OPERADORES DE HANKEL EN EL ESPACIO DE HILBERT: UN VIAJE RÁPIDO. 1. Introducción

Serie Comunicaciones 35 (2005) 217–233 Art´ıculo de Exposici´ on

OPERADORES DE HANKEL EN EL ESPACIO DE HILBERT:

UN VIAJE R ´ APIDO

RUB´ EN A. MART´INEZ-AVENDA ˜ NO

Resumen. En este art´ıculo ofrecemos una vista panor´ amica de la teor´ıa de opera- dores de Hankel cl´ asicos en el espacio de Hilbert. Damos las definiciones b´ asicas, los teoremas de Nehari, Kronecker y Hartmann, y mencionamos algunas propie- dades espectrales de los operadores de Hankel. Tambi´en mencionamos algunas relaciones con los operadores de Toeplitz y varias consecuencias interesantes de estas relaciones.

1. Introducci´ on

Los operadores de Hankel constituyen una de las clases de operadores en espacios de Hilbert que han sido m´ as estudiadas en las ´ ultimas decadas. Esto se debe, entre varias razones, a las muchas relaciones que existen entre espacios de operadores de Hankel y diferentes espacios de funciones.

La teor´ıa de operadores acotados en espacios de Hilbert es un campo fascinante de estudio pues, entre otras cosas, combina herramientas del an´ alisis matem´ atico con el sabor del ´ algebra lineal. Adem´ as, esta teor´ıa tiene aplicaciones muy importantes en numerosas ´ areas de las matem´ aticas, tales como la f´ısica-matem´ atica, la teor´ıa de control, los procesos estoc´ asticos, las ecuaciones diferenciales, por mencionar s´ olo algunas.

Uno de los aspectos m´ as interesantes de la teor´ıa de operadores moderna es la relaci´ on entre ella y los espacios de funciones. Existen diversas formas de asignar una funci´ on a un operador y uno quisiera poder deducir propiedades del operador a partir de propiedades de la funci´ on y viceversa.

Este programa se ha llevado a cabo principalmente en dos clases de operadores: los operadores de Hankel y los operadores de Toeplitz. Cada uno de estas dos clases de operadores se pueden considerar desde dos puntos de vista: el primero es considerar las matrices de los operadores en estas clases y clasificarlas seg´ un su estructura matricial;

2000 Mathematics Subject Classification. 47B35.

217

el segundo es ver a los operadores en estas clases como partes de operadores de multiplicaci´ on en alg´ un espacio de funciones.

Aqu´ı consideramos operadores de Hankel desde el punto de vista matricial y pre- sentamos un teorema cl´ asico de Nehari, el cual relaciona los dos puntos de vista arriba mencionados al establecer cuando un operador de Hankel es acotado. Mencionamos despu´es teoremas (tambi´en cl´ asicos) de Kronecker y Hartmann, que clasifican los ope- radores de Hankel de rango finito y los compactos respectivamente. Despu´es, conside- ramos algunas preguntas de car´ acter espectral y algebraico, para finalizar observando ciertas relaciones de los operadores de Hankel con los operadores de Toeplitz.

Lo mostrado en este art´ıculo pretende ser solo una peque˜ na muestra de los mu- chos resultados interesantes que se conocen sobre los operadores de Hankel y, como es inevitable, reflejan los gustos personales del autor. La inclusi´ on (o falta de ella) de cualquier resultado no refleja de ninguna manera su importancia. Intentamos hacer esta nota tan accesible como fuera posible, y es por eso que decidimos incluir algunas definiciones b´ asicas (nuestras disculpas a los expertos) y omitimos todas las demostra- ciones, excepto la de la proposici´ on sobre la singularidad de los operadores de Hankel:

no pudimos resistirnos.

Este art´ıculo intenta apegarse lo m´ as posible a la conferencia dictada por el autor en la sesi´ on de An´ alisis en el XXXVII Congreso Nacional de la Sociedad Matem´ atica Mexicana, llevado a cabo del 11 al 15 de octubre de 2004 en la Universidad Aut´ ono- ma de Baja California, Campus Ensenada. Un agradecimiento a los organizadores, y en especial a Salvador P´erez Esteva, por la invitaci´ on a participar en ese congre- so. Tambi´en quisiera agradecerle a Olivia Gut´ u, a Benjam´ın Itz´ a-Ortiz y a Federico Menendez–Conde por sus valiosos comentarios.

2. Conceptos b´ asicos

Denotamos con el s´ımbolo H a un espacio de Hilbert; esto es, H es un espacio vectorial sobre los n´ umeros complejos C, con un producto interno, una norma prove- niente de este producto interno y que adem´ as es completo con la topolog´ıa inducida por esta norma. Usualmente pensamos que H es de dimensi´ on infinita y adem´ as es separable; es decir, contiene un conjunto denso numerable.

Mencionamos r´ apidamente algunos ejemplos de estos espacios. El m´ as com´ un de todos es la generalizaci´ on natural del espacio C ⁿ :

` ² :=

(

{a n } ^∞ n=0 : a n ∈ C, X ∞ n=0

|a n | ² < ∞ )

, con producto interno dado por

h{a n }, {b n }i :=

X ∞ n=0

a n b n .

Otro ejemplo es H ² , el espacio de Hardy-Hilbert, un espacio de funciones anal´ıticas en el disco unitario D, definido como

H ² :=

(

f : D → C : f (z) = X ∞ n=0

a n z ⁿ , X ∞ n=0

|a n | ² < ∞ )

.

En este caso, si las funciones anal´ıticas f y g tienen series de Taylor dadas por f (z) = P ^∞

n=0 a n z ⁿ y g(z) = P ^∞

n=0 b n z ⁿ respectivamente, entonces su producto inter- no est´ a dado por

hf, gi :=

X ∞ n=0

a n b n .

