TESIS INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

I ^NSTITUTO P ^OLITÉCNICO N ^ACIONAL

E ^SCUELA S ^{UPERIOR DE} E ^CONOMÍA

S

E

P

I

U NA N OTA E STRUCTURADA Q UE

V ^{INCULA EL} R ENDIMIENTO DE UN

B ^ONO C ^UPÓN C ERO CON UNA

O ^PCIÓN S ^{OBRE UN} P ORTAFOLIO DE

I NVERSIÓN

T ESIS

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:

MAESTRO EN CIENCIASECONÓMICAS

(E^CONOMÍA F^INANCIERA)

PRESENTA:

HÉCTOR ALONSO OLIVARES AGUAYO

M^ÉXICO, D. F. NOVIEMBRE DE 2014

S I P - 1 4 - B I S

INSTITUTO P O L I T E C N I C O NACIONAL

S E C R E T A R Í A D E INVESTIGACIÓN Y P O S G R A D O

ACTA DE REVISIÓN DE TESIS

E n l a C i u d a d d e México D.F., s i e n d o l a s 13:00 h o r a s d e l día d e l m e s d e enero d e l año 2015 s e r e u n i e r o n i o s m i e m b r o s d e l a Comisión R e v i s o r a d e l a T e s i s , d e s i g n a d a p o r e l C o l e g i o d e P r o f e s o r e s d e E s t u d i o s d e P o s g r a d o e Investigación d e l a SEPI ESE-IPN p a r a e x a m i n a r l a t e s i s t i t u l a d a :

Una nota estructurada que vincula el rendimiento de un bono cupón cero c o n una opción sobre un portafolio de inversión

P r e s e n t a d a p o r e l a l u m n o :

Olivares Aguayo Héctor Alonso

A p e l l i d o p a t e r n o

a s p i r a n t e d e :

MAESTRÍA EN CIENCIAS ECONÓMICAS

A p e l l i d o m a t e r n o C o n r e g i s t r o :

N o m b r e ( s )

B 1 2 0 0 9 8

Después d e i n t e r c a m b i a r o p i n i o n e s , l o s m i e m b r o s d e l a Comisión m a n i f e s t a r o n A P R O B A R LA TESIS, e n v i r t u d d e q u e s a t i s f a c e l o s r e q u i s i t o s señalados p o r l a s d i s p o s i c i o n e s r e g l a m e n t a r i a s v i g e n t e s .

L A COMISIÓN R E V I S O R A D i r e c t o r e s d e t e s i s

Dr. F r a n c i s M Veneg^Vlfrtínez fffS- /.

D r Adrián Hernández D e l Valle

D r A m b r o s i o O r t i z Ramírez

S.E.P. Dr S a l v a d o r C r u z Aké

M . e n C. Héctor A l l i e i X a m p u z a n o

¡NrírnjTo minmmo BAGÍOMAI E . S . E

s E C C i O N D E E S T U D I O S D E P O S G R A D O E i M E S T I G A C i O H

P R E S I D E N T E D E L J Ü L E G I O D E P R O F E S O R E S

D r Adrián Hernández D e l V a l l e

I N S T I T U T O P O L I T E C N I C O N A C I O N A L

SECRETARÍA D E INVESTIGACIÓN Y P O S G R A D O

CARTA CESIÓN DE DERECHOS

E n l a C i u d a d d e México, D . F . , s i e n d o l a s 1 3 : 0 0 h o r a s d e l día miércoles 7 d e l m e s d e e n e r o d e l año 2 0 1 5 . e l q u e s u s c r i b e Héctor Alonso Olivares Aguayo a l u m n o d e l P r o g r a m a d e Maestría En Ciencias Económicas, c o n número d e r e g i s t r o B120098, a d s c r i t o a l a S E P I E S E - I P N , m a n i f i e s t a q u e e s e l a u t o r i n t e l e c t u a l d e l p r e s e n t e t r a b a j o d e T e s i s b a j o l a dirección d e l Dr. Francisco Venegas Martínez y d e l Dr. Ambrosio Ortiz Ramírez y c e d e l o s d e r e c h o s d e l t r a b a j o t i t u l a d o U N A N O T A E S T R U C T U R A D A Q U E V I N C U L A E L R E N D I M I E N T O D E U N B O N O C U P Ó N C E R O C O N U N A O P C I Ó N S O B R E UN P O R T A F O L I O D E I N V E R S I Ó N , a l I n s t i t u t o Politécnico N a c i o n a l p a r a s u difusión, c o n fines académicos y d e investigación.

L o s u s u a r i o s d e l a información n o d e b e n r e p r o d u c i r e l c o n t e n i d o t e x t u a l , gráficas o d a t o s d e l t r a b a j o s i n e l p e r m i s o e x p r e s o d e l a a u t o r a y / o d i r e c t o r ( e s ) d e l t r a b a j o . E s t e p u e d e s e r o b t e n i d o e s c r i b i e n d o a l a s i g u i e n t e dirección L a g u n a d e S a n Cristóbal # 1 3 0 E d i f A D e p t o . 4 0 1 . C o l o n i a Anáhuac. Delegación M i g u e l H i d a l g o ; ( C P . 1 1 3 2 0 ) S i e l p e r m i s o s e o t o r g a , e l u s u a r i o deberá d a r e l a g r a d e c i m i e n t o c o r r e s p o n d i e n t e y c i t a r l a f u e n t e d e l m i s m o .

m. EN C. (C) HECTOR ALONSO OLIVARES AGUAYO N o m b r e y firma d e l a l u m n o ( a )

I

Agradecimientos

Expreso mis más sinceros agradecimientos a mis seres queridos a Dios por darme la oportunidad de vivir, a mi querida familia (Héctor, Blanca, Jennifer, y Arturo) por su paciencia, comprensión y sobre todo por la educación y principios que me han enseñado, sin duda algina la unión familiar ha sido fundamental para poder salir adelante en nuestros proyectos y por ende mejorar nuestra calidad de vida, me siento orgulloso de la familia que Dios ha formado. Por supuesto quiero agradecer por todos los fabulosos momentos compartidos a mi hermosa y especial novia Maivelin Méndez Molina, quien es mi motor de superación día a día y por quien me esfuerzo constantemente para que tengamos y compartamos juntos por siempre un maravilloso futuro (Gracias amor por estar a mi lado, Dios me ha dado la mayor bendición en vida por estar contigo y tú conmigo siempre estás en mi corazón y pensamientos. Te amo).

A la Familia Olivares. Por la solidaridad y cariño que me han brindado. En especial al pilar familiar, mi abuelo Maximiliano Olivares Peralta por todos sus consejos, paciencia y por ser un ser humano ejemplar, abuelito te quiero mucho y te admiro. A mi tía Elizabeth Olivares por ser una madre ejemplar, muy tenaz y sobresaliente (Tía agradezco mucho tus palabras que no olvido cuando más necesitaba de un gran consuelo para poder seguir luchando y salir adelante en la vida, tía te amo mucho al igual que a mi prima Monserrate, saben que cuentan con mi apoyo incondicional hoy y siempre).

