LECTURA 11: POLINOMIOS

LECTURA 11: POLINOMIOS

1. Definici´ on formal

El concepto de polinomio seguramente no es ajeno aunque es probable que se asocie a una discusi´ on que involucra ´ unicamente n´ umeros. Sin embargo, podemos dar una interpretaci´ on formal de un polinomio sobre un anillo conmutativo sin mucho problema.

Definici´ on 11.1. Sea R un anillo conmutativo. Por un polinomio con indeterminada x sobre R entendemos una expresi´ on de la forma

f = f 0 + f 1 x + · · · + f n x ⁿ

donde n es un entero no negativo, los coeficientes f 1 , . . . , f n se toman del anillo R. En particular, al coeficiente f k se le denomina el coeficiente de grado k. Si adem´ as a n 6= 0, ´ este se denomina el coeficiente principal y el polinomio f se dice tener grado n, en s´ımbolos

grd(f ) = n.

Finalmente, un polinomio se dir´ a m´ onico si su coeficiente principal es el elemento unitario.

Debemos ahora entender e interpretar la definici´ on de polinomio notando que ´ esta describe simplemente una sucesi´ on finita de elementos en un anillo y lo ´ unico que se indica al escribir un polinomio como

f 0 + f 1 x + · · · + f n x ⁿ

son las posiciones de los elementos que lo forman asoci´ andolos a las potencias de las indeterminada.

Como se puede observar la expresi´ on de un polinomio es solamente una manera de hablar pues ni la suma dentro de esta descripci´ on, ni el s´ımbolo x tienen un significado riguroso ¹ . A esto precisamente nos referimos cuando decimos que un polinomio es una expresi´ on formal. Usamos s´ımbolos sin significado para obtener de forma algo que reconocemos como un polinomio.

Ejemplo. Si tomamos el anillo base como el conjunto R, podemos describir f´acilmente los polino- mios:

f = 1 + x + x ² .

f = π + x ² —aqu´ı, el coeficiente de grado 1 es 0—.

f = 1/3 —aqu´ı, los coeficientes de grado mayor que 0 son 0—.

f = 0 —aqu´ı todos los coeficientes son 0—.

A pesar de no existir menci´ on alguna, hay una convenci´ on en uso en los ejemplos: Si uno de los coeficientes es el elemento unitario del anillo, entonces es posible omitirlo escribiendo s´ olo la potencia que acompa˜ na a excepci´ on del coeficiente constante. Tambi´ en, si el coeficiente de alg´ un grado no aparece se considera ´ este como el cero del anillo lo cual resulta compatible con no escribir los coeficientes despu´ es de cierto grado, pues todos los coeficientes de grado superior se asumir´ an cero.

1 Se puede definir de una manera en extremo precisa y a pesar de ser t´ ecnicamente lo m´ as adecuado, para una primera aproximaci´ on al tema es conveniente tratar a la indeterminada como un simple s´ımbolo y aprender a vivir con ello.

1

Ejemplo. Seguramente se tienen en mente polinomios sobre los reales, sin embargo la definici´ on es capaz de hablar de polinomios sobre cualquier anillo, como en Z ^m , donde podemos afirmar sin mucho trabajo que son polinomios las expresiones:

f = [1] ₅ + [4] ₅ x ² en Z 5 . f = [1] ₄ + [1] ₄ x + [1] ₄ x ² en Z 4 . f = [7] 11 en Z ¹¹ .

La definici´ on no deja del todo claro el significado de la igualdad entre polinomios y esto es resultado de tomarse expresiones formales para explicar el concepto lo que nos obliga a dar una definici´ on de la igualdad entre polinomios.

Definici´ on 11.2. Dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y sus coeficientes de cada grado coinciden.

La igualdad entre polinomios puede interpretarse de manera sencilla cuando describimos los polinomios f = f 0 + f 1 x + · · · + f n x ⁿ y g = g 0 + g 1 x + · · · + g m x ^m tomando n y m como sus grados:

f = g si y s´ olo si m = n y para cada 0 ≤ k ≤ n se tiene f k = g k . La definici´ on de la igualdad entre polinomios tiene por supuesto un impacto m´ as te´ orico que pr´ actico.

Ejemplo. Tomando los polinomios f = [1] ₇ + [11] ₇ x ³ y g = [8] ₇ + [4] ₇ x ³ en Z 7 podemos verificar de manera inmediata que son iguales al tener el mismo grado y tener los mismos coeficientes en el anillo sobre el que se toman los polinomios.

Es posible observar cierto remanente de notaci´ on funcional en la manera de expresar un polinomio en el uso de la indeterminada y es de hecho posible asociar de manera muy natural a un polinomio una funci´ on.