El lector puede observar que los espacios ` ² y H ² son, desde luego, el “mismo espacio”, pero visto desde perspectivas diferentes. La funci´ on

{a n } ^∞ _n=0 7−→

X ∞ n=0

a n z ⁿ

es la identificaci´ on natural entre ` ² y H ² como espacios de Hilbert. Por lo tanto pensamos en estos dos espacios como si fueran el mismo.

Otro espacio de Hilbert de gran importancia es L ² = L ² (S ¹ ), un espacio de fun- ciones medibles (con medida de Lebesgue) en S ¹ , el c´ırculo de radio uno, definido como

L ² = L ² (S ¹ ) :=



f : S ¹ → C : 1 2π

Z 2π 0

|f (e ^iθ )| ² dθ < ∞

 . Aqu´ı el producto interno est´ a dado por

hf, gi := 1 2π

Z 2π 0

f (e ^iθ )g(e ^iθ ) dθ.

Recu´erdese que cada funci´ on φ ∈ L ² tiene una serie de Fourier de la forma X ∞

n=−∞

a n e ^inθ ,

donde a n :=

φ, e ^inθ 

es el coeficiente de Fourier con ´ındice n.

Existe una relaci´ on no obvia entre H ² y L ² . Uno de los teoremas cl´ asicos de la teor´ıa de espacios de Hardy afirma que, para toda funci´ on f ∈ H ² , el l´ımite cuando r → 1 ⁻ de f (re ^iθ ) existe casi para todo θ. Por este motivo, definimos la funci´ on b f como

f (e b ^iθ ) := l´ım

r→1

f (re ^iθ ).

De hecho, b f resulta estar en L ² y su serie de Fourier tiene la forma X ∞

n=0

a n e ^inθ ,

donde f (z) = X ∞ n=0

a n z ⁿ es la serie de Taylor de f . De igual manera, si b f es una funci´ on en L ² con serie de Fourier

X ∞ n=0

a n e ^inθ , entonces la funci´ on f (z) := P ^∞

n=0 a n z ⁿ est´ a en H ² y f(e b ^iθ ) = l´ım

r→1

f (re ^iθ ),

casi para todo θ. Es decir, podemos identificar las funciones en H ² con ciertas fun- ciones en L ² : sus funciones de “frontera”, descritas por las relaciones mencionadas antes. De hecho, pensaremos que H ² es el subespacio de L ² de las funciones cuyos coeficientes de Fourier de ´ındice negativo son cero. De ahora en adelante, pasaremos de una funci´ on f ∈ H ² a su funci´ on de frontera b f y viceversa sin mayor explicaci´ on y denotaremos a b f como f cuando esto no cause confusiones.

Uno de los teoremas fundamentales en la teor´ıa de espacios de Hilbert establece que todos los espacios de Hilbert separables y de dimensi´ on infinita son isomorfos (es decir, son “iguales” si s´ olo nos fijamos en las propiedades de estos como espacios de Hilbert). ¿Por qu´e entonces no tomamos a ` ² como nuestro espacio de Hilbert y nos olvidamos de los dem´ as? Una de las principales razones es que los operadores sobre un espacio de Hilbert pueden ser m´ as f´ aciles de estudiar si elegimos nuestro espacio de Hilbert de la forma adecuada.

Definici´ on 2.1. Sea H un espacio de Hilbert. Decimos que T : H −→ H es un operador si T es una transformaci´ on lineal.

Los operadores que m´ as nos interesan son aquellos que son continuos. Resulta ser que un operador es continuo si y s´ olo si es acotado.

Definici´ on 2.2. Sea H un espacio de Hilbert. Decimos que un operador T : H −→ H es acotado si existe una constante C > 0 tal que

kT xk ≤ Ckxk, ∀x ∈ H.

Definimos la norma de T como

kT k := inf {C > 0 : kT xk ≤ Ckxk ∀x ∈ H} .

Uno de los operadores m´ as utilizados en este art´ıculo es el desplazamiento hacia adelante S (por el t´ermino ingl´es shift). Definimos S : ` <sup>2</sup> −→ ` ² como

S(a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , . . . ) = (0, a 0 , a 1 , a 2 , . . . ).

Claramente kSxk = kxk para todo vector x ∈ ` ² , por lo que S es un operador acotado

y kSk = 1.

En el espacio de Hardy-Hilbert H ² definimos el operador M z : H ² −→ H ² como (M z f )(z) = zf (z).

Es claro que kM z f k = kf k para toda f ∈ H ² y, por lo tanto, kM z k = 1. De hecho, bajo la identificaci´ on natural entre ` ² y H ² , M z es simplemente el operador S y as´ı lo denotaremos.

Un espacio importante para nosotros es L ^∞ = L ^∞ (S ¹ ), el conjunto de las funciones medibles y esencialmente acotadas en S ¹ , definido como

L ^∞ = L ^∞ (S ¹ ) := 

φ : S ¹ −→ C : kφk ^∞ < ∞ , donde

kφk ^∞ := inf 

λ ≥ 0 : m 

e ^iθ ∈ S ¹ : |φ(e ^iθ )| > λ

= 0 ,

y m es la medida de Lebesgue (normalizada) en S ¹ . El espacio L ^∞ es un espacio de Banach; es decir, es un espacio vectorial, normado y completo. Es un ejercicio sencillo ver que L ^∞ es un subconjunto de L ² .

Una propiedad importante de L ^∞ es que, si φ ∈ L ^∞ y f ∈ L ² entonces φf ∈ L ² ; de hecho, kφf k ≤ kφk ^∞ kf k. Esto nos permite definir el operador de multiplicaci´ on por funciones en L ^∞ como M φ : L ² −→ L ² , dado por

M φ f = φf.

