4. EVALUACIÓN DE LA DEMANDA DE TRANSPORTES DE PERSONAS

4. EVALUACIÓN DE LA DEMANDA DE TRANSPORTES DE PERSONAS Ya hemos visto las características tanto de la oferta como la demanda de transportes de personas. Ahora intentaremos reflejarlas y así poder evaluar la demanda en un futuro. La elección entre dos modos de transporte no se puede analizar como una simple elección entre dos bienes. Toda decisión de consumo supone en general una inmovilización de tiempo reservado al consumo. Rechazando la vieja idea según la cual el tiempo era sólo un atributo de un bien económico, consideramos el tiempo como un bien libre; la actividad transporte obliga, para llegar al nivel de actividad deseado, a combinar estrechamente el bien y el tiempo.

En una óptica puramente productivista podemos mostrar que lo único que debería orientar la elección del viajero es el valor del tiempo. Pero esto no es siempre así.

El fallo de esta óptica se encuentra en la función de utilidad que debería introducir la influencia del confort y del motivo en el comportamiento del viajero.

Se ha de tener en cuenta que la elección de un modo es sólo uno de los aspectos de la demanda de transporte. La decisión de viajar viene dada como consecuencia de un conjunto de respuestas a un cierto número de preguntas, a las que se le intenta buscar un orden lógico. En algunas circunstancias la elección del destino, del modo, del horario obedece a una secuencia definida. Otras veces únicamente se considera el destino y el modo.

Como consecuencia de lo anterior deberíamos buscar medios aptos para confrontar las aproximaciones teóricas a los hechos observados. Esto es lo que intentan hacer los diferentes modelos de previsión de la demanda de transporte que presentaremos a continuación.

4.1. LOS MODELOS DE PREVISIÓN DE LA DEMANDA DE TRANSPORTES Hasta los años 1960, para la planificación de los transportes sólo se tenían en cuenta elementos financieros, dejando de lado el tiempo, el confort y la seguridad, los llamados costes sociales.

En 1960 se desarrollaron nuevos métodos, que reposaban sobre los fundamentos teóricos dados por una economía muy matematizada.

FIGURA 4.1: Organigrama de los modelos de transporte.

4.2. CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS DE PREVISIÓN DE LA DEMANDA Antes de presentar los principales modelos usados, se han de evocar los diferentes tipos. Hay varias formas de clasificarlos.

4.2.1. Clasificación entre modelos estadísticos y explicativos

La clasificación más simple es la que distingue entre los modelos estadísticos (o empíricos) de los modelos explicativos.

Los modelos estadísticos o empíricos se basan en una relación estadística definida a priori cuyos coeficientes se determinan con ajustes a los datos observados describiendo la movilidad actual (conocida por encuestas,...). Estos modelos, fácilmente aplicables, tienen el gran inconveniente de prohibir toda reflexión prospectiva sobre la evolución de los comportamientos de los usuarios, ya que las relaciones estadísticas no buscan reproducirlas y los coeficientes así determinados no pueden normalmente reflejar ninguna significación (excepto en algunos modelos). La calidad de los ajustes obtenidos es muy a menudo una ilusión.

Los modelos explicativos, al contrario, se basan en un análisis detallado de los datos; se avanza una explicación del sistema y ésta se formaliza bajo una forma matemática. Los parámetros, ajustados a los datos actuales, tienen entonces una significación y se puede reflejar en su evolución futura en función de las modificaciones posibles de los comportamientos. Estos modelos, más difíciles de aplicar y sobretodo de ajustar, son mejores para las previsiones y para la planificación. Permiten testar diferentes hipótesis.

Se pueden distinguir diversas categorías de modelos siguiendo su grado de agregación o siguiendo la forma en que los agentes económicos hacen su elección:

Según el nivel de agregación bajo el cual se tienen en cuenta los comportamientos de los agentes económicos, tenemos los modelos agregados y desagregados:

Los modelos agregados están ligados a modelos macro-económicos y se estudia la elección del modo de transporte a través de los volúmenes o partes de tráfico observadas. Estos modelos permiten analizar los desplazamientos entre zonas geográficas de origen y de destino sin tener en cuenta las particularidades de los viajeros en el interior de cada zona. Las características de los viajeros están representadas por distribuciones del conjunto de la población.

Los modelos desagregados están ligados a modelos microeconómicos y se refieren a los comportamientos individuales. Buscan explicar, bajo una forma probabilística, las actitudes de elección de los individuos, cuyo comportamiento está ligado a fenómenos aleatorios.

El análisis econométrico de la demanda del transporte presenta el desplazamiento como resultado de una sucesión lógica donde se abordan los problemas de generación de tráfico, de distribución espacial, de repartición modal, de afectación sobre la red, de repartición horaria,... Según la manera en que la elección es efectuada por los agentes tenemos los modelos secuenciales y directos:

Los modelos secuenciales suponen que las diferentes elecciones se hacen sucesivamente por el individuo. Cada aspecto de la cadena de decisión se estudia separadamente por una formulación adecuada. Son modelos que calculan primero el tráfico global, de todos los modos, entre dos zonas antes de afectar, con una operación diferente, la parte que repercute a cada modo.

Los modelos directos, aunque entienden que las elecciones pueden ser sucesivas, consideran que la decisión es un todo. Buscan integrar en una sola ecuación todo el proceso de elección. Estos modelos conducen directamente al cálculo del tráfico de cada modo. Se puede reconstruir el tráfico global como suma de los tráficos de cada modo.

Estas distinciones tan generales conducen a cuatro tipos de modelos de demanda: 1- Modelos agregados secuenciales.

2- Modelos agregados directos.

3- Modelos desagregados secuenciales. 4- Modelos desagregados directos.

Esta clasificación no pretende cubrir todas las posibilidades que dan los modelos al tratar el análisis de la demanda; a veces algunos modelos más complejos son difíciles de clasificar.

Estos modelos describen y prevén más particularmente los flujos de tráfico global entre dos zonas geográficas. Luego afectan las partes de estos flujos de los diferentes modos interviniendo en la relación. Cuando las zonas geográficas son numerosas, una última parte se reserva a la afectación de estos flujos en el conjunto de la red. Así podemos distinguir cuatro etapas sucesivas:

La generación de tráfico que tiene por objeto el cálculo del número de desplazamientos efectuados por una persona.

La distribución de tráfico que corresponde a la repartición espacial de los desplazamientos.

La elección modal que permite afectar los desplazamientos a los diversos modos con presencia.

La afectación sobre la red que consiste en repartir el flujo por modo de forma óptima sobre la red.

4.2.2.2. Los modelos agregados directos

Los modelos agregados directos formalizan en una sola ecuación, los análisis de generación-distribución y la repartición modal.

Generalmente la forma en que tratan la generación y la distribución es parecida a los modelos agregados secuenciales (teniendo en cuenta variables demográficas o socioeconómicas que describen los polos), pero se diferencian por el tratamiento de la elección modal.

Esto conduce a distinguir tres tipos de modelos agregados directos:

Modelos de elección de modo específico, que calculan modo por modo el tráfico correspondiente.

Modelos de elección de modo abstracto que estudian la demanda relativa a los modos definidos únicamente en términos de características de servicio.

Modelos de repartición modal que distinguen en una misma ecuación la función generación y la función de elección modal.

