CIENCIAS DE LA COMPUTACION II 2018
TRABAJO PRACTICO No 1
LOGICA PROPOSICIONAL
1. Sean p, q, r y s variables proposicionales. Determine si cada uno de los siguientes conjuntos de f´ormulas es o no satisfacible. Para las f´ormulas mutuamente satisfacibles, d´e una valuaci´on v que las satisfaga.
(a) {p ∧ q, ¬p ∧ q}
(b) {p ∧ q, ¬p ∨ q}
(c) {p → q, p ∨ q, ¬q}
(d) {p → q, q → r, r → s, p → s}
2. Determinar la opci´on correcta al formalizar las siguientes frases en lenguaje natural como f´ormulas del c´alculo proposicional
(a) Un pa´ıs va bien si y solo si hay crecimiento econ´omico y no hay inflaci´on.
1. p ←→ (q ∧ r)
2. (p −→ q ∧ ¬r) ∧ (q ∧ ¬r −→ p) 3. p −→ q ∧ ¬r
4. (q ∧ r −→ p) ∧ (p −→ q ∧ r)
(b) En Argentina hay inflaci´on y no hay crecimiento econ´omico, por tanto, Argentina no va bien.
1. p ∧ ¬q −→ ¬r 2. ¬r −→ p ∧ ¬q 3. p ∧ q −→ r 4. p −→ ¬r
(c) Los tr´amites largos se realizan en la oficina de arriba o en la de abajo (no en ambas), sin embargo, los tr´amites largos se realizan en la oficina de abajo s´olo si la de arriba est´a ocupada.
1. (¬p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q) ∧ (q ←→ r) 2. (p ∨ q ∨ ¬(p ∧ q)) ∧ (r −→ q) 3. (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q) ∧ (q −→ r)
3. Reescriba las siguientes oraciones en lenguaje natural como f´ormulas del c´alculo proposicional:
(a) Handel es un gran m´usico, y Vivaldi tambi´en.
(b) Si hay poco tr´ansito y salimos temprano, llegaremos m´as tarde de lo previsto.
(c) El tr´ansito y la lluvia lo han puesto de mal humor.
(d) Si M es negativo entonces Q es negativo. Si P es positivo, entonces Q es negativo. Por
(e) Si M es negativo entonces Q es negativo. Si P es positivo, entonces Q es negativo. Por lo tanto, si M es negativo y P es positivo, luego Q es negativo.
(f) Llevo piloto s´olo si llueve.
(g) Llevo piloto s´olo si no hay sol.
(h) No llevo piloto s´olo si hay sol.
4. Determine si las siguientes oraciones en lenguaje natural son mutuamente satisfacibles:
(a) Llueve o est´a nublado. No llueve. Est´a nublado.
(b) Si me levanto temprano, estar´e cansado. Me levanto temprano. No estoy cansado.
(c) Si hay sol, vamos al club. Si es s´abado, vamos al club. Si hay sol y es s´abado entonces vamos al club.
(d) La venta de casas cae si el inter´es sube. Los rematadores no est´an contentos si la venta de casas cae. El inter´es sube. Los rematadores est´an contentos.
5. Formalice en el lenguaje del c´alculo proposicional y conteste las preguntas planteadas:
Tres personas A, B y C son acusadas de un asesinato. En el juicio ellos declaran lo siguiente:
- A dice: “Lo hizo B, C es inocente”.
- B dice: “Si A es culpable, tambi´en lo es C”.
- C dice: “Yo no lo hice, lo hizo uno de los otros dos”.
(a) ¿Son consistentes sus declaraciones?
(b) Suponiendo que todos son inocentes, ¿qui´en miente?
(c) Suponiendo que toda declaraci´on es verdadera, ¿qui´en es inocente y qui´en es culpable?
6. Buscando a Sir Morgan, un l´ogico encuentra a dos personajes. Junto a ellos, un caballo, una lanza y un escudo. El primer personaje dice, “ ´Este es el caballo de Sir Morgan, ´esta es su lanza, pero ´este no es su escudo”. El segundo dice, “En efecto, ´este es el caballo de Sir Morgan, pero, si ´esta es su lanza, ´este no es su escudo”.
(a) Formalice el problema usando l´ogica proposicional.
(b) Sabiendo que uno de los personajes dice la verdad, y el otro miente, ¿qu´e personaje dice la verdad, y cu´al miente?
(c) ¿Son en efecto estos 3 art´ıculos de Sir Morgan?
