surf(T) figure contour(T',100).

(21) 21. Métodos Iterativos La utilización del método de Gauss-Seidel nos da el resultado siguiente, luego de 60 iteraciones, con una tolerancia de 10-8 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000. 0.000 48.881 67.458 75.409 78.863 79.851 78.866 75.414 67.464 48.885 0.000. 0.000 28.070 45.550 55.321 60.203 61.684 60.208 55.330 45.559 28.077 0.000. 0.000 17.856 31.360 40.136 44.957 46.487 44.964 40.148 31.373 17.865 0.000. 0.000 12.004 21.909 28.923 33.017 34.358 33.025 28.937 21.924 12.014 0.000. 11 10. 90. 9. 80. 8. 70. 7. 60. 6. 50. 5. 40. 4. 30. 3. 20. 2. 10. 1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 0.000 8.258 15.365 20.647 23.848 24.919 23.856 20.660 15.379 8.268 0.000. 0.000 5.672 10.658 14.466 16.828 17.627 16.835 14.478 10.671 5.681 0.000. 0.000 3.780 7.140 9.745 11.383 11.942 11.388 9.755 7.150 3.788 0.000. 0.000 2.315 4.384 6.002 7.027 7.378 7.031 6.009 4.392 2.320 0.000. 0.000 1.100 2.085 2.859 3.351 3.520 3.353 2.862 2.089 1.102 0.000. 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000.

(22) 22. Programa en MATLAB: Gauss-Seidel % Laplace nx=11; ny=nx; tol=1e-8; T=zeros(nx,ny); dif = 1e3; T(:,1)=0; T(:,ny)=0; T(1,:)=100; T(nx,:)=0; T_n=T; cont = 0; while dif>tol cont=cont+1 T_old=T; for i=2:nx-1 for j=2:ny-1 T(i,j)=(T(i-1,j)+T(i+1,j)+T(i,j-1)+T(i,j+1))/4; end end. % Determinación de la convergencia num=0; den=0; for i=1:nx for j=1:ny num=num + (T(i,j)-T_old(i,j))^2; den = den + T(i,j)^2; end end dif=num/den; end surf(T) figure contour(T',100).

(23) 23. Métodos de sobrerelajación Algunas técnicas existen para acelerar la convergencia. La mas utilizada es el método de relajación sucesiva (Successive Overrelaxation Method). Con este método se utiliza de manera iterativa la ecuación k +1 i, j. T. 1 = T + ω (Ti −k1+,1j + Ti +k1, j + Ti ,kj+−11 + Ti ,kj +1 − 4Ti ,kj ) 4 k i, j. (12). donde, a través del ajuste del parámetro ω tal que 1<ω < 2. se logra una convergencia en un número menor de iteraciones. Para ω=1 (12) se reduce al método de Gauss-Seidel. La determinación del valor de ω óptimo se hace, generalmente, a través de estudios empíricos.. (13).

(24) 24. Métodos de sobrerelajación En el ejemplo anterior tendremos que la determinación empírica de ω nos lleva a los resultados siguientes: Determinación de w óptimo. Iteraciones. 100 80 60 40 20 0 1. 1.2. 1.4. 1.6 w. 1.8. 2.


(26) 26. Método directo Otra opción es resolver las ecuaciones (8), que corresponden a un esquema de cinco puntos, utilizando un método directo. Puesto que estamos suponiendo que las condiciones de frontera son de Dirichlet tendremos que (8) debe ser resuelta sólo en los nodos interiores. y =1. y=0 x=0 x =1 Escribamos las ecuaciones en el caso particular de una discretización con. Nx = Ny = 5.

(27) 27. Método directo El dominio discretizado luce como se muestra a continuación. y =1 Ti −1, j − 4Ti , j + Ti +1, j + Ti , j −1 + Ti , j +1 = 0. y=0 x=0 x =1 Las ecuaciones para cada nodo interior se escriben como i = 2, j = 2 : T12 − 4T22 + T32 + T21 + T23 = 0 i = 3, j = 2 :. T22 − 4T32 + T42 + T31 + T33 = 0. i = 4, j = 2 : i = 2, j = 3 :. T32 − 4T42 + T52 + T41 + T43 = 0 T13 − 4T23 + T33 + T22 + T24 = 0. i = 3, j = 3 :. T23 − 4T33 + T43 + T32 + T34 = 0. i = 4, j = 3 :. T33 − 4T43 + T53 + T42 + T44 = 0. (14a).