4.2.2.3. Los modelos desagregados secuenciales

Estos modelos tienen dos ventajas. Primero, parece que tienen mejor en cuenta los procesos de elección individual, por la manera en que los datos están tomados y utilizados en la construcción del modelo. De otro lado las técnicas de desagregación parecen más aptas para predecir los fenómenos de comportamiento y aplicarlos en la planificación.

Se han desarrollado principalmente para ayudar a la determinación modal, ya que la generación y la distribución de tráfico están tratadas de forma relativamente clásica. La elección modal, inicialmente, era una elección binaria entre dos modos concurrentes. Se podría usar una elección más compleja.

El uso de técnicas de calibración en las que cada observación individual se trata como un punto y no como el interior de un agregado, temporal o demográfico. La manera como son tratadas las características de las diferentes alternativas así

como las del usuario.

El uso de funciones matemáticas específicas.

Entre las numerosas formas de las funciones probadas, hay dos que son las más usuales:

La forma logística tal que: )) ( exp( 1 )) ( exp( x G x G P_A + = (4.1)

La forma probit tal que:

P_A G∫x u du ∞ − _     − = ( ) 2 2 exp 2 1 π (4.2)

donde PA es la probabilidad de elegir la alternativa A

G(x) es la combinación lineal de los atributos de las diversas alternativas y de las características del usuario

4.2.2.4. Los modelos desagregados directos

En este tipo de modelos, el usuario no se supone que toma su decisión en una secuencia de elección (¿viajar o no?, ¿por qué modo? ¿a qué destino?), sino que la toma simultáneamente. Este principio ya desarrollado en los modelos agregados directos se ha aplicado a los modelos desagregados, estos últimos constituyen para algunos el mejor acercamiento a las elecciones de los individuos.

En la parte central de estos modelos se encuentra el análisis de la repartición modal, que se suele tratar como un acercamiento de tipo logístico.

4.2.3. Clasificación de los modelos siguiendo los objetivos buscados

Con el fin de poner en evidencia las necesidades en los datos que implica la realización de los objetivos buscados, clasificamos a continuación los modelos haciendo referencia a la lista de criterios propuestos:

El primer tipo contiene todos los estudios con carácter prospectivo que se pueden orientar con el objetivo de determinar cuál podrá ser el estado de la demanda de transportes en el futuro, con independencia de toda transformación particular aplicada al sistema de transporte en sí mismo.

El tercer tipo se aproxima al segundo en la medida que se trata de evaluar a priori los efectos de una acción en materia de transporte, pero las acciones aquí consideradas provienen de la gestión global de una red (por ejemplo reglamentación de la velocidad en las carreteras o tarificación del usuario de las redes de autopistas o de transporte colectivo), ya que aunque estas acciones inciden sobre las condiciones de transporte ofrecidas al usuario, no constituyen propiamente dicho un proyecto de transportes espacialmente delimitado.

El cuarto tipo consiste en la evaluación propiamente dicha de un proyecto de mejora, o de la política de gestión aplicada, desde el punto de vista del interés que el proyecto o la política pueden presentar para la empresa de transportes o la colectividad pública.

El quinto tipo está formado por todos los análisis destinados a imaginar las acciones propias para mejorar el sistema de transportes, poniendo en evidencia las necesidades en desplazamiento ligadas a los modos de vida de los individuos y del funcionamiento de las actividades económicas, así como de un diagnóstico sobre la adecuación o no de la oferta de transportes a estas necesidades.

Para caracterizar estos modelos, tendremos en cuenta las diferentes aproximaciones existentes en materia de demanda, cuyos datos de base difieren según:

El horizonte de estudio sea más o menos extenso en el tiempo (estudio a corto, medio o largo término).

La escala geográfica del problema sea más o menos grande (estudio de una red o estudio de un corredor).

El estudio contemple uno o más modos de transporte, o una o más categorías de usuarios.

La transformación estudiada sea radical, o marginal (en lo que concierne a la oferta de transporte o el contexto socio-económico).

La demanda estudiada sea más o menos manifiesta en el momento del estudio. Los resultados esperados o los métodos usados requieran un nivel de detalle más

o menos preciso.

4.3. MODELOS SEGÚN SUS CARACTERÍSTICAS DE CONCEPCIÓN 4.3.1. Modelos agregados

Los primeros modelos de transporte se inspiran en la ecuación de la gravedad de NEWTON, por lo que se llaman modelos gravitatorios. En su expresión más simple, suponemos que el tráfico entre dos pueblos es proporcional a la población de los dos pueblos y inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre los dos pueblos:

ij j i ij d p p k T = ₂ (1) donde Tij: tráfico entre i y j

pi, pj: poblaciones respectivas de los pueblos i y j dij: distancia entre i y j

k: coeficiente a estimar

El fundamento de este modelo es que un punto es tan atractivo como es importante su masa y al revés.

Las hipótesis estrictas de la ecuación de NEWTON no siempre han sido confirmadas. Hay estudios que revelan que la distancia no se comporta siempre como el inverso de su cuadrado. Tampoco hay nada que indique que la población juegue un papel proporcional. Esto ha hecho que se substituya el modelo gravitatorio simple por uno más general: ij j i ij d p p k T _γ β α = (2)

donde α, β, y γ son coeficientes de proporcionalidad de cada variable, parámetros a estimar.

Otros modelos que se inspiran en el modelo gravitatorio incluyen nuevas variables, ya que la población no es suficiente para caracterizar la generación de tráfico y la atracción de un pueblo, al igual que la distancia es sólo un factor entre los que determinan la impedancia del transporte entre dos pueblos. Bajo una forma más general el tráfico entre dos pueblos se puede escribir como:

) (_ij j i ij kG A f l T = (3)

donde Gi caracteriza la generación de tráfico de desplazamiento de la zona i Aj caracteriza la atracción de desplazamiento de la zona j

f( lij ) es la función de impedancia de transporte entre i y j

Sea cual sea el modelo, se han de cumplir unas ciertas exigencias, resumidas en forma de axioma son:

3.- Un modo de transporte en el cual la frecuencia es muy débil ha de tener muy poca influencia sobre la demanda total y su repartición.

4.- Aunque el coste o el tiempo de transporte de un modo disminuya, o aunque su frecuencia aumente, la demanda total no ha de disminuir y las demanda de los otros modos no han de aumentar.

5.- La demanda depende sólo de las características de los modos de transporte, de su nivel de servicio.

4.3.1.1. Modelos agregados secuenciales

1. El modelo de Wilson basado en la maximización de la entropía

Partiendo de una crítica al modelo gravitatorio simple, WILSON propone una fórmula más general. La atención no se centra en la relación entre dos zonas o dos pueblos, sino en un conjunto de relaciones, representado por la matriz Tij, en la cual el elemento tij es el número de viajes entre i y j. Siendo Oi el número total de viajes salidos de i y Dj el

número de viajes que llegan a j, tenemos:

∑ = jTij Oi (4) ∑ = iTij Dj (5) ∑∑ = =∑ =∑ i j Tij T i Oi j Dj (6)

Globalmente estas tres condiciones significan que todos los viajes que salen de un origen i deben llegar a un destino j, y al revés.

WILSON considera que el tráfico no puede ser explicado por un modelo gravitatorio simple, ya que no satisfaría las condiciones anteriores. Si doblamos Oi y Dj, el modelo gravitatorio conduciría a cuadriplicar los viajes entre i y j, mientras que las condiciones anteriores implicaría que se duplicarían.