Definici´ on 11.3. Sea f = f 0 + f 1 x + · · · + f n x ⁿ , un polinomio sobre un anillo R. Definimos la funci´ on inducida por el polinomio f como la funci´ on f ^∗ : R → R definida como

f ^∗ (a) = f 0 + f 1 a + · · · + f n a ⁿ .

Es importante distinguir que f y la funci´ on inducida f ^∗ no son lo mismo. Al ser uno un objeto formal y otro una funci´ on, sus igualdades resultan distintas. Por un lado, si dos polinomios f y g resultan iguales, las funciones asociadas a ellos resultar´ an iguales. Sin embargo, es posible tener dos polinomios distintos para los que sus funciones asociadas resultan iguales. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo. Consideremos los polinomios sobre Z ² definidos como f = x + [1] y g = x ³ + [1].

En ese caso las funciones inducidas resultan

f ^∗ ([m]) = [m] + [1] y g ^∗ ([m]) = [m] ³ + [1].

Como los enteros m´ odulo 2 tienen s´ olo dos elementos, es sencillo comprobar que las funciones f ^∗ y g ^∗ sustituyendo directamente los dos valores posibles en dicho anillo:

f ^∗ ([0]) = [1] = g ^∗ ([0]) y f ^∗ ([1]) = [0] = g ^∗ ([1]).

Esto comprueba que es posible tener f 6= g pero f ^∗ = g ^∗ .

Es interesante mencionar que tal situaci´ on puede suceder ´ unicamente en anillos finitos y ´ esta es la raz´ on de fondo para distinguir un polinomio de las funciones polinomio pues debemos reconocer la capacidad de crear tales objetos con una estructura base lo suficientemente arbitraria. A pesar de esto, escribiremos sin remordimiento f (a) en lugar de f ^∗ (a) remarcando que es ´ esta la ´ unica manera sensible de interpretar dicha notaci´ on al considerar que los polinomios no son funciones entre anillos pero inducen una de manera natural.

2. El anillo de polinomios

De la misma forma en que la igualdad entre polinomios cobra sentido s´ olo al definirla. Las ope- raciones a las que estamos acostumbrados entre polinomios cobran sentido cuando son definidas de manera formal. Basta entonces una advertencia: Las operaciones que se definen para los polinomios son resultado directo de la estructura del anillo sobre el cual tomamos los coeficientes.

Definici´ on 11.4. Sean f = f 0 + f 1 x + · · · + f n x ⁿ y g = g 0 + g 1 x + · · · + g m x ^m polinomios sobre un anillo conmutativo R. Definimos el polinomio f + g como aquel donde el coeficiente de grado k es

(f + g) _k = f _k + g _k .

De manera similar, el polinomio f · g es el polinomio donde el coeficiente de grado k es (f · g) k =

k

X

i=0

f i g k−i .

La definici´ on parece hacer las cosas innecesariamente complicadas pero en realidad aporta un m´ etodo para interpretar la suma involucrada en nuestra expresi´ on formal de un polinomio de la manera en que estamos acostumbrados. S´ olo debemos observar que el producto hace referencia a coeficientes que no est´ an descritos expl´ıcitamente en las expresiones de los polinomios, sin embargo hemos convenido tomar tales coeficientes como cero.

Ejemplo. Tomemos los polinomios f = 1 + x + x ³ y g = 5 + x ² sobre los n´ umeros reales, entonces f + g = 6 + x + x ² + x ³

y

f g = 5 + 5x + x ² + 6x ³ + x ⁵ .

Es posible observar que los polinomios definidos como f = 0 y g = 1, funcionan como neutros aditivo y multiplicativo, respectivamente, de las operaciones entre polinomios (ejercicio 11.3) y es posible observar que la definici´ on del grado de un polinomio carece de sentido en el primero. Por esa raz´ on consideraremos que tal polinomio carece de grado y evitaremos como la peste hablar de tal situaci´ on aislando los casos donde sea posible reconocer al polinomio nulo.

Proposici´ on 11.1. Sea R un anillo conmutativo y sean f y g polinomios sobre R. Entonces, 1. f + g = g + f .

2. f + (g + h) = (f + g) + h.

3. f · g = g · f .

4. f · (g · h) = (f · g) · h.

5. f · (g + h) = f · g + f · h.