(28) 28. Método directo i = 2, j = 4 :. T14 − 4T24 + T34 + T23 + T25 = 0. i = 3, j = 4 :. T24 − 4T34 + T44 + T33 + T35 = 0. i = 4, j = 4 :. T34 − 4T44 + T54 + T43 + T45 = 0. Al introducir las condiciones de borde llegamos a − 4T22 + T32 + T23 = − T12 − T21 T22 − 4T32 + T42 + T33 = −T31 T32 − 4T42 + T43 = −T41 − T52 − 4T23 + T33 + T22 + T24 = −T13 T23 − 4T33 + T43 + T32 + T34 = 0. T33 − 4T43 + T42 + T44 = −T53 − 4T24 + T34 + T23 = −T14 − T25 T24 − 4T34 + T44 + T33 = −T35 T34 − 4T44 + T43 = −T54 − T45. (14b). (15).

(29) 29. Método directo Al imponer las condiciones de frontera, el sistema de ecuaciones (15) puede escribirse como. [A][T ] = [b]. (16). donde A es la matriz de coeficientes generada por (15), T es un vector que representa las incógnitas y b es el vector de términos independientes. Para facilitar la escritura de estas ecuaciones podemos enumerar los nodos siguiendo. k = ( N x − 2)( j − 2) + (i − 2) + 1 en el caso que sobre todos los lados se imponen condiciones de Dirichlet. En el ejemplo particular del sistema (15) tendremos. (17).

(30) 30. Método directo − 4T1 + T4 T1 − 4T2 + T3 T2 − 4T3 − 4T4 + T5 + T1 T4 − 4T5 + T6 + T2. + T2 + T5 + T6 + T7 + T8. = − T12 − T21 = −T31 = −T41 − T52 = −T13 =0. y =1. y=0 x=0. 7. 8. 9. 4. 5. 6. 1. 2. 3. T5 − 4T6 + T3 + T9 = −T53 − 4T7 + T8 + T4 = −T14 − T25 T7 − 4T8 + T9 + T5 = −T35 T8 − 4T9 + T6 = −T54 − T45. Ordenando los términos en cada ecuación tendremos. x =1. (18).

(31) 31. Método directo − 4T1 + T2. + T4. T1 − 4T2 + T3. = − T12 − T21 + T5. T2 − 4T3. = −T31 + T6. − 4T4 + T5 +. T1. = −T13. T7. + T4 − 4T5 + T6. T2. = −T41 − T52 + T8. + T5 − 4T6. T3. =0 + T9 = −T53. − 4T7 + T8. T4. = −T14 − T25. + T7 − 4T8 + T9 = −T35. T5 T6. + T8 − 4T9 = −T54 − T45. Este sistema se escribe en forma matricial como.

(32) 32. Método directo 1 − 4 1  T1  − T12 − T21    1 −4 1  T   1 T − 31    2     T3   − T41 − T52  1 -4 1      -4 1 1 1  T4   − T13 (19)    T5  =  1 1 −4 1 1 0      1 1 −4 1  T6   − T53     T   − T − T  1 −4 1    7   14 25  1 1 − 4 1  T8   − T35     T   − T − T  1 1 4 −    9   54 45  Este sistema puede ser resuelto utilizando un método estándar como Eliminación Gaussiana, aunque ello podría ser poco eficiente, sobre todo para el caso general de sistemas grandes. Un programa en MATLAB es presentado en la lámina siguiente..

