ESTABILIZACIONDEFRECUENCIAPARALÁSERDEDIODOUTILIZANDOCONTROL ROBUSTOH∞
NICOLÁS PÉREZ*,DIEGO VALLE LISBOA+,GUSTAVO CREMELLA+,RAFAEL CANETTI+
* Laboratorio de Acústica Ultrasonora, Depto. de Física, Universidad de la República P.O. Box Montevideo, Montevideo, Uruguay
+ Instituto de Ingeniería Eléctrica, Universidad de la República P.O. Box Montevideo, Montevideo, Uruguay
E-mails: [email protected], [email protected], [email protected], [email protected]
Abstract In applications like atomic spectroscopy, cooling atoms or telecommunications is necessary to have laser light sources capable of tuning its central emitting frequency over a range of some GHz and a spectral bandwidth in the order of hundreds of kHz.
This stabilization presents a demanding control problem, the relation between the instantaneous frequency of emission (1014 Hz) and bandwidth allowed (106 Hz) implies a relative error smaller to 0,01 ppm. The frequency is disturbed by mechanical vibration of the components, electrical noise and variations in the temperature among others. In this work we present the model, identification, design and later evaluation of a system of a close loop control to reject disturbances in the emitted radiation. Is detailed the description of the physical assembly used to stabilize the frequency, the control strategy, the technique to design the robust controllers using H∞ nor- malization and finally the obtained results are evaluated. The obtained results fulfill the objectives drawn up in the design and show the effectiveness of the design.
Keywords H∞ robust control, closed-loop identification, Frequency stabilization, Piezoelectric actuators
Resumen En aplicaciones como la espectroscopia atómica, el enfriamiento de átomos o las telecomunicaciones es necesario contar con fuentes de luz láser de frecuencia central debe ser sintonizable dentro de un rango de algunos GHz y cuyo ancho de línea del orden de cientos de kHz. Esta estabilización presenta un problema de control exigente, la relación entre la frecuencia instantánea de emisión ( 1014 Hz ) y el ancho de banda permitido ( 106 Hz ) implica un error relativo menor a 0.01 ppm. La frecuencia es perturbada por vi- bración mecánica de los componentes, ruido eléctrico y variaciones en la temperatura entre otros. En este trabajo presentamos el modelo, identificación, diseño y posterior evaluación de un sistema de control en lazo cerrado para rechazar perturbaciones en la fre- cuencia de emisión. Se detalla descripción del montaje físico utilizado para estabilizar la frecuencia, la estrategia de control en lazo cerrado, la técnica de diseño de los controladores robustos utilizando normalización en H∞ y finalmente se evalúan los resultados ob- tenidos. Los resultados obtenido cumplen con los objetivos trazados en el diseño y muestran la efectividad de la técnica de diseño utili- zada.
KeywordsControl robusto H∞, Identificación en lazo cerrado, Estabilización de frecuencia, Actuadores piezoeléctricos.
Glosario de términos
fi(t): frecuencia instantánea de la luz en la salida del laser.
fo(t): frecuencia fijada como referencia en el IFP.
e(t): voltaje de error en la salida del detector.
sc(t): tensión de salida del controlador.
vo(t): tensión de salida.
p(t): señal de modulación, generada para la detección.
vi(t): señal de entrada al fotodetector.
Ii(t): intensidad de luz incidente.
If(t): intensidad de luz en la salida del IFP.
fo(t): frecuencia de referencia del IFP.
vref(t): tension aplicada al IFP para fijar la referencia fo(t).
x(t): perturbación externa.
D(s): transferencia del driver
C(s): transferencia del controlador y el driver de salida.
L(s): transferencia del laser
FP(s): transferencia del Fabry-Perot optica.
FPdc(s): transferencia del IFP en el punto de funcionamiento S(s): transferencia del sensor, lock-in + CAG
Fd(s): transferencia del fotodiodo
Pa(s): transferencia de la planta, laser + Fabry-Perot + fotodiodo.
1 Descripción del problema.
1.1 Ancho de línea para el láser semiconductor Es frecuente pensar en un laser como un emisor ideal de luz monocromática cuya frecuencia instantánea es fija. En la práctica existe una dispersión en la fre- cuencia entorno a un valor central fo, se llama ancho de línea ∆f al ancho de la campana de emisión a me- dia potencia
Este ancho de línea ∆f es causado principalmente por los ruidos de emisión espontánea dentro de la cavi- dad láser, para un laser de diodo comercial está si- tuado en un intervalo de decenas hasta algunos cien- tos de Mhz. (Tuboy et al., 1994).