Un argumento directo demuestra que M φ es un operador acotado y adem´ as que kM φ k = kφk ^∞

Por ´ ultimo, definimos la matriz de un operador en H ² . Para todo n ∈ N 0 := N∪{0}, definimos e n (z) := z ⁿ . Es f´ acil ver que {e n : n ∈ N 0 } es una base ortonormal de H ² y nos referimos a ´esta como la base can´ onica del espacio. Obs´ervese que Se n = e n+1

para todo n ∈ N 0 .

Definici´ on 2.3. Sea A un operador en un espacio de Hilbert H, separable y de dimensi´ on infinita, y sea {e n : n ∈ N 0 } una base ortonormal de este espacio. Si A : H −→ H es un operador, definimos la matriz de A con respecto a la base ortonormal {e n } como la matriz cuya entrada (m, n) esta dada por hAe n , e m i.

Por ejemplo, la matriz del desplazamiento hacia adelante (con respecto a la base {e n } mencionada arriba) tiene la forma

S =



 

 

 

 



0 0 0 0 0 . . . 1 0 0 0 0 . . . 0 1 0 0 0 . . . 0 0 1 0 0 . . . 0 0 0 1 0 . . . .. . .. . .. . .. . .. . . ..



 

 

 

 



.

El adjunto de S se conoce como el operador de desplazamiento hacia atr´ as, y se puede comprobar que S ^∗ e 0 = 0, y S ^∗ e n = e n−1 para todo n ∈ N. Su matriz es de la forma

S ^∗ =



 

 

 

 



0 1 0 0 0 . . . 0 0 1 0 0 . . . 0 0 0 1 0 . . . 0 0 0 0 1 . . . 0 0 0 0 0 . . . .. . .. . .. . .. . .. . . ..



 

 

 

 

 .

Es importante recalcar que un operador puede tener asociadas matrices diferentes si se escogen bases ortonormales diferentes. Sin embargo, la representaci´ on matricial es ´ util operativamente, pues la acci´ on de un operador sobre un vector se puede ver como la multiplicaci´ on de la matriz por un vector columna (cuyas coordenadas son los coeficientes de representaci´ on del vector en la base dada).

Una pregunta natural es si, dada cualquier matriz infinita, existe un operador acotado A cuya matriz con respecto a alguna base sea la matriz dada. La respuesta es no, y un ejemplo muy sencillo est´ a dado por la matriz



 

 

 

 



1 0 0 0 0 . . . 0 2 0 0 0 . . . 0 0 3 0 0 . . . 0 0 0 4 0 . . . 0 0 0 0 5 . . . .. . .. . .. . .. . .. . . ..



 

 

 

 

 .

Se deja al lector la verificaci´ on de la inexistencia de tal operador acotado.

3. Operadores de Toeplitz y de Hankel

Supongamos que un conjunto de operadores tienen matrices (con respecto a la misma base ortonormal) con “estructuras parecidas”; ¿habr´ a propiedades comunes de todos estos operadores que sean consecuencia de la forma de las matrices? Por ejemplo, tomemos la clase de operadores con matrices de la forma



 

 

 

 



a 0 a ⁻ 1 a ⁻ 2 a ⁻ 3 a ⁻ 4 . . . a 1 a 0 a −1 a −2 a −3 . . . a 2 a 1 a 0 a ⁻ 1 a ⁻ 2 . . . a 3 a 2 a 1 a 0 a ⁻ 1 . . . a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 . . . .. . .. . .. . .. . .. . . ..



 

 

 

 



;

es decir, las “diagonales” de la matriz del operador T son constantes:

hT e s , e t i = hT e n , e m i si t − s = m − n.

Dicho de otra forma, la entrada (m, n) de la matriz de T s´ olo depende de la diferencia m − n. Estas matrices se conocen como matrices de Toeplitz. ¿Qu´e propiedades de operadores con matrices de Toeplitz se pueden obtener a partir del estudio de los coeficientes a n de la matriz?

Necesitamos una definici´ on adicional. Sea P la proyecci´ on ortogonal de L ² so- bre H ² ; es decir, el operador que manda una funci´ on f ∈ L ² con serie de Fourier P ^∞

n=−∞ a n e ^inθ a la funci´ on P f en H ² con serie de Taylor P ^∞

n=0 a n z ⁿ . Dado esto, podemos dar uno de los resultados fundamentales de la teor´ıa de operadores con matrices de Toeplitz.

Teorema 3.1 (Brown y Halmos, 1963). Sea T : H ² −→ H ² un operador con matriz de Toeplitz

T = (a m−n ) ^∞ _m,n=0

El operador T es acotado si y s´ olo si existe una funci´ on φ ∈ L ^∞ tal que a n = 1

2π Z 2π

0

φ(e ^iθ )e ^{− inθ} dθ para todo n ∈ Z.

En este caso, T = T φ := P M φ y kT k = kφk ^∞ .

Es decir, el operador T es acotado si y s´ olo si sus entradas matriciales corresponden a los coeficientes de Fourier de una funci´ on esencialmente acotada.

A los operadores de la forma P M φ se les conoce como operadores de Toeplitz, independientemente de que sean acotados o no (si φ ∈ L ² pero φ / ∈ L ^∞ el operador no ser´ a acotado). De igual manera, se puede hablar de operadores de Toeplitz en otros espacios de funciones, mientras haya una proyecci´ on hacia un “buen” subespacio y una multiplicaci´ on (estos operadores no tendr´ an, necesariamente, matrices de Toeplitz).

La teor´ıa de operadores de Toeplitz est´ a muy desarrollada y existen resultados muy interesantes que relacionan las propiedades del operador T φ con las propiedades de φ.

Se le recomienda al lector que consulte [Dou, Hal, Nik, Pe2] si desea aprender m´ as sobre estos operadores tan fascinantes.