(33) 33. Método implícito : Programa MATLAB % Laplace_Directo clear all close all % datos de entrada nx=5; ny=nx; T=zeros(nx,ny); % condiciones de borde T(:,1)=0; T(:,ny)=0; T(1,:)=100; T(nx,:)=0; % inicialización de variables dim=(nx-2)*(ny-2); TT=zeros(dim,dim); b(1:dim,1)=0;. % definición de los coeficientes % para cada nodo % fila j=2 % elemento i=2 j=2; i=2; k=(nx-2)*(j-2)+(i-2)+1; TT(k,k)=-4; TT(k,k+1)=1; TT(k,k+nx-2)=1; b(k)=-T(i-1,j)-T(i,j-1); % elementos i=3...nx-2 for i=3:nx-2 k=(nx-2)*(j-2)+(i-2)+1; TT(k,k-1)=1; TT(k,k)=-4; TT(k,k+1)=1; TT(k,k+nx-2)=1; b(k)=-T(i,j-1); end. % elemento i=nx-1 i=nx-1; k=(nx-2)*(j-2)+(i-2)+1; TT(k,k-1)=1; TT(k,k)=-4; TT(k,k+nx-2)=1; b(k)=-T(i+1,j)-T(i,j-1); % filas j=3...ny-2 / nodos i=2 e i=nx-1 for j=3:ny-2 i=2; k=(nx-2)*(j-2)+(i-2)+1; TT(k,k)=-4; TT(k,k+1)=1; TT(k,k+nx-2)=1; TT(k,k-nx+2)=1; b(k)=-T(i-1,j); i=nx-1; k=(nx-2)*(j-2)+(i-2)+1 TT(k,k)=-4; TT(k,k-1)=1; TT(k,k+nx-2)=1; TT(k,k-nx+2)=1; b(k)=-T(i+1,j); end.

(34) 34. Método implícito : Programa MATLAB % fila j=ny-1 j=ny-1; % elemento i=2 i=2; k=(nx-2)*(j-2)+(i-2)+1; TT(k,k)=-4; TT(k,k+1)=1; TT(k,k-nx+2)=1; b(k)=-T(i-1,j)-T(i,j+1); % elementos i=3...nx-2 for i=3:nx-2 k=(nx-2)*(j-2)+(i-2)+1; TT(k,k-1)=1; TT(k,k)=-4; TT(k,k+1)=1; TT(k,k-nx+2)=1; b(k)=-T(i,j+1); end. % elemento i=nx-1 i=nx-1; k=(nx-2)*(j-2)+(i-2)+1; TT(k,k)=-4; TT(k,k-1)=1; TT(k,k-nx+2)=1; b(k)=-T(i+1,j)-T(i,j+1); % Nodos interiores 2 < i < nx-1 y 2 < j < ny-1 for i=3:nx-2 for j=3:ny-2 k=(nx-2)*(j-2)+(i-2)+1; TT(k,k)=-4; TT(k,k-1)=1; TT(k,k+1)=1; TT(k,k-nx+2)=1; TT(k,k+nx-2)=1; b(k)=0; end end. % Cálculo de la solución Temp=TT\b; for k=1:dim j=floor(k/(nx-2))+2; if mod(k,(nx-2))==0 j=j-1; end i=k-(nx-2)*(j-2)+1; T(i,j)=Temp(k); end surf(T) figure contour(T',10).

(35) 35. Método implícito : Programa MATLAB -4 1 0 1 0 0 0 0 0 1 -4 1 0 1 0 0 0 0 0 1 -4 0 0 1 0 0 0 1 0 0 -4 1 0 1 0 0 0 1 0 1 -4 1 0 1 0 0 0 1 0 1 -4 0 0 1 0 0 0 1 0 0 -4 1 0 0 0 0 0 1 0 1 -4 1 0 0 0 0 0 1 0 1 -4 100.0000 0 0 0 100.0000 42.8571 18.7500 7.1429 100.0000 52.6786 25.0000 9.8214 100.0000 42.8571 18.7500 7.1429 100.0000 0 0 0. 42.8571 18.7500 7.1429 52.6786 25.0000 9.8214 42.8571 18.7500 7.1429 0 0 0 0 0. =. -100 0 0 -100 0 0 -100 0 0.