WILSON propone introducir una función de distancia que mida la impedancia entre i y j. Esta función se puede medir en términos de tiempo, de coste o de coste generalizado. Para asegurarse que el modelo satisface las condiciones iniciales, en cada zona introduce unas constantes de emisión y de atracción, Aj y Bj, tales que:

1 ) ( −     = ∑ _{j j ij} i B D f d A (7) 1 ) ( −     = ∑ _{i i ij} j AO f d B (8)

El modelo gravitatorio propuesto por WILSON resulta:T_ij = A_iB_jO_iD_jf(d_ij) (9) Se necesita una cuarta condición: los gastos de transporte representan una suma fija:

∑ ∑ =

En este método se ha de buscar la matriz Tij más probable que obtendríamos si repartiéramos los T movimientos al azar, respetando las cuatro condiciones. Cada movimiento está considerado como equiprobable. El método se basa en la hipótesis fundamental que la probabilidad de distribución de los Tij es proporcional a los estados del sistema, que son toda combinación posible de los T trayectos, en los que se respeta las cuatro condiciones. Se llega así a la expresión siguiente:

ij c j i j i ij AB OD e T = −β (11) donde 1 ) exp( −       − =

∑

_{j j ij} i B D c A β (12) y 1 ) exp( −       − =

∑

_{i i ij} j AO c B β (13)

La distribución de viajes más probable es de la misma forma que preveía el modelo gravitatorio. Los Ai y Bj son variables de moderación cuya función es compensar respectivamente la atracción y la generación de tráfico de una zona, es una medida de la accesibilidad de una zona.

Si suponemos que hay muchos modos de transporte. Tij, Oi, Dj y Cij tienen el mismo significado pero se ha de añadir Tkij, Oki, Dkj y que contemplan los viajes cubiertos por el

modo k.

WILSON llega al resultado siguiente: ) exp( k ij j i j i k ij AB OD c T = −β (14) donde 1 ) exp( −     ₋ = ∑ ∑ j ij k k j j i B D c A β (15) 1 ) exp( _−   ₋ = ∑ ∑ i ij k k i i j AO c B β (16)

Esta expresión del tráfico modal conduce a una repartición simple del tráfico por modo sobre la relación ij:

∑ − − = k c c ij k ij k ij k ij e e T T β β (17)

Al modelo de repartición se le asocia un modelo de generación de viajes de tipo gravitatorio con la introducción de un nuevo modo de transporte:

[

(

)

]

exp

_ij

ij

ij

D

f

c

T

=

−

λ

(18)

donde Dij es el número de viajeros entre i y j antes de la introducción del nuevo modo, y cij el coste generalizado de un viaje entre i y j.

Suponiendo que f(cij)=Log (cij), se tiene: _λ ) ( _ij ij ij c D T = (19)

El coeficiente λ no ha sido estimado, con lo que se usa alternativamente igual a 0 y 1. Para usar un modelo así se ha de disponer de datos fiables y usar un método de estimación no muy empírico.

2.Modelos de repartición modal

Su centro de interés se encuentra en la forma como se analiza la repartición del tráfico entre los diferentes modos. Al lado de una ecuación que mide el tráfico global y cuya forma es de tipo gravitatorio, aparece una ecuación donde la variable a explicar es la parte del tráfico.

2.1. Modelo de MC LYNN

El fundamento teórico de este modelo se basa en la noción de concurrencia modal: todos los modos de transporte son concurrentes entre ellos sobre la base de sus características. Este postulado en términos de elasticidad es: las elasticidades directas de la demanda de cada uno de los modos han de ser negativas mientras que las elasticidades cruzadas deben ser no negativas. Esto quiere decir que si hay un cambio en una de las características, y las demás permanecen constantes, y la demanda de un modo aumenta, la demanda de los otros modos no puede aumentar.

MC LYNN rechaza la hipótesis de elasticidad constante y propone que todas las elasticidades puedan ser explicadas como una función lineal de todas las demandas modales. Si denotamos como Xij un conjunto de variables independientes caracterizando el modo j:       ≠ = − =        ∆ ∆ − k j k w k j k w X X k w k w ij ij ij ij ) ( )) ( 1 ( ) ( ) ( 1 α α (21)

donde w(k) representa la fracción de la demanda satisfecha por el modo k.

Esta relación expresa que la elasticidad de la demanda de un modo con relación a sus propias variables es proporcional a la parte del mercado que puede ganar y que la elasticidad cruzada es proporcional a la parte del mercado que otro modo puede perder. Esta ecuación conduce a soluciones que se encuentran en el límite de lo correcto: si w(k) es próximo a la unidad, la elasticidad directa es prácticamente nula y el modelo predice que una mejora del servicio no aumentará de forma importante la parte del mercado de este modo, así como un deterioro no la disminuirá de forma sensible. Un modo de transporte que tiene una parte importante del mercado posee tanta superioridad de manera que pequeños cambios en sus características no afectan casi a su superioridad.

Igualmente si w(k) es próximo a cero, el modo ganará o perderá una parte significativa de su propia parte del mercado con una mejora o un deterioro de sus características, pero esta parte será débil en el conjunto del mercado.

∑ ∑ ∏ ∏ = = = = _m j k k m j j i ij i ik k w w x c x c k w ij ik 1 1 ) ( α α (22)

donde w(k) es la fracción de la demanda asegurada por el modo k xij es el valor de la característica i del modo j

αij y cj son los parámetros a estimar

Estos parámetros se pueden determinar de muchas formas. Se puede suponer que son específicos del modo o que son idénticos o que sólo algunos son específicos.

Las relaciones de w(k) se pueden linealizar, para ello se ha de escoger un modo de referencia. Se llega a:

(

)

m k k w w Log = µ (23)

(

)

m k k c c Log r = (24) ik k Logx v = (25)

donde m indica el modo de referencia. Las expresiones quedan de la forma:

∑ ∑ = − = + = 3 1 2 1 i ik ik i im im k k r α v α v µ (26)

El problema se reduce a encontrar para cada modo k sus rk y αik que minimizan:

∑

₍ − _{ˆ )}2

k k µ µ

donde µ_k es el logaritmo de los valores observados k

µˆ es el logaritmo de los valores previstos

Se han hecho muchas regresiones con diversas hipótesis de tiempo y de coste. Pero la existencia de colinearidad priva a los coeficientes de significación, ya que el tiempo y el coste de transporte están ligados linealmente.

Para resolver éste y otros problemas MCLYNN propone una solución fundada en el intercambio entre el tiempo y el coste. Supone que los exponentes de estas dos variables están ligadas de forma que: α_2k =λ_kα_1k (27)

Así tenemos:

{

}

∑ = − + + + = 2 1 3 3 2 1 1 i im im k k k k k k k k r α v λ v α v α v µ (28) y se escribe: v_k =v_1k +λ_kv_2k (29) λk por hipótesis es igual a:

De las hipótesis del modelo se deduce que la elasticidad de substitución entre el tiempo y el coste es igual a: k k k k k k k x x x x _λ α α − = − = ∂ ∂ × 1 2 1 2 2 1

Por regresión y para cada modo se puede determinar el coeficiente γ que liga el tiempo y el coste: x_2k =γ_kx_1k

Tenemos así la siguiente relación: k k k k k k x x _λ α α γ ∂ =− =− ∂ × 1 2 1 2 1 (30) Donde k k x x 1 2 ∂ ∂

es asimilable al valor del tiempo. Mc LYNN supone que es constante y lo iguala a un valor determinado por hora. Esta evaluación asociada a la determinación de γk permite obtener λk.