Demostraci´ on. S´ olo se probar´ an los incisos 4 y 5, los dem´ as son un ejercicio. Tomemos entonces

f , g y h como polinomios sobre R. Para probar 4, basta con observar que para cualquier n´ umero

natural k,

[f · (g · h)] _k =

k

X

i=0

a _k (g · h) _k−i

=

k

X

i=0

a k k−i

X

j=0

b j c k−i−j

=

k

X

i=0 k−i

X

j=0

a _k b _j c _k−i−j

=

k

X

r=0 r

X

s=0

a s b r−s c k−r

=

k

X

r=0

(f · g) _r · c _k−r

= [(f · g) · h] _k .

De lo anterior podemos concluir que f · (g · h) = (f · g) · h como se afirma en 4. De manera similar, observamos que para cualquier natural k,

[f · (g + h)] k =

k

X

i=0

a i (g + h) k−i

=

k

X

i=0

a i (b k−i + c k−i )

=

k

X

i=0

a i b k−i +

k

X

i=0

a i c k−i

= (f · g) k + (f · h) k

= [f · g + f · h] _k .

Por esta raz´ on, f · (g + h) = f · g + f · h como se afirma en 5. _ No debe sorprender que al cumplir las operaciones de suma y producto entre polinomios las propiedades descritas en la proposici´ on anterior, sea posible describir a los polinomios como un anillo conmutativo.

Teorema 11.2. Sea R un anillo conmutativo. Entonces, el conjunto de todos los polinomios en la indeterminada x sobre R, junto a las operaciones de suma y producto, forma un anillo conmutativo.

A este anillo se le denomina como el anillo de polinomios en la indeterminada x sobre R y denota como R[x].

Una vez establecido R[x] como un anillo conmutativo, podemos formar el anillo de polinomios

en la indeterminada y sobre R[x] y es costumbre denotar a este anillo como R[x, y] en lugar de

R[x][y]. El proceso anterior puede continuar de manera indefinida y obtener un anillo de polino-

mios en varias indeterminadas formando otra vez un anillo: R[x 1 , . . . x m ]. Aunque interesante, este

procedimiento se menciona simplemente como curiosidad pues de momento tenemos amplio inter´ es

en los polinomios en una variable.

Ejemplo. El posible formar el polinomio p en el anillo R[x, y] como p = 5 + (x + 1)y + (5 + x + x ² )y ² ,

observando que cada coeficiente de p es un polinomio en R[x]. Por esta raz´ on es com´ un denotar al polinomio p tambi´ en como

p = 5 + x + xy + 5y ² + xy ² + x ² y ² .

La estructura del anillo tambi´ en tiene cierto impacto en la estructura del anillo de polinomios, en particular las funciones asociadas y los grados se comportan como esperar´ıamos al transferir el anillo algunas propiedades al anillo de polinomios.

Teorema 11.3. Sean f y g polinomios no nulos sobre un anillo R. Entonces, f + g = 0 o grd(f + g) ≤ m´ ax{grd(f ), grd(g)}.

Demostraci´ on. Sean f = f 0 + f 1 x + · · · + f n x ⁿ y g = g 0 + g 1 x + · · · + g m x ^m con grados n y m, respectivamente. Entonces, para cualquier k > m´ ax{m, n}, se tiene

(f + g) k = f k + g k = 0.

Lo anterior indica que si f + g es no nulo, entonces su grado no puede exceder al m´ aximo indicado,

como afirma el teorema. 

Teorema 11.4. Sean f y g polinomios no nulos sobre un anillo R. Entonces, f g = 0 o grd(f · g) ≤ grd(f ) + grd(g).

Demostraci´ on. Sean f = f ₀ + f ₁ x + · · · + f _n x ⁿ y g = g ₀ + g ₁ x + · · · + g _m x ^m con grados n y m, respectivamente. Basta probar que (f g) _k = 0 para cada k > m + n. Supongamos para esto que k > m + n. Sabemos que

(f g) _k =

k

X

i=0

f _i g _k−i =

n

X

i=0

f _i g _k−i +

k

X

i=n+1

f _i g _k−i .

Entonces para todo i ≤ n, tenemos k − i ≥ m por lo que g k−i = 0 y en consecuencia

n

X

i=0

f _i g _k−i = 0.

Adem´ as sabemos que f _i = 0 si i ≤ n + 1 por lo que

k

X

i=n+1

f _i g _k−i = 0

con lo que es posible concluir que (f g) k = 0 siempre que k > m + n, concluyendo el resultado

deseado. 

Es interesante preguntarse cu´ ando es posible tener el producto de dos polinomios no nulos como un polinomio nulo. Pero debe recordarse que los polinomios se han tomando sobre un anillo con- mutativo en arbitrario por lo que es posible tener divisores de cero lo que deriva en tal posibilidad.