(37) 37. Condiciones de Neumann Hasta ahora, los esquemas que hemos desarrollado han utilizado condiciones de Dirichlet. Hemos visto como en esos casos, el vector que incluye los términos independientes ha sido modificado para imponer las condiciones de frontera. En el caso de las condiciones de Neumann, la imposición de las condiciones de frontera es un poco distinta. Veamos. Supongamos que el problema a resolver tiene en una frontera, por ejemplo en x=0, la condición:. y =1 ∂T ∂x. T ( x,1) = 0 T (1, y ) = 0. =c x =0. y=0 x=0. T ( x ,0 ) = 0. x =1.

(38) 38. Condiciones de Neumann Luego, partiendo de.  ∂T    =c  ∂x  x =0 podemos hacer discretización se la derivada hacia delante. Ti +1, j − Ti , j  ∂T  =c   ≈ ∆x  ∂x  x =0 Si en la frontera tenemos i=1, entonces. T1, j = T2, j − c∆x Esta expresión permitiría calcular T1,j , para todo j en la frontera, aplicando la condición de frontera de Neumann..

(39) 39. Condiciones de Neumann Sin embargo, siendo la expresión de la derivada espacial utilizada precisa en orden ∆x, su utilización llevará a una degradación del orden del esquema. Una discretización que preserva la precisión del esquema (∆x2) es. Ti +1, j − Ti −1, j  ∂T  =c   ≈ 2∆x  ∂x  x =0 Si en la frontera tenemos i=1, entonces. T2, j − T0, j. =c. 2∆x Los puntos T0,j no pertenecen al dominio y son llamados puntos “fantasmas”..

(40) 40. Condiciones de Neumann. T0, j. T1, j. T2, j. Podemos despejar T0,j para obtener. T0, j = T2, j − 2c∆x.

(41) 41. Condiciones de Neumann Luego, por ejemplo, para el método iterativo de Jacobi,. Ti ,kj+1 =. Ti −k1, j + Ti +k1, j + Ti ,kj −1 + Ti ,kj +1 4. podemos escribir en la frontera i=1. T1,kj+1 =. T0k, j + T2k, j + T1,kj −1 + T1,kj +1 4. y, reemplazando el valor de T0,j la expresión en la frontera será:. T1,kj+1 =. T2k, j − 2c∆x + T2k, j + T1,kj −1 + T1,kj +1 4.

(42) 42. Condiciones de Neumann Agrupando términos comunes. T1,kj+1 =. 2T2k, j − 2c∆x + T1,kj −1 + T1,kj +1 4. Luego, el método de Jacobi quedará expresado como:. T1,kj+1 = Ti ,kj+1 =. 2T2k, j − 2c∆x + T1,kj −1 + T1,kj +1 4 Ti −k1, j + Ti +k1, j + Ti ,kj −1 + Ti ,kj +1 4. ;. ;. i = 1;. 2 ≤ j ≤ ny −1. 2 ≤ i ≤ nx − 1;. 2 ≤ j ≤ ny −1.

(43) 43. Condiciones de Neumann T1,kj+1 =. Ti ,kj+1 =. 2T2k, j − 2c∆x + T1,kj −1 + T1,kj +1 4. Ti −k1, j + Ti +k1, j + Ti ,kj −1 + Ti ,kj +1 4. ;. i = 1;. ;. 2 ≤ i ≤ nx − 1;. 2 ≤ j ≤ ny −1. 2 ≤ j ≤ ny −1.

(44) 44. Condiciones de Neumann Aplicación: El problema T ( x,1) = 0. y =1. T (1, y ) = 0. T ( 0, y ) = 0. y=0 x=0. T ( x, 0 ) = 100. x =1. puede reducirse al problema equivalente: y =1. T ( x,1) = 0. ∂T ∂y. T ( 0, y ) = 0. y=0 x=0. =0 x =1/ 2, y. x = 1/ 2. T ( x, 0 ) = 100.