¿Qu´e sucede si cambiamos un poco la forma de las matrices que estudiamos? Con- sideremos el conjunto de operadores con matrices de la forma



 

 

 

 



a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 . . . a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 . . . a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 . . . a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 . . . a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 . . . .. . .. . .. . .. . .. . . ..



 

 

 

 



;

es decir, que las “anti-diagonales”de la matriz del operador H son constantes:

hHe s , e t i = hHe n , e m i si t + s = m + n.

Dicho de otra forma, la entrada (m, n) de la matriz de H s´ olo depende de la suma m + n. Estas matrices se conocen como matrices de Hankel.

El resultado fundamental sobre los operadores que tienen matrices de Hankel es el siguiente teorema. N´ otese que la primera parte del teorema establece que el ope- rador de Hankel es acotado si y s´ olo si sus entradas matriciales corresponden a los coeficientes de Fourier de ´ındice no positivo de una funci´ on esencialmente acotada.

Teorema 3.2 (Nehari, 1957). Sea H : H ² −→ H ² un operador con matriz de Hankel dada por

H = (a m+n ) ^∞ _m,n=0 .

El operador H es acotado si y s´ olo si existe una funci´ on φ ∈ L ^∞ tal que a n = 1

2π Z 2π

0

φ(e ^iθ )e ^inθ dθ para todo n ∈ N 0 .

En este caso, H = H φ := P JM φ , donde P es la proyecci´ on ortogonal descrita arriba y J : L ² −→ L ² es el operador de volteo definido como

(Jf )(e ^iθ ) = f (e ^−iθ ).

A´ un m´ as, existe ψ ∈ L ^∞ con a n = 1

2π Z 2π

0

ψ(e ^iθ )e ^inθ dθ para todo n ∈ N 0 , y con la propiedad que kHk = kψk ^∞ .

En general no es cierto que kHk = kφk ^∞ para toda φ ∈ L ^∞ que satisfaga a n = 1

2π Z 2π

0

φ(e ^iθ )e ^inθ dθ , para todo n ∈ N 0 .

A cualquier funci´ on que satisfaga esta ´ ultima condici´ on se le conoce como un s´ımbolo del operador H y es f´ acil de ver que si hay un s´ımbolo, entonces hay una infinidad de ellos. De hecho, ya que la matriz de Hankel s´ olo depende de los coeficientes de Fourier con ´ındice no positivo de su s´ımbolo, se tiene que

H φ = H ψ ⇐⇒ φ − ψ ∈ zH ^∞ , donde H ^∞ := L ^∞ ∩ H ² .

El teorema de Nehari establece que existe un s´ımbolo ψ ∈ L ^∞ tal que kHk = kψk ^∞ y adem´ as, se puede obtener como corolario que para un operador de Hankel H φ , con φ ∈ L ^∞ , se tiene que

kH φ k = dist _L

(φ, zH ^∞ ).

4. Matrices de Hankel de rango finito

Uno de los primeros resultados conocidos sobre matrices de Hankel se debe a Kro- necker. Si pensamos solamente en matrices de Hankel (es decir, nos olvidamos por un momento que representan operadores), es natural preguntarse cu´ ando estas matrices son de rango finito n: es decir, cu´ ando es verdad que existe un n ∈ N tal que cualquier conjunto de m´ as de n columnas de la matriz son linealmente dependientes.

Por ejemplo, consid´erese la matriz R λ :

R λ =



 

 

 

 



1 λ λ ² λ ³ λ ⁴ λ ⁵ . . . λ λ ² λ ³ λ ⁴ λ ⁵ λ ⁶ . . . λ ² λ ³ λ ⁴ λ ⁵ λ ⁶ λ ⁷ . . . λ ³ λ ⁴ λ ⁵ λ ⁶ λ ⁷ λ ⁸ . . . λ ⁴ λ ⁵ λ ⁶ λ ⁷ λ ⁸ λ ⁹ . . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . ..



 

 

 

 

 ,

con λ ∈ C (por cierto, esta matriz representa un operador acotado si y s´ olo si |λ| < 1).

Claramente, esta matriz es de rango finito 1: cualquier conjunto de 2 o m´ as columnas son linealmente dependientes.

Teorema 4.1 (Kronecker, 1881). Sea H la matriz de Hankel dada por

H =



 

 

 

 



a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 . . . a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 . . . a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 . . . a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 . . . a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 . . . .. . .. . .. . .. . .. . . ..



 

 

 

 

 .

La matriz H es de rango finito si y s´ olo si la funci´ on a 0 + a 1

1 z + a 2

1 z ² + a 3

1 z ³ + . . . es racional.

Por ejemplo, en el caso de la matriz R λ descrita arriba, si |z| > |λ| entonces tenemos la igualdad

1 + λ 1 z + λ ² 1

z ² + λ ³ 1

z ³ + · · · = z z − λ . Esta funci´ on es racional.

Si se combina el teorema de Kronecker con el de Nehari, se puede obtener el si- guiente corolario.

Corolario 4.2. Sea H una matriz de Hankel de rango finito

H = (a m+n ) .

La matriz H representa un operador de Hankel acotado si y s´ olo si la funci´ on racional a 0 + a 1

1 z + a 2

1 z ² + a 3

1 z ³ + . . . tiene todos sus polos dentro del disco D.

Notese que z

z − λ tiene como ´ unico polo a λ, por lo que R λ es la matriz de un operador acotado si y s´ olo si λ ∈ D.

5. Operadores de Hankel compactos

Obs´ervese que un operador T es acotado si y s´ olo si T manda el conjunto B := {x ∈ H : kxk ≤ 1}

en un conjunto acotado. A un operador T se le dice compacto si T (B) tiene cerradura compacta (en espacios de Hilbert, esto es equivalente a decir que T (B) es un conjunto compacto [Hal, Cap´ıtulo 15]).