Ejemplo. Consideremos los polinomios f = [3] 9 x ² y g = [3] 9 x ³ sobre el anillo Z ⁹ . No es dif´ıcil convencernos que tales polinomios son no nulos pero

f g = [3] 9 [3] 9 x ⁵ = [0] 9 x ⁵ = [0] 9 .

Por fortuna, la posibilidad anterior se limita a los anillos que no resultan dominios enteros. En el caso que sean dominios enteros, el anillo de polinomios resultar´ a tambi´ en un dominio entero y el grado del producto queda completamente determinado como lo muestra el siguiente teorema y su corolario.

Teorema 11.5. Sean f y g polinomios no nulos sobre un dominio entero R. Entonces, f g 6= 0 y grd(f · g) = grd(f ) + grd(g).

Demostraci´ on. Tomando nuevamente f = f 0 + f 1 x + · · · + f n x ⁿ y g = g 0 + g 1 x + · · · + g m x ^m con grados n y m, nos interesa calcular el coeficiente de grado m + n del producto, si ´ este resulta distinto de cero, entonces podemos garantizar el resultado. Por un lado tenemos que, si i > n, entonces f i = 0 y si i < n, entonces m < m + n − i por lo que g m+n−i = 0. Podemos entonces concluir que f i g m+n−i 6= 0 si y s´ olo si i = n. Esta conclusi´ on, se traduce en tener

(f g) m+n =

m+n

X

i=0

f i g m+n−i = f n g m ,

pero por hip´ otesis f n 6= 0 y g n 6= 0 y como R es un dominio entero, entonces f n g m 6= 0 lo que nos permite concluir (f · g) m+n 6= 0 y por tanto grd(f · g) = m + n como afirma en enunciado. 

Corolario 11.6. Si R es un dominio entero, entonces R[x] es tambi´ en un dominio entero.

A pesar del coralario anterior, si tomamos los polinomios sobre un campo no todos los elementos no nulos tienen inverso por lo que el anillo de polinomios no es en general un campo aun si R lo es.

Por esta raz´ on es interesante explorar quienes son las unidades (ejercicio 11.6).

Teorema 11.7. Sean f y g polinomios sobre un anillo R y sea a un elemento cualquiera del mismo anillo. Entonces,

1. (f + g) ^∗ (a) = f ^∗ (a) + g ^∗ (a).

2. (f g) ^∗ (a) = f ^∗ (a)g ^∗ (a).

Demostraci´ on. Solo probaremos la segunda, la primera es un sencillo ejercicio y para conseguirla debemos expresar f = f 0 + f 1 x + · · · + f n x ⁿ y g = g 0 + g 1 x + · · · + g m x ^m de modo que m > n. En ese caso,

f g = c 0 + c 1 x + · · · + c m+n x ^m+n tomando

c _k =

k

X

i=0

f _i g _k−i .

En consecuencia

(f g) ^∗ (a) =

n

X

i=0

c k a ^k

y por tanto

f ^∗ (a)g ^∗ (a) =

n

X

i=0 m

X

j=0

(f _i a ⁱ )(g _j a ^j )

=

n

X

i=0 m

X

j=0

f _i g _j a ^i+j

=

m+n

X

k=0

c k a ^k

= (f g) ^∗ (a).



3. Divisibilidad en polinomios

Queremos ahora estudiar y dar resultados acerca de polinomios que tomen valores sobre un campo ahora que sabemos que tal estructura deriva en un dominio entero. Si esta raz´ on no parece suficiente, consid´ erese tambi´ en que muchos de los anillos que hemos estudiado y que nos interesan en el desarrollo de la teor´ıa de polinomios, est´ an contenidos en alg´ un campo.

Definici´ on 11.5. Sean f y g polinomios sobre un campo F . Se dice que g divide a f o que f es un m´ ultiplo de g, en s´ımbolos g | f , siempre que exista un polinomio q de forma que

f = qg

Esta definici´ on es an´ aloga a la que dimos enteros, no debe parecer sorprendente que mucho de lo presentado en el caso de los enteros pueda ser llevado al contexto de los polinomios sin mucho esfuerzo. Entre muchas otras cosas, podemos efectuar una divisi´ on entre polinomios.

Teorema 11.8. Sea F un campo y sean f y g polinomios sobre F . Entonces existen un ´ unico par de polinomios ´ unicos q y r tales que r = 0 o grd(r) < grd(g) y adem´ as

f = qg + r.

