Refinamiento de fotocoordenadas
Las fotocoordenadas después de medidas tienen errores sistemáticos procedentes de diversas fuentes como son:
A. Errores Instrumentales
1. Deformaciones de la película debidas a contracción, deformación o falta de planeidad.
2. Error de los ejes instrumentales
B. Errores (“distorsiones”) del modelo matemático con la realidad 1. Distorsiones de las lentes
2. Refracción atmosférica 3. Curvatura de la tierra 4. Velocidad del avión
Se pueden aplicar correcciones para eliminar los efectos de estos errores sistemáticos. Será en función de la precisión requerida.
Calibración de Comparadores
Se llevan a cabo con placas reticuladas.
Si los ejes del instrumento no son ortogonales, un rectángulo perfecto daría lugar a dibujar paralelogramos. Se efectuará una transformación bidimensional para corregir este efecto.
=
' Y
' X 1 0
tan 1 Y
X β
β
Y Y’
X X’
Si las dos escalas de los ejes no fueran idénticas se produce un efecto afín, un cuadrado perfecto daría lugar a un rectángulo. Con la siguiente expresión se corrigen los dos efectos.
) 1 ' ( ' Y
' ' X y 0
0 x 1 0
tan 1 Y
X
=
λ
λ
β
Calibración de Comparadores
Los ejes de la placa reticulada no tienen por que coincidir con los del instrumento ni tener el mismo origen por lo que habrá que realizar una transformación de semejanza adicional
) 2 f ( e ' y
' x cos sen
sen cos
Y
X
+
= −
ϕ ϕ
ϕ ϕ
Combinando y reagrupando las expresiones (1) y (2), queda:
) 3 Y ( X
f e d c b a
1 0 ' y ' x 0 0
0 1 0 0 ' y '
x
=
Calibración de Comparadores
Otros efectos de carácter no lineal se corrigen con expresiones polinómicas del tipo:
' J y ' H x ' G y ' F x ' E y ' D x ' C y ' B x ' A v
) 4 ( J y H x G y F x E y D x C y B x A v
2 2 3 3 4 4 y
2 2 3 3 4 4 x
+ + + + + + +
=
+ + + + + + +
=
Aunque en algunas ocasiones se usa un polinomio mas general
3 9 3 8 2 7 2 6 2 5 2 4 3 2 1 0
3 9 3 8 2 7 2 6 2 5 2 4 3 2 1 0
Y B X B XY B Y X B Y B X B XY B Y B X B B ' Y
) 5 ( Y A X A XY A Y X A Y A X A XY A Y A X A A ' X
+ + +
+ + + + + +
=
+ + +
+ + + + + +
=
La complejidad del modelo seleccionado estará en relación con la calidad del instrumento y con la naturaleza del trabajo a efectuar
Refinamiento de fotocoordenadas
∆r
r
δx δy
y
p.p. x x
y
2
2 y
x r= +
y dy x dx r
? r= =
r y? r dy
r x? r dx
=
=
dy - y y
dx - x x
c c
=
=
p p
y - y y
x - x x
=
= Corrección por distorsión de la lente
Refinamiento de fotocoordenadas
Corrección por distorsión del objetivo
• Distorsión radial simétrica
• Distorsión descentradora En las cámaras actuales no deben ser superiores a 5 µm
Expresión polinómica para corregir la distorsión radial:
4 7 3 5
2 3
1
r k r k r k r
k
r = + + +
∆
∆r es el valor de la distorsión radial, r es la distancia radial desde el punto principal y los k1a k4son los coeficientes del polinomio
OP = r
y y x
x r
r δ δ
∆ = =