(45) 45. Condiciones de Neumann El nuevo problema utiliza, para una malla de la misma densidad de nodos, la mitad del número de nodos. Utilizando el método de Jacobi tendremos soluciones como:. 100 100. 90. 80. 70. 100. 90. 90. 90. 80. 80. 80. 70. 70. 70. 60. 60. 60. 50. 50. 40. 40. 30. 30. 20. 20. 10. 10. 60. 50 50 40 40 30. 30. 20. 10. 0 0. 20. 10 20 40. 60. 80. 100 120. 0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. 10. 20. 30. 40. 0. Ejercicio sugerido: Modifique el programa mostrado en la lámina 20 para el método de Jacobi para considerar condiciones de Neumann y reproduzca estos resultados.. 50.

(46) 46. Condiciones de Neumann Si el método es implícito, entonces tendremos que las ecuaciones para los nodos en las fronteras vendrán dadas por la evaluación de Ti −1, j − 4Ti , j + Ti +1, j + Ti , j −1 + Ti , j +1 = 0 en i=1,. T0, j − 4T1, j + T2, j + T1, j −1 + T1, j +1 = 0 que al sustituir el valor de T0,j se reduce a. T0, j = T2, j − 2c∆x se reduce a. T2, j − 2c∆x − 4T1, j + T2, j + T1, j −1 + T1, j +1 = 0 o, reagrupando términos semejantes. 2T2, j − 4T1, j + T1, j −1 + T1, j +1 = 2c∆x.

(47) 47. Condiciones de Neumann Las ecuaciones a resolver serán entonces. − 4T1, j + 2T2, j + T1, j −1 + T1, j +1 = 2c∆x; Ti −1, j − 4Ti , j + Ti +1, j + Ti , j −1 + Ti , j +1 = 0;. i = 1; 2 ≤ i ≤ nx − 1;. 2 ≤ j ≤ ny −1 2 ≤ j ≤ ny −1. Por ejemplo, en nuestro ejemplo anterior para el método directo, en la malla 5 x 5, tendremos:. y =1. y=0 x=0. x =1.

(48) 48. Condiciones de Neumann Por ejemplo, en nuestro ejemplo anterior para el método directo, en la malla 5 x 5, tendremos:. y =1. − 4T1, 2 + 2T2, 2 + T1,1 + T1,3 = 2c∆x; − 4T1,3 + 2T2,3 + T1, 2 + T1, 4 = 2c∆x;. − 4T1, 4 + 2T2, 4 + T1,3 + T1,5 = 2c∆x; y=0 x=0 x =1 T1, 2 − 4T2, 2 + T3, 2 + T2,1 + T2,3 = 0; T2, 2 − 4T3, 2 + T4, 2 + T3,1 + T3,3 = 0; T3, 2 − 4T4, 2 + T5, 2 + T4,1 + T4,3 = 0; T1,3 − 4T2,3 + T3,3 + T2, 2 + T2, 4 = 0; T2,3 − 4T3,3 + T4,3 + T3, 2 + T3, 4 = 0; T3,3 − 4T4,3 + T5,3 + T4, 2 + T4, 4 = 0;. T1, 4 − 4T2, 4 + T3, 4 + T2,3 + T2,5 = 0; T2, 4 − 4T3, 4 + T4, 4 + T3,3 + T3,5 = 0; T3, 4 − 4T4, 4 + T5, 4 + T4,3 + T4,5 = 0;.

(49) 49. Condiciones de Neumann Podemos enumerar los nodos siguiendo. k = ( N x − 1)( j − 2) + (i − 1) + 1 Luego, las ecuaciones serán: −4T1 + 2T2 + T1,1 + T5 = 2c∆x. 9 10 11 12 5. 6. 7. 8. 1. 2. 3. 4. T6 − 4T7 + T8 + T3 + T11 = 0;. T1 − 4T2 + T3 + T2,1 + T6 = 0;. T7 − 4T8 + T5,3 + T4 + T12 = 0;. T2 − 4T3 + T4 + T3,1 + T7 = 0;. − 4T9 + 2T10 + T5 + T1,5 = 2c∆x. T3 − 4T4 + T5, 2 + T4,1 + T8 = 0;. T9 − 4T10 + T11 + T6 + T2,5 = 0;. − 4T5 + 2T6 + T1 + T9 = 2c∆x. T10 − 4T11 + T12 + T7 + T3,5 = 0;. T5 − 4T6 + T7 + T2 + T10 = 0;. T11 − 4T12 + T5, 4 + T8 + T4,5 = 0;.