1.2 Reducción del ancho de línea del láser
Una técnica utilizada para reducir el ancho de línea de emisión láser consiste en utilizar una cavidad ex- tendida. Esta cavidad externa al diodo se comporta como un resonador que filtra la frecuencia de la luz de forma mas selectiva que el diodo. La configura- ción empleada en este caso es una cavidad extendida
de tipo Littman [Lang 1980], que utiliza como medio activo un láser semiconductor.
La cavidad está determinada por una red de difrac- ción y un espejo que fija la longitud de la misma, el haz es colimado por una lente a la salida del semi- conductor y enviado a la red de difracción. El primer orden de difracción del haz es directamente enfocado al espejo y luego de reflejarse es realimentado al láser. La salida se toma en el orden cero de difrac- ción. La frecuencia central de emisión depende de la posición del espejo y el ángulo formado por la red de difracción.
En el montaje estos parámetros pueden variarse me- diante actuadores piezoeléctricos (AP) solidarios a los mismos. Con este montaje, además de la reducción del ancho de línea, se logra una frecuencia central de emi- sión variable. Actuando sobre los AP se tiene una regu- lación continua de la misma. Esto presenta una desven- taja, las variaciones en la posición del espejo y la red de difracción son una fuente de ruido que afecta la fre- cuencia. Estas perturbaciones, introducidas por vibra- ciones mecánicas en los componentes pueden producir variaciones de frecuencia mucho mayores que el ancho de línea por lo que es necesario eliminarlas.
Figura. 1. Montaje físico
1.3 Control en lazo cerrado
Como forma de minimizar las variaciones en la fre- cuencia instantánea emitida se implementa un control en lazo cerrado que realimenta el error de frecuencia y actúa sobre la cerámica que regula el largo de la cavidad. Este control toma como referencia el máxi- mo de un interferómetro de Fabry-Perot (IFP).
Los objetivos del control son estabilizar la frecuencia instantánea del laser siguiendo una referencia relati- va proporcionada por el IFP y maximizar el rechazo a perturbaciones en dicho lazo de control.
Figura 2: Sistema para rechazar perturbaciones y estabilizar frecuencia.( ver glosario de términos).
2 Modelado e identificación
2.1 Modelo del laser
Se realizaron ensayos preliminares que permitieron proponer un modelo simple para el control de la fre- cuencia de emisión. El elemento mas critico en la dinámica del sistema es el montaje mecánico del AP y el espejo que determina la frontera móvil de la ca- vidad laser. Para simular esta dinámica se plantea un sistema masa-resorte-amortiguador, se trabajo con cinco elementos de acuerdo a los ensayos realizados.
Figura 3. Modelo de masas
Del análisis de la forma general de la transferencia que se obtiene con este tipo de sistemas, se obtiene el numero de polos y cero esperados en el sistema.
1.3 Sistema de medida
Se utiliza como referencia de frecuencia al IFP, es una referencia relativa que no es estabilizada por lo que no se tiene control sobre la frecuencia absoluta.
El IFP presenta máximos de transmisión bien defini- dos por el largo de su cavidad, esta longitud es va- riable mediante AP. De esta forma se fija la frecuen- cia de trabajo fo(t) del IFP y el punto de sintonía del sistema. Para obtener la señal de error se modula la longitud del IFP aplicando una señal sinusoidal, mediante un oscilador de 10 kHz al AP del IFP pro- duciendo una perturbación en la frecuencia instantá- nea del máximo.
Un fotodiodo convierte la señal óptica a la salida del IFP en señal eléctrica, la información de la frecuen-
cia instantánea del laser esta modulada en la intensi- dad de la luz. Un lock-in extrae la información de error demodulando la señal que se obtiene a la salida [De Voe 1984]. Este complejo sistema de medida puede aproximarse en pequeña señal a un sistema lineal. La transferencia queda esencialmente deter- minada por los filtros del Lock-in.
Los ensayos preliminares se realizan en lazo abierto, por ello no se pudo mantener el mismo punto de tra- bajo durante el proceso de medición.