II

También quiero agradecer con un cariño muy especial a mi familia colombiana quienes desde el primer momento en que nos conocimos me brindaron un calor de hogar y amor sincero. Muchas gracias por toda la hospitalidad de la familia, particularmente quiero extender mi agradecimiento a mi mami colombiana Amparo Estela Gonzáles Rojas† (Ahora eres un gran Ángel que ilumina y protege mi camino, muchas gracias mami por todo tu amor, hasta pronto).

Agradezco a mis amigos del Posgrado en Ciencias Económicas Allou Alphonse y Marlene Olmos, por ser mis compañeros de estudio en esta bonita etapa en mi formación académica.

Asimismo me honra haber estudiado en el IPN, institución a la cual le agradezco por haberme dado una continuidad en mi formación académica.

También espero me disculpen todas las personas que he dejado de ver por falta de tiempo, pero saben que día a día las llevo presentes en mi corazón.

Agradezco por su enseñanza a todos los profesores de la SEPI-ESE.

Particularmente al Dr. Adrián Hernández, Dr. Guillermo Velázquez, Mtro. Juan Segovia y Dr. Salvador Cruz. Por sus atinadas observaciones las cuales fueron el soporte de este trabajo.

También agradezco a todos mis alumnos y profesores que he tenido durante el transcurso de mi vida. Puesto que ha habido un aprendizaje mutuo.

Particularmente quiero extender mi agradecimiento por todo su apoyo a mis grandes mentores y sobre todo grandes amigos al Dr. Francisco Venegas Martínez y al Dr.

Ambrosio Ortiz Ramírez quienes hicieron posible la elaboración de este trabajo (Muchas gracias por guiarme en el camino de la investigación económica- financiera).

III

Índice general

Agradecimientos I

Índice de cuadros VI

Índice de gráficas IX

Glosario XI

Resumen XIV

Abstract XV

Introducción XVI

Capítulo 1.Mercado de dinero y de capitales……….1

1.1 Mercado de dinero……….1

1.1.1 Bonos cupón cero……….…….2

1.1.2 Bonos con cupón………..……….3

1.1.3 Medidas de riesgo de los bonos (Duración y Convexidad)….……5

1.2 Mercado de Capitales………...….……….12

1.2.1 Frontera eficiente de los portafolios de Markowitz………...15

1.2.2 Extensión del modelo de Markowitz……….…….21

1.2.3 Capital Asset Pricing Model (CAPM) ………..…….24

Capítulo 2. Mercado de derivados……….……….29

2.1¿Qué es un mercado de derivados? ………29

2.2 Forwards………...………..……… 31

2.3 Futuros………..………..……… 33

IV

2.4 Swaps………..……….34

2.5 Opciones………..………35

2.5.1 Posición larga………...………40

2.5.2 Posición corta………...………41

2.5.3 Opciones americanas y europeas……….……41

2.5.4 Opciones dentro, en y fuera del dinero……….…43

2.5.5 Factores que inciden en el valor de la prima de la opción…44 2.5.6 Gráficas de opciones………..………… 47

2.5.6.1 Opción de compra………..……….……… 47

2.5.6.2 Opción de compra corta………..………… 48

2.5.6.3 Opción de venta………..……….… 49

2.5.6.4 Opción de venta corta………..…...……… 49

2.5.7 Estrategias con opciones………..……….……… 52

2.5.7.1 Cobertura………..……… 52

2.5.7.1.1 Bull Spread………..………… 52

2.5.7.1.2 Bear Spread………..……..……… 53

2.5.7.2 Especulación de volatilidad……… 54

2.5.7.2.1 Straddle………..……… 54

2.5.7.2.2 Strangle………..…………...…… 56

2.5.7.2.3 Short straddle………..………… 57

2.5.7.2.4 Short strangle………..……… 57

2.5.7.2.5 Butterfly………..………….………… 58

Capítulog3.hConstrucción de la nota estructurada e implementación del modelo de valuación……….60

3.1 Modelos de tasa corta de interés……….60

3.1.1 Modelos de tasa corta de interés de Vasicek y CIR……..…62

3.1.1.1 Modelo de Merton……….63

3.1.1.2 Modelo de Vasicek……...………... 64

3.1.1.3 Modelo de Cox, Ingersoll y Ross………... 65

3.2 Simulación Montecarlo aplicada en la valuación de opciones europeas……….. 66

V

3.3 Opciones exóticas………. 71

3.3.1 Opciones Barrera……… 72

3.3.2 Opciones Digitales……….. 74

3.3.3 Opciones Lookback……….75

3.3.4 Opciones Asiáticas……….……….76

3.4 La nota estructurada………..77

3.5 Modelo de valuación de la nota estructurada……….79

3.6 Análisis y discusión de resultados………...………79

Conclusiones………... 99

Apéndice………..…………101

A1. Matemáticas financieras………..…101

a) Interés simple………...……101

b) Interés compuesto………...……102

c) Tasas equivalentes………..………109

A2. Demostraciones básicas………...………..…110

a) Valor presente de una perpetuidad vencida………110

b) Fuerza de interés……….………111

c) Serie geométrica infinita………...…………..………112

d) Problema de optimización de Markowitz con 2 activos……….………112

A3. Anexos para el cálculo de los portafolios de inversión………..………..116

Bibliografía………...…...…………..…….120

VI

Índice de cuadros

Cuadro 1.1:Precio del Bono Cupón Cero según

Duración Modificada y Convexidad………10

Cuadro 1.2: Precio del Bono con cupón según

Duración Modificada y Convexidad………...11

Cuadro 2.1: Resumen de las diferencias entre contratos Forwards y Futuros….…..34

Cuadro 2.2: Clasificación de una opción según relación entre S_t y X ………44

Cuadro 2.3: Relación de los factores de influencia sobre la opción……….47

Cuadro 2.4: Resumen de las ganancias y pérdidas de las opciones según el comportamiento del activo subyacente a lo largo del tiempo…………..51

Cuadro 3.1: Resumen de modelos de tasa corta………..63

Cuadro 3.2: Componentes de la nota estructurada………78

Cuadro 3.3: Proceso de la nota estructurada………..79

Cuadro 3.4: Selección de componentes del Portafolio de Sharpe bajo un perfil de riesgo de inversión conservador……….…80

Cuadro 3.5: Factores a considerar en el Portafolio de Sharpe bajo un perfil de riesgo de inversión conservador……….…81

Cuadro 3.6: Resultados obtenidos en los Portafolios bajo un perfil de riesgo

de inversión conservador……….…82

VII

Cuadro 3.7: Selección de componentes del Portafolio de Sharpe bajo un perfil de riesgo de inversión agresivo……….….…83