Este modelo se aplicó en EE.UU. considerando todos los modos de transporte y la repartición modal se hizo depender de tres variables clásicas: el tiempo, el coste y la frecuencia. Para el coste del automóvil MC LYNN dividió el coste total por tres para intentar acercarse al coste percibido por el usuario. En cuanto a la frecuencia se tomaron medidas del inverso de la frecuencia, y de un valor F’ definido por: _{F'= 1−e}−KF _cuyo valor varía de 0 a 1, de forma que es nulo cuando la frecuencia es nula y tiende asimptóticamente a 1 cuando la frecuencia es elevada, como es el caso del automóvil. La eliminación de la colinearidad con la introducción del parámetro λ mejora considerablemente los resultados ya que todas las elasticidades tienen los signos correctos.

2.1.1. Alternativas a la solución de MC LYNN 2.1.1.1. Modelo de ELLIS y RASSAM

La solución propuesta por Mc LYNN para eliminar la colinearidad no siempre ha encontrado el éxito deseado. H. ELLIS y R. RASSAM llegaron a resultados en contradicción con el axioma 4 y proponen un modelo que elimina radicalmente la colinearidad ya que se introduce una sola variable. Al hacer esto se limita considerablemente el poder explicativo del modelo.

Donde α y β son dos coeficientes específicos. Fundado sobre la noción de diferencia, un tratamiento de este tipo sólo aborda el problema de la repartición entre dos modos. Este modelo se basa en la idea que una modificación en la parte del mercado de un modo referente a una cambio de la variable explicativa es proporcional a las partes respectivas de los diversos modos y a este cambio. Matemáticamente esta hipótesis se presenta de la forma:

dx w pw

dw₁ = _{1 2} (34)

donde w1 representa la parte del mercado del modo 1 w2 es la parte del modo 2

p es el coeficiente a estimar

w1 y w2 están ligados por la relación w1 + w2 = 1 si queremos que le modelo satisfaga el axioma 1. Podemos escribir:

pdx w w dw = − ) 1 ( ₁ 1 1 ₍₃₅₎

La integración de esta función diferencial conduce a:

) exp( 1 1 1 a px w − − + = (36)

Donde a es una constante de integración a estimar. También tenemos:

) exp( 1 2 b qx a w − − + = (37)

Donde q y b son los parámetros correspondientes respectivamente a p y a. Los cuatro parámetros han de satisfacer:

) exp( 1 1 ) exp( 1 1 2 1 b qx a px w w − − + + − − + = + (38)

sea 0(p+q)x+(a+b)≡ para todo x Se necesita que q=-p y b=-a.

Este resultado es importante porque indica que es suficiente estimar una de las dos ecuaciones.

La estimación del modelo se hace por simple regresión lineal:

) exp( 1 1 1 a px w − − + = se escribe como: px a w w Log = + 1 2 ₍₃₉₎

de tiempo y de coste, es evidente que la búsqueda muy empírica de los coeficientes α y β no asegura un gran valor a las estimaciones del modelo ni a su poder de previsión. 2.1.1.2. Modelo multimodal de ELLIS, RASSAM y BENNETT

ELLIS y RASSAM con BENNETT desarrollaron un modelo que no está limitado al análisis bimodal y que puede incorporar muchas variables.

La hipótesis central dice que el cambio en la parte de la demanda de un modo como consecuencia de una modificación en una de las variables explicativas es proporcional a la parte de este modo y a una función lineal de las partes de los otros modos:

∑ = ∂ ∂ k ijmk k m ij m _{w w} x w _α (40)

donde xij es el valor de la característica i del modo j wm es la parte del modo m

wk es la parte del modo k

αijmk es un coeficiente a determinar, j indica el modo cuya variable se ha modificado, m el modo cuya repartición cambia, k el modo cuya parte tiene una influencia sobre la parte del modo m como consecuencia de un cambio en la característica i del modo j.

Si M y I son respectivamente el número de modos y el número de atributos, hay ( M x I x M) ecuaciones diferenciales que definen el conjunto de los wm. Este modelo implica la estimación de un gran número de coeficientes, pero las condiciones impuestas a las funciones de demanda conducen a que ciertos coeficientes tengan valores determinados a priori: m k j ijmk = 0 ≠ ≠ α k j ijjk ijkj =−α ≠ α 0 = ijkk α ij ijjm ijjk α α α =− =

Estas condiciones permiten simplificar la relación anterior:

m jm ij m _w x w ∆ = ∂ ∂ (41) donde       = − ≠ − = ∆ j m w j m w m im j ij jm _{α (1 )} α (42)

La solución de este sistema de ecuaciones diferenciales es:

∑ ∑ ∑ + + = j i ij ij j i im im m m _x x w ) exp( ) ( exp α α α α (43)

Donde αj es una constante de integración específica del modo.

      = − ≠ − = ∂ ∂ j m x w j m x w x w w x im m im ij j ij ij m m ij ) 1 ( α α (44)

Esta ecuación significa que la elasticidad de wm con relación a xij, la característica i del modo j, es proporcional a xij y a la parte wj de este modo; la elasticidad de wm con relación a sus propias características es proporcional a xim y a la parte del mercado que este modo puede ganar.

La única diferencia con el modelo de MC LYNN es la aparición del valor inicial de la característica; si ésta es más elevada, las elasticidades son mayores: la influencia relativa es tan grande como la situación inicial de la característica modificada es desfavorable ( tiempo y costes elevado). En cuanto a las soluciones límite, éstas son las mismas que el modelo de MC LYNN: una parte suplementaria del mercado es tan difícil de conquistar como la parte inicial es importante; el riesgo de perder una parte significativa de su propio mercado aumenta cuando el modo ocupa un sitio importante. 2.1.1.3. Modelo de MONSOD

MONSOD propone un modelo de demanda ferroviaria, pero establece que existe una demanda global que se reparte entre los diferentes modos en función de sus características; por lo que es imposible construir un modelo de demanda ferroviaria independiente de los otros modos.

Propone un modelo de generación y un modelo de afectación.

La ecuación fundamental del modelo de afectación implica que la parte de mercado de un modo con relación a la de otro modo de referencia depende de las relaciones entre las características de estos modos. Establece una relación, sin justificar desde un punto de vista teórico, entre las variables explicativas y la variable explicada que supone que es una relación a elasticidad constante:

4 3 2 1 0 α α α α α ij ijr ijk ijr ijk ijr ijk ijr ijk _Y D D H H C C e T T                         = (45)

donde Tijk y Tijr son los tráficos respectivos de los modos k y r ( ferrocarril) entre i y j.

Cijk y Cijr sus costes respectivos.

Hijk y Hijr sus tiempos respectivos.

Dijk y Dijr sus frecuencias diarias medias.

ij

Y la renta media entre i y j.

α0, α1, α3 y α4 son parámetros a estimar.

Este modelo intenta llegar a un resultado práctico a partir de datos y técnicas existentes. Y subraya la insuficiencia de los datos relativos al transporte de automóvil, y el freno que constituye al desarrollo de modelos globales de la demanda de transporte.

3. Modelo de pura repartición modal: el modelo dinámico de ALAIN BIEBER Este modelo se centra en la idea que la elección del modo de transporte es el resultado de un proceso evolutivo. Hace referencia a la teoría del aprendizaje que considera que el individuo busca mejorar su bienestar por adaptaciones sucesivas a su entorno. Así el individuo tiene una probabilidad de escoger diferentes modos, pero esta probabilidad se modifica en cada periodo para conseguir un proceso de aprendizaje. Se ha de encontrar una ley que permita pasar de la probabilidad inicial de un período a la del final del período.

