Una ecuación lineal en x es una igualdad de la forma ax + b = c donde a, b, c son números reales con a diferente de cero.
Una ecuación lineal en x es una igualdad de la forma ax + b = c donde a, b, c son números reales con a diferente de cero.
DefiniciónDefinición
2x + 1 = 5 donde a =2, b = 1, c = 5 3x - 6 = 0 donde a = 3, b = -6, c = 0 8x = 1 donde a = 8, b = 0, c = 1
2x + 1 = 5 donde a =2, b = 1, c = 5 3x - 6 = 0 donde a = 3, b = -6, c = 0 8x = 1 donde a = 8, b = 0, c = 1 Ejemplo 1: Ecuaciones linealesEjemplo 1: Ecuaciones lineales
Definición de una ecuación lineal
5x2 + 3 = 5 Es una ecuación de segundo grado 6x3 + 2x = 4 Es una ecuación de tercer grado
5x2 + 3 = 5 Es una ecuación de segundo grado 6x3 + 2x = 4 Es una ecuación de tercer grado
Contraejemplo 1: Los siguientes no son Ecuaciones linealesContraejemplo 1: Los siguientes no son Ecuaciones lineales
Definición de una ecuación lineal
También podemos decir que ax + b = c es una ecuación de primer grado en x.También podemos decir que ax + b = c
es una ecuación de primer grado en x.
NotaNota
Decimos que la solución o raíz de una ecuación es el valor que satisface a la ecuación, es decir, la convierte en una proposición cierta.
Decimos que la solución o raíz de una ecuación es el valor que satisface a la ecuación, es decir, la convierte en una proposición cierta.
Solución o raíz de una ecuaciónSolución o raíz de una ecuación
Si en la ecuación 2x + 5 = 19 sustituimos x por 7 obtenemos:
2(7) + 5 = 19
14 + 5 = 19 Proposición Cierta
Por lo tanto x = 7 es una solución o raíz de la ecuación 2x + 5 = 19
Si en la ecuación 2x + 5 = 19 sustituimos x por 7 obtenemos:
2(7) + 5 = 19
14 + 5 = 19 Proposición Cierta
Por lo tanto x = 7 es una solución o raíz de la ecuación 2x + 5 = 19
Ejemplo 2Ejemplo 2
Raíz o solución de una ecuación
Si en la ecuación 7x - 5 = 16 sustituimos x por 3 obtenemos:
7(3) - 5 = 16
21 - 5 = 16 Proposición Cierta
Por lo tanto x = 3 es una solución o raíz de la ecuación 7x - 5 = 16
Si en la ecuación 7x - 5 = 16 sustituimos x por 3 obtenemos:
7(3) - 5 = 16
21 - 5 = 16 Proposición Cierta
Por lo tanto x = 3 es una solución o raíz de la ecuación 7x - 5 = 16
Ejemplo 3Ejemplo 3
Raíz o solución de una ecuación
Si en la ecuación 4x - 9 = 31 sustituimos x por 8 obtenemos:
4(8) - 9 = 31
32 - 9 = 31 Proposición Falsa
Por lo tanto x = 8 no es solución de la ecuación 4x - 9 = 31
Si en la ecuación 4x - 9 = 31 sustituimos x por 8 obtenemos:
4(8) - 9 = 31
32 - 9 = 31 Proposición Falsa
Por lo tanto x = 8 no es solución de la ecuación 4x - 9 = 31
Contraejemplo 2Contraejemplo 2
Raíz o solución de una ecuación
Decimos que dos o más ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones o raíces.Decimos que dos o más ecuaciones son equivalentes si
tienen las mismas soluciones o raíces.
Ecuaciones equivalentesEcuaciones equivalentes
Ecuaciones equivalentes
Ecuaciones equivalentes
Las ecuaciones 6x - 4 = 20 y 6x = 24 son equivalentes porque las dos tienen la misma solución, x = 4.
Veamos:
6(4) - 4 = 20
24 + 4 = 20 6(4) = 24 20 = 20 Cierto 24 = 24 Cierto
Por lo tanto son ecuaciones equivalentes.
Las ecuaciones 6x - 4 = 20 y 6x = 24 son equivalentes porque las dos tienen la misma solución, x = 4.
Veamos:
6(4) - 4 = 20
24 + 4 = 20 6(4) = 24 20 = 20 Cierto 24 = 24 Cierto
Por lo tanto son ecuaciones equivalentes.
Ejemplo 4Ejemplo 4
Resolver una ecuación significa encontrar la solución a través de la obtención de ecuaciones equivalentes
utilizando las reglas básicas de las igualdades que estudiaremos a continuación.
Resolver una ecuación significa encontrar la solución a través de la obtención de ecuaciones equivalentes
utilizando las reglas básicas de las igualdades que estudiaremos a continuación.
Resolver una ecuaciónResolver una ecuación
Solución de una ecuación
Reglas Básicas de las igualdades
Si A, B, C son números reales tales que A = B entonces:
A + C = B + C A - C = B - C
Podemos sumar o restar una misma cantidad a ambos lados de una misma ecuación obteniendo una ecuación equivalente a la ecuación original.