Demostraci´ on. Supongamos primero que g | f y en ese caso debe existir un polinomio q de forma que f = qg por lo que basta tomar r = 0. Si por otro lado g - f , el conjunto de polinomios

S = {f − qg | q ∈ F [x]}

contiene debe contener al menos un elemento distinto del polinomio nulo, resultando con esto que el conjunto

P = {grd(p) | p ∈ S y p 6= 0}

es de igual forma no vac´ıo y por esta raz´ on debe poseer un m´ınimo. Sea m el m´ınimo de P y sea r = f − qg alg´ un polinomio en S de forma que grd(r) = m. Como f = qg + r, resta mostrar la desigualdad grd(r) < grd(g). Si elegimos grd(g) = n y expresamos g = g 0 + g 1 x + · · · + g n x ⁿ y r = r 0 + r 1 x + · · · + r m x ^m , debemos tener g n 6= 0 y, al ser un elemento de un campo, este debe tener inverso. Mostraremos ahora que m < n al obtener una contradicci´ on al tomar como cierto n ≤ m.

Haciendo esa suposici´ on y definiendo los polinomios s = r m g _n ⁻¹ x ^m−n y

h = r − sg,

debemos notar que h debe cumplir una de dos posibilidades: h = 0 o grd(h) < m. Si por un lado h = 0, entonces r = sg y

f = qg + r = (q + s)g,

lo que implica, de manera contradictoria, que g | f . Si por otro lado h 6= 0 y grd(h) < m, entonces f − qg = r = h + sg

y por tanto h = f − (q + s)g lo que contradice que m sea el m´ınimo de P , como afirmamos anteriormente. Debemos entonces concluir que n ≤ m es imposible, y obtener en consecuencia

grd(r) < grd(g).

Supongamos ahora que existe otro par de polinomios q ⁰ y r ⁰ de forma que grd(r ⁰ ) < grd(g) y tambi´ en f = q ⁰ g + r ⁰ . En ese caso,

(q − q ⁰ )g = r ⁰ − r.

Si r 6= r ⁰ , entonces

grd(g) ≤ grd(q − q ⁰ ) + grd(g)

= grd(r ⁰ − r)

< grd(g),

lo cual es por supuesto contradictorio. Por tanto, r ⁰ = r y obtenemos g(q − q ⁰ ) = 0. Al ser F [x] un dominio entero y g 6= 0, concluimos tambi´ en q = q ⁰ . Lo anterior afirma que los polinomios q y r no s´ olo existen sino son los ´ unicos con las propiedades que buscamos. 

Definici´ on 11.6. Los polinomios q y r que ocurren en el teorema 11.8, llevan el nombre cociente y residuo de dividir f entre g, respectivamente.

Un caso muy sencillo de divisi´ on entre polinomios, se da precisamente cuanto dividimos entre un polinomio de grado 1 pues el residuo ser´ a o nulo o constante.

Ejemplo. Consideremos los polinomios sobre los n´ umeros reales f = 1 + x + x ² y g = x + 2. En ese caso, el teorema de la divisi´ on afirma que los polinomios q = x − 1 y r = 3 son el cociente y residuo, respectivamente, de dividir f entre g pues

x ² + x + 1 = (x − 1)(x + 2) + 3.

Por supuesto, no son los ´ unicos casos de inter´ es, podemos poner un polinomio con un grado mucho m´ as alto en el divisor y realizar de nueva cuenta la divisi´ on.

Ejemplo. Tomando los polinomios sobre los n´ umeros reales f = 5x ⁵ + 3x ² + 4 y g = 3x ³ + 4, entonces el cociente y el residuo de dividir f entre g resultan los polinomios q = 2x ² y r = −5x ² + 4 pues

6x ⁵ + 3x ² + 4 = 2x ² (3x ³ + 4) + (−5x ² + 4).

4. M´ aximo com´ un divisor

Definici´ on 11.7. Sean f y g polinomios sobre un campo. Un polinomio d se dice un divisor com´ un

de f y g, si d divide tanto a f como a g. Por otro lado, un polinomio d se dice un m´ aximo com´ un

divisor de f y g si es un divisor com´ un de f y g, y para todo divisor com´ un e de f y g, el polinomio

e divide a d.

No es coincidencia que se use el art´ıculo indefinido ((un)) en la definici´on anterior. Es posible que exista una multitud de ellos para cada pareja de polinomios. Por ejemplo, para los polinomios x ² + 1 y x ² − ix sobre los complejos, el polinomio ix − 1 es un m´ aximo com´ un divisor, lo mismo que el polinomio 2x + 2i. Estos polinomios no resultan arbitrarios en absoluto y guardan una fuerte relaci´ on.

Definici´ on 11.8. Para los polinomios f y g, se dice que f est´ a asociado con g si existe un elemento del campo a 6= 0 de forma que

f = ag.

Proposici´ on 11.9. Sean f y g polinomios sobre un campo. Si d y e son ambos un m´ aximo com´ un divisor de f y g, entonces d y e est´ an asociados.