Llamamos a t ij

p la probabilidad que el individuo observado utilice el modo i al principio del período t y el modo j al final del período. La teoría del aprendizaje implica que existe una probabilidad no nula que el individuo se quede con el modo desfavorable, también hay una probabilidad no nula que el individuo pase de mejor modo al peor. Sea t

2

λ y t

1

λ estas dos probabilidades, las cuatro probabilidades de transición pueden escribirse:

t t p₁₁ =1−λ_{1 p}t t 1 12 = λ t t p₂₁ =1−λ_{2 p}t t 2 22 =λ

Conociendo este conjunto de probabilidades de transición y el conjunto de las probabilidades _mt

1 y

t

m₂ que el individuo use respectivamente el modo 1 y el modo 2 al principio del período t, es posible expresar las probabilidades que el individuo escoja los modos 1 y 2 al principio del período siguiente aplicando el teorema de las probabilidades condicionales: t t t t t t t t t _{p m p m m m} m 1 _{11 1 21 2 1 1 2 2} 1+ = + =(1−λ ) +(1−λ ) t t t t t t t t t _{p m p m m m} m 1 _{12 1 22 2 1 1 2 2} 2+ = + =λ +λ

El caso particular de dos modos se puede generalizar. Si designamos por _{m el vector} t columna de n dimensiones, si hay n modos, las probabilidades de elección de estos modos al principio del período t y según la Pt matriz de probabilidades de transición

válidas para este mismo período, tenemos: t t t _{m P} m+1 = ₍₄₆₎

∏

= + = + ₌ k k s t k k t s t _{m P} m (47)

Y si suponemos la estabilidad de los procesos evolutivos:

[ ]

s t s

t _{m P}

m + = ₍₄₈₎

directamente al nivel macro-económico el comportamiento individual descrito antes. Las probabilidades de transición son entonces substituidas por sus equivalentes macro-económicas observables: los comportamientos de la matriz P representan la proporción de viajeros que a lo largo del período t pasan del modo i al modo j. En cuanto a los componentes del vector mt, son el número de usuarios de cada modo al principio del

período t.

La estimación de este modelo exige encontrar la matriz óptima de las probabilidades de transición. Ésta se obtiene minimizando una función objetivo bajo las condiciones de coherencia. El defecto de este método es considerar la demanda de transporte constante en el conjunto de los periodos. Pero la evolución continua del mercado de transportes exige tener en cuenta una demanda nueva en cada periodo. BIEBER introduce esta nueva demanda según dos hipótesis: una consiste en estimar las probabilidades de elección de los nuevos viajeros, la otra parte de una hipótesis de inercia y da a los nuevos viajeros la probabilidad de los viajeros del período precedente.

4.3.1.2.Modelos agregados directos

1. Modelos de elección de un modo específico 1.1. Modelo de la SARC

Este modelo se interesa en la repartición entre modos y no en el volumen de tráfico en su conjunto. Este estudio trata de evaluar el número de viajes de ida y vuelta, por modo de transporte, entre pueblos. Se distingue el efecto de los factores socio-económicos y los factores de transporte, haciendo posible la estimación del efecto sobre el viaje en un modo de transporte determinado, de un cambio en el ambiente, el precio o la duración de este modo de transporte o de otros modos. Se tiene en cuenta la concurrencia entre los diferentes medios de transporte, en este sentido se prevé que un cambio en las características de un modo influirá en la demanda de los otros modos.

El modelo gravitatorio otorga a la población un rol importante: considerada a la vez como una fuente de viajeros y una medida de la atracción de un pueblo. Para evaluar la demanda de viajes por razones personales la población total es una buena medida. Esta población total no parece prestarse a la estimación de los viajes de negocios. Para ello se utiliza el número de empleos; aunque la relación de las proporciones entre empleo y población de cada pareja de pueblos es muy cercana a la unidad, no es la masa global de empleo lo que importa sino su composición: hay diferencias muy elevadas en el número de viajes por empleo según el tipo de industria. Sin embargo, el modelo no permite analizar la influencia de la estructura del empleo.

Como indicador de las posibilidades de viaje se introduce la renta. Está claro que la distribución de las rentas en un pueblo sería la mejor medida, pero por razones de simplicidad se usa la renta media por cápita.

Cada pueblo tiene un grupo de características que la hacen más o menos atractivas y éstas no tienen la misma importancia según el motivo. Con el objetivo de establecer una medida única de la atracción de cada pueblo, los autores han calculado el número de empleos a tiempo completo corregido con variaciones estacionarias, en los hoteles, restaurantes, cafés y lugares de espectáculos y de ocio por millón de habitantes. Haciendo la hipótesis que un pueblo es tan atractivo como el lugar de residencia no lo es, el índice de atracción relativa es la relación entre el índice de atracción del pueblo destino y el índice de atracción del pueblo de domicilio.

El tiempo de transporte escogido es un tiempo global des del punto de origen al punto de destino. El tiempo de transporte automóvil es el tiempo medio usado para ir del centro de un pueblo al centro del pueblo de destino. Contrariamente, para los modos de transporte públicos, los autores han tenido en cuenta el tiempo principal más corto en la ruta considerada, los diferentes tiempos terminales, los tiempos de espera, así como un tiempo medida de la condición que impone el respeto de los horarios. La suma de estos elementos determina el tiempo de transporte público.

Los costes de los modos de transporte públicos es la suma de los costes del modo de transporte principal y los modos terminales usados tanto en el origen como en destino. Los costes de transporte terminal se establecen para cada pueblo y para cada modo de transporte principal: es una media ponderada en función de la distancia y del modo terminal usado. El coste del transporte principal representa la media del coste monetario efectivamente pagado y tiene en cuenta la tasa de reducción media obtenida sobre cada uno de los modos así como las diferentes clases ofertadas.

Para el automóvil se trata de un coste por milla que multiplica la distancia, se busca acercarse al coste percibido por el usuario dividiendo por el número medio de ocupantes, el cual varia según el motivo del viaje.

El modelo consiste en dos conjuntos de relaciones matemáticas, uno de los conjuntos se aplica a los viajes de negocio, el otro a los viajes por razones personales. En cada conjunto se establece una relación particular para cada uno de los cuatro modos de transporte: ferrocarril, autocar, avión y automóvil. Cada relación se presenta bajo la forma: ∑ ∑ = + + + + + + = C A B R q s j ms s i ms qs ij q ms qs ij q ms s j s dm s i s om ms ms

ij Logk n LogN n LogN p Logp t LogT Y LogY a LogA

LogD , , , (49) donde ms ij

D : número de viajes de ida y vuelta desde el pueblo i hasta el pueblo j por el modo m, con el motivo s

K :constante de la relación de la demanda de viaje en el modo m por el _ms motivo s

s i

N : medida de la población o del empleo en el pueblo origen i empleada en la relación de demanda para el motivo de viaje s

s j

N : igual en el pueblo de destino j s

om

n y s dm

qs ij

p : medida del precio de viajes des del pueblo i al pueblo j en el modo de transporte q cuando el viaje se hace por el motivo s

ij

p : elasticidad de la demanda en relación con la variable anterior qs

ij

T : medida de la duración del transporte para los viajes des del pueblo i al pueblo j en el modo de transporte q por el motivo s

q ms

t : elasticidad de la demanda con relación a la variable anterior i

Y : medida de la renta de la población del pueblo i ms

Y : elasticidad de la demanda de viaje del modo de transporte m por el motivo s relativa a la medida de la renta

s j

A : medida de la atracción del pueblo j por el motivo s :

ms

a elasticidad de la demanda de viaje del modo m por el motivo s relativo a la medida de la atracción del pueblo de destino

Este modelo se modificó debido a errores en los primeros resultados, debidos principalmente a la multicolineariedad o a los signos de la elasticidad en contradicción con el axioma 4.

