Matrices de rotaci´ on de orden 2

Descargar (0)

Texto completo

(1)

Matrices de rotaci´ on de orden 2

Estos apuntes est´an escritos por Maria de los Angeles Isidro P´erez y Egor Maximenko.

Objetivos. Definir la matriz de rotaci´on y estudiar sus propiedades principales.

Requisitos. Funciones trigonom´etricas, identidades trigonom´etricas, matrices ortogona- les, expresi´on del producto punto en R2 en t´erminos de la multiplicaci´on de matrices.

Definici´on de la matriz de rotaci´on de orden 2. Para todo θ ∈ R, Rθ :=

 cos(θ) − sen(θ) sen(θ) cos(θ)

 .

1. Im´agenes de los vectores b´asicos bajo la rotaci´on. Denotemos por e1 y e2 a los elementos de la base can´onica en R2:

e1 = 1 0



, e2 = 0 1

 . Calcule Rθe1 y Rθe2:

Rθe1 =

, Rθe2 =

.

2. Valores de cosπ3 y sen π3. Escriba los siguientes valores en forma exacta (con radi- cales, si es necesario) y sus aproximaciones decimales:

cosπ

3 = = 0.

| {z }

?

, senπ

3 = = 0.

| {z }

?

.

3. Dibujo: im´agenes de los vectores b´asicos bajo Rθ con θ = π3. Dibuje en el plano los vectores Rθe1 y Rθe2 para θ = π3.

e1 e2

Matrices de rotaci´on de orden 2, p´agina 1 de 4

(2)

4. F´ormulas trigonom´etricas principales (repaso).

cos(α + β) = sen(α + β) =

5. Paridad de las funciones trigonom´etricas.

cos(−α) = , sen(−α) = .

6. Producto de matrices de rotaci´on. Sean α, β ∈ R. Calcule el producto RαRβ:

RαRβ =

=

=

=

=

| {z }

?

.

7. Rotaci´on en el ´angulo cero. Escriba la matriz R0:

R0 =

" #

=

| {z }

?

.

8. Rotaci´on en el ´angulo inverso. La matriz

R−α =

" #

tiene la propiedad

RαR−α =

| {z }

?

, R−αRα =

| {z }

?

.

Matrices de rotaci´on de orden 2, p´agina 2 de 4

(3)

Rotaci´ on como una matriz ortogonal

9. La transpuesta a la matriz de rotaci´on.

Rθ>=

=

| {z }

?

.

10. Toda matriz de rotaci´on es ortogonal. Sea θ ∈ R. Calcule los productos:

R>θRθ = RθR>θ =

11. Expresi´on del producto punto en R2 en t´erminos de la multiplicaci´on de matrices (repaso). Sean a, b ∈ R2:

a = a1 a2



, b = b1 b2

 .

Escriba el producto interno can´onico en R2 (llamado tambi´en producto punto) en forma expl´ıcita:

ha, bi = a · b = Escriba los siguientes productos:

a>b =  

= , b>a = 

= .

Resumen:

ha, bi =

12. Expresi´on de la norma euclidiana en t´erminos del producto interno (repa- so). Sea a ∈ R2. Entonces

kak2 =

| {z }

?

.

13. La transpuesta del producto (repaso). Sean A, B ∈ Rn×n. Entonces (AB)>=

| {z }

?

.

14. La rotaci´on preserva los productos internos. Sean a, b ∈ R2 y sea θ ∈ R.

Simplifique el siguiente producto interno:

hRθa, Rθbi = = h

| {z }

?

,

| {z }

?

i.

Matrices de rotaci´on de orden 2, p´agina 3 de 4

(4)

15. La rotaci´on preserva las normas. Sea a ∈ R2 y sea θ ∈ R. Simplifique la siguiente expresi´on:

kRθak2 = Resumen:

kRθak = .

Transformaci´on lineal asociada a Rθ. Sea θ ∈ R un n´umero fijo. Vamos a considerar la transformaci´on f : R2 → R2 asociada a la matriz Rθ de la siguiente manera:

f (x) := Rθx.

Es com´un identificar la funci´on f con la matriz Rθ.

16. El n´ucleo de la rotaci´on. Sea θ ∈ R un n´umero fijo. Resuelva la ecuaci´on Rθx = 02, donde

02 = 0 0

 .

17. La imagen (el conjunto de los valores) de la rotaci´on. Sea θ ∈ R un n´umero fijo. ¿Para qu´e vectores b ∈ R2 la ecuaci´on Rθx = b tiene una soluci´on?.

18. La inyectividad y suprayectividad de la rotaci´on. Sea θ ∈ R. ¿Qu´e propiedades pos´ee la transformaci´on lineal asociada a la matriz Rθ?. Elija la opci´on correcta:

# puede ser que no es inyectiva ni suprayectiva;

# siempre es inyectiva y suprayectiva;

# es inyectiva, pero no necesariamente suprayectiva;

# es suprayectiva, pero no necesariamente inyectiva.

Matrices de rotaci´on de orden 2, p´agina 4 de 4

Figure

Actualización...

Referencias

Related subjects :