Cuadro 3.8: Factores a considerar en el Portafolio de Sharpe bajo un perfil

de riesgo de inversión agresivo………..…84

Cuadro 3.9: Resultados obtenidos en los Portafolios bajo un perfil de

riesgo de inversión agresivo………....…85

Cuadro 3.10: Parámetros del modelo CIR……….….…86

Cuadro 3.11: Resultados de la nota estructurada bajo el perfil de riesgo de

Inversión conservador……….………….88

Cuadro 3.12: Resultados de opciones sin barrera bajo el perfil de riesgo de

Inversión conservador……….……….…89

Cuadro 3.13: Resultado de la nota estructurada Call spread bajo el perfil de riesgo de inversión conservador……….…89

Cuadro 3.14: Resultados de opciones con barrera bajo el perfil de riesgo de Inversión conservador……….……….…91

Cuadro 3.15:Resultados de la nota estructurada Call Spread considerando una a opción doble barrera bajo el perfil de riesgo de inversión conservador.91

Cuadro 3.16: Resultados de la nota estructurada bajo el perfil de riesgo de

inversión agresivo……….…….…93

Cuadro 3.17: Resultados de opciones sin barrera bajo el perfil de riesgo de

Inversión agresivo……….…94

Cuadro 3.18: Resultado de la nota estructurada Call spread bajo el perfil de

riesgo de inversión agresivo……….……….…95

VIII

Cuadro 3.19: Resultados de opciones con barrera bajo el perfil de riesgo de

Inversión agresivo……….…96

Cuadro 3.20: Resultados de la nota estructurada Call Spread considerando una a opción doble barrera bajo el perfil de riesgo de inversión agresivo.. 97

Cuadro A1.1: Comportamiento de los modelos para periodos de tiempo

menores a 1………..…..…….………107

Cuadro A1.2: Comportamiento de los modelos para periodos de tiempo

mayores e iguales a 1………108

Cuadro A1.3: Relación de tasas de interés equivalentes……….109

Cuadro A3.1: Matriz de varianzas y covarianzas para un perfil de riesgo de inversión conservador………...………...……….116

Cuadro A3.2: Construcción de la línea de mercado de capitales bajo el perfil de riesgo de inversión conservador………....……….117

Cuadro A3.3: Matriz de varianzas y covarianzas para un perfil de riesgo de Inversión agresivo……….118

Cuadro A3.4: Construcción de la línea de mercado de capitales bajo el perfil de riesgo de inversión agresivo………...……….119

IX

Índice de gráficas

Gráfica 1.1: Duración y Convexidad………...7

Gráfica 1.2: Desviaciones de la duración respecto al ajuste de la curva de convexidad………..…...9

Gráfica 1.3: Frontera Eficiente de los portafolios de Markowitz………...20

Gráfica 1.4: Línea del Mercado de Capitales………...………...22

Gráfica 1.5: Línea de equilibrio del mercado (SML).………...……...24

Gráfica 1.6: Línea Característica………..………...26

Gráfica 1.7: Reducción del Riesgo mediante la Diversificación………...28

Gráfica 2.1: Opción de compra “call”………...48

Gráfica 2.2: Opción de compra corta “short call”………...48

Gráfica 2.3: Opción de venta “put”………...49

Gráfica 2.4: Opción de venta corta “short put”……….………...50

Gráfica 2.5: Bull spread………..…………...53

Gráfica 2.6: Bear spread……….………...54

Gráfica 2.7: Straddle………...………...55

Gráfica 2.8: Strangle………...………...56

X

Gráfica 2.9: Short Straddle……….………...57

Gráfica 2.10: Short Strangle………..………...58

Gráfica 2.11: Butterfly……….…………... 59

Gráfica 3.1: Portafolio de inversión conservador………...82

Gráfica 3.2: Portafolio de inversión agresivo………...………...85

Gráfica 3.3: Proceso CIR………...87

Gráfico 3.4: Representación gráfica de la nota estructurada Call Spread bajo el perfil de riesgo de inversión conservador………...…………. 90

Gráfico 3.5: Representación gráfica de la nota estructurada Call Spread a a considerando una opción doble barrera bajo el perfil de riesgo de inversión conservador………...………...92

Gráfico 3.6: Representación gráfica de la nota estructurada Call Spread bajo el perfil de riesgo de inversión agresivo………...……….. 95

Gráfico 3.7: Representación gráfica de la nota estructurada Call Spread a a considerando una opción doble barrera bajo el perfil de riesgo de inversión agresivo………...………...98

Gráfica A1.1: Comportamiento de los modelos en periodos de tiempo menores a 1………...……….………….108

Gráfica A1.2: Comportamiento de los modelos para periodos de tiempo mayores e iguales a 1………...……….………..109

XI

Glosario

Activo subyacente: Bien o índice de, objeto de un contrato futuro o de un contrato de opción, concertado en la bolsa de derivados. Los precios en los productos derivados son una función de los precios del valor de referencia. Estos pueden ser: acciones, un índice o una caminata aleatoria.

Arbitraje: Una estrategia de negociación que aprovecha las diferencias de precios entre dos o más valores.

Bolsa: Con este nombre se designa al mercado financiero en donde se compran y venden acciones, obligaciones, bonos y otros activos subyacentes. En la Bolsa las transacciones se realizan a través de intermediarios financieros que reciben el nombre de brokers.

También se le conoce como Bolsa de Valores o Bolsa de Comercio.

Bolsa Mexicana de Valores: Institución sede del mercado mexicano de valores. Institución responsable en proporcionar la infraestructura, la supervisión y los servicios necesarios para la realización de los procesos de emisión, colocación e intercambio de valores y títulos inscritos en el Registro Nacional de Valores (RNV), y de otros instrumentos financieros. Así mismo, hace pública la información bursátil, realiza el manejo administrativo de las operaciones y transmite la información respectiva a SD Indeval, supervisa las actividades de las empresas emisoras y casas de bolsa, en cuanto al estricto apego a las disposiciones aplicables, y fomenta la expansión y competitividad del mercado de valores mexicano.

Bursátil: Relativo a la actividad en Bolsa.

Cámara de Compensación: Organismo que en los mercados financieros ejerce la función de garante de todas las transacciones. La cámara se sitúa de eje de la transacción convirtiéndose comprador frente al vendedor y en vendedor frente al comprador.

Cobertura: Una operación propuesta para reducir el riesgo.

XII

Derivados: Familia o conjunto de instrumentos financieros, implementados a partir de 1972, cuya principal característica es que están vinculados a un activo subyacente o de referencia (títulos representativos de capital o de deuda, índices, tasas, y otros instrumentos financieros). Los productos derivados surgieron como instrumentos de cobertura ante fluctuaciones de precio en productos agroindustriales (commodities), en condiciones de elevada volatilidad. Los principales derivados financieros son: futuros, opciones sobre futuros, warrants y swaps.

Derivados Plain Vanilla: Instrumentos financieros derivados más simples o denominados de primera generación (“plain vanilla”). Por ejemplo: Forwards, Futuros, Swaps y Opciones.

Distribución normal: La distribución estándar campaniforme utilizada en estadística.