Este modelo ha permitido mostrar que los viajes de negocio son poco sensibles a los costes de viajes, los de razones personales lo son un poco más, menos en lo relacionado con el transporte ferroviario que está afectado por un coeficiente superior a la unidad. Todos los viajes en su conjunto y los de negocio más especialmente se muestran más sensibles al tiempo de transporte del modo usado.

La elasticidad de la demanda ferroviaria con relación al precio del autocar es superior a la unidad tanto por motivos de negocios como personales.

Por motivos profesionales la demanda de transporte automóvil parece sensible al coste ferroviario y un poco menos al tiempo, los otros modos no tienen ninguna influencia significativa. El coste ferroviario revela una influencia notable sobre el tráfico automóvil, pero sólo por viajes de negocio.

Este modelo es el primero en analizar la demanda global a través de las demandas de los diversos modos; estas últimas incorporan el conjunto de las características del sistema de transporte.

1.2. Modelo de demanda no lineal de BLACKBURN

∑

= − m j j j n y p x U 1 1,..., , ) (ζ ζ (50)

que es máxima bajo las condiciones:

∑

= = m j j ij i x 1 α ζ (51)

donde ζ_i es el nivel de consumo del atributo i j

x es la demanda del bien j “ modo de transporte “ en nuestro caso j

p es el coste del viaje por el modo j y es la renta del consumidor

ij

α es un coeficiente técnico que liga el nivel de consumo del atributo i con el modo de transporte j. Si el atributo i es el tiempo de transporte, α_ij corresponde al tiempo de transporte de un viaje por el modo j

En el equilibrio, si consideramos una relación determinada y si los diferentes modos son perfectamente substituibles bajo esta relación, el modo escogido en una ocasión debe ser tal que la variación de utilidad que resulte sea superior a toda variación resultante de la elección de otro modo:

∑

∑

= + = + − ≥ − n i n i j n ij i k n ik i U p U U p U 1 1 1 1 α α (52)

Donde U_i es la derivada parcial de la función U con relación a su argumento i

Denotando como w_i la tasa marginal de substitución entre la renta y el atributo i, la relación anterior se escribe:

∑

∑

= = + ≤ + n i n i j ij i k ik i p w p w 1 1 α α j=1,2,...,n (53)

La expresión izquierda de la desigualdad representa el coste generalizado del viaje por el modo k. La desigualdad significa que un viaje se realizará por el modo k si su coste generalizado es inferior o al menos igual al coste generalizado de cada uno de los otros modos.

El equilibrio del viajero se establece a partir que un viaje suplementario dé un aumento de bienestar inferior a su coste generalizado. En el equilibrio:

) (

1 k

k w x

c =− (54)

Donde w₁ es la tasa marginal de substitución entre el dinero y el viaje.

1

w es una función creciente con xk.. Llamando Ψ a la función inversa de )

(

1 xk w

− , la demanda individual del modo k es:

      ≤ = = casos otros m j c c c x k k j k 0 ,..., 2 , 1 ) ( ψ (55)

cuales se ha de establecer el coste generalizado de cada modo. Considera dos grupos de elementos en la función de demanda. El primero contiene aquellos que hacen resistencia al viaje: entran en la función de coste generalizado. BLACKBURN propone que la demanda de transporte decrece exponencialmente con relación al coste generalizado. El segundo grupo está formado por elementos generadores de viajes: la población, suponiendo constante la elasticidad de la demanda en relación con esta variable y un factor de atracción propio del individuo, supuesto ligado a la renta del pueblo de destino

por la relación: _α α2

d ovY

v∗ = (56)

En estas condiciones la demanda de viajes por el modo k a partir de un origen o y para un destino d se escribe:       ≤ = = − casos otros m j c c ve Y p x odk odj c d d o odk odk 0 ,..., 2 , 1 3 2 1 α α α α (57) donde Pd: población en el destino

Yd: renta en el destino

α0, α1, α2 y α3 son los parámetros a estimar.

En la función de coste, se deberían introducir todas las características que hacen que un viaje sea diferente si se cambia el modo de transporte bajo una relación determinada. Pero los datos existentes limitan considerablemente la generalidad de la función en este dominio. BLACKBURN distingue las variables que se modifican según el modo y la relación (los diferentes tiempos y costes de transporte) y aquellos que sólo cambian con el modo, como la seguridad, el confort,... Para estos últimos BLACKBURN piensa que no es posible determinar estadísticamente la contribución de cada uno de ellos, por ello los une en una variable única específica de cada modo. El coste generalizado se escribe:

k odk odk

odk p wt w

c = + ₁ + (58)

donde podk es el coste monetario del viaje por el modo k

1

w es la tasa de intercambio entre el dinero y el tiempo de transporte, que es igual para todos los modos

k

w es la variable específica de cada modo

La segunda etapa de la construcción del modelo consiste en especificar la agregación de las demandas individuales con el fin de determinar la demanda del mercado. Es evidente que si todos los individuos respondieran de la misma forma a los diferentes atributos, un único modo de transporte se elegiría para una relación dada. Se ha de suponer que los gustos varían según los individuos, en consecuencia los parámetros de la función individual se pueden considerar como observación de variables aleatorias continuas cuya distribución suponemos sigue una ley normal.

La esperanza matemática de la demanda individual se escribe:

[ ]

=

_∑

_∫∫∫

_∫∫∫

∑ − + − − − ∈ + + − − odk x R U e p u d d o odk p Y e e dU e x E U U k k u odk o ) ( 1 )' ( 2 1 1 3( ) 2 1 3 2 1 α _{(2 )} α µ µ µ α _π α (59)

donde U es el vector de seis variables aleatorias

odk

e es el término residual k

R está definido por c_odk ≤c_odj j =1,2,...,m

En el caso donde hay cuatro modos de transporte se tendrá que estimar otros αo, α1, α2

y α3, 6 medias, 6 varianzas, y 15 covarianzas. Este número tan elevado de parámetros a

estimar está por encima de las posibilidades de los datos. BLACKBURN pone ciertas hipótesis para reducir sensiblemente el número.

Teniendo la demanda individual completamente especificada, la esperanza matemática de la demanda del mercado es igual al producto de la esperanza matemática individual por el número de habitantes del pueblo origen.

El modelo requiere finalmente la estimación de diecisiete parámetros que BLACKBURN efectúa por aplicación directa del método de los mínimos cuadrados. Pero la minimización no pudiéndose hacer de forma analítica, exige un proceso iterativo, el algoritmo de MARQUARDT. De otro lado esta estimación requiere la evaluación de una integral de seis dimensiones para lo cual el método de MONTECARLO es el más apropiado.

2. Modelos directos basados en la noción de modo abstracto

2.1. La noción de modo abstracto

Con la intención de construir modelos que puedan integrar sin dificultad los nuevos modos de transporte susceptibles de aparecer como consecuencia del progreso tecnológico, aparece la noción de modo abstracto.