En espacios de Hilbert, decir que un operador es compacto es equivalente a decir que es el l´ımite (en norma) de operadores de rango finito y es por esto que se les considera la generalizaci´ on natural de los operadores en espacios de dimensi´ on finita.

¿Cu´ ando es un operador de Hankel compacto? El siguiente teorema da una respuesta muy elegante.

Teorema 5.1 (Hartmann, 1958). Sea H : H ² −→ H ² un operador con matriz de Hankel dada por

H = (a m+n ) ^∞ _m,n=0 .

El operador H es compacto si y s´ olo si existe una funci´ on g continua en S ¹ tal que a n = 1

2π Z 2π

0

g(e ^iθ )e ^inθ dθ para todo n ∈ N 0 .

Es decir, un operador de Hankel H es compacto si y solo si existe una funci´ on continua g tal que H = H g ; en otras palabras, los operadores de Hankel compactos tienen un s´ımbolo continuo. Es pertinente aclarar que en general no es cierto que este s´ımbolo continuo cumpla que kHk = kgk ^∞ [Pe1].

Existen subclases de operadores compactos que han sido muy estudiadas, las lla- madas clases p de Schatten-von Neumann (si p = 2 se trata de la clase de operadores de Hilbert-Schmidt; si p = 1 se trata de la clase de operadores de traza finita). Exis- ten condiciones necesarias y suficientes sobre los s´ımbolos de un operador de Hankel para que pertenezca a las clases p de Schatten-von Neumann. El lector interesado deber´ a consultar [Nik, Pe2].

Nota: A pesar de que hemos usado la palabra operador para referirnos a una

transformaci´ on lineal arbitraria, a partir de este momento, cuando mencionemos la

palabra operador nos estamos refiriendo siempre a un operador acotado.

6. Propiedades espectrales

Recu´erdese que S es el operador de desplazamiento hacia adelante en H ² . Si A es cualquier operador, es f´ acil ver que la matriz de S ^∗ A es igual a la matriz de A, excepto que se borra el primer rengl´ on; de igual manera, la matriz de AS es igual a la matriz de A, excepto que se borra la primera columna. Las matrices de Hankel son, por definici´ on, las que dan el mismo resultado si se borra el primer rengl´ on que si se borra la primera columna. Por lo tanto, la matriz de un operador H es de Hankel si y s´ olo si S ^∗ H = HS. Por cierto, an´ alogamente se puede ver que un operador T tiene matriz de Toeplitz si y s´ olo si S ^∗ T S = T .

Hay muchas consecuencias interesantes de estas relaciones. Una de las primeras es la siguiente observaci´ on.

Proposici´ on 6.1. Sea H : H ² −→ H ² un operador de Hankel. El operador H no es invertible.

Demostraci´ on. Como observamos antes, H cumple la ecuaci´ on S ^∗ H = HS. Si H fuera invertible, esto querr´ıa decir que S ^∗ y S son operadores similares. Pero no lo son (obs´ervese, por ejemplo, que S es inyectivo y S ^∗ no lo es). 

El espectro de un operador T : H −→ H se define como el conjunto σ(T ) := {λ ∈ C : T − λ no es invertible } ,

y uno de los resultados b´ asicos del an´ alisis funcional es que este conjunto es siempre compacto y no vac´ıo.

Con esta definici´ on, la Proposici´ on 6.1 se puede escribir como:

0 ∈ σ(H) para todo operador de Hankel H.

Una pregunta muy natural es si existe un operador de Hankel que s´ olo tenga al cero en su espectro; es decir, ¿es posible tener H, un operador de Hankel, tal que σ(H) = {0}? Por supuesto, el operador H = 0 es de Hankel y satisface esta condici´ on, pero ser´ıa deseable tener un ejemplo no trivial.

En la b´ usqueda de tal ejemplo, una de las primeras preguntas que uno se hace es si existen operadores de Hankel nilpotentes no triviales. La respuesta resulta ser no.

Teorema 6.2 (Power, 1984). Sea H un operador de Hankel. Si H ⁿ = 0 para algun n ∈ N entonces H = 0.

Este teorema nos lleva a pensar en la siguiente generalizaci´ on. Recordemos que un

polinomio p de grado mayor o igual a uno se dice anulador para un operador T si

p(T ) = 0. Si p es un polinomio anulador para T y ning´ un polinomio de grado menor

que el grado de p es anulador, se dice que p es un polinomio m´ınimo para T . Usando

este lenguaje, el Teorema 6.2 dice que ning´ un operador de Hankel diferente de cero

tiene un polinomio anulador de la forma p(x) = x ⁿ para alg´ un n ∈ N.

Es una sencilla consecuencia del Teorema de Mapeo Espectral (para este teorema v´ease, por ejemplo, [Con, p. 204]) que si un operador T tiene un polinomio m´ınimo p, el espectro de T consiste solamente de las ra´ıces de p y adem´ as, todas estas ra´ıces son eigenvalores de T . Esto implica que si H es un operador de Hankel, y p es un polinomio m´ınimo de H, entonces p(0) = 0, pues 0 siempre est´ a en el espectro de H.

¿Qu´e otras restricciones deben tener los polinomios m´ınimos de operadores de Hankel?

El siguiente teorema da un respuesta parcial a la pregunta anterior y generaliza el Teorema de Power.

Teorema 6.3 (Mart´ınez-Avenda˜ no, 2000). Sea H un operador de Hankel y sea q cualquier polinomio. El polinomio p(x) = x ² q(x) nunca es el polinomio m´ınimo para el operador H.

