CÁLCULO INTEGRAL

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO INTEGRAL

SEGUNDO EXAMEN EXTRAORDINARIO

Sinodales: Fis. Pedro Ramírez Manny

Ing. Evelyn Salazar Guerrero

30 de Octubre de 2009 TIPO “ A ” Semestre 2010-1

INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 6 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2.5 horas.

1. Determinar el valor medio de la función ^{f x} ( ) ^{= x}

²

^{− 9} en el intervalo [ ^{0 4 ,} ]

12 puntos 2. Calcular de ser posible la siguiente integral

( )

6

5

5

2 10

ln x dx

x

−

∫ −

12 puntos 3. Efectuar

( ) ( )

( ) ( ) ( )

3

2

16 1

2

1

ln x x

a ) sen ln x dx b ) dx c ) dx

x x

x ln x − + +

∫ ∫ ∫

36 puntos

2EE10-1 4. Determinar la longitud de arco de la curva dada por sus ecuaciones paramétricas

x cosh t y t

=

=

en el intervalo [ ^{0 1 ,} ]

12 puntos

5. Sea la función ( )

( )

f x , y 1

l n x y

=

a) Determinar su dominio y representarlo gráficamente en el plano xy.

b) Graficar sus curvas de nivel para z=0 y z=1.

14 puntos

6. Determinar la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie definida por

( )

f x, y = x sen y − y sen x en el punto ^P ( ^{π π , , 0} )

14 puntos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO INTEGRAL

SEGUNDO EXAMEN EXTRAORDINARIO

Sinodales: Fis. Pedro Ramírez Manny

Ing. Evelyn Salazar Guerrero

30 de Octubre de 2009 TIPO “ B ” Semestre 2010-1

INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 6 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2.5 horas.

1. Determinar el valor medio de la función ^{f x} ( ) ^{= x}

²

^{− 9} en el intervalo

[ ^{0 4 ,} ]

12 puntos 2. Calcular de ser posible la siguiente integral

( )

6

5

5

2 10

ln x dx

x

−

∫ −

12 puntos 3. Efectuar

( ) ( )

( ) ( ) ( )

3

2

16 1

2

1

ln x x

a ) sen ln x dx b ) dx c ) dx

x x

x ln x − + +

∫ ∫ ∫

2EE10-1 4. Determinar la longitud de arco de la curva dada por sus ecuaciones paramétricas

x cosh t y t

=

=

en el intervalo [ ^{0 1 ,} ]

12 puntos

5. Sea la función ( )

( )

f x , y 1

l n x y

=

c) Determinar su dominio y representarlo gráficamente en el plano xy.

d) Graficar sus curvas de nivel para z=0 y z=1.

14 puntos

6. Determinar la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie definida por ^{f x, y} ( ) ^{= x sen y − y sen x} en el punto ^P ( ^{π π , , 0} )

14 puntos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA CÁLCULO INTEGRAL

Solución del Segundo Examen Extraordinario Semestre 2010 – 1

1. ( ) ( )( )

b

a

f x dx = f c b a −

∫

( )

4 2

4

0 2

0

9

1 9

4 0 4

x d x

f c x d x

−

= = −

−

∫ ∫

( ) ( )

( )

4 3 4

2 2 2

0 0 3

3 4

3 3

0 3

9 9 9

9 9

3 3

9 9 3 6 4 3 6 9 2 7

3

6 4 6 4 5 4 5 4

3 3

x d x x d x x d x

x x

x x

− = − − + − =

 

= − +  + −  =

 

= − + + − − + =

= − + + =

∫ ∫ ∫

( )

( )

4 2 0

9 6 4

3

1 6 4 1 6

4 3 3

1 6 3

x d x

f c

R e s u lta d o f c

− =

 

=   =

 

=

∫

12 puntos

S2EE10-1 2. En 5 tiene discontinuidad infinita _∴ ∫ _impropia

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ^{( )} )

2 6

6 6

5 5

5

2 2

2 2

5

5 1 5 1 5

2 5 2 2 5 2 2

5 1

5

5

2 2

6 5 5

1

2 2 2

t t t

t

t

l n x

l n x l n x

d x l i m d x l i m

x x

u l n x

d u d x

x

l n x

u d u u C C

l n l n t

l i m

R e s u l t a d o

l a i n t e g r a l d i v e r g e

+ +

→ →

→

 

− −  − 

= =   =

− −  

 

= −

= −

= + = − +

 − − 

 

= − = − ∞

 

 

∴

∫ ∫

∫

12 puntos

3. a)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

1

1

1

2 1 2

u sen ln x d u co s ln x d x

I sen ln x d x x

d v d x v x

u co s ln x d u sen ln x d x

x sen ln x co s ln x d x x

d v d x v x

x sen ln x x co s ln x sen ln x d x

x sen ln x x co s ln x sen ln x d x I x sen ln x x co s ln x C

I x sen ln x

 

= =

 

= = =

 

= =

 

 

= = −

 

= − =   =

= =

 

 

= −  − −  =

 

= − −

= − +

=

∫

∫

∫

∫

( )

( ) ( )

1 2

1 1

2 2

x co s ln x C

R e su lta d o

I x sen ln x x co s ln x C

− +

= − +

S2EE10-1 b)