QUAND y BAUMOL no nombran los diferentes modos de transporte por su nombre: tren, coche, avión. Ellos intentan caracterizar cada modo por el nivel de servicio que percibe el viajero, independientemente de la administración y de la naturaleza de la infraestructura. Un modo abstracto se caracteriza por un conjunto de variables que afectan el deseo de utilización de un modo: el confort, la velocidad, el coste, la seguridad, la frecuencia de servicio,... De este modo, se puede, haciendo variar el nivel de servicio, definir un conjunto continuo de modos de transporte.

De cada uno de los modos se definen unas características que se clasifican en unas tablas, donde cada modo tiene un valor de cada característica. La elección del modo de transporte sólo depende de las características de cada modo. Con la noción de modo abstracto, se supone que el individuo es indiferente al hecho de viajar por aire, por tierra o por raíl.

La elección del individuo no depende únicamente de los atributos absolutos sino también de los atributos relativos; gracias a estos atributos relativos se podrán hacer intervenir los nuevos modos de transporte.

La originalidad principal de esta teoría consiste en definir un modo de transporte por sus características; el nombre del modo no tiene ninguna importancia en la elección del viajero. Esto implica, que los individuos exclusivamente efectúan su elección comparando los atributos de cada modo para cada característica.

Según los autores este nuevo método tiene tres ventajas:

Permite predecir para todos los modos que existen el efecto de la introducción de un nuevo modo.

La introducción de un nuevo modo se hace muy simplemente con ayuda de sus características.

La demanda total es función de todas las alternativas posibles y teóricamente los modelos de modo abstracto deben permitir calcular separadamente el tráfico tomado de otros modos y el tráfico inducido, el originado por el nuevo modo. Si disponemos de los datos de coste y tiempo de m modos de transporte diferentes podemos calcularnos sus atributos relativos. Denotamos con H_b y C_brespectivamente el mejor tiempo de transporte y el coste más bajo y por H_rk y C_rkel tiempo relativo de transporte y el coste relativo para el modo k. Llamamos T_k al tráfico efectuado entre los dos pueblos para el modo k y N el número de modos en servicio. Se supone que sobre la base de una información estadística suficiente, se puede estimar una función que relacione linealmente T_k con H_b, C_b, H_rk, C_rk y N.

Se considera la introducción de un nuevo modo de transporte cuyas características son tales que el coste es mayor que el menor de la situación anterior y su tiempo es menor que el menor de la situación anterior. En este caso se modifican los valores de C_b y en consecuencia todos los valores de C_rk.Por otro lado los valores de H_b y C_rk son iguales. Con la fórmula de T_k se obtiene un aumento de tráfico total, pero la introducción del nuevo modo hace disminuir el tráfico de los otros modos existentes. Un modelo de modo abstracto es susceptible de resolver simultáneamente los problemas de generación y de repartición del tráfico. Además la introducción de nuevos modos de transporte se hace sin ninguna dificultad.

La hipótesis de neutralidad modal hace que este modelo sea bastante criticable, ya que en la realidad no se da nunca. Hay mucha gente que siente una gran aversión por el avión.

Partiendo de la noción de modo abstracto, MAYBERRY muestra que los modelos han de responder a un cierto número de exigencias:

La función de demanda total ha de ser invariante si se permuta el nombre de los modos de transporte.

La función de demanda del modo m ha de ser invariante sobre cada permutación de los otros modos.

Las funciones de demanda de cada modo han de incorporar las misma características.

2.2. Modelos econométricos de modo abstracto

Los primeros modelos de modo abstracto hacían intervenir al lado de las características modales ( tiempo, coste y frecuencia), las variables socioeconómicas clásicas:

) ( ) ( ) ( _{2 3} 1 7 6 5 3 3 2 1 0P P Y Y M M N f H f C f D T_ijk =α _iα _jα _iα _jα _iα α_{j ij}α (60) donde 0 1 1( ) ( ) ( ) β β ∗ = b _kij ij H H H f (61) 1 0 2( ) ( ) ( ) γ γ ∗ = b _kij ij C C C f (62) 1 0 3( ) ( ) ( ) δ δ ∗ = b _kij ij D D D f (63) donde i

P, P_j, Y_i, Y_j, M_i y M_j son respectivamente la población, la renta media, y el número medio de depósitos bancarios en i y j.

ij

N es el número de modos sobre la relación b ij b ij C H , y b ij

D son respectivamente el mejor tiempo, el mejor coste y la mejor frecuencia sobre la relación

∗ ∗ ikj ijk C H , y ∗ ijk

D son respectivamente el tiempo, el coste y la frecuencia del modo k en relación al mejor tiempo, coste y frecuencia.

Sin embargo nada garantiza que este modelo conduzca a resultados acordes con los axiomas. QUANDT y BAUMOL buscan las condiciones requeridas y establecen las relaciones que deben respetar los coeficientes. Resulta que la sensibilidad a la variable relativa ha de ser más elevada que la sensibilidad a la mejor variable.

Estudios posteriores de YOUNG y QUANDT, han permitido estimar características propias a cada relación. El principio se basa en descomponer el error aleatorio en dos elementos independientes: ijk ijk ijk v U =ε + (64) ijk

ε reproduce las características de la relación, v_ijk es el error aleatorio. Esta hipótesis implica la aplicación del método de los mínimos cuadrados generalizado. Para cada relación se obtiene un coeficiente característico.

YOUNG distingue en la función de demanda un término no concurrente y un término concurrente. Para expresar el volumen de tráfico del modo k, propone el modelo econométrico siguiente: ) ( ) (_{o k o} k ijk kf g T = (65) donde α0_{( )}α1_{( )}α2 j i j iP YY P e k = (66) ) (o k

f es el término no concurrente, en el sentido que sólo incorpora las características del modo k

) (o k

g es el término concurrente: incorpora diversas variables de otros modos

La primera versión log-lineal tiene por originalidad hacer depender los coeficientes de las diferentes variables del nivel de renta. El número tan importante de parámetros hace poner dos hipótesis: las elasticidades-renta son diferentes según la relación y el modo; las elasticidades-renta son idénticas para todos los modos de una misma relación, pero diferentes según la relación.

A lo largo de la estimación se testó el término concurrente con tres especificaciones: la primera introduce las características más variables. La segunda substituye la media geométrica de las características más variables por las del modo k. Finalmente se incorpora la media geométrica de las características de todos los otros modos. En este último caso se dan los mejores resultados, ya que respetan los axiomas.

COOLEY propuso reformular la estructura concurrente de forma que un nuevo modo sea considerado como disponible pero a precio infinito. Esta idea es delicada a la hora de ponerla en práctica.

YOUNG trata el nuevo modo como una parte del modo que le es más próximo. La ventaja es que el número de modos es el mismo para la estimación y la previsión pero su inconveniente es el de aumentar un volumen agregado en el que será difícil atribuir sus partes al viejo y al nuevo modo.

La solución propuesta por YOUNG que parece la más satisfactoria para integrar el término concurrente, tiene un problema teórico por la noción de modo abstracto. Este modelo debería ser válido para todos los modos, pero esta solución únicamente se limita a los modos cuyos flujos de tráfico no son negligibles. Tampoco esta estructura se adapta a la previsión, ya que la introducción de un nuevo modo, cuyas variables serán inferiores a las medias geométricas, conduciría a una reducción de tráfico, resultado en contradicción con los axiomas.

