MATEMÁTICA II - 3° 3° Anexo TRABAJO N°7
Duración 8 al 28 de Junio
Profesora: ZERFUZ MÓNICA
TRIGONOMETRÍA
Triángulo rectángulo
Recordamos que un triángulo es rectángulo cuando tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados ó π/2π/2 radianes.
De los tres lados del triángulo, se llama hipotenusa al lado opuesto al ángulo recto. Los otros dos lados se denominan catetos:
Si conocemos dos lados del triángulo, podemos calcular el otro aplicando el teorema de Pitágoras.
Teorema: dado un triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa h (el lado opuesto al ángulo recto). Entonces,
Recordemos que:
el triángulo es rectángulo porque tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados ó π / 2 radianes.
la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto Problema 1
Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo de lados 3cm y 4cm.
Por tanto, la hipotenusa mide 5cm.
Problema 2
Calcular la altura que podemos alcanzar con una escalera de 3 metros apoyada sobre la pared si la parte inferior la situamos a 70 centímetros de ésta.
Hay que tener en cuenta que las unidades de medida no son las mismas. Podemos escribirlas todas en metros, así que
70 cm = 7 dm = 0.7 m
El triángulo que tenemos es
La altura es uno de los catetos. Aplicamos el teorema de Pitágoras para calcularla:
Por tanto,
Pero como a es la altura, debe ser positiva. Por tanto, la altura será, aproximadamente
Problema 3 (RESOLVER)
Al atardecer, un árbol proyecta una sombra de 2,5 metros de longitud. Si la distancia desde la parte más alta del árbol al extremo más alejado de la sombra es de 4 metros, ¿cuál es la altura del árbol?
Problema 4 (RESOLVER)
Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos lados miden 34 cm y 48 cm.
Sin embargo, en ocasiones no conocemos dos lados, pero sí conocemos uno de los otros dos ángulos no rectos. En estos casos es cuando utilizamos el seno y el coseno.
Seno y coseno
El coseno de un ángulo α se define como el cociente del lado contiguo al ángulo α y la hipotenusa.
De forma análoga, el seno de α se define como el cociente del lado opuesto al ángulo α y la hipotenusa.
Nota: si cambiamos de ángulo, cambian los numeradores:
Normalmente, para referirnos al seno de α podemos escribir sin(α), sen(α) ó seno(α). Y para el coseno, cos(α) ó coseno(α) .
Nosotros utilizaremos sin(α) y cos(α).
Regla mnemotécnica: el COseno es el lado COntiguo entre la hipotenusa y el senO es el lado Opuesto entre la hipotenusa.
Tangente
La tangente del ángulo α es el cociente del seno y del coseno de dicho ángulo:
La tangente es el cociente del lado opuesto y del lado contiguo.
La tangente del ángulo α puede escribirse como tan(α) y como tg(α), entre otras.
Problema 5
Se desea sujetar un poste de 20 metros de altura con un cable que parte de la parte superior del mismo hasta el suelo de modo que forme un ángulo de 30º.
Calcular el precio del cable si cada metro cuesta 12$.
Luego el cable debe medir 40 metros y su precio es de 480$:
Problema 6
Calcular la altura, a, de un árbol sabiendo que, si nos situamos 8 metros de la base del tronco, vemos la parte superior de su copa en un ángulo de 36.87º.
Como la altura a es el cateto opuesto al ángulo, utilizaremos el seno:
Pero como necesitamos calcular la hipotenusa h del triángulo, utilizamos el coseno:
Sustituimos los datos:
La hipotenusa mide
Por tanto, la altura del árbol es
Problema 7
Del siguiente triángulo rectángulo se conocen sus dos catetos: uno mide 4m y el otro mide 3m:
Calcular la hipotenusa y los ángulos α y β.
Como el triángulo es rectángulo, aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa:
La hipotenusa mide 5 metros.
Para calcular los ángulos podemos utilizar, por ejemplo, el seno:
Como conocemos los catetos y la hipotenusa, podemos calcular el seno de los ángulos:
Finalmente, para calcular los ángulos sólo debemos utilizar
la función arcoseno:
(calculadora:
Shift sin 0,6) (calculadora:
Shift sin 0.8)
Como el triángulo es rectángulo, aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa:
La hipotenusa mide 5 metros.
Para calcular los ángulos podemos utilizar, por ejemplo, el seno:
Como conocemos los catetos y la hipotenusa, podemos calcular el seno de los ángulos:
Finalmente, para calcular los ángulos sólo debemos utilizar la función arcoseno:
Problema 8 (RESOLVER)
Se desea sujetar un poste de 40 metros de altura con un cable que parte de la parte superior del mismo hasta el suelo de modo que forme un ángulo de 50º.
Calcular el precio del cable si cada metro cuesta 69$.
Problema 9 (RESOLVER)
De un triángulo rectángulo se conocen sus dos catetos: uno mide 14m y el otro mide 23m, calcular la hipotenusa y los ángulos α y β.
Problema 10 (RESOLVER)
Calcular la altura, a, de un árbol sabiendo que, si nos situamos 18 metros de la base del tronco, vemos la parte superior de su copa en un ángulo de 43.27º.
RESOLVER LOS PROBLEMAS 3-4-8-9- Y 10 OBSERVANDO LOS EJEMPLOS.