El lector habr´ a notado que no hemos dicho si existen operadores de Hankel que tengan polinomio m´ınimo o no (¡pod´ıamos estar hablando del conjunto vacio!), pero por supuesto que existen. El cl´ asico teorema de Cayley-Hamilton del ´ algebra lineal, establece que cualquier matriz finita es anulada por su polinomio caracter´ıstico: por lo tanto, cualquier matriz finita tiene un polinonio m´ınimo. Ya que cualquier operador de rango finito se puede representar como una matriz finita, la conclusi´ on es que los operadores de Hankel de rango finito poseen polinomios m´ınimos. El Teorema 6.3 implica que los polinomios m´ınimos de los operadores de Hankel de rango finito son todos de la forma p(x) = xq(x) con q(0) 6= 0.

De hecho, el Teorema 6.3 implica que el polinomio m´ınimo (si existe) de cualquier operador de Hankel debe ser de la forma p(x) = xq(x) con q(0) 6= 0. La pregunta entonces es si, adem´ as de los de rango finito, hay otros operadores de Hankel que tengan polinomio m´ınimo. La respuesta es afirmativa y a continuaci´ on damos un ejemplo.

Sea θ una funci´ on en H ² con la propiedad que |θ(e ^iθ )| = 1 casi en todas partes (dichas funciones existen y se conocen como funciones internas) y que adem´ as cumpla que θ(z) = θ(z). Se puede ver que H := H _zθ tiene polinomio m´ınimo p(x) = x ³ − x.

Adem´ as, se puede escoger θ de manera que H no sea de rango finito (si el lector desea ver los detalles, consulte [M-A1] ). Ser´ıa interesante conocer m´ as ejemplos de operadores de Hankel de rango infinito que tengan polinomio m´ınimo.

Pero regresemos a la pregunta original: ¿existe un operador de Hankel H no trivial

con σ(H) = {0} ? La respuesta resulta ser afirmativa.

Teorema 6.4 (Megretskii, 1990). El operador de Hankel Γ con matriz dada por

Γ =



 

 

 

 

 

 

 

 



i ¹ ₂ 0 ¹ ₄ 0 0 0 ¹ ₈ 0 . . .

1

2 0 ¹ ₄ 0 0 0 ¹ ₈ 0 0 . . . 0 ¹ ₄ 0 0 0 ¹ ₈ 0 0 0 . . .

1

4 0 0 0 ¹ ₈ 0 0 0 0 . . . 0 0 0 ¹ ₈ 0 0 0 0 0 . . . 0 0 ¹ ₈ 0 0 0 0 0 0 . . . 0 ¹ ₈ 0 0 0 0 0 0 0 . . .

1

8 0 0 0 0 0 0 0 ₁₆ ¹ . . . 0 0 0 0 0 0 0 ₁₆ ¹ 0 . . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . ..



 

 

 

 

 

 

 

 



es un operador compacto y adem´ as σ(Γ) = {0}.

El ejemplo de Megretskii responde afirmativamente la pregunta m´ as b´ asica sobre el espectro de los operadores de Hankel. A´ un no se conoce un ejemplo de un operador de Hankel cuyo espectro sea {0} pero que no sea compacto.

Hemos visto que 0 siempre est´ a en el espectro de un operador de Hankel. ¿Existen otras restricciones sobre que conjuntos pueden ser espectros de estos operadores? Por ejemplo, se sabe que el espectro de un operador de Toeplitz siempre tiene que ser conexo [Dou]. El siguiente teorema muestra que no hay ninguna otra restricci´ on en el caso de operadores de Hankel.

Teorema 6.5 (Mart´ınez-Avenda˜ no y Treil, 2000). Sea σ cualquier subconjunto com- pacto de C tal que 0 ∈ σ. Existe un operador de Hankel H tal que σ(H) = σ.

De alguna manera, el teorema anterior afirma que hay una gran variedad de ope- radores de Hankel. Sin embargo, hay ciertas otras restricciones que debe cumplir un operador de Hankel. Mencionamos aqu´ı algunas de ellas.

Proposici´ on 6.6. Sea H un operador de Hankel. Entonces, i. H ^∗ tambi´en es un operador de Hankel.

ii. dim Ker H = 0 ´ o dim Ker H = ∞ (esto es una consecuencia directa del hecho de que Ker H siempre es un subespacio invariante para S);

iii. dim Ker H = codim Ran H;

iv. (Megretskii, Peller y Treil, 1995) Para todo λ ∈ C

| dim Ker(H − λ) − dim Ker(H + λ)| ≤ 1.

En 1995, Megretskii, Peller y Treil demostraron que si un operador acotado y

auto-adjunto en un espacio de Hilbert separable cumple con tres condiciones (que

mencionaremos brevemente a continuaci´ on), entonces es unitariamente equivalente a

un operador de Hankel (es decir, existe una base ortonormal del espacio en el cual la

matriz del operador es de Hankel). Estas condiciones son: 1) que el operador no sea invertible; 2) que su n´ ucleo sea trivial o de dimensi´ on infinita; y 3) que sus “funciones de multiplicidad espectral” cumplan con una propiedad parecida a la propiedad IV de la proposici´ on anterior (definir esto de forma precisa nos llevar´ıa mucho m´ as espacio del que disponemos; el lector interesado puede consultar la fuente original [MePeTr]

o el libro [Pe2]).

Lo anterior hace que uno se haga la siguiente pregunta. Supongase que se tiene un operador A que no sea invertible y que adem´ as satisface las condiciones I-IV de la proposici´ on 6.6; ¿existir´ a una base ortonormal del espacio de Hilbert, tal que la matriz de A sea de Hankel? El que esto escribe no conoce la respuesta a esta pregunta, aunque sospecha que es negativa. Por esto mismo, replanteamos (muy vagamente) la pregunta: ¿existen condiciones necesarias y suficientes que garanticen que un operador acotado en un espacio de Hilbert separable tenga una matriz de Hankel para alguna base ortonormal?