Índice de precios y cotizaciones (IPC): Indicador de la evolución del mercado accionario en su conjunto. Se calcula en función de las variaciones de precios de una selección de acciones, llamada muestra, balanceada, ponderada y representativa de todas las acciones cotizadas en la BMV.

Intermediario financiero: Un banco u otra institución financiera que facilita el flujo de capitales entre diferentes entidades económicas.

Intradía: Operación comenzada y finalizada el mismo día.

Mercados over the counter: Un mercado donde los operadores negocian por teléfono.

Los operadores suelen ser instituciones financieras, corporaciones y gestores de fondo.

MexDer: Sociedad Anónima denominada MexDer, Mercado Mexicano de Derivados, S.A.

de C.V., que tiene por objeto proveer las instalaciones y demás servicios necesarios para la cotización y negociación en los contratos de futuros y contratos de opciones.

Modelo de Black-Scholes: Asume que el comportamiento de los precios sigue una distribución lognormal. Basados en los modelos estocásticos de Wiener y el conocido lema de Itô, así como mediante argumentos de arbitraje, Fisher Black y Myron Scholes determinaron una ecuación diferencial parcial de segundo orden cuya solución representa el precio de la opción. Este modelo es aplicable solamente para opciones europeas.

XIII Prima: El precio de una opción financiera.

Riesgo no sistemático: Riesgo que puede eliminarse mediante la diversificación.

Riesgo sistemático: Riesgo que no puede eliminarse mediante la diversificación.

Simulación histórica: Una simulación basada en datos históricos.

Subyacente: Bien o índice de referencia, objeto de un Contrato de Futuro o de un Contrato de Opción, concertado en la Bolsa de Derivados. Los precios de los productos derivados son una función de los precios del valor de referencia. Éstos pueden ser: títulos representativos de capital o deuda. Índices, tasas y otros instrumentos financieros. También se denomina valor de referencia.

Swap: Un acuerdo para intercambiar flujos de caja en el futuro conforme a una fórmula fijada.

Tasa de rendimiento: Rentabilidad obtenida con un instrumento.

Tipo de interés libre de riesgo: El tipo de interés que se puede ganar sin asumir riesgos.

Variable estocástica: Una variable cuyo valor futuro es incierto.

Volatilidad: Grado de fluctuación que manifiesta el precio del subyacente a través del tiempo.

XIV

Resumen

En esta tesis se propone la construcción de una nota estructurada conformada por activos de tres mercados: renta fija, capitales y derivados). Para la valuación del bono cupón cero se supone que la tasa de interés es estocástica y conducida por un proceso de tipo Cox, Ingersoll y Ross (1985) con parámetros calibrados por máxima verosimilitud. Para la construcción del portafolio de inversión, se analizan los componentes del Índice de Precios y Cotizaciones (IPyC) de la Bolsa Mexicana de Valores (BMV) mediante el modelo de Sharpe (1970), se encuentra el portafolio óptimo, considerando la línea de mercado de capitales (LMC) y factores como: media, desviación estándar, Beta de cada activo y principalmente del Índice de Sharpe en los rendimientos históricos diarios de las cotizaciones de los componentes del IPyC. Posteriormente se obtiene el precio de la opción de compra sobre el portafolio de inversión mediante simulación Monte Carlo. Los resultados muestran que cuando un inversionista tiene un perfil de riesgo agresivo en su portafolio de inversión es conveniente invertir en la nota estructurada call spread, que vincula el rendimiento del bono cupón cero con la opción sobre dicho portafolio, puesto que se observaron ganancias superiores con la opción con y sin barreras a las obtenidas únicamente con el bono cupón cero.

XV

Abstract

This thesis proposes the construction of a structured note composed of assets from three markets: fixed income, equity and derivatives). For the valuation of the zero-coupon bond it is assumed that the interest rate is stochastic and driven by a process of Cox, Ingersoll and Ross (1985) type with parameters calibrated by maximum likelihood. For the construction of the investment portfolio, components of the Índice de Precios y Cotizaciones (IPyC) de la Bolsa Mexicana de Valores (BMV) are analyzed by Sharpe (1970) model, we determine the optimal portfolio, given the capital market line (CML), and factors such as: mean, standard deviation, Beta for each asset and mainly the Sharpe index in daily historical returns of the quotes of the components of the IPC. Subsequently the price of the call option on the investment portfolio is obtained by Monte Carlo simulation. The results show that when an investor has an aggressive risk profile in its investment portfolio is suitable to invest in the structured note call spread that links coupon zero return with the option on this portfolio, since higher earnings were observed with the option with and without barriers to those obtained only the zero-coupon bond.

XVI

Introducción

Un agente económico racional desea obtener ganancias al realizar inversiones en los mercados financieros, puesto que desea maximizar su utilidad;

sin embargo debe considerar el riesgo al que está expuesto antes de realizar su inversión. Por este motivo el objetivo central de este trabajo es construir una nota estructurada que satisfaga las necesidades de un agente económico racional considerando la relación riesgo y rendimiento, es decir, A diferencia de las características de las notas estructuradas que se utilizan en la actualidad las cuales consideran solo el mercado de dinero y de derivados, se propone como alternativa que el agente económico pueda invertir a corto plazo (2012-2013) en una nota estructurada conformada por un bono cupón cero y una opción sobre un portafolio de inversión considerando activos que conforman el Índice de Precios y Cotizaciones (IPC), ya que, esta nota es un instrumento que une los tres mercados financieros (dinero, capitales y derivados) que conforman la Bolsa Mexicana de Valores (BMV), estos mercados son de bajo, medio y alto riesgo respectivamente.

Por lo que se desea observar en conjunto que riesgo y rendimiento ofrece al inversionista este novedoso instrumento financiero. Un bono cupón cero es un instrumento de bajo riesgo, que se negocia principalmente en el mercado de dinero.

Mientras que una opción es un instrumento riesgoso que se comercializa en el mercado de derivados, sin embargo la ventaja que se tiene en los contratos de opciones es que son seguros financieros que limitan las pérdidas que pudiera tener el agente económico, debido al pago de la prima que realizan éstas al adquirir dicho instrumento, por otro lado los portafolios de inversión se encuentran dentro del mercado de capitales, donde la principal ventaja al conformar dichos portafolios es la diversificación que se tiene al seleccionar los activos, al realizar esta diversificación se desea reducir lo más que se pueda el riesgo no sistemático de los activos, esperando obtener un rendimiento mayor al ofrecido por la “tasa libre de riesgo”, asimismo es importante decir que en este estudio se propone modelar la nota estructurada anteriormente descrita considerando una tasa de interés

XVII

estocástica, la cual, sigue un proceso CIR, desarrollado por Cox, Ingersoll y Ross (1985). Este análisis se va a realizar con el apoyo de herramientas computacionales, probabilísticas, estadísticas, financieras y de investigación de operaciones, las cuales serán útiles para comprender el riesgo del agente económico racional satisfaciendo su necesidad de obtener un rendimiento esperado; por lo anterior, al combinar ambos instrumentos; la hipótesis a mostrar es que si el agente económico invierte en la nota estructurada entonces tendrá la ventaja de garantizar un rendimiento mínimo esperado, asegurando su inversión con el bono cupón cero, al mismo tiempo que ese rendimiento esté apalancado por el rendimiento que le puede proporcionar la opción sobre el portafolio de inversión en el corto plazo, es decir, la nota estructurada a construir permite acotar el riesgo por apalancamiento manteniendo un riesgo prácticamente igual al del bono cupón cero.