7. Un rey somete a un prisionero a la siguiente prueba: lo enfrenta a dos puertas, de las que el prisionero debe elegir una, y entrar en la habitaci´on correspondiente. Se informa al prisionero que hay un tigre y una dama, cada uno ubicado en una de las habitaciones. Como es natural, el prisionero debe elegir la puerta que lo lleva a la dama (entre otras cosas, para no ser devorado por el tigre). Para ayudarlo, en cada puerta hay un cartel:
Puerta 1: en esta habitaci´on hay una dama y en la otra un tigre.
Puerta 2: en una de estas habitaciones hay una dama s´ı y s´olo s´ı en la otra hay un tigre.
(a) Formalice el problema usando l´ogica proposicional.
(b) Sabiendo que uno de los carteles dice la verdad y el otro no, determinar qu´e puerta debe elegir el prisionero.
CONSECUENCIA SEM ´ANTICA
1. Sean p, q y r variables proposicionales. Muestre por tabla de verdad que las siguientes conse- cuencias sem´anticas no son v´alidas:
(a) ¬p ∨ (q → p) |= ¬p ∧ q (b) p → (q → r) |= p → (r → q)
(c) {¬p, p ∨ q} |= ¬q
2. Sean A, B, C ∈ Fm. Pruebe las siguientes consecuencias sem´anticas:
(a) {¬B, A → (¬B → C)} |= A → C (b) {A → B, A → C} |= A → B ∧ C
(c) {A → C, B → C} |= A ∧ B → C (d) A → (¬B → C) |= A → (¬C → ¬¬B)
(e) {A, ¬B} |= ¬(A → ¬(B → (¬A → A))) (f) |= ¬((¬A → A) ∧ (A → ¬A))
(g) |= (A ∧ ¬A) → B
3. Determine cu´ales de las siguientes f´ormulas son consecuencia sem´antica de la f´ormula A ∧ B y cu´ales de la f´ormula A ∨ ¬B:
A, ¬B −→ A, ¬A ∨ B, B −→ ¬A 4. Sean A, B, C ∈ Fm.
(a) Pruebe la siguiente consecuencia sem´antica: {B, A → (B → C)} |= A → C
(b) Si se agrega al conjunto de hip´otesis la f´ormula ¬B∧A, el conjunto de hip´otesis resultante
¿es satisfacible o insatisfacible?
(c) ¿Qu´e puede decir sobre la validez de {B, A → (B → C), ¬B ∧ A} |= A → C ?
5. Sean p, q y r variables proposicionales. Para cada una de las siguientes consecuencias sem´anticas no v´alidas, dar ejemplos de sentencias declarativas en lenguaje natural para p, q y r tales que las premisas sean verdaderas, pero la conclusi´on sea falsa.
(a) p ∨ q |= p ∧ q
(b) ¬p → ¬q |= ¬q → ¬p (c) p → q |= p ∨ q
6. Formalizar y determinar la validez de los siguientes argumentos. Para los razonamientos que no sean v´alidos, dar una valuaci´on que lo demuestre.
(a) Si el mercado es totalmente libre, una sola empresa no puede alterar los precios. Si una sola empresa no puede alterar los precios es que hay un gran n´umero de empresas. En consecuencia, el mercado es totalmente libre o no hay un gran n´umero de empresas.
(b) Si aumentan los precios, aumentan los salarios. Los precios aumentan si el gobierno no los controla. Si el gobierno los controla, no hay inflaci´on. Pero hay inflaci´on. En consecuencia, aumentan los salarios.
EJERCICIOS ADICIONALES DE L ´OGICA PROPOSICIONAL
1. Sean p, q y r variables proposicionales. Usando tablas de verdad, muestre si los siguientes pares de f´ormulas son o no equivalentes:
(a) p ∧ (q ∨ r) y p ∧ q ∨ p ∧ r (b) p ∨ q ∧ r y (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
(c) p ∨ p ∧ q y p (d) p ∧ q ∨ ¬q y p ∨ ¬q
(e) (p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q) y p
2. Sean p, q y r variables proposicionales. Determine cu´ales de las siguientes f´ormulas son tau- tolog´ıas. ¿Qu´e puede decir de las que no lo son?
(a) (p → (q → p)) (b) q ∨ r → (¬r → q)
(c) (¬p → ¬q) → (q → p)
3. Sean a, b y c variables proposicionales. Usando las leyes de equivalencias para f´ormulas l´ogicas, determine cu´ales de los siguientes pares de f´ormulas son equivalencias l´ogicas
(a) a → b y ¬(a ∧ ¬b)
(b) a ↔ b y (¬a ∨ b) ∧ (¬b ∨ a) (c) a → (b → c) y (a → b) → c (d) (a ∨ (b ↔ c)) y (a ∨ b) ↔ (a ∨ c)
(e) (a → (b ↔ c)) y (a → b) ↔ (a → c)
4. Sean x e y variables proposicionales. Simplifique cada una de las siguientes f´ormulas hasta obtener alguna de las siguientes expresiones 1, 0, x, y, x ∧ y, x ∨ y.