7. Relaciones con operadores de Toeplitz

Recu´erdese que, de acuerdo al Teorema de Brown y Halmos (Teorema 3.1), un operador T con matriz de Toeplitz es acotado si y s´ olo si existe una funci´ on φ ∈ L ^∞ tal que T = T φ := P M φ . A la funci´ on φ se le conoce como el s´ımbolo del operador de Toeplitz T φ . En este caso, en contraste con la situaci´ on de los operadores de Hankel, el s´ımbolo s´ı es ´ unico.

Si φ ∈ H ² decimos que φ es una funci´ on anal´ıtica, y si adem´ as φ ∈ L ^∞ decimos que el operador de Toeplitz T φ es anal´ıtico. Si φ ∈ H ² decimos que φ es una fun- ci´ on coanal´ıtica, y si adem´ as φ ∈ L ^∞ , decimos que el operador de Toeplitz T φ es coanal´ıtico.

Existen dos ecuaciones muy importantes que relacionan a los operadores de Hankel con los de Toeplitz. Ambas son f´ aciles de demostrar una vez que se adivina su forma (uno puede adivinar su forma si las ve como “partes” de un operador de multiplicaci´ on en L ² : ver, por ejemplo, [BaHa]). Si φ y ψ son funciones en L ^∞ tenemos que

(1) H _{z ˜ φ} H zψ = T φψ − T φ T ψ

y

(2) H zφψ = T φ ˜ H zψ + H zφ T ψ , donde ˜ φ se define como ˜ φ(e ^iθ ) := φ(e ^{− iθ} ).

Estas relaciones tienen muchas consecuencias interesantes. Mencionamos s´ olo un par. De la ecuaci´ on (1) es claro que, para funciones φ y ψ ∈ L ^∞ , se tiene que

T φψ = T φ T ψ

si y s´ olo si ψ es anal´ıtica o φ es co-anal´ıtica (esto fue demostrado originalmente en

[BrHa] utilizando t´ecnicas distintas). Esto se debe a que H _{z ˜ φ} = 0 si y s´ olo si φ es

co-anal´ıtica y H zψ = 0 si y s´ olo si ψ es anal´ıtica (se necesita tambien el hecho –sencillo de probar– de que el producto de dos operadores de Hankel es cero si y s´ olo si uno de ellos es cero).

De la ecuaci´ on (2) se sigue, entre muchas otras cosas, que ψ es anal´ıtica si y s´ olo H zφψ = H zφ T ψ para todo φ ∈ L ^∞ .

¿Qu´e otras relaciones existen entre operadores de Hankel y de Toeplitz? Por ejem- plo, ¿cu´ ando conmutan un operador de Hankel y uno de Toeplitz? Antes de contestar esa pregunta, es natural preguntarse cuando conmutan dos operadores de Toeplitz.

Si φ y ψ son anal´ıticas tenemos que

T φ T ψ = T φψ = T ψφ = T ψ T φ ,

y por lo tanto se tiene que en este caso los operadores de Toeplitz conmutan. Clara- mente si los s´ımbolos de los operadores de Toeplitz son coanal´ıticos ocurre la misma situaci´ on de arriba. Ya que la identidad es un operador de Toeplitz (con s´ımbolo φ = 1), si uno de los operadores de Toeplitz es igual a un m´ ultiplo del otro m´ as un m´ ultiplo de la identidad, entonces los operadores de Toeplitz conmutan. Resulta ser que no hay otros casos.

Teorema 7.1 (Brown y Halmos, 1963).

T φ T ψ = T ψ T φ

si y s´ olo si se cumple una de las siguientes condiciones φ y ψ son anal´ıticas,

φ y ψ son coanal´ıticas, o

existen constantes a, b ∈ C, no ambas cero, tales que aφ + bψ es constante (es decir, un operador es un m´ ultiplo del otro m´ as un m´ ultiplo de la identidad).

Regresemos a los operadores de Hankel. Es f´ acil demostrar que dos operadores de Hankel s´ olo conmutan en el caso trivial.

Proposici´ on 7.2. Dos operadores de Hankel conmutan si y s´ olo si uno es m´ ultiplo del otro.

Debido a las pocas veces que los operadores de Hankel conmutan entre si y que los operadores de Toeplitz conmutan entre si, uno esperar´ıa que que un operador de Hankel y uno de Toeplitz nunca conmuten. Resulta ser que tambi´en conmutan en un caso no esperado.

Teorema 7.3 (Mart´ınez-Avenda˜ no, 2000). Sea T φ un operador de Toeplitz que no es un m´ ultiplo de la identidad y H 6= 0 un operador de Hankel. Entonces,

T φ H = HT φ

si y s´ olo si H = cH zφ y adem´ as φ(z) = aχ E (z) + b, con a, b, c ∈ C y E es un

subconjunto medible de S ¹ con la propiedad que m(E ^c \E ^∗ )+m(E ^∗ \E ^c ) = 0. Aqu´ı E ^∗

es el conjunto de los conjugados de E ⊆ S ¹ , E ^c es el complemento de E ⊆ S ¹ y m denota la medida de Lebesgue en S ¹ .

Es decir, b´ asicamente, s´ olo conmutan cuando son de la forma:

T φ =



 

 

 

 



a 0 a ⁻ 1 a ⁻ 2 a ⁻ 3 a ⁻ 4 . . . a 1 a 0 a −1 a −2 a −3 . . . a 2 a 1 a 0 a ⁻ 1 a ⁻ 2 . . . a 3 a 2 a 1 a 0 a ⁻ 1 . . . a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 . . . .. . .. . .. . .. . .. . . ..