Esta tesis está conformada por tres capítulos, los cuales se resumen a continuación:

En los primeros dos capítulos de este trabajo, el lector identificará los diferentes tipos de instrumentos que se comercializan en los mercados de dinero, capitales y derivados. Más aún entenderá la exposición al riesgo que existe en dichos instrumentos; para el caso de los bonos el estudio origen es el de Macaulay (1938). Por otro lado, se tiene que al conformar portafolios de inversión, el principal estudio que modela la relación riesgo y rendimiento es el de Markowitz (1952); dicho estudio supone racionalidad de los agentes económicos y eficiencia de mercado.

Existe un hecho significativo en la historia de las finanzas, que han pasado de ser tradicionales a modernas con los trabajos seminales de Black y Scholes (1973) y Merton (1973), puesto que proporcionan una fórmula cerrada para calcular el precio de la opción financiera (prima), donde una de las variables de interés para el cálculo de la prima es la volatilidad del subyacente, la cual tradicionalmente corresponde al riesgo.

XVIII

En el capítulo tres se construye la nota estructurada, y mediante datos de mercado se determinará un modelo de valuación de la nota, asimismo se analizarán los resultados obtenidos.

Por último, se presentarán las conclusiones de este trabajo, en donde se mostrarán las ventajas, limitaciones y posibles extensiones del modelo planteado.

1

Capítulo 1

Mercado de dinero y de capitales

En este capítulo, se ocuparán para la valuación de los instrumentos financieros, los resultados mostrados en el Apéndice A1.

Los principales instrumentos financieros del mercado de dinero son los bonos e indica que el emisor del bono (busca financiamiento), debe una cantidad específica de dinero y que adicionalmente ha acordado pagar intereses sobre esta cantidad. El principal en una o más fechas indicadas, por lo regular al vencimiento del plazo.

Los principales instrumentos financieros en el mercado de capitales son las acciones de las empresas, el modelo para llevar acabo la diversificación de acciones para formar un portafolio de inversión considerando la relación riesgo y rendimiento es el propuesto por Harry Markowitz (1952). Al diversificar los activos del portafolio se reduce el riesgo no sistemático, es decir, el riesgo que no es producto del mercado, donde la selección de activos para la conformación del portafolio depende del perfil de riesgo del inversionista, es decir, puede ser adverso o amante al riesgo, dicho riesgo está determinado por la desviación estándar del portafolio, aunque otros indicadores de interés para el portafolio son el rendimiento esperado, el coeficiente de variación, el índice de Sharpe y la Beta.

1.1 Mercado de Dinero

La valoración o valuación de los activos financieros en los mercados se basa en el valor presente de sus flujos esperados. La tasa con la que se descuentan dichos flujos es el rendimiento requerido por los inversionistas, lo que depende de los niveles de riesgo percibidos por los inversionistas para cada valor individual.

2

Estos rendimientos se determinan mediante la competencia en el mercado, por la oferta de muchas empresas que buscan financiarse en los mercados, y por el lado de la demanda, por los inversionistas que perciben los diferentes niveles de riesgo de las empresas y requieren rendimientos acordes a los niveles de riesgo que están dispuestos a asumir. Como los inversionistas son racionales, estos son, adversos al riesgo, es decir, requieren rendimientos más altos conforme el riesgo de las inversiones se incrementa.

En el mercado de dinero, los activos financieros más representativos son los bonos (valores de renta fija). Su valor presente depende de la serie de pagos de intereses anuales contratados y del principal.

En cuanto a la forma de pagos, existen dos tipos principales de emisión:

bonos cupón cero, y bonos con vencimiento definido y pago de intereses periódicos (bonos con cupón).

1.1.1 Bonos cupón cero

La tasa de interés con la que se descuentan los flujos, i, es el rendimiento al vencimiento y representa el rendimiento requerido por los inversionistas para un nivel dado de riesgo a un vencimiento específico.

Un bono cupón cero es aquel que no paga intereses a través del tiempo; su beneficiario sólo recibe el pago del principal o valor nominal del bono en su vencimiento. Este tipo de bono lo emiten principalmente los gobiernos (incluyendo los municipios) como parte de sus estrategias de endeudamiento público.

Su valor presente depende enteramente del principal y del plazo de vencimiento:

3

  i

P VN

 

1

Donde:

P : Precio del bono.

VN: Principal o valor nominal del bono.

i: Rendimiento requerido o rendimiento al vencimiento.

t: Número de años al vencimiento.

Debido a que su flujo de fondos está restringido hasta el vencimiento, su valor presente es bajo por lo que es una forma de inversión atractiva para muchos inversionistas. Para las instancias gubernamentales es igualmente atractivo pues no tienen que preocuparse por pagos de intereses periódicos. Supóngase, por ejemplo que un bono cupón cero tienen vigencia de 30 años y que su valor nominal es $1,000,000. Supóngase igualmente que la tasa de rendimiento requerida por los inversionistas es de 15%, su precio es:

 1 0 . 15  ^{$ 15 , 103 . 05}

000 , 000 , 1

30



  P

Esto es solamente 1.51% del valor nominal del bono. Una inversión verdaderamente atractiva.

1.1.2 Bonos con cupón

Los bonos más comunes, especialmente a nivel corporativo son los bonos con cupón y un vencimiento definido. Analíticamente, el valor o precio de estos bonos es igual al valor presente del flujo de intereses más el valor presente del principal, ambos descontados por el rendimiento al vencimiento:

4

   

t

n

n n

i i

I

VN

P





1

(1.2) Donde:

I : Cupón o pago de intereses por periodo. n

n : Número correspondiente a cada periodo.

t : Número del periodo de vencimiento.

VN: Principal o Valor Nominal del bono.

i: Rendimiento requerido o rendimiento al vencimiento.

Suponiendo que para la empresa X, el valor nominal de sus bonos es de

$100,000.00, con cupones anuales de 10%(tasa cupón), con tasa de rendimiento del 10% y una vigencia de 20 años, el precio del bono será precisamente igual a

$100,000.00. Lo anterior puesto que la tasa de rendimiento es igual a la tasa cupón, es decir el bono está a la par. Cabe señalar que también el precio del bono se puede calcular como una anualidad vencida asociada a los pagos de los cupones más el valor nominal traído a valor presente al periodo de vigencia con la tasa de rendimiento.

