Diplomado de Circuitos de corriente alterna

Diplomado de Circuitos de corriente

alterna

Módulo 3: Análisis de potencia

en CA

Potencia instantánea y promedio: La potencia, en circuitos de CA tiene varias maneras de presentarse. El primer tipo de potencia que nos ocupa es la potencia instantánea, la cual es la potencia en un instante de tiempo determinado. Esto es así debido a que en CA la corriente y el voltaje varían respecto al tiempo.

La potencia instantánea se define como:

𝑝 𝑡 = 𝑣 𝑡 𝑖 𝑡

La potencia instantánea es la potencia en cualquier instante de tiempo. Es la proporción de energía absorbida por un elemento.

Análisis de potencia–Potencia Instantanea y Promedio

Debido a que la potencia instantánea es difícil de medir físicamente con un Vatímetro, lo que se mide y es más fácil de utilizar es la potencia promedio. Este tipo de potencia es el promedio de la potencia instantánea a lo largo de un periodo y se define de la siguiente manera:

𝑝 = 1 𝑇 ₀

𝑇

𝑝 𝑡 𝑑𝑡

O en su forma desarrollada 𝑃 = ¹

2 𝑉_𝑚𝐼_𝑚 cos 𝜃_𝑣 − 𝜃_𝑖

De esta manera es como se calcula la potencia en los elementos de un circuito. Cabe destacar que dependiendo del elemento que se esté analizando podemos evadir algunos pasos. Una carga resistiva (R) absorbe potencia todo el tiempo, mientras que una carga reactiva (L o C) absorbe una potencia promedio nula.

Análisis de potencia–Potencia Instantanea y Promedio

Sean 𝑣 𝑡 la tensión e 𝑖 𝑡 la corriente en las terminales del circuito 𝑣 𝑡 = 𝑉_𝑚 cos 𝜔𝑡 + 𝜃_𝑣

𝑖 𝑡 = 𝐼_𝑚 cos 𝜔𝑡 + 𝜃_𝑖

La potencia instantantánea absorbida por el circuito es 𝑝 𝑡 = 𝑣 𝑡 𝑖 𝑡 = 𝑉_𝑚𝐼_𝑚 cos 𝜔𝑡 + 𝜃_𝑣 cos 𝜔𝑡 + 𝜃_𝑖

𝑝 𝑡 = ¹

2 𝑉_𝑚𝐼_𝑚 cos 𝜃_𝑣 − 𝜃_𝑖 + ¹

2 𝑉_𝑚𝐼_𝑚 cos 2𝜔𝑡 + 𝜃_𝑣 + 𝜃_𝑖

La potencia instantánea tiene dos partes. La primera es constante o independiente del tiempo. Su valor depende de la diferencia de fase entre la tensión y la corriente. La segunda es una función senoidal cuya pulsación es 2𝜔.

Análisis de potencia–Potencia Instantanea y Promedio

• La potencia instantánea cambia con el tiempo y es por consiguiente difícil de medir.

• La potencia promedio o activa es más sencilla de medir.

• El Vattímetro determina la potencia promedio o activa.

• El valor medio de la potencia es el promedio de la potencia instantánea en un período

• La potencia promedio o activa está dada por:

𝑃 = 1 𝑇 _𝑜

𝑇

𝑝 𝑡 𝑑𝑡

𝑃 = 1

2 𝑉_𝑚𝐼_𝑚 cos 𝜃_𝑣 − 𝜃_𝑖 𝑝(𝑡) varía en el tiempo, en tanto que P depende de éste.

Análisis de potencia–Potencia Instantanea y Promedio

Grafica de potencia instantanea y potencia promedio

Análisis de potencia–Potencia Instantanea y Promedio

Ejemplo: Dado que 𝑣 𝑡 = 120 cos 377𝑡 + 45° 𝑉 e 𝑖 𝑡 =10cos 377𝑡 − 10° 𝐴. Halle la potencia instantánea y la potencia promedio.

Solución: la potencia instantánea esta dada por:

𝑝 = 𝑣_𝑖 = 1200 cos 377𝑡 + 45° cos 377𝑡 − 10°

La aplicación de la identidad trigonométrica cos 𝐴 cos 𝐵 = 1

2 cos 𝐴 + 𝐵 + cos 𝐴 − 𝐵 Da como resultado

𝑝 = 600 cos 754𝑡 + 35° + cos 55°

O sea

𝑝 𝑡 = 344,2+ 600cos 754𝑡 + 35° W La potencia promedio es

Análisis de potencia–Potencia Instantanea y Promedio

𝑝 = ¹

2 𝑉_𝑚𝐼_𝑚 cos 𝜃_𝑣 − 𝜃_𝑖 = ¹

2120 10 cos 45° − −10 = 600cos 55° = 344,2 W Lo cual es la parte constante de 𝑝 𝑡 .

Ejemplo: Calcule la Potencia Media de cada uno de los cinco elementos del siguiente circuito.

Análisis de potencia–Potencia Instantanea y Promedio

Solución:

Análisis de potencia–Potencia Instantanea y Promedio

,

2 4,

10

2 10,

5 (10 5)

4 4 2.5 5 6.5 5

10

100 12.194 37.57 A 6.5 5

P 1 100 12.194 cos 37.57 483.3 W 2

P 1 (12.194) 4 297.4 W, 2

P 0

100 5

6.097 52.43 so 6.5 5 10

P 1 (6.097) 10 185.87 2

in

s

s abs

abs

cabs

abs

j j

j j

j

j j

        

     



       

 



   



  

Z

I

I

W P_L  0 (  0)

Máxima transferencia de potencia promedio: La definición de potencia es la capacidad para realizar alguna función o acción para producir un efecto determinado. Si llevamos esto a la electricidad, podremos notar que la potencia es la que nos define como es el accionar de los aparatos, así que al diseñar un circuito se busca obtener siempre la potencia máxima, para así, poder gastar menos en alimentación o bien, para poder aprovechar mejor los recursos. El circuito de Thevenin nos ayuda a analizar el comportamiento del voltaje, corriente e impedancia sobre una carga en un determinado punto del circuito, por lo tanto, este tipo de circuito nos ayudará a encontrar la impedancia adecuada para obtener la máxima potencia.

𝑃_𝑚á𝑥= ^{𝑉𝑇ℎ 2}

8𝑅_𝑇ℎ

Análisis de potencia–Maxima Transferencia de Potencia

Ejemplo: Para el circuito de la siguiente figura, determine:

a) ¿Qué valor de 𝑍_𝐿 absorberá una Potencia Media Máxima?

b) ¿Cuál es el valor de esta Potencia Máxima?

Análisis de potencia– Introducción

Solución:

Análisis de potencia– Introducción

120 10 107.33 116.57 V

10 5

10 (10 15)

8 14

10 5

th

th

j

j j

j j

     



 

   

 V

Z

2 ,max

107.33 116.57 16

1 107.33

P 8 180 W

2 16

L

L

  

 

 

     I

Valor Medio Eficaz o RMS: El valor medio eficaz es una medida de la eficacia de una fuente