2.2 Identificación
Los ensayos para identificar la planta consisten en realizar la respuesta de frecuencia del sistema inyec- tando una señal al laser y midiendo el error en fre- cuencia. El principal problema es que para hacer este ensayo debe mantenerse el laser controlado en un punto de funcionamiento y provocar pequeñas per- turbaciones, esto es hay que mantener el laser contro- lado para identificar la planta y para diseñar el con- trol debe conocerse la planta. La alternativa plantea- da fue diseñar un controlador provisorio proporcio- nal-integral PI solo a fin de la identificación, prever una entrada auxiliar que permita introducir perturba- ciones en el lazo y medir la transferencia entre la entrada auxiliar y la señal de error, la identificación se realiza en lazo cerrado. Para obtener la transferen- cia de la planta se ensaya cada uno de los bloques conocidos del lazo, las medidas se realizan en una serie discreta de frecuencias y sus resultados son aproximados por una función analítica en la banda de interés. Una vez obtenidos los resultados, es posible deducir analíticamente la transferencia de la planta.
La transferencia despejada tiene un numero muy alto de polos y ceros. Esto se debe a la no-cancelación de las singularidades de las aproximaciones cuando se calcula la transferencia de lazo cerrado. Para obtener un modelo coherente con el modelo de masas plan- teado se aproxima Pd(s) por una función racional de 7 ceros y 10 polos.
2.3 Verificación del resultado
Para verificar nuestra aproximación se utilizaron dos métodos:
Calcular la transferencia de lazo cerrado usando los modelos obtenidos para cada bloque del sistema y comparar con el resultado experimental. El resultado se muestra para la banda de frecuencias de trabajo entre 10 Hz y 3 kHz.
En la figura 4 se muestra el resultado de esta verifi- cación, en trazo continuo se muestra el resultado analítico predicho por el modelo identificado. Nótese la existencia de cuatro modos de resonancia acopla- dos en el intervalo 800 Hz – 3 kHz.
Figura 4: Respuesta de frecuencia para verificar el lazo cerrado
El segundo método de verificar la transferencia iden- tificada de la planta consiste en comparar la respues- ta al escalón medida y calculada a partir del modelo en lazo abierto. Las medidas en lazo abierto deben ser rápidas para evitar que el láser salga del punto de funcionamiento.
La figura 5 muestra en trazo continuo la respuesta al escalón calculada del modelo, los puntos muestran la medida en el tiempo
Figura 5: Verificación del modelo, respuesta al escalón
Puede verse el ajuste del modelo tanto para tiempos cortos (alta frecuencia) como en régimen transitorio y el valor de equilibrio (baja frecuencia).
3 Diseño del controlador
Para diseñar el controlador se selecciono una técnica de control robusto usando H∞. Esto permite tratar con las variaciones en la dinámica del problema co- mo incertidumbre y fijar cotas en el diseño que ga- ranticen la performance y estabilidad robusta [Doyle 1990] [Sánchez Peña 1992].
3.1 Esquema del lazo
El lazo de control se establece con el fin de rechazar las perturbaciones introducidas en la frecuencia ins- tantánea del laser. Se toma como hipótesis que las
Frecuencia [Hz]
Tiempo [s]
e(t) [V] Amp [dB]Amp [dB]
perturbaciones entran en el sistema en forma aditiva como se indica en el diagrama. La referencia para el control se fija mediante el IFP y su valor se determi- na mediante una entrada externa de tensión vext(t).
Figura 6: Lazo de control (ver glosario de términos).
Para calcular la transferencia se toma como salida la frecuencia instantánea de la luz. Se pueden observar dos terminos: uno proporcional a la referencia vref y otro a la perturbación x(t), esta se supone aditiva en la entrada del laser.
La frecuencia instantánea viene dada por
) (s) 1
(
) ) ( 1
) ( (
FP X L D C S Fd
L
s L Vref D C FP S Fd
FPdc L D FP C S s Fd Fi
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ + +
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅ +
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
= ⋅
El objetivo del control se fija en base al rechazo de perturbaciones. No se establecen condiciones sobre el seguimiento de la referencia que se supone fija.