La tasa cupón no es necesariamente igual a la tasa de rendimiento requerida al efectuar el contrato. Debido a las sobretasas de compensación por el riesgo inflacionario, los precios de los bonos no permanecen fijos en los mercados debido a movimientos generalizados en las tasas de interés; los precios de los bonos se ajustan para reflejar el cambio en el rendimiento requerido. Por ejemplo, el precio de los bonos se ajusta para reflejar los cambios en el rendimiento requerido debido a alzas en la tasa de inflación. La relación entre los precios de los bonos y las tasas de interés es inversa. Si hay un alza en las tasas de interés el precio de los bonos desciende pues el flujo de pagos contractual no cambia y sólo con un precio (inversión) menor se obtendría el rendimiento requerido. Lo contrario sucedería si

5

hay una baja en las tasas de interés. Finalmente, debe señalarse que el rendimiento de un bono depende del número de años que aún queda vigente en su contrato.

En el ejemplo anterior de la empresa X, si la inflación sube por cinco puntos, el rendimiento requerido sobre los bonos de esta empresa se incrementará igualmente por cinco puntos, o sea a 15%. En tal caso, el precio del bono que ofrece pagos anuales de $10,000, suponiendo una vigencia de veinte años será de

$68,703.34. Como el valor nominal de $100,000 es mayor al precio del bono, entonces el bono está bajo par.

Sin embargo para el mismo ejemplo si la inflación baja cinco puntos, entonces la tasa de rendimiento será de 5%. Lo que provocará que el precio del bono sea de

$162,311.05. Como el valor nominal de $100,000 es menor al precio del bono, entonces el bono está sobre par.

Por lo anterior es importante decir que el riesgo que se tiene en los bonos ya sean cupón cero o con cupón es el cambio en el tiempo de la tasa de interés.

1.1.3 Medidas de riesgo de los Bonos (Duración y Convexidad)

Esencialmente, los agentes económicos invierten porque desean incrementar su riqueza, es decir, dichos agentes cumplen con el principio de insaciabilidad Buchholz y Schymura (2012).

El beneficio que tienen los agentes económicos puede ser medido con el rendimiento obtenido por la inversión. Sin embargo, el resultado de la decisión de invertir está sujeto a la incertidumbre. A esta se le cuantifica con medidas de riesgo, esencialmente medidas de volatilidad de los rendimientos. Riesgo y rendimiento son por tanto las características fundamentales de todo activo financiero.

6

Como se observó en la sección anterior el rendimiento de un bono está dado por su rendimiento al vencimiento. Por lo que si se conoce el precio de un bono y se conoce los flujos esperados de intereses y el valor nominal del bono, entonces

“i” será aquella tasa de rendimiento que iguala el precio del bono con los flujos de intereses y del principal. En el caso de los bonos de la empresa X el rendimiento requerido es de 15%, pues ésta es la única tasa de rendimiento que iguala al precio de $68,703.34, dado los flujos de fondos esperados.

El riesgo de los rendimientos de los bonos está dado por la desviación estándar,



, de los rendimientos periódicos de este valor, por ejemplo los rendimientos diarios, semanales, mensuales o anuales. La desviación estándar de los rendimientos de los bonos se calcula siguiendo las fórmulas estadísticas tradicionales.

Como un corolario importante, para medir el riesgo de los bonos es preciso mencionar dos conceptos importantes. Estos son los conceptos de duración y convexidad. La duración mide la sensibilidad de los precios de un activo a movimientos paralelos en los rendimientos requeridos “i”.

La gráfica 1.3 ejemplifica esta situación. El eje vertical mide los cambios en los precios; el eje horizontal mide los cambios en las tasas de interés. La curva AB representa los cambios en los precios debido a cambios en las tasas de interés; la pendiente de la línea tangente a esta curva mide la duración.

La sensibilidad de un bono con cupón a cambios en las tasas de interés es:

         

   















 





 

 









n t

n

t n

n t

n n

i VN t i

I n i i

VN t i

I n

di dP

1

1 1

* 1 1

1 1

*

1 ^{1 1} (1.3)

7

Alternativamente, la duración (D), mide el tiempo esperado de recuperación de la inversión, es decir, las ponderaciones se derivan del valor presente de cada uno de los flujos de efectivo esperados¹ (Macaulay, 1938):

     















 

 





n

nn

i t

VN t i I n D P

1 1

* 1

1 (1.4)

Cabe aclarar que cuando los rendimientos se han medido con base a m periodos en un año, la duración también se expresa en m subperíodos. Para obtener una duración en términos anuales el resultado obtenido simplemente debe dividirse por m.

Gráfica 1.1: Duración y Convexidad

Fuente: Elaboración propia.

1 Un buen resumen de los conceptos de duración y convexidad se encuentra en Jorion, y Khoury (1996).

A 8%

4%

i P



 0%

B -4%

-8%

-2% -1% 0% 1% 2%

i

8

En la gráfica 1.1 se observa que la convexidad captura cambios en los precios de los activos que la duración no lo hace. Esto es los espacios entre la duración, línea AB y la convexidad.

En resumen, la duración mide una relación lineal entre el rendimiento de un bono y los cambios en los rendimientos. Cabe resaltar que el modelo no es aplicable si los cambios en las tasas de interés no son paralelos, es decir de un punto base (centésima porcentual). En este caso se debe usar el modelo de convexidad. Este es un modelo de segundo orden, en tanto que la duración es de primer orden, sólo para cambios mínimos en los rendimientos.

La convexidad mide la manera por la cual la duración cambia con cambios en los rendimientos. Se mide diferenciando la ecuación de duración dos veces, con respecto al rendimiento y dividiéndola por el precio:

 

 

 

   

















 

















 











t

n

n i

VN t t i

In n n P i

di P d P di C dD

1 1 1

1 1

1 1 1

1 2

2

2 (1.5)

Como la convexidad se mide en períodos al cuadrado, una medida anual puede ser obtenida dividiendo la convexidad por el cuadrado del número de períodos compuestos m veces en un año. Una ventaja que tiene la convexidad es que mide la naturaleza de la curvatura de los cambios en los precios. Una convexidad positiva corresponde a una curvatura cóncava hacia arriba; una convexidad negativa corresponde a una curvatura cóncava hacia abajo, como se señala en la gráfica 1.2. En el caso de la duración sólo se obtiene una relación positiva o negativa, pero no se captura la dirección global de los cambios.

9

Gráfica 1.2: Desviaciones de la duración respecto al ajuste de la curva de convexidad

Fuente: Elaboración propia.

Una convexidad positiva satisface la relación inversa entre el precio y la tasa de interés del bono; mientras que en una convexidad negativa sucede lo contrario.

En los cuadros 1.1 y 1.2 se observan las diferencias del precio del bono cupón cero y el precio del bono con cupón bajo los efectos de la duración y duración modificada:

Convexidad Positiva Convexidad Negativa V V

A A

L L

O O

R R

TASAS DE INTERES TASAS DE INTERES

10

Cuadro 1.1: Precio del Bono Cupón Cero según Duración Modificada y Convexidad

Fuente: Elaboración propia utilizando EXCEL.