Demostraci´ on. Debemos notar que primero que e | d y lo mismo d | e. Si alguno de estos polinomios fuera nulo, entonces el otro tambi´ en lo ser´ıa y de esta forma d = 0 = e, lo que indica que estar´ıan asociados. Si por otro lado ambos son no nulos, entonces grd(e) = grd(d). Ahora, como e | d, existe un polinomio q de forma que e = qd pero como los grados coinciden, grd(q) = 0 y q debe ser constante. En ese caso, los polinomios d y e est´ an asociados. 

De alguna forma, la proposici´ on comienza a resolver el problema de tener una multitud de polinomios que son m´ aximo com´ un divisor pues ´ estos resultan s´ olo m´ ultiplos escalares uno de otro.

Tal propiedad es incluso m´ as fuerte.

Proposici´ on 11.10. Sean f y g polinomios sobre un campo y sea d un m´ aximo com´ un divisor de f y g. Entonces, e es tambi´ en un m´ aximo com´ un divisor de f y g siempre que e est´ a a asociado con d.

Las proposiciones anteriores nos permiten establecer la relaci´ on que existe entre las m´ ultiples opciones de m´ aximo com´ un divisor, sin embargo, debemos ahora garantizar que cada pareja de polinomios posee al menos un m´ aximo com´ un divisor.

Teorema 11.11. Existe un m´ aximo com´ un divisor entre dos polinomios sobre un campo. Adem´ as, cualquier m´ aximo com´ un divisor de f y g es una combinaci´ on lineal de y g, i. e., existen polinomios s y t de forma que, si d es un m´ aximo com´ un divisor, entonces

d = sf + tg.

Demostraci´ on. Si f o g resultan nulos, entonces un m´ aximo com´ un divisor es trivialmente una combinaci´ on lineal. Supongamos entonces que ambos son no nulos y consideremos el conjunto

I = {sf + tg | s, t ∈ F [x]}.

Los polinomios f y g son elementos de I por lo que el conjunto I contiene al menos un elemento no nulo y en consecuencia no ser´ a vac´ıo el conjunto

N = {deg(p) | p 6= 0 y p ∈ I}.

En ese caso, podemos tomar d = sf + tg como un polinomio en el conjunto I de forma que su grado sea el m´ınimo de N . Afirmamos que d es un m´ aximo com´ un divisor garantizando con ´ este, la existencia de al menos uno. Mostraremos primero que es un divisor com´ un de f y g, utilizando el teorema de divisi´ on para expresar

f = qd + r

con r = 0 o grd(r) < grd(d). Si r 6= 0, entonces

r = f − qd = f − q(sf + tg) = (1 − qs)f + (−qt)g,

mostrando con esto que r es una combinaci´ on lineal de f y g que tiene un grado menor que d.

Esto ´ ultimo contradice que d sea una combinaci´ on lineal del menor grado posible y en consecuencia podemos afirmar que r = 0, en cuyo caso d | f . Un argumento an´ alogo se puede proveer para g y concluir que d | g mostrando con esto que d es un divisor com´ un de f y g. Ahora, si e fuera un m´ aximo com´ un divisor, entonces ´ este divide a cualquier combinaci´ on lineal de f y g, en particular debemos tener que e | d. Concluimos que d es un m´ aximo com´ un divisor como afirmamos.

Si tomamos ahora e como un m´ aximo com´ un divisor, por la proposici´ on 11.9, los polinomios e y d est´ an asociados y como d es una combinaci´ on lineal de f y g, e debe resultar de igual manera

una combinaci´ on lineal de f y g. Esto termina la prueba. 

Corolario 11.12. Para cada par de polinomios no ambos nulos sobre un campo, existe un ´ unico polinomio m´ onico que es un m´ aximo com´ un divisor de ´ estos.

Demostraci´ on. Tomemos f y g polinomios sobre un campo. Por el teorema anterior sabemos que existe un m´ aximo com´ un divisor d de estos polinomios el cual debe ser no nulo al ser al menos uno de ellos no nulo. Como el coeficiente principal de cualquier polinomio es distinto de 0, podemos tomar a ⁻¹ como el inverso del coeficiente principal de d para formar el polinomio m´ onico

m = a ⁻¹ d.

Supongamos ahora que p fuera un polinomio m´ onico que adem´ as resulta un m´ aximo com´ un divisor de f y g. Por definici´ on p | m y adem´ as m | p por lo que grd(p) = grd(m); esto implica que al expresar m = qp, podemos concluir grd(q) = 0. Si expresamos q = a, donde a 6= 0 es un elemento del campo, entonces el coeficiente principal de ap es a por ser p m´ onico y como m = ap se debe

tener a = 1. En consecuencia m = p. 