(a) ¬y → y (b) ¬y → ¬y
(c) x ∨ (y ∨ x) ∨ ¬y (d) (x ∨ y) ∧ (x ∨ ¬y)
(e) x ∨ y ∨ ¬x (f) ¬x ∧ y ∨ x (g) ¬x → x ∧ y (h) 1 → (¬x → x)
(i) x → (y → x ∧ y) (j) ¬x → (¬x → ¬x ∧ y)
(k) (x ∨ y) ∧ (x ∨ ¬y) ∧ (¬x ∨ y) ∧ (¬x ∨ ¬y) (l) (x ∧ y) ∨ (x ∧ ¬y) ∨ (¬x ∧ y) ∨ (¬x ∧ ¬y)
5. Sean p, q, r y s variables proposicionales. Determine si cada uno de los siguientes conjuntos de f´ormulas es o no satisfacible. Para las f´ormulas mutuamente satisfacibles, d´e una valuaci´on v que las satisfaga.
(a) {p → q, q → r, r → s, p ∧ ¬s}
(b) {p ∨ q, p ∨ (q ∧ r), p → ¬r}
(c) {p → q, (p ∧ q) → r, q → ¬p}
6. Sea G el conjunto de f´ormulas l´ogicas definido por la siguiente definici´on BNF:
< f orm log >::=< f orm log >→< f orm log > | < f orm log > ∨ < f orm log > |
< f orm log > ∧ < f orm log > |¬ < f orm log > |(< f orm log >)| < var prop >
< var prop >::= a|b|c|...|z
Sea v(p) = 1, v(q) = 1 y v(r) = 1, los valores de verdad asociados a las variables proposi- cionales p, q y r, respectivamente.
(a) Usando ´arboles de derivaci´on determine si la siguiente f´ormula l´ogica es una f´ormula de G. Si es posible construir m´as de un ´arbol de derivaci´on, constr´uyalos y determine el valor de verdad de la f´ormula en cada caso.
{p → q ∨ r ∧ ¬r}
(b) Realice el mismo procedimiento que en el inciso anterior seg´un la definici´on de BNF dada en el ejercicio 1) del pr´actico
(c) Compare resultados y saque conclusiones
7. Dadas tres f´ormulas A, B y C, y sabiendo que B es una tautolog´ıa. ¿Qu´e puede decir del valor de verdad de ((A → B) ∧ B) ∨ A?
8. Dadas dos f´ormulas A y B, y sabiendo que A → B es una tautolog´ıa. Indicar cu´ales de las siguientes opciones son v´alidas.
(a) A ∨ B es una tautolog´ıa (b) A ∧ B es una tautolog´ıa
(c) ¬A −→ ¬B es una tautolog´ıa (d) ¬B −→ ¬A es una tautolog´ıa
(e) A ∧ ¬B es una tautolog´ıa (f) A ∧ ¬B es una contingencia (g) A ∧ ¬B es una contradicci´on
FORMULAS LOGICAMENTE EQUIVALENTES 1. Leyes conmutativas
(a) (A ∧ B) ≡ (B ∧ A) (b) (A ∨ B) ≡ (B ∨ A)
(c) (A ↔ B) ≡ (B ↔ A) 2. Leyes asociativas
(a) A ∧ (B ∧ C) ≡ (A ∧ B) ∧ C (b) A ∨ (B ∨ C) ≡ (A ∨ B) ∨ C 3. Leyes distributivas
(a) A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) (b) A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) 4. Leyes de De Morgan
(a) ¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B (b) ¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B 5. Ley de la doble negaci´on
¬(¬A) ≡ A 6. Leyes Inversas
(a) A ∨ ¬A ≡ 1 (b) A ∧ ¬A ≡ 0 7. Ley de implicaci´on
A → B ≡ ¬A ∨ B 8. Leyes idempotentes
(a) A ∨ A ≡ A (b) A ∧ A ≡ A 9. Leyes de Absorci´on
(a) A ∨ (A ∧ B) ≡ A (b) A ∧ (A ∨ B) ≡ A 10. Leyes de identidad
(a) A ∨ 0 ≡ A (b) A ∧ 1 ≡ A
(a) A ∨ 1 ≡ 1 (b) A ∧ 0 ≡ 0 12. A → B ≡ ¬B → ¬A
13. (A ↔ B) ≡ (A → B) ∧ (B → A)