A continuación se observa el precio de un bono con cupón:

Datos del bono con cupón:

Valor Nominal

100.00 Días por Vencer 728

Plazo Cupón 182 Inputs

Tasa Cupón 6%

Tasa Mercado 7%

Número de Cupones 4

Valor del Cupón

3.033333

Papel Comercial

Valor Nominal 100.00

Plazo 182 Inputs

Tasa Mercado 5%

Duración 0.505556

Duración Modificada 0.493091 Convexidad 0.002431

Valuación a Mercado

Cambio % en el Precio

Precios según la

D.M

Precios según Convexidad Precio Tasa Sube 1 pto.% 97.0559689 -0.490672%

97.053609 97.055981 Precio Original 97.534543

Precio Tasa Baja 1 pto. % 98.017861 0.495535%

98.015478 98.0178493

11

Cuadro 1.2: Precio del Bono con cupón según Duración Modificada y Convexidad

Fuente: Elaboración propia utilizando Excel.

Al comparar los cuadros 1.1 y 1.2. Se observa que el bono con cupón es más riesgoso que el bono cupón cero, puesto que la duración y la convexidad es mayor, es decir, el precio del bono es más sensible ante cambios porcentuales en la tasa de interés.

En resumen la convexidad de un bono cumple con las siguientes características:

 Entre más dispersos estén los flujos, mayor será la convexidad.

 Mayor volatilidad implica mayor convexidad.

 Bonos a mayor plazo tendrán una mayor convexidad.

 La convexidad aumenta mientras disminuyan las tasas de interés.

 A misma temporalidad existe mayor convexidad para un bono cupón cero que para un bono con cupón.

12

1.2 Mercado de Capitales

La eficiencia se refiere a la racionalidad de los mercados, lo que significa la medida en que los precios presentes reflejan las expectativas de los inversionistas en cuanto al valor presente de los flujos esperados, es decir, si hay eficiencia de mercado entonces todos los inversionistas tienen acceso a la misma información y no existe en el mercado información privilegiada.

La eficiencia de un mercado puede ser caracterizada y analizada desde varios ángulos. Un aspecto importante de la eficiencia de los mercados constituye su "eficiencia asignativa." Esta se encuentra cuando las tasas de rendimientos ajustadas por el riesgo marginalmente se igualan para todas las inversiones. Desde otra perspectiva, un mercado es operacionalmente eficiente cuando los recursos pueden ser transferidos a costos mínimos. Por otro lado, los mercados de capital son eficientes cuando los precios reflejan toda la información disponible. Sin embargo, los mercados de capital siguen un proceso submartingala puesto que los precios son justos, pero el rendimiento esperado es positivo (cero en un proceso martingala).² Así mismo, los mercados de capital, son un "juego justo", esto es, existe una gran independencia entre una serie de precios, pero estrictamente no siguen una "caminata aleatoria" pues la covarianza entre un rendimiento y otros con n rezagos no es siempre necesariamente igual a cero, como en el caso de las diferentes jugadas de una o más monedas.

Todos estos conceptos están muy interrelacionados. Sin embargo, es el concepto relacionado con la eficiencia informativa el que ha prevalecido como eje para comprender la eficiencia de los mercados de capital Fama (1965 y 1970), y desarrollar importantes teorías para la construcción y administración de portafolios.

Esto implica que un mercado que es informacionalmente eficiente es igualmente

2La aleatoriedad se presenta alrededor de un promedio tendencialmente generalmente creciente; sin embargo las crisis revierten esta tendencia y se espera que después de una rápida o lenta recuperación se retome la tendencia creciente.

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eficiente operacionalmente, en la asignación de los recursos y en cuanto a la realización de las expectativas de los agentes económicos.

Los mercados competitivos, que por tanto cuentan con información ampliamente disponible, son eficientes, por lo que el precio de un activo financiero refleja fielmente su verdadero valor. Esto significa que: 1) los precios se ajustan rápidamente a la información nueva disponible; 2) hay un mercado permanente, continuo en el cual las transacciones se realizan a un precio muy cercano al anterior.

Mientras más eficiente es un mercado, más rápido responde a la información y por tanto más pequeñas son las diferencias de cambios en los precios; y 3) el mercado tiene suficiente liquidez como para absorber grandes volúmenes de transacciones sin mayores desestabilizaciones en los precios.

A todas estas características generalmente se les identifica como "eficiencia informativa". Esta resulta en una menor volatilidad en los precios, lo que da mayor certidumbre a los flujos esperados de ingresos.³ Así, mientras más certidumbre haya en los ingresos, mayor es la eficiencia de un mercado. De ahí que los mercados financieros de renta fija sean relativamente más eficientes que los mercados accionarios de renta variable.

Si los mercados son eficientes, es difícil que los inversionistas encuentren valores subvaluados que generen rendimientos más altos de lo señalado por el mercado. No se puede "ganar" al mercado (Fama y French, 1988); no se pueden mejorar sus resultados. Tres hipótesis han sido adelantadas para caracterizar la eficiencia de los mercados: eficiencia débil; eficiencia semifuerte; y eficiencia fuerte.

La hipótesis de eficiencia débil supone que los precios corrientes reflejan totalmente toda la información contenida en los precios históricos. Las tendencias

3 Las características aquí indicadas son aplicables para cualquier tipo de mercado real o financiero. Sin embargo, el tratamiento que aquí se sigue resalta el caso de los mercados de capital. Es precisamente al analizar ampliamente estos mercados que la economía financiera ha hecho muchas contribuciones teóricas y empíricas.

14

pasadas de los precios no pueden ser utilizadas para predecir tendencias futuras y ser utilizadas por los inversionistas para sacar ganancias extraordinarias permanentemente. Los precios en los mercados de capital siguen, por tanto, un proceso parecido al de una "caminata aleatoria," de tal manera que los precios se mueven aleatoriamente alrededor de una línea tendencial que se basa en los rendimientos anticipados (positivos, ciertamente a mediano y largo plazo). Como se indicó anteriormente, esto corresponde a una fijación de precios justa en un proceso martingala.

La hipótesis semifuerte sugiere un grado mayor de eficiencia. Propone que los precios corrientes (últimos) reflejan toda la información pública disponible en el mercado. No se puede por tanto alcanzar ganancias extraordinarias con el análisis de la información contable y financiera pasada disponible de la empresa (análisis fundamental). Aún más, la información nueva divulgada por la empresa (niveles de utilidades, dividendos pagados, planes de inversión, etc.) no debe tener mayores efectos en los cambios de precios de las acciones. La nueva información es absorbida rápidamente. Igual situación prevalece con la información fundamental de la economía (tasas de interés, tipo de cambio, producción industrial, producto interno bruto, etc.). Estos ciertamente afectan el desempeño de los mercados reales y financieros. Sin embargo, su información es rápidamente absorbida por los mercados y no puede ser utilizada para sacar beneficios extraordinarios;es decir, no se puede ganar al mercado.