Definici´ on 11.9. Para polinomios f y g sobre un campo, definimos el m´ aximo com´ un divisor de f y g como sigue: Si f y g son ambos nulos, entonces el m´ aximo com´ un divisor es el polinomio nulo.

En caso contrario, el m´ aximo com´ un divisor es el ´ unico polinomio m´ onico que resulta un m´ aximo com´ un divisor de f y g. Al m´ aximo com´ un divisor se le denota usando (f, g).

Ejemplo. En el ejemplo que hemos dado al principio con los polinomios x ² + 1 y x ² − ix, resultaba que los polinomios ix − 1 y 2x + 2i eran ejemplos de un m´ aximo com´ un divisor. En sencillo ver que

´ estos est´ an asociados y adem´ as permiten calcular el polinomio m´ onico que resulta el m´ aximo com´ un divisor simplemente multiplicando por el inverso de su coeficiente principal, resultado entonces

(x ² + 1, x ² − ix) = x − i.

5. Algoritmo de Euclides

Como en el caso de enteros, en los polinomios podemos describir un an´ alogo al algoritmo de Euclides aplicando el teorema de la divisi´ on suficientes veces. As´ı, para polinomios f y g, obtenemos

f = q ₁ g + r ₁ g = q 2 r 1 + r 2

r 1 = q 3 r 2 + r 3

.. .

r n−2 = q n r n−1 + r n

r _n−1 = q _n r _n + 0.

Sabemos que esto sucede al tener grd(r k+1 ) < grd(r k ) o r k+1 = 0 para cada k donde pueda ejecutarse la divisi´ on. De la misma manera en que se realiza en los enteros, el algoritmo Euclides nos provee de un m´ etodo para calcular el m´ aximo com´ un divisor de manera mec´ anica y tambi´ en permite expresar cualquier m´ aximo com´ un divisor como una combinaci´ on lineal. Esto se debe a que el polinomio r _n debe cumplir

r _n = (r _n−1 , r _n ) = (r _n−2 , r _n−1 ) = · · · = (g, r ₁ ) = (f, g) por lo que resulta en m´ aximo com´ un divisor de f y g.

Ejemplo. Consideremos los polinomios f = x ³ − x − x + 1 y g = x ² + x − 2 en ese caso x ³ − x ² − x + 1 = (x − 2)(x ² + x − 2) + 3x − 3

x ² + x − 2 =  1 3 x + 2

3



(3x − 3).

Por lo que podemos concluir que 3x − 3 es un m´ aximo com´ un divisor el cual est´ a asociado al polinomio m´ onico x − 1 y al ser ´ este el ´ unico con esa propiedad podemos concluir que se trata del m´ aximo com´ un divisor de f y g. La expresi´ on tambi´ en nos muestra como escribir un m´ aximo com´ un divisor como una combinaci´ on lineal:

3x − 3 = (1)(x ³ − x ² − x + 1) + (−x + 2)(x ² + x − 2).

Debe recordarse que el proceso se explic´ o para enteros con mucho m´ as detalle y parecer´ıa ocioso repetirlo de nueva cuenta al ser id´ entico. Lo mejor ser´ a que ante la duda, se revisen los conceptos en enteros y se cambien todas las apariciones de enteros por polinomios, lo que ser´ a suficiente para describir el proceso con absoluto detalle.

Ejercicios

Ejercicio 11.1. Usa el teorema de Fermat para encontrar un par de polinomios distintos sobre Z ^p de modo que coincidan como funciones.

Ejercicio 11.2. Encuentra un polinomio g sobre Z 6 de modo que g y f = [1] + [5]x ² sean iguales como funciones pero no iguales como polinomios.

Ejercicio 11.3. Demuestra que los polinomios constantes 0 y 1 satisfacen f + 0 = 0 + f = f y f · 1 = 1 · f = f .

Ejercicio 11.4. Termina la prueba de la proposici´ on 11.1 y muestra que el conjunto de los polinomios

sobre un anillo conmutativo R forma de igual manera un anillo conmutativo.

Ejercicio 11.5. Considerando R = Z ⁴

a) Demuestra que [1] + [2]x es una unidad en R[x].

b) Encuentra alguna otra unidad en R[x].

c) Encuentra un divisor de cero en R[x].

Ejercicio 11.6. Para un campo K, demuestra que las ´ unicas unidades en K[x] son los polinomios constantes no nulos.