La posición en P es la que registra la fotografía cuando en teoría la posición debía ser la P’. Las coordenadas corregidas y referidas al punto principal son:
y y y x x
x
c= − δ
c= − δ
p p
y y y
x x x
−
=
−
=
y
x r
δx
∆r δy
O
y
x P P’
Refinamiento de fotocoordenadas
En las cámaras aéreas modernas la distorsión radial y la descentradora vienen a tener el mismo orden de magnitud y las expresiones polinómicas para corregir la distorsión radial y la descentradora son las siguientes:
y y y y
x x x x
)]
y 2 r ( p y x p 2 )[
r p r p 1 ( y
] y x p 2 ) x 2 r ( p )[
r p r p 1 ( x
) r k r k r k r k k ( y y
) r k r k r k r k k ( x x
c c
2 2 2 1
4 4 2 3
2 2
2 1 4 4 2 3
8 4 6 3 4 2 2 1 0
8 4 6 3 4 2 2 1 0
∆ δ
∆ δ
∆
∆ δ δ
+ +
=
+ +
=
+ +
+ +
=
+ +
+ +
=
+ + + +
=
+ + + +
=
x y son las coordenadas referidas al punto principal
k0a k4son los coeficientes de la distorsión radial indicados por el c ertificado de calibración p1a p4son los coeficientes de la distorsión descentradora indicados en el mismo certificado δx, δy, ∆x y ∆y son las correcciones a las distorsiones radial y descentradora respectivamente
Refinamiento de fotocoordenadas
Problema
El informe de calibración de una cámara indica que la focal tiene una longitud de 153,206 mm y las coordenadas del punto principal son x = 0,008 mm y=-0,001 mm. Los valores de la distorsión de la lente de la cámara son los siguientes:
0,1286 -0,004
40º
0,1073 -0,003
35º
0,0885 0,001
30º
0,0635 0,007
22,5º
0,0411 0,007
15º
0,0202 0,004
7,5º
r, m
∆r, mm Ángulo campo
Calcular las coordenadas corregidas de distorsión radial de un punto que tiene de coordenadas x = 62,579 mm, y = -80,916 mm referidas al centro fiducial.
El campo r, m se calcula a partir de la fórmula:
153.206 * tan(7,5).
Se calcula r=√(x2+y2) r= 102.291 mm
se interpola entre los valores 88,5 y 107,3, dando ∆r = 0.003 mm que supone -0.002 mm de distorsión en ese punto.
En consecuencia las coordenadas del punto corregidas y referidas al punto principal son:
xc=62.579-0.008*(1-(-0.002/102.29))=62.572 mm yc=-80.916-(-.001)*(1-(-0.002/102.29))=-80.917 mm
Solución
Refinamiento de fotocoordenadas
Corrección por esfericidad terrestre
Esta “distorsión” tiene sentido cuando, se busca una representación plana de la superficie terrestre Suponiendo Geoide esférico y representación confundida con la proyección ortogonal sobre el plano tangente en N
El rayo SM debería ser reconstruido en SM1, la distorsión viene definida por: ∆αy ∆r
ω
α α’
∆α
∆α’
∆r
N
N1
M M1
H S
M’1 M’
R
C γ
f
Haciendo una ampliación de la zona marcada y suponiendo que ∆α = ∆α’
Refinamiento de fotocoordenadas
Corrección por esfericidad terrestre
α α ∆ α
α α ∆
∆
2cos f cos cos f
r ⋅ =
=
Al desconocer el valor de ∆αno nos sirve
S ω r M’
f
D
M N1
MN = Rγ= D ; MN1= R sen γ˜ R γ= D
H tan fD f tan f r' M
?
2RH 1 D H fD 2RH 1 D
1 H fD 2R H D r fD M'
?
