Matrices de rotaci´ on de orden 2
Estos apuntes est´an escritos por Maria de los Angeles Isidro P´erez y Egor Maximenko.
Objetivos. Definir la matriz de rotaci´on y estudiar sus propiedades principales.
Requisitos. Funciones trigonom´etricas, identidades trigonom´etricas, matrices ortogona- les, expresi´on del producto punto en R2 en t´erminos de la multiplicaci´on de matrices.
Definici´on de la matriz de rotaci´on de orden 2. Para todo θ ∈ R, Rθ :=
cos(θ) − sen(θ) sen(θ) cos(θ)
.
1. Im´agenes de los vectores b´asicos bajo la rotaci´on. Denotemos por e1 y e2 a los elementos de la base can´onica en R2:
e1 = 1 0
, e2 = 0 1
. Calcule Rθe1 y Rθe2:
Rθe1 =
, Rθe2 =
.
2. Valores de cosπ3 y sen π3. Escriba los siguientes valores en forma exacta (con radi- cales, si es necesario) y sus aproximaciones decimales:
cosπ
3 = = 0.
| {z }
?
, senπ
3 = = 0.
| {z }
?
.
3. Dibujo: im´agenes de los vectores b´asicos bajo Rθ con θ = π3. Dibuje en el plano los vectores Rθe1 y Rθe2 para θ = π3.
e1 e2
Matrices de rotaci´on de orden 2, p´agina 1 de 4
4. F´ormulas trigonom´etricas principales (repaso).
cos(α + β) = sen(α + β) =
5. Paridad de las funciones trigonom´etricas.
cos(−α) = , sen(−α) = .
6. Producto de matrices de rotaci´on. Sean α, β ∈ R. Calcule el producto RαRβ:
RαRβ =
=
=
=
=
| {z }
?
.
7. Rotaci´on en el ´angulo cero. Escriba la matriz R0:
R0 =
" #
=
| {z }
?
.
8. Rotaci´on en el ´angulo inverso. La matriz
R−α =
" #
tiene la propiedad
RαR−α =
| {z }
?
, R−αRα =
| {z }
?
.
Matrices de rotaci´on de orden 2, p´agina 2 de 4
Rotaci´ on como una matriz ortogonal
9. La transpuesta a la matriz de rotaci´on.
Rθ>=
=
| {z }
?
.
10. Toda matriz de rotaci´on es ortogonal. Sea θ ∈ R. Calcule los productos:
R>θRθ = RθR>θ =
11. Expresi´on del producto punto en R2 en t´erminos de la multiplicaci´on de matrices (repaso). Sean a, b ∈ R2:
a = a1 a2
, b = b1 b2
.
Escriba el producto interno can´onico en R2 (llamado tambi´en producto punto) en forma expl´ıcita:
ha, bi = a · b = Escriba los siguientes productos:
a>b =
= , b>a =
= .
Resumen:
ha, bi =
12. Expresi´on de la norma euclidiana en t´erminos del producto interno (repa- so). Sea a ∈ R2. Entonces
kak2 =
| {z }
?
.
13. La transpuesta del producto (repaso). Sean A, B ∈ Rn×n. Entonces (AB)>=
| {z }
?
.
14. La rotaci´on preserva los productos internos. Sean a, b ∈ R2 y sea θ ∈ R.
Simplifique el siguiente producto interno:
hRθa, Rθbi = = h
| {z }
?
,
| {z }
?
i.
Matrices de rotaci´on de orden 2, p´agina 3 de 4
15. La rotaci´on preserva las normas. Sea a ∈ R2 y sea θ ∈ R. Simplifique la siguiente expresi´on:
kRθak2 = Resumen:
kRθak = .
Transformaci´on lineal asociada a Rθ. Sea θ ∈ R un n´umero fijo. Vamos a considerar la transformaci´on f : R2 → R2 asociada a la matriz Rθ de la siguiente manera:
f (x) := Rθx.
Es com´un identificar la funci´on f con la matriz Rθ.
16. El n´ucleo de la rotaci´on. Sea θ ∈ R un n´umero fijo. Resuelva la ecuaci´on Rθx = 02, donde
02 = 0 0
.
17. La imagen (el conjunto de los valores) de la rotaci´on. Sea θ ∈ R un n´umero fijo. ¿Para qu´e vectores b ∈ R2 la ecuaci´on Rθx = b tiene una soluci´on?.
18. La inyectividad y suprayectividad de la rotaci´on. Sea θ ∈ R. ¿Qu´e propiedades pos´ee la transformaci´on lineal asociada a la matriz Rθ?. Elija la opci´on correcta:
# puede ser que no es inyectiva ni suprayectiva;
# siempre es inyectiva y suprayectiva;
# es inyectiva, pero no necesariamente suprayectiva;
# es suprayectiva, pero no necesariamente inyectiva.
Matrices de rotaci´on de orden 2, p´agina 4 de 4