(50) 50. Condiciones de Neumann Dejando las variables del lado izquierdo tendremos −4T1 + 2T2. + T5. T1 − 4T2 + T3 +. =2c∆x − T1,1 − T1,3 = −T2,1. T6. T2 − 4T3 + T4. + T7. T3 − 4T4 + T5 + T1. = −T3,1 + T8. = −T5,2 − T4,1. − 4T5 + 2T6. + T9. T5 − 4T6 + T7. T2 + T3. = 2c∆x. T6 − 4T7 + T8 + T4. =0. + T10 + T11. T7 − 4T8. + T12 = −T5,3. − 4T9 + 2T10. T5. = 2c∆x − T1,5. + T9 − 4T10 + T11. T6. =0. = −T2,5. + T10 − 4T11 + T12 = −T3,5. T7 T8. + T11 − 4T12 = −T5,4 − T4,5.

(51) 51. Condiciones de Neumann En forma matricial tendremos:.  −4 2  1 −4 1   1 −4 1  1 −4  1 0  1   1  1        . 1 1 1 1 -4 1. 1 2 -4 1. 1 1 -4 1. 1. 1 1 -4 0. 1. 1 0 -4 1. 1 1. 2 -4 1. 1 -4 1.   T1   c∆x − T1,1       −T T 2,1   2    T3   −T3,1      − T − T T   4   5,2 4,1    T   2c∆x    5   0    T6   =   T   0 7      1   T8  −T5,3      2 c ∆ x − T T 1,5   9    T10   −T2,5      1  T11   −T3,5  −4  T12   −T5,4 − T4,5 .

(52) 52. Condiciones de Neumann Nótese que la condición de Neumann afecta tanto la matriz de coeficientes. Por ejemplo, la fila 1 de nuestro sistema de ecuaciones es modificada en la 2da columna (12) y en el término independiente (adición de c∆x):. [ −4. 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0][T1 ] =  c∆x − T1,1 . Ejercicio: Resuelva el problema y =1. T ( x,1) = 0. ∂T ( 0, y ) = 0 ∂x. y=0 x=0. T (1, y ) = 0. T ( x, 0 ) = 100. x =1. 9 10 11 12 5. 6. 7. 8. 1. 2. 3. 4.

(53) 53. Condiciones de Neumann lleva a:  −4 2  1 −4 1   1 −4 1  1 −4  1 0  1   1  1        . 0 21.8988 45.5509 71.8529 100. 0 21.0222 44.2259 70.9304 100. 1 1 1 1 -4 1. 1 2 -4 1. 1 1 -4 1. 1. 1 1 -4 0. 1. 1 0 -4 1. 1 1. 0 17.9639 39.4003 67.6428 100. 0 11.4331 27.7685 60.2405 100. 2 -4 1. 1 -4 1.   T1   −100      −100     T2    T3   −100      100 − T   4     T   0    5   0 T   6   =    0   T 7      1   T8   0      0 T  9       T10  0       1  T11   0  −4  T12   0 . 0 0 0 0 100. 5 90. 4.5. 80 4 70 3.5. 60. 3. 50 40. 2.5. 30 2 20 1.5 1. 10 1. 1.5. 2. 2.5. 3. 3.5. 4. 4.5. 5.


(55) 55. Referencias 1. Análisis Numérico, Burden R., Faires J. D., 6ta Edición, International Thomson Editores, 1998 2. Applied Numerical Methods, Carnahan B., Luther H. A., Wilkes J. O., John Wiley and Sons, Inc, 1969 3. Nakamura, S.:”Métodos Numéricos Aplicados con Software”, Prentice Hall, (1992)..

(56) 56. ECUACIONES DIFERENCIALES ELÍPTICAS EN DERIVADAS PARCIALES Armando Blanco A..

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