2R H D
f D r
; 2R C D N R NN
2R R D R D 2 1 1 2 R 1 R Rcos C N
' 1'
2 2
2
2 2
1 1
2 2 2 2
1
=
≈
=
=
−
≈ +
= +
=
=
+
=
=
−
=
−
=
−
=
−
≈
=
α α γ γ
2r3
2Rf r H r'-
r= =
∆
Operando se llega a:
ω M’ ∆r M’1
α
f α
S α’
∆α
+
=
+
= r
1 r y r y
1 r x
xc ∆ c ∆
Y las coordenadas corregidas:
Refinamiento de fotocoordenadas
Corrección por refracción atmosférica El índice de refracción del aire se supone que cambia en proporción directa al cambio de alturas dando lugar a una posición errónea de los puntos fotografiados al ser la trayectoria del rayo curva y no recta.
El punto a es la imagen real y el a’ la teorica . La corrección ∆αes función del ángulo α
α α
∆ = K ⋅ tan
A su vez K es un valor que depende de la altura de vuelo y de la altitud del punto considerado y para una atmósfera estándar. Su valor es:
m 6 m 2 m
m
2 10
H h 250 h 6 h
h 2410 250
H 6 H
H
K 2410 −
+
− − +
= −
Refinamiento de fotocoordenadas
Corrección por refracción atmosférica
a a’
a”
∆α α
L O
f aa’ = dr
) sen sen cos (cos dr
"
aa
luego )) (
90 sen(
) cos(
pero
) cos(
dr ) cos(
' aa
"
aa
α
∆ α α
∆ α
α
∆ α α
∆ α
α
∆ α α
∆ α
+
=
+
−
=
−
−
=
−
=
+
=
+
= +
= + +
=
= +
= +
=
+
=
≈
≈
≈
2 3
2 2 2 3 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
f r r K dr
f rf f K r ) f r f ( f Kr f r
f r f K r dr
luego f
r cos f
f K r f
cos r dr
f r La arco
"
aa cos dr
"
aa
;
; α
α α ∆
α
∆
α
∆ α
∆ α
−
=
−
= r
1 dr y r y
1 dr x
xc c
Y las coordenadas corregidas:
Refinamiento de fotocoordenadas
Movimiento de la cámara durante el intervalo de exposición
No se suele tener en cuenta si el “flou” es de 20 µm, la situación es peor para grandes escalas y baja altura
La fórmula es ∆s [µm] = 278000 • v [Km/h] • ∆t [s] • EF
3 6 9
14 28 1:50000
14 28 46 70 139 1:10000
28 56 93 139 278
1:5000
139 278 463 695 1390 1:1000
500 km/h
2 3 6
8 17 1:50000
8 17 28 42 83 1:10000
17 33 56 83 167 1:5000
83 167 278 417 834
1:1000
300 km/h
1 1 2
3 6
1:50000
3 6 9
14 28 1:10000
6 11 19 28 56 1:5000
28 56 93 139 278
1:1000
100 km/h
∆t[s] =
1/100 1/200 1/300 1/500 1/1000
∆s [µm] = EF
v
Refinamiento de fotocoordenadas
Problema
Se ha tomado una foto vertical con una cámara de focal calibrada 152,212 mm, las coordenadas calibradas de las marcas fiduciales y del punto principal son las siguientes:
121.814 226.622 228.974 16.973
14.648 y (mm)
131.104 23.984
235.928 238.257 26.274
x (mm)
p.p.
4 3 2 1 Puntos
Asimismo los valores de distorsión radial son:
-13 -1 -9 -7 -1 +6 +9 Distorsión +6
(µm)
160 140 120 100 80 60 40 Distancia 20
radial (mm)
La altura de vuelo es de 11580 m sobre el nivel del mar. El promedio de altitudes de la zona es de 120 m sobre el nivel del mar. Las coordenadas medidas de las marcas fiduciales y de un punto p. son:
36.426 225.160 228.432 16.260
13.032 y (mm)
228.640 24.980
237.068 240.341 28.202
x (mm)
p 4 3 2 1 Puntos
Calcular las coordenadas del punto p corregidas de deformación de la película y reducidas al p.p., para ello utilizar una transformación afín. Una vez efectuada s corregir las mismas de distorsión radial, de refracción atmosférica y de esfericidad terrestre.