MC LYNN parte de consideraciones que generalizan el modelo gravitatorio. La demanda global del transporte sobre una relación es el resultado de la acción de variables que juegan en sentido favorable al desarrollo del transporte, estas son las variables socio-económicas del modelo gravitatorio, y de variables que frenan este desarrollo que representan la impedancia de la relación. Ésta es función de la impedancia de cada modo. Pero los términos de impedancia modal son los mismos para toda utilidad modal: las características de los modos.

El autor propone una formulación en términos de utilidad modal medida por w_k que se define a partir del modelo de repartición modal:

∑ = = _m k k k k w w w 1 (67)

Dondew_k es la fracción de demanda asegurada por el modo k

El autor toma que la impedancia de la relación es función inversa de una función de las utilidades modales. Llamando E al conjunto de variables socio-económicas del modelo gravitatorio, U la función de impedancia de la relación y G una función de la utilidad de los modos de transporte, la demanda global D se expresa:

) ,..., ( ) ,..., (U₁ U_m E G w1 wm U E D= = ⋅ (68)

MC LYNN conforme a los axiomas anunciados, impone que la demanda sea siempre positiva y que no disminuya como consecuencia de una mejora de alguno de los modos. Suponiendo que D y G son funciones continuas, se tiene que:

0 ≥ ∂ ∂ k w D implica ≥0 ∂ ∂ k w G

MC LYNN emite una serie de hipótesis para especificar completamente la función de demanda global. Inicialmente el aumento de la demanda no debe depender únicamente de una mejora modal, sino también del nivel de demanda que precede la mejora. Esta condición se expresa: ) ( _k k w Df wD = ∂ ∂ (69)

Donde )f(w_k es una función no negativa de w . Se tiene: _k ) ( _k k w Gf wG = ∂ ∂ (70)

Como G es una función que depende sólo de w_k. Se tiene:

Donde )F(w_k es la integral de f(w_k). La demanda global se expresa como:

∏

= = m k w F k e Ec D 1 ) ( ₍₇₃₎

Esta demanda ha de ser tal que la introducción de un nuevo modo de transporte, en el que el índice de utilidad es w_m+1, aumente la demanda. Sea D’ la nueva demanda, tenemos:

)

( 1

'= DeF wm+

D con D'≥D lo que implica que F(w_m+1)≥0

MC LYNN asigna dos condiciones a la demanda global de transporte. De un lado un modo con débil utilidad tendrá una influencia débil o nula sobre el mercado, cosa que se expresa por: 0 0 ) ( →  = w w F Lim (74)

De otro lado la utilidad tendrá una influencia que será menor cuando la utilidad inicial sea más débil: 0 0 ) ( →  = w w f Lim (75)

Para satisfacer estas condiciones, MC LYNN propone que F(w) sea de la forma:

1

)

(_w =_λwτ+

F (76)

Donde τ es un coeficiente comprendido entre 0 y 1. La demanda global es entonces:

∑ = = + m k k w Ee D 1 1 τ λ (77)

La función de impedancia está ahora perfectamente especificada:

∏

= = m k k u u 1 con 1 1 1 + + − = = τ τ λ λ w w k e e u (78)

Esta relación satisface bien la exigencia teórica que una mejora de la utilidad provoca una reducción de la impedancia:

0 ≤ ∂ ∂ k k w U

La demanda de cada modo se escribe:

∑

= + = ∑ = _m k k k w k w w Ee D k m k 1 1 1 τ λ (79)

Esta forma de presentarse hace que el modelo sea muy sensible a la introducción de un nuevo modo, en este caso la demanda global se escribe:

sea: D'= D

[

eλwτm++11 −1

]

(81)

Se puede observar que la demanda inducida por la introducción de un nuevo modo crece de forma exponencial. Para evitar este fallo el autor propone la expresión siguiente para la demanda:

α       =

∑

= m k k w E D 1 (82)

Entonces la nueva demanda como consecuencia de la introducción de un nuevo modo se escribe: α                         + =

∑

= m k k k w w D D 1 1 ' (83)

Se remarca que la demanda inducida depende exclusivamente de la capacidad atractiva del modo m+1 en referencia a la capacidad atractiva de todos los otros modos. Desde un punto de vista teórico, esta expresión es más satisfactoria que las propuestas por YOUNG o WALMSLEY y WIGAN.

3.2. El modelo de MONSOD

MONSOD presenta una versión que comporta un factor de impedancia ligada al sistema de transporte muy próximo al modelo de MC LYNN:

4 3 3 2 1 2 1 0_{( ) ( ) ( )} β β α α α β β β ij k k k k ij j i ij e PP Y c H D v T _      =

∑

(84)

donde P_i,P_j,Y_ij son las variables socioeconómicas del modelo gravitatorio k

k k H D

c , , son respectivamente el coste, el tiempo y la frecuencia del modo k de la relación      

∑

k k k k H D c ) ( α1 α2 α3 _{es la impedancia de la relación} ij

v es un índice cultural de atracción entre los dos pueblos

Este modelo sólo puede ser estimado con la determinación de los parámetros α₁,α₂,α₃ del modelo de afectación siguiente:

4 3 2 1 0 _{( )}α α α α α ij ijr ijk ijr ijk ijr ijk ijr ijk Y D D H H c c e T T                         = (85)

∑

− = + = 1 1 m k k r T T T (86)

Que conduce a las siguientes expresiones:

[

3

]

1 2 1 1 1 3 1 2 1 1 1 4 0 3 2 1 3 2 1 4 0 ... ) ( α α α α α α α α α α α α α α α α − − − + + + = m m m r r r k k k k D H c D H c Y e D H c T D H c Y e T (87)

[

3

]

1 2 1 1 1 3 1 2 1 1 1 4 0 3 2 1 3 2 1 ... ) ( α α α α α α α α α α α α α α − − − + + + = m m m r r r r r r r D H c D H c Y e D H c T D H c T (88)

La diferencia entre las dos ecuaciones es el producto _eα0_Yα4_{. Únicamente cuando el}

producto es igual a la unidad los modos se tratan de forma idéntica.

El modelo de MONSOD consiste en dos ecuaciones claramente ligadas entre sí. Se pueden estimar los parámetros α0, α1, α2, α3 y α4 de forma independiente del tráfico

global.

4.3.2. Modelos desagregados

Estos modelos parten de elecciones individuales: la información de base no es el flujo de tráfico ni su repartición modal sino el comportamiento del viajero. El objetivo es determinar una probabilidad de elección en función de las características del individuo, de su viaje y de la oferta de transporte. A diferencia de los modelos agregados ninguna condición se impone, lo que se hace es observar a que lógica responde el comportamiento descrito por el modelo.

Desde un punto de vista estadístico se desea disponer de un instrumento que permita hacer una correspondencia entre un individuo, caracterizado por un vector x, y una probabilidad que sea la más próxima posible a la frecuencia observada de los individuos caracterizados por el mismo vector. El problema se puede formular como la búsqueda de la función que permita clasificar mejor los individuos entre los diversos modos de transporte.

Referente al vector x se ha de tener en cuenta dos hipótesis. La primera supone que sólo existe una función de densidad, por lo que existe para cada individuo un valor de indiferencia tal que por encima de él pertenece a un grupo que usa el modo 1 y por debajo al grupo que usa el modo 2: esta es la hipótesis fundamental que se encuentra en la base del análisis probit. La segunda hipótesis supone que el vector x se distribuye de forma diferente en la población según el individuo elija el modo 1 o el modo 2: el problema es encontrar la función que reparta más exactamente estas dos subpoblaciones; esta aproximación conduce al análisis discriminante.