Ejercicio 11.7. Termina la prueba del teorema 11.7 y demuestra que para cada elemento a ∈ R, la funci´ on e a : R[x] → R, definida como e a (f ) = f ^∗ (a), es un homomorfismo de anillos.

Ejercicio 11.8. Decimos que un subconjunto S de un anillo R es un subanillo de R, si satisface las siguientes tres propiedades:

1 R pertenece a S.

a − b pertenece a S cuando a, b ∈ S.

ab pertenece a S cuando a, b ∈ S.

a) Demuestra que el conjunto Z[α] ⊆ C es un subanillo de C, si se define como Z[α] = {f (α) | f ∈ Z[x]}.

b) Demuestra que, para α = i, se satisface la igualdad Z[i] = {a + ib | a, b ∈ Z}.

c) Demuestra que Z[α] es el subanillo m´as peque˜ no en C que contiene al complejo α, i. e., si R ⊆ C es un subanillo de forma que α ∈ R, entonces Z[α] ⊆ R.

Ejercicio 11.9. Sean f y g polinomios no nulos sobre un campo F . Si g | f , demuestra que grd(g) ≤ grd(f ).

Ejercicio 11.10. Considera los polinomios no nulos f y g sobre un campo F , expresados como f = a ₀ + a ₁ x + · · · + a _m x ^m y g = b ₀ + b ₁ x + · · · + b _n x ⁿ , tomando m y n como sus grados, respectivamente. Si n ≤ m, podemos definir el polinomio s = a _m b ⁻¹ _n x ^m−n . Demuestra que f − sg es no nulo y su grado satisface

grd(f − sg) < grd(f ).

Ejercicio 11.11. Encuentra el cociente y el residuo de dividir f entre g en el anillo Q[x] tomando:

a) f = x ³ − 7x − 1 y g = x − 2.

b) f = x ⁴ − 2x ² − 1 y g = x ² + 3x − 1.

c) f = 2x ³ − 3x ² + 1 y g = x.

d) f = x ² + x + 1 y g = 2.

e) f = 3x ² − x − 1 y g = x ³ − 2.

f) f = x ⁿ − 1 y g = x − 1.

Ejercicio 11.12. Encuentra un polinomio g sobre Z ⁸ de modo que su coeficiente principal sea un divisor de cero. Encuentra ahora un polinomio f de manera que las expresiones f = q 1 g + r 1 y f = q ₂ g + r ₂ satisfacen q ₁ 6= q 2 , r ₁ 6= r 2 , grd(r ₁ ) < grd(g) y grd(r ₂ ) < grd(g) . En otras palabras, el cociente y el residuo de dividir f entre g no resultan los ´ unicos polinomios con las propiedades en el teorema de la divisi´ on. ¿Por qu´ e esto no contradice tal resultado del teorema de la divisi´ on?

Ejercicio 11.13. Usando el algoritmo de Euclides, encuentra el m´ aximo com´ un divisor de los si-

guientes polinomios en C[x]:

a) x ² + 1 y x ⁴ − 1.

b) x ⁴ − 1 y x ³ − 1.

c) x ³ + x ² − 1 y x ² + 3x + 2.

d) x ² − 4ix − 4 y x ⁴ + 13x ² + 36.

Ejercicio 11.14. Usando el algoritmo de Euclides, encuentra el m´ aximo com´ un divisor de los si- guientes polinomios en Z ³ :

a) [1] + [1]x ² y [1] + [1]x ⁵ .

b) [4] − [1]x + [1]x ² y [2] + [3]x + [2]x ² + [1]x ³

Ejercicio 11.15. Sean f y g polinomios no ambos nulos sobre un campo. Si d es un m´ aximo com´ un divisor de f y g, demuestra que d es no nulo.

Ejercicio 11.16. Sean f y g polinomios sobre un campo. Demuestra que f y g est´ an asociados si y s´ olo si g | f y f | g.

Ejercicio 11.17. Demuestra la proposici´ on 11.10.

Ejercicio 11.18. Sean m, n y d enteros positivos de forma que d = (m, n). Demuestra que

(x ⁿ − 1, x ^m − 1) = x ^d − 1.

Referencias

[Chi95] Childs, Lindsay N.: A concrete introduction to higher algebra. Springer, 2

edici´ on, 1995.

[Rot05] Rotman, Joseph J.: A first course in abstract algebra. Pearson, 3

edici´ on, 2005.

Eduardo Antonio Gomezca˜ c na Alanis. Versi´ on 4aa011f (2018-06-12 20:53:56 +0000) Esta obra est´ a licenciada bajo la Licencia Creative Commons Atribuci´ on-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional. Para ver una copia de esta licencia, visita http://creativecommons.org/licenses/

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