 

 

 

 



H zφ =



 

 

 

 



a ⁻ 1 a ⁻ 2 a ⁻ 3 a ⁻ 4 a ⁻ 5 . . . a ⁻ 2 a ⁻ 3 a ⁻ 4 a ⁻ 5 a ⁻ 6 . . . a ⁻ 3 a ⁻ 4 a ⁻ 5 a ⁻ 6 a ⁻ 7 . . . a ⁻ 4 a ⁻ 5 a ⁻ 6 a ⁻ 7 a ⁻ 8 . . . a ⁻ 5 a ⁻ 6 a ⁻ 7 a ⁻ 8 a ⁻ 9 . . . .. . .. . .. . .. . .. . . ..



 

 

 

 

 ,

y φ(e ^iθ ) = X ∞ k=−∞

a k e ^iθk es la funci´ on caracter´ıstica de un conjunto “anti-sim´etrico”

del c´ırculo.

8. Generalizaciones

Existen varias direcciones en las que se pueden extender los resultados mencionados arriba. Mencionamos muy brevemente algunas de estas.

Desde el punto de vista de la ecuaci´ on S ^∗ H = HS, cuyas soluciones son los opera- dores de Hankel, se pueden considerar ecuaciones parecidas y analizar sus soluciones.

Por ejemplo, se pueden estudiar soluciones de la ecuaci´ on S ^∗ H = λHS o de la ecuaci´ on S ^∗ H − HS = λH. Resultados de este estilo se pueden encontrar en [M-A2].

En otra direcci´ on, se pueden estudiar operadores que son soluciones a la ecuaci´ on S ^∗ H = HS, pero ahora S es una isometr´ıa, o es un operador con algunas otras restricciones (por ejemplo, [MaPa, PtVr]).

En este art´ıculo se han considerado operadores de Hankel que van del espacio H ² en si mismo. Desde otro punto de vista (quiz´ a m´ as natural) se considera que los operadores de Hankel actuan del espacio H ² al espacio (H ² ) ^⊥ ⊂ L ² como H φ :=

(I −P )M φ . De la misma manera, se pueden considerar operadores de Hankel actuando

en otros espacios de funciones, como son los espacios de Segal-Bargmann, Bergman,

Dirichlet o espacios de Hardy en dominios de dimensi´ on 2 o m´ as: s´ olo se necesita una

multiplicaci´ on y proyectar hacia al complemento de un “buen” subespacio. Un buen

lugar para comenzar el estudio de operadores de Hankel en otros espacios es [Zhu].

Las relaciones que se estudiaron arriba se pueden estudian “m´ odulo operadores compactos”. Es decir, se pueden considerar estos operadores y sus generalizaciones en el ´ Algebra de Calkin. Esto se ha hecho en [M-A3, GuZh].

Si el lector desea aprender m´ as sobre las propiedades de los operadores de Hankel, los libros [Nik, Par, Pe2, Pow] son un buen lugar para empezar. Y, como dice Paul Halmos, “iterar el operador de bibliograf´ıa”.

Referencias

[BaHa] Jos´e Barr´ıa y Paul Halmos, Asymptotic Toeplitz operators, Trans. Amer. Math. Soc. 273 (1982) 621–630.

[BrHa] Arlen Brown y Paul Halmos, Algebraic properties of Toeplitz operators, J. Reigne Angew. Math. 213 (1963/1964) 89–102.

[Con] John B. Conway, A course in functional analysis, Segunda Edici´ on, Springer-Verlag, New York, 1990.

[Dou] Ronald Douglas, Banach algebra techniques in operator theory, Segunda Edici´ on, Springer-Verlag, New York, 1998.

[Hal] Paul Halmos, A Hilbert space problem book, Segunda Edici´ on, Springer-Verlag, New York, 1982.

[GuZh] Kunyu Guo y Dechao Zheng, Essentially commuting Hankel and Toeplitz operators, J. Funct. Anal. 201 (2003) 121–147.

[MaPa] Carmen Mancera y Pedro Pa´ ul, On Pt´ ak’s generalization of Hankel operators, Czechoslo- vak Math. J. 51 (126) (2001) 323–342.

[M-A1] Rub´en A. Mart´ınez-Avenda˜ no, Hankel operators and generalizations, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 2000.

[M-A2] Rub´en A. Mart´ınez-Avenda˜ no, A generalization of Hankel operators, J. Funct. Anal. 190 (2002) 418–446.

[M-A3] Rub´en A. Mart´ınez-Avenda˜ no, Essentially Hankel operators, J. London Math. Soc. (2) 66 (2002) 741–752.

[MaTr] Rub´en A. Mart´ınez-Avenda˜ no y Sergei Treil, An inverse spectral problem for Hankel operators, J. Operator Theory 48 (2002) 83–93.

[MePeTr] Alexander Megretskii, Vladimir Peller y Sergei Treil, The inverse spectral problem for self-adjoint Hankel operators, Acta Math. 174 (1995) 241–309.

[Nik] Nikolai Nikolskii, Operators, functions and systems: an easy reading, Volumen I, American Mathematical Society, Providence, 2002.

[Par] Jonathan Partington, An introduction to Hankel operators, Cambridge University Press, Cambridge, 1988.

[Pe1] Vladimir Peller, An excursion into the theory of Hankel operators en “Holomorphic Spaces (Berkeley, CA 1995)” MSRI Publications, Cambridge University Press, 1998.

[Pe2] Vladimir Peller, Hankel operators and its applications, Springer-Verlag, New York, 2003.

[Pow] Stephen Power, Hankel operators on Hilbert space, Pittman, Boston, 1982.

[PtVr] Vlastimil Pt´ ak y Pavla Vrbov´ a, Operators of Toeplitz and Hankel type, Acta Sci. Math. (Szeged) 52 (1988) 117–140.

[Zhu] Kehe Zhu, Operator theory in function spaces, Marcel Dekker, New York, 1990.

Centro de Investigaci´ on en Matem´ aticas, Universidad Aut´ onoma del Estado de Hidal- go, Ciudad Universitaria, Carr. Pachuca-Tulancingo km 4.5, 42090 Pachuca, Hidalgo.

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