( )

( )

( )

( )

( )

2 2

2

2

2

2

3

3 2

2

16 4

1 4

16

16

4 4

4 16

16 4 16

4

ln x ln x sec

ln x dx

dx sec tan d x ln x

x ln x ln x

sec tan

tan ln x

sec sec tan d sec d

tan

u sec d sec tan d

sec d sec sec d

dv sec d v tan

φ φ φ φ

φ φ

φ

φ φ φ φ φ φ

φ

φ φ φ φ φ

φ φ φ φ φ

φ φ φ

 

− → =

 

=  

=

−  

 

 

 = = − 

  =

 

= −

 

 

= =

= =

= =

= =

∫

∫ ∫

∫ ∫

( )

2

2

3

1 sec tan sec tan d

sec tan sec sec d

sec tan sec d sec d

φ φ φ φ φ

φ φ φ φ φ

φ φ φ φ φ φ

 

 =

 

= − =

= − − =

= − + =

∫

∫

∫ ∫

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

3

1

3

2 2

3 2 3

3

2 2

3

2

1 1

2 2

1 1

16 16

2 2

16

8 8

16 16

8 8

4 4 4 4

1 2

sec d sec tan ln sec tan C

sec d sec tan ln sec tan C

ln x dx sec d sec tan ln sec tan C

x ln x

sec tan ln sec tan C

ln x ln x

ln x ln x

ln C

ln x ln x

φ φ φ φ φ φ

φ φ φ φ φ φ

φ φ φ φ φ φ

φ φ φ φ

= + + +

= + + +

 

= =   + +   +

−

= + + +

− −

= + + +

=

∫

∫

∫ ∫

( ) ( )

2 2

16 8 16

1

ln ln x ln x C

Re sultado

− + + − +

S2EE10-1 c)

( ) ( ) ^{( )} ( )

( ) ( )

( ) ( ) ^{( )} ( )

( ) ^{( )( )}

3 2

2 2

3 2

1

3 2 3

3 2

2

2

2 2

2

2 2 2

2 2

1 1

1 1 1 1

1 1

1 1

1 1 1

1 2 2 2

1 1

1 1

1 1 1

1 1

1 1

1 1 1

1 1

x x x

I d x d x

x x x x

x x x

x x x x

x x x

x x

x x x

x d x x d x

x x

x x

x x A B x C

x x

x x

x x

x x A x B x C x

x ,

 

+ +

 

= = − =

 

+ +  + + 

+ + +

+ + +

− − − +

− − −

 

 + 

+ +

= − = −  +  =

+ +

+ +  

 

 

+ + +

 = +  + +

 + + + + 

 

+ + = + + + +

= −

∫ ∫

∫ ∫

( ) ( ) ( )

( )

( )

2 2 2

2 2

2 2

2

4 2

2 1

2 1

1

1 1 1

1 1 1

2 2 2

1 1 1 2 1 1

2 1 2 2 1 2 1

1 1 1

1 1

2 4 2

1 1 1

2

A A

x x A x A B x B x C x C

x x A B x B C x A C

A B , B C , A C

A , B , C

x l n x x d x d x

x x

x l n x l n x a n g t a n x C

R e s u l t a d o

I x a n g t a n x l n x x C

= =

+ + = + + + + +

+ + = + + + + +

+ = + = + =

= = =

= − + − −

+ +

= − + − + − +

= − − + + +

∫ ∫

36 puntos

S2EE10-1 4.

( ) ( ) ( )

2 2

1 1

2 2 2

0 0

1 1

1 0

0 0

1 1

1

1

2 1 1

2 2 2

2

b

a

x x

d x d y

L d t

d t d t

L s e n h t d t c o s h t d t

e e

c o s h t d t se n h t

e e e e

R e s p u e s ta

e e

L

−

− −

−

   

=   +  

   

= + = =

= = = − =

− − −

= − =

= −

∫

∫ ∫

∫

12 puntos 5. a)

b)

( )

( )

( )

^{( )}

( )

( )( )

( )

{ }

0

1

0

1

2 2

2 2 1

1

ln x y

f

f x , y

ln x y

ln x y e e

x y

P u n to d e p ru e b a : ,

D x , y x y ; x , y

=

> → >

>

>

= > ∈

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

{ }

1 0

1 1 1

1

f 1

f x , y N o h a y c u r v a d e n i v e l l n x y

f x , y l n x y

l n x y

l n x y x y e

H i p é r b o l a e q u i l á t e r a R e s p u e s t a

a ) D x , y x y ; x , y b ) x y e , H i p é r b o l a e q u i l á t e r a

= =

= = → =

=

=

= > ∈

=

S2EE10-1 6.

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

0

1

0 1

0

0 0 0

0 0

0 0

0 z x s e n y y s e n x

F z x s e n y y s e n x

F s e n y y c o s x , x c o s y s e n x ,

F , , , ,

P P N

x , y , z , , , ,

x , y , z , ,

x y z

x y z

R e s p u e s t a

x y z

π π π π

π π π π

π π π π

π π

π π

π π

− + =

= − +

∇ = − + − +

∇ = −

− =

− − =

 

 

− − − =

− + + =

− − =

− − =

i

i i

14 puntos