La eficiencia fuerte de un mercado, se define en términos aún más restrictivos, de la siguiente manera: toda información pública y privada se refleja inmediatamente en los precios. Así, no se pueden alcanzar ganancias extraordinarias aprovechando información privilegiada. Por ejemplo, el anuncio de la quiebra de una empresa no debe reflejarse en grandes cambios en el precio de sus acciones y consiguientemente el conocer con anterioridad la decisión de quiebra no da ninguna ventaja a quienes lo conocen (administradores o propietarios) para alcanzar ganancias extraordinarias en la bolsa.

15

Es importante aclarar que las hipótesis anteriores sólo significan que los precios de los valores en mercados eficientes son simplemente justos (no son ni subvaluados, ni sobrevaluados), tomando en cuenta la información disponible. Por tanto, no es posible realizar ganancias extraordinarias de forma permanente. Es decir, a corto plazo podrían alcanzarse ganancias elevadas extraordinarias en ciertas ocasiones, pero existe también la posibilidad de incurrir en grandes pérdidas.

De ahí que a largo plazo sólo se alcanzarán las ganancias que determinen los precios de equilibrio del mercado, con respecto a los riesgos asumidos (Fama y French, 2003).

Las hipótesis anteriores tampoco quieren decir que no hace falta administrar los portafolios de inversión; es decir, que tirando dardos a las páginas de cotizaciones bursátiles se puede construir portafolios óptimos que rindan el promedio del mercado. Esta "estrategia" podría por ejemplo resultar en un portafolio de alto riesgo, indeseables para ciertos inversionistas, si los valores escogidos corresponden a esta categoría. Así, el inversionista debe decidir los niveles de rendimiento y riesgo de su preferencia.

1.2.1 Frontera Eficiente de los Portafolios de Markowitz

Tomando como punto de partida las características fundamentales de una inversión, anteriormente anotadas, y suponiendo eficiencia de los mercados y racionalidad de los inversionistas, Harry Markowitz (1952) revolucionó el pensamiento financiero a finales de la década de los cincuenta y principios de la década de los sesenta. Su contribución es un modelo para la construcción de portafolios óptimos que maximicen los rendimientos dado un nivel de riesgo, o que inversamente, minimicen el riesgo para un nivel dado de rendimiento.

Siguiendo el modelo de Markowitz, el rendimiento esperado de cada portafolio es la suma ponderada de los rendimientos esperados de los activos que componen cada portafolio:

16

  



 ⁿ

i

i i

p wE r

r E

1

)

( (1.6)

Donde:

) (r_p

E : Rendimiento esperado del portafolio p.

p: Portafolio de activos.

wi: Proporción de la inversión realizada en cada activo del portafolio.

) (r_i

E : Rendimiento esperado de cada activo del portafolio.

Con la restricción de que la suma de las ponderaciones es 1.

Por otro lado el riesgo de un portafolio se mide con la desviación estándar de los rendimientos de los activos incluidos en el portafolio. La varianza de los rendimientos de los portafolios es el promedio ponderado de las covarianzas de todos los pares incluidos en el portafolio (Luenberger, 1998):



 ⁿ

i n

j

ij j

p wiw

1 1

2 



(1.7)

Donde:

p

2 : Varianza de los rendimientos del portafolio p.

j iw

w : Proporción de la inversión en los activos i y j.

ij: Covarianza entre los rendimientos de los activos i y j si i j.

ij: Varianza entre los rendimientos de los activos i y j si i j.

17

La varianza del portafolio también se puede expresar de la siguiente manera:



















































n n n

n

n n

p n

w w w

w w w

. . .

...

. ...

. . . .

...

...

) ,..., , (

2 1

2 2

1 2 2 2 21

1 1 12

2

2 1 2



















 (1.8)

Donde el riesgo del portafolio está determinado por _p, es decir, la desviación estándar del portafolio.

Si se estiman los rendimientos, varianzas de cada activo y las covarianzas de cada par de activos, es posible identificar el conjunto de oportunidades de inversión y sobre todo una frontera de inversiones eficiente, en las que se maximice el rendimiento fijando el riesgo; o al contrario, para un nivel dado de rendimiento se minimice el riesgo. La frontera eficiente corresponde al límite superior de las posibles inversiones. Esta frontera siempre es una curva convexa en el plano E(Rp),

2

p , es posible construir la curva de carteras eficientes a fin de analizar el comportamiento del mercado.

Para determinar la frontera eficiente de inversiones es necesario encontrar diferentes proporciones (w1, ... ,wn) que minimicen la varianza del portafolio para cada uno de los rendimientos esperados posibles. Esto es, el modelo de Markowitz no determina un portafolio único óptimo, sino una serie de portafolios eficientes, cada uno de los cuales maximiza el rendimiento para un nivel específico de riesgo.

La formulación básica de este problema es la siguiente:

18



 ⁿ

i n

j

ij j i

p ww

1 1

2 1 2

min1 ) 1

(  

s.a:

De aquí que el problema dual se puede ver de la siguiente manera:

(2)





 ⁿ

i i

p wir

r

1

max

s.a:



 ⁿ

i n

j

ij j i

p ww

1 1

2 1 2

1 

1

1 1



  n

i n

j j iw w

De donde si se cumplen, además de (1) y (2), las siguientes propiedades:

 Todos los instrumentos son divisibles

 No existen costos de transacción

 No existen ventas en corto, es decir, las ponderaciones a invertir en el portafolio no pueden ser negativas.









 ⁿ

i

i i

n

i i i

P wr w w

r

1 1

0 ,

1 ,

19

Entonces tendremos la optimización de Markowitz; la cual tiene como objetivo ponderar el riesgo del portafolio. Al resolver el problema mediante multiplicadores de Lagrange, se obtiene que las ponderaciones óptimas a invertir en los activos son: (Ver Apéndice A2.d).

1 2 2

1 r r

r

w r ^p



 

(1.9)

^{2 1}

1

2 r r

r w r^p



 

(1.10)

Por lo tanto esta solución garantiza que existe solución también en el problema dual.

En la gráfica 1.3 la frontera eficiente es la curva AD. El área sombreada corresponde al conjunto de inversiones posibles. En la frontera eficiente todos sus portafolios son eficientes. Por ejemplo, los portafolios ABCD son eficientes en cuanto a la media y varianza de los rendimientos. Los portafolios E y F muestran una combinación posible de activos, pero dichos portafolios no son eficientes ya que existen otros portafolios sobre la frontera eficiente con el mismo nivel de riesgo que los portafolios E y F pero otorgan un mayor rendimiento.

Del conjunto de portafolios eficientes, el inversionista individual escogerá el portafolio que le convenga, de acuerdo a sus preferencias y aversión personal al riesgo. Este es el punto en el cual el inversionista maximiza su utilidad esperada, y se encuentra la tangencia entre la frontera eficiente y sus curvas de indiferencia.