Si A, B, C son números reales tales que A = B entonces:
A + C = B + C A - C = B - C
Podemos sumar o restar una misma cantidad a ambos lados de una misma ecuación obteniendo una ecuación equivalente a la ecuación original.
Regla 1Regla 1
Reglas Básicas de las igualdades
Resuelva x + 5 = 18
x + 5 - 5 = 18 - 5 Restamos 5 a ambos lados x = 13 Solución
Resuelva x + 5 = 18
x + 5 - 5 = 18 - 5 Restamos 5 a ambos lados x = 13 Solución
Ejemplo 5Ejemplo 5
Reglas Básicas de las igualdades
Resuelva x - 6 = 19
x - 6 + 6 = 19 + 6 Sumamos 6 a ambos lados x = 25 Solución
Resuelva x - 6 = 19
x - 6 + 6 = 19 + 6 Sumamos 6 a ambos lados x = 25 Solución
Ejemplo 6Ejemplo 6
Reglas Básicas de las igualdades
Resuelva 7 = -3 + x
7 + 3 = -3 + 3 + x Sumamos 6 a ambos lados 10 = x Solución
Resuelva 7 = -3 + x
7 + 3 = -3 + 3 + x Sumamos 6 a ambos lados 10 = x Solución
Ejemplo 7Ejemplo 7
Reglas Básicas de las igualdades
Si A, B, C son números reales tales que A = B y C ≠ 0 entonces:
A = B
Podemos multiplicar o dividir una misma cantidad (diferente de cero) a ambos lados de una misma ecuación obteniendo una ecuación equivalente a la ecuación original.
Si A, B, C son números reales tales que A = B y C ≠ 0 entonces:
A = B
Podemos multiplicar o dividir una misma cantidad (diferente de cero) a ambos lados de una misma ecuación obteniendo una ecuación equivalente a la ecuación original.
Regla 2Regla 2
C B CA
Reglas Básicas de las igualdades
Resuelva 7x = 56
Dividimos por 7 a ambos lados x = 8 Solución
Resuelva 7x = 56
Dividimos por 7 a ambos lados x = 8 Solución
Ejemplo 8Ejemplo 8
7 56 7 7x
Reglas Básicas de las igualdades
Resuelva
Multiplicamos por 6 a ambos lados
x = 180 Solución Resuelva
Multiplicamos por 6 a ambos lados
x = 180 Solución Ejemplo 9Ejemplo 9
) 30 ( 6 6
6
x 6x 30
Reglas Básicas de las igualdades
Resuelva -4x = -28
Dividimos por 4 a ambos lados x = 7 Solución
Resuelva -4x = -28
Dividimos por 4 a ambos lados x = 7 Solución
Ejemplo 10Ejemplo 10
4 28 4
4
x
Los siguientes ejemplos ilustran la aplicación de las dos reglas para resolver la misma ecuación.Los siguientes ejemplos ilustran la aplicación de las dos
reglas para resolver la misma ecuación.
NotaNota
Reglas Básicas de las igualdades
Resuelva 3x + 5 = 8Resuelva 3x + 5 = 8 Ejemplo 11Ejemplo 11
1 3 3 3
3
3 3
5 8 5
5 3
x x
x
x Restamos 5 a ambos lados
Simplificamos
Dividimos por 3 a ambos lados Solución
Reglas Básicas de las
igualdades
Reglas Básicas de las igualdades
Resuelva 120 – 80x = 50
Prueba:
Resuelva 120 – 80x = 50
Prueba:
Ejemplo 13Ejemplo 13
8 7
80 70 80
80
70 80
120 50
80 120
120
x x
x Restamos 120 a ambos lados Simplificamos
Dividimos por -80 a ambos lados
Solución (Simplificada)
50 70
120
8 50 80 7 120
Cierto
Ver Respuestas
1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41
2) x - 3 = 25 7)
3) 5x = 110 8) 3 = 8 + 3x
4) 9) 6 = 5x - 4
5) 5x - 6 = 48 10)
1) x + 8 = 12 6) 7x + 4 = 41
2) x - 3 = 25 7)
3) 5x = 110 8) 3 = 8 + 3x
4) 9) 6 = 5x - 4
5) 5x - 6 = 48 10)
Post-pruebaPost-prueba
6x 48
4 20 5 x
8 3 4
2 x
1) x + 8 = 12 x = 4 6) 7x + 4 = 41 x =
2) x - 3 = 25 x = 28 7) x = 60
3) 5x = 110 x = 22 8) 3 = 8 + 3x x =
4) x = 288 9) 6 = 5x - 4 x =2
5) 5x - 6 = 48 x = 10) x = 18
1) x + 8 = 12 x = 4 6) 7x + 4 = 41 x =
2) x - 3 = 25 x = 28 7) x = 60
3) 5x = 110 x = 22 8) 3 = 8 + 3x x =
4) x = 288 9) 6 = 5x - 4 x =2
5) 5x - 6 = 48 x = 10) x = 18
Post-prueba - RespuestasPost-prueba - Respuestas
6x 48
4 20 5 x
8 3 4
2 x 5
54
7 37
3
5
