Integrales dobles
Integrales iteradas
Z b a
Z g2(x) g1(x)
f(x,y)dydxó Z d
c
Z h2(y) h1(y)
f(x,y)dxdy
Los límites interiores de integración pueden ser variables respecto a la variable exterior de integración, pero los límites exteriores de integración han de ser constantes con respecto a las dos variables de integración.
Una vez realizada la primera integración, se llega a una integral definida ordinaria y al integrar por segunda vez se obtiene un número real.
Los límites de integración determinan la región de integración.
El concepto de integral doble
Consideramos una función continua f tal que f(x,y) ≥0 ∀(x,y) ∈ dom(f) Deseamos hallar el volumen de la región sólida
comprendida entre la superficie z =f(x,y)y el plano XY . Suponemos que la función f está definida sobre un rectángulo cerrado
R= [a,b] × [c,d] =n
(x,y) ∈ R2/a≤x ≤b,c ≤y ≤do Tomamos una partición P de R en subrectángulos que obtenemos realizando el producto cartesiano de una partición de[a,b]por una de[c,d]:
a=x0<x1< · · · <xi−1<xi < · · · <xm=b c=y0<y1< · · · <yj−1<yj < · · · <yn=d
El concepto de integral doble (II)
P =[xi−1,xi] × [yj−1,yj],i =1, · · · ,m,j =1, · · · ,n Denotamos por∆xi =xi−xi−1,∆yj =yj−yj−1 Área de cada subrectángulo Rij = [xi−1,xi] × [yj−1,yj]:
Aij = ∆xi∆yj Llamamos mij = mín
f(x,y), (x,y) ∈Rij Mij = máx
f(x,y), (x,y) ∈Rij
Consideramos los prismas que tienen por base un rectángulo de la partición y por altura o el mínimo o el máximo de f sobre ese rectángulo:
V =área de la base·altura
El concepto de integral doble (III)
DEF.Se llamasuma inferior de Riemannde f en P a L(f,P) =s(f,P) = X
1≤i≤m,1≤j≤n
mijAij
DEF.Se llamasuma superior de Riemannde f en P a U(f,P) =S(f,P) = X
1≤i≤m,1≤j≤n
MijAij
Si se consideran particiones más finas la aproximaciones mejoran. Se cumple:
L(f,P) ≤U(f,Q)siendo P,Q dos particiones de R.
Si se refina la partición, las sumas inferior y superior se aproximan.
Definición de integral doble
DEF.Se llamaintegral inferior de Riemannde f en R a Z
R
f = sup {L(f,P),P∈ P(R)}
DEF.Se llamaintegral superior de Riemannde f en R a Z
R
f = ínf {U(f,P),P ∈ P(R)}
DEF.Diremos que f esintegrablesobre R si coinciden sus integrales superior e inferior.
A ese valor lo llamamosintegralde f y lo representamos por:
Z
R
f = Z Z
R
f dx dy
Propiedades de integral doble
Teorema.Sea R un rectángulo deR2y f :R→ Runa función.
Si f es continua en R salvo, a lo sumo, en los puntos que forman una unión finita de líneas, f es integrable.
Sea A una región plana acotada y f :A→ R. Por ser A acotada, existe un rectángulo R que la encierra. Se puede construir la función: F(x,y) =
f(x,y) si (x,y) ∈A 0 si(x,y) ∈R−A Si F es integrable sobre R, entonces f es integrable sobre A.
Z Z
a
f = Z Z
R
F
Teorema.Sea f :A⊂ R2→ Racotada y A una región acotada.
Entonces, si f es continua en A, f es integrable en A.
Propiedades de integral doble (II)
Sean f,g :A⊂ R2→ Rdos funciones continuas en una región, A, cerrada y acotada y c una constante.
1
Z
A
cf =c Z
A
f , Z
A
(f±g) = Z
A
f± Z
A
g (Linealidad)
2 Si f(x,y) ≥0 ∀(x,y) ∈A, entonces Z
A
f ≥0 (Positividad)
3 Si f(x,y) ≥g(x,y) ∀(x,y) ∈A, entonces Z
A
f ≥ Z
A
g (Monotonía)
4 Sean A1,A2⊂ R2tales que A=A1S
A2, A1T
A2= ∅, Z
A
f = Z
A1
f+ Z
A2
f
5 Si m≤f(x,y) ≤M ∀(x,y) ∈A, entonces m· Área(A) ≤
Z
A
f ≤M· Área(A)(Acotación)
Cálculo de integrales dobles
DEF.Se dice que A⊂ R2es unaregión regular en la dirección del eje Y si
A=n
(x,y) ∈ R2/a≤x ≤b, ϕ1(x) ≤y ≤ ϕ2(x)o
dondeϕ1, ϕ2son continuas yϕ1≤ ϕ2en[a,b].
DEF.A es unaregión regular en la dirección del eje X si A=n
(x,y) ∈ R2/c ≤y ≤d, ψ1(y) ≤x ≤ ψ2(y)o
dondeψ1, ψ2son continuas yψ1≤ ψ2en[c,d].
DEF.Si A es una región regular en la dirección de ambos ejes se dice que esregular.
Cálculo de integrales dobles (II)
Teorema de Fubini
Sea f :A⊂ R2→ Rcontinua en A.
Si A es una región regular en la dirección del eje Y , entonces:
Z
A
f = Z b
a
Z ϕ2(x) ϕ1(x)
f(x,y)dy dx
Si A es una región regular en la dirección del eje X , entonces:
Z
A
f = Z d
c
Z ψ2(y) ψ1(y)
f(x,y)dx dy
Si A es una región regular, entoncesR
Af se puede
expresar de las dos formas anteriores y, por la unicidad de la integral de funciones continuas, las integrales deben coincidir.
Cálculo de integrales dobles (III)
Si la región sobre la que se desea integrar no es regular en la dirección de ninguno de los ejes, es necesario dividirla, mediante rectas paralelas a los ejes, en un número finito de dominios regulares en la dirección del eje X o Y .
Entonces la integral sobre la región de partida será la suma de las integrales sobre cada subdominio.
Cambio de variable
DEF.Se llamatransformaciónde la región A∗en la región A a la función T : A∗ → A
(u,v) 7→ T(u,v) = (x(u,v),y(u,v)) DEF.Una transformación esde claseC1(A∗)si sus funciones componentes son continuas, derivables y sus derivadas parciales son continuas en A∗.
DEF.Se llamajacobianode T :A∗ →A (T ∈ C1(A∗)) al determinante:
JT =
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v .
Cambio de variable (II)
Teorema (Cambio de variable para integrales dobles) Sean A y A∗ dos regiones del plano y
T : A∗ → A
(u,v) 7→ T(u,v) = (x(u,v),y(u,v)) una transformación de A∗sobre A tal que T ∈ C1(A∗), T es inyectiva y J :T(u,v) 6=0 ∀(u,v) ∈A∗.
Entonces para cualquier función integrable f :A→ R: Z Z
A
f(x,y)dx dy = Z Z
A∗
f(x(u,v),y(u,v)) · |JT(u,v)|du dv
Coordenadas Polares
x =r cosθ y =r senθ
r = +p
x2+y2
cosθ = x r
senθ =y
r −1−1 0 2 4
0 1 2
x x
y (x,y)
r θ
Jacobiano:
JT =
∂x
∂r
∂x
∂θ
∂y
∂r
∂y
∂θ
=
cosθ −r senθ senθ r cosθ
=r