3.2 Evaluación de la performance
El sistema debe quedar estabilizado en la referencia y rechazar perturbaciones en su frecuencia instantánea fi(t). Estas perturbaciones no deben producir una desviación mayor que 1Mhz. La desviación máxima determina una cota para la señal de error en voltios;
para determinar esta cota se realizo una serie de en- sayos sobre las perturbaciones. Este ensayo consiste en abrir el lazo y medir las fluctuaciones de la señal de error mientras el sistema se encuentra en torno a punto de funcionamiento. En la siguiente figura se ve el espectro de perturbaciones, existen picos de fre- cuencia definidos en múltiplos de 12.5 Hz, esto pue- de deberse a el uso de motores de 750 rpm que intro- ducen vibración en la estructura. El pico de 50 Hz corresponde a la frecuencia de la red (Uruguay).
El ensayo se repite un gran numero de veces lo que permite obtener el espectro promedio de las pertur- baciones y estimar las atenuaciones mínimas reque- ridas para limitar la desviación de frecuencia a 1Mhz , en un caso típico se obtienen las cotas:
60dB para frecuencias menores que 1Hz 40dB para frecuencias menores que 12.5Hz
20dB para frecuencias menores que 50Hz
Figura 7: Medida de perturbaciones
La performance del sistema se especifica a través de una cota para la sensibilidad Sen:
) 1 (
1 Sen OLG
= +
donde OLG es la ganancia de lazo abierto.
Normalizamos la especificación con una función de peso W1(s), la siguiente figura muestra la función elegida que atenúa 60 dB en baja frecuencia y 20 dB a 50 Hz y cumple con la condición
Sen.W1 ∞ < 1
Al utilizar la funcion Sen(s) como medida del rechazo a perturbaciones se obtiene directamente la relación entre la señal de error obtenida en lazo abierto y la señal obtenida en lazo cerrado.
Figura 8: Función de peso W1
3.3 Modelo de incertidumbre
Durante el estudio de la respuesta del láser se desarrolló un modelo simplificado de la planta ignorando el comportamiento del sistema en alta frecuencia. Se destaca que la posicion de los picos de resonancia identificados puede variar cambiando el ajuste mecanico del sistema, por ello se opta por
Frecuencia [Hz]
Frecuencia [Hz]
Amp [Mhz] Amp [dB]
modelar como incierta su posicion. Se modela la incertidumbre como [Doyle 1990] ℘= (1 + ∆W2) Pn donde Pn es la planta nominal, ℘ es el conjunto de plantas inciertas y W2 es una función de peso estable.
∆ es una función de fase desconocida ∆∞ ≤ 1.
En el diseño se uliliza una planta nominal como representativa de la familia de plantas posibles. El criterio de selección para la planta nominl fue: elegir dos cotas en la respuesta de frecuencia donde pueden ubicarse las plantas de la familia. Tomar luego la media entre estas cotas tanto en modulo como en fase. La figura 9 muestra la transferencia modelada del sistema y las cotas elegidas para tratar la incertidumbre.
Figura 9: Planta medida y cotas de incertidumbre
Una vez determinada la planta nominal, se toma como cota de incertidumbre W2 la mayor diferencia entre esta y las plantas que acotan la familia de plantas posibles.
La figura 10 muestra la maxima diferencia para cada frecuencia entre la planta nominal y las cotas de la familia de plantas posibles (*). El trazo continuo muesta una funcion analítica W2 que la acota.
3.4 Búsqueda del controlador
Tanto la planta nominal como las funciones de peso W1 y W2 son representadas por funciones analíticas de orden bajo a fin de simplificar los algoritmos.
La búsqueda del controlador se basa en las condicio- nes para performance nominal y estabilidad robusta.
W1 Sen ∞ < 1 performance nominal
T W2 ∞ < 1 estabilidad robusta
Donde T es la transferencia de lazo cerrado.
Procedimiento de diseño:
• Se fija una estructura para el controlador, esto determina el número de polos y ceros.
• Se elige una grilla donde pueden variar los pa- rámetros del controlador (polos, ceros y ganan- cia).
• Se evalúa numéricamente para cada elemento de la grilla la estabilidad del controlador. Una vez verificada la estabilidad se evalúa el desempeño y se selecciona el controlador de mejor desem- peño dentro de los estables.
Se repite el procedimiento cambiando la grilla si es necesario hasta lograr un controlador óptimo. El cri- terio de selección es: mejor performance nominal dentro de los estables.
Figura 10: Función de peso W2
El procedimiento anterior tiene sentido porque se observo que la variación del indicador de performan- ce nominal varia de forma suave con los parámetros del controlador.
