Universidad De Santiago De Chile C´ alculo B-10
Prof: Eugenio Rivera M.
Ayud: Perla Trejos M.
Control N
o12 A˜ no 2010
1. Para Z
51
f (x) dx, donde f (x) = x 1 + x
2a) Encuentre el punto x = ξ del Teorema del Valor Medio.
b) Acotando demuestre que 10 13 ≤
Z
51
f (x) dx ≤ 2 ∀x ∈ [1, 5]
2. Calcule l´ım
x→0+
x − R
x0
e
−t2dt x − sin x
3. Considere la circunferencia centrada en el origen y de radio r = 2.
Determine (usando integrales).
a) El ´area en coordenadas param´etricas.
b) La longitud de arco en coordenadas polares.
c) El volumen de la esfera engendrada en coordenadas cartesianas.
d) El ´area de revoluci´on de la esfera en coordenadas polares.
4. Calcule el ´area encerrada entre las circunferencias r(θ) = √
3 sin θ y ρ(θ) = cos θ que se muestran en la figura.
1,5
0,4 1
0,5
0 0
-0,5 -0,4
-0,8 0,8
Soluci´ on Control N o 12.
1. Para Z
51
f (x) dx, donde f (x) = x 1 + x
2.
a) Encuentre el punto x = ξ del Teorema del Valor medio.
Aplicando el teorema del valor medio f (ξ) = 1 b − a
Z
ba
f (x) dx, donde a = 1 y b = 5 se tiene: f (ξ) = 1
5 − 1 Z
51
x
1 + x
2dx = 1 4
Z
51
x 1 + x
2dx
Integrando mediante la sustituci´on u = 1 + x
2⇒ du = 2x dx. Los cambios de limites de integraci´on resultan. u(1) = 2, u(5) = 26, entonces la integral queda:
f (ξ) = 1 2 · 4
Z
262
1
u du = 1 8 ln(u)
.
262
= 1
8 ln(13) Entonces
f (ξ) = ξ
1 + ξ
2= 1
8 ln(13) = a ⇒ ξ = a + a · ξ
2Resolviendo esta ecuaci´on cuadr´atica.
ξ = 1 ± √
1 − 4a
22a , reemplazando el valor a = 1
8 ln(13), se tiene:
ξ
1≈ 2,756 ; ξ
2≈ 0,363
Pero como se esta analizando ξ ∈ [1, 5] el valor buscado es: ξ
1≈ 2,756 b) Acotando demuestre que 10
13 ≤ Z
51
f (x) dx ≤ 2 ∀x ∈ [1, 5]
Para acotar la integral buscaremos los valores de x ∈ [1, 5] para los cuales f cumpla la condici´on m ≤ f (x) ≤ M
Note que el signo de la primera derivada de f en el intervalo de inter´es es negativa f
0(x) = 1 + x
2− x(2x)
(1 + x
2)
2= 1 − x
2(1 + x
2)
2Es trivial el an´alisis de signos que resulta:
f
0(x) > 0 si x ∈ (−1, 1)
f
0(x) < 0 si x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, +∞)
por lo tanto los valores que maximizan y minimizan la funci´on f en el intervalo [1, 5] son sus extremos, es decir x = 1 y x = 5
M´aximo f (1) = 1
1 + 1
2= 1 2 = 0,5 M´ınimo f (5) = 5
1 + 5
2= 5
26 ≈ 0,19 De esta forma tenemos 5
26 ≤ f (x) ≤ 1
2 ∀x ∈ [1, 5]
Z
51
5 26 dx ≤
Z
51
f (x) dx ≤ Z
51
1
2 dx ∀x ∈ [1, 5]
4 · 5 26 ≤
Z
51
f (x) dx ≤ 4
2 ∀x ∈ [1, 5]
Finalmente la integral queda acotada por:
10 13 ≤
Z
51
f (x) dx ≤ 2 ∀x ∈ [1, 5]
2. Calcule l´ım
x→0+
x − R
x0
e
−t2dt x − sin x
La evaluaci´on directa nos lleva a la forma indeterminada
00. Por lo tanto aplicamos la regla de L’Hopital y el teorema fundamental del C´alculo.
x→0
l´ım
+x − R
x0
e
−t2dt x − sin x |{z} =
L0H x→0
l´ım
+1 − e
−x21 − cos x Limite que nuevamente es de la forma
00.
x→0
l´ım
+1 − e
−x21 − cos x |{z} =
L0H x→0
l´ım
+2xe
−x2sin x = 2 l´ım
x→0+
x
sin x · l´ım
x→0+
e
−x2= 2 3. Considere la circunferencia centrada en el origen y de radio r = 2.
Determine (usando integrales).
a) El ´area en coordenadas param´etricas.
Una parametrizaci´on de la ecuaci´on de la circunferencia (descrita en el enunciado) es
½ x(t) = 2 cos t
y(t) = 2 sin t con t ∈ [0, 2π]. Luego A =
Z
t2t1
|y(t) · x
0(t)| dt = 4 Z
2π0
sin
2t dt = 4 Z
2π0
1 − cos
2t
2 dt = 2
·
t − sin 2t 2
¸
2π0
= 4π b) La longitud de arco en coordenadas polares.
La ecuaci´on polar es r(θ) = 2 con θ ∈ [0, 2π] y la formula a usar es L = Z
βα
p r
2(θ) + [r
0(θ)]
2dθ
As´ı L = Z
2π0
√ 2
2+ 0
2dθ = 2 Z
2π0
dθ = 4π
c) El volumen de la esfera engendrada en coordenadas cartesianas.
Giramos el arco superior de la circunferencia (f (x) = √
4 − x
2) entorno al eje X, y usamos la formula V = π
Z
ba
f
2(x) dx, entonces V = π
Z
2−2
(4 − x
2) dx = π
·
4x − x
33
¸
2−2
= π
·µ 8 − 8
3
¶
− µ
−8 + 8 3
¶¸
= 32π 3
d) El ´area de revoluci´on de la esfera en coordenadas polares. La ecuaci´on polar es r(θ) = 2 con θ ∈ [0, π] y la formula a usar es A
r= 2π
Z
βα
|r(θ) sin θ| p
r
2(θ) + [r
0(θ)]
2dθ, entonces A
r= 2π
Z
π0
2 sin θ · 2 dθ = 8π Z
π0
sin θ dθ = 8π [− cos θ]
π0= 16π
4. Calcule el ´area encerrada entre las circunferencias r(θ) = √
3 sin θ y ρ(θ) = cos θ que se muestran en la figura.
1,5
0,4 1
0,5
0 0
-0,5 -0,4
-0,8 0,8
Las circunferencias se intersectan cuando √
3 sin θ = cos θ ⇔ θ =
π6. Entonces A = 1
2 Z
π6
0
( √
3 sin θ)
2dθ + 1 2
Z
π2
π 6