3.5 Solución obtenida
Los controladores óptimos para cada arquitectura se implementaron sintetizando analógicamente las transferencias seleccionadas. Las estructuras proba- dos fueron una ganancia mas: polo-cero [PZ], polo- polo-cero[PPZ] y polo-polo-cero-cero [PPZZ]. Para evaluar el desempeño se utiliza una figura de merito formada por tres números
W1 Sen ∞ performance nominal
T W2 ∞ estabilidad robusta 1/N Σ W1(jw)Sen(jw) performance media N: número de puntos en la grilla de frecuencias.
La siguiente tabla muestra las figuras de merito obte- nidas para cada arquitectura
Tabla 1: Evaluación de desempeño de los controladores
Nominal Robusta Media
[PZ] 0.925 9.49 3.38 [PPZ] 0.99 1.01 0.6 [PS] 0.98 0.53 0.31
Frecuencia [Hz]
Frecuencia [Hz]
Amp [dB]
Fase [deg]Amp [dB]
4 Evaluación del sistema y conclusiones
El sistema en estudio, laser sintonizable con cavidad extendida, tiene una dinámica muy compleja debido a la mecánica del montaje. El proceso de modelado e identificación del sistema mostró una reproducción muy fiel de la dinámica de la planta. La dinámica depende fuertemente de los ajustes mecánicos del sistema, que varían con el tiempo. Por ello se utiliza una técnica que permite modelar estas variaciones como una incertidumbre no estructurada. Se utilizan los lineamientos presentados en [Doyle 1990] con un modelo de incertidumbre multiplicativa.
Este procedimiento permite fijar cotas para garanti- zar la estabilidad y el desempeño de forma robusta.
A partir de estas cotas se utiliza un algoritmo siste- mático que prueba todos los controladores posibles y selecciona el mejor de acuerdo al procedimiento re- señado en 3.4.
La arquitectura con mejor desempeño de las evalua- das es la [PPZZ], a mayor complejidad del controla- dor es posible obtener mejores respuestas, por lo que debe tomarse una solución de compromiso al selec- cionar las estructuras de polos y ceros.
Para evaluar el resultado se realizo una respuesta de frecuencia inyectando perturbaciones de forma aditi- va en el lazo cerrado, la figura 12 muestra la compa- ración de la medida de la trasferencia entre la señal inyectada y la señal de error ‘*’ y el resultado predi- cho por el modelo analítico para dicha transferencia Puede verse que el sistema rechaza perturbaciones de acuerdo a lo esperado para frecuencias menores que 100 Hz, pero para mayores de 200 Hz el lazo las amplifica. Este hecho no es critico ya que se identifi- co el espectro de perturbaciones como menor a 100 Hz.
Figura 12. Evaluación del rechazo a perturbaciones.
Se muestra a continuación un resumen de los resul- tados obtenidos para las funciones de peso, la trans- ferencia nominal y el controlador de mejor desempe- ño [PPZZ]
( )
62.83 98705 87 . 1 2 9
+
⋅
= +
s s
s e W
11 545 . 2 07 05 . 4
09 465 . 4 07 264 . 7 ) 6283
( 2
2
e s
e
e s e s s
W ⋅ +
+
⋅ +
= ⋅
11 492 . 2 08 369 . 1 04 686 . 1
11 076 . 2 08 035 . ) 1
( 3 2
e s
e s
e s
e s
s e
PN + ⋅ + ⋅ +
+
= ⋅
Controlador obtenido:
34 . 3 7 . 6
7 1 . 1 075 6773
.
0 2
2
+ +
+
= +
s s
e C(s) s
Polo = 0.5 Hz Polo = 10.5 Hz Cero = 600 Hz Cero = 482 Hz
Por ultimo se evaluó la estabilidad absoluta del laser contra una referencia atómica, este resultado presenta una deriva ligeramente mayor que lo esperado, pero debe tenerse en cuenta que el control estabiliza co- ntra el IFP, referencia relativa que es afectada por perturbaciones térmicas y mecánicas.
Agradecimientos
Dr. Arturo Lezama y Dr. Sergio Metal Barreiro Grupo de Óptica.
Facultad de Ingeniería. Universidad de la República Grupo de Óptica.
Ing. Hugo Valdenegro <. Departamento de Electrónica. Facultad de Ingeniería. Universidad de la República.
Bibliografía
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Bilsdtein, P. (1977). Filtros Activos, Madrid: Paraninfo.
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Frecuencia [Hz]
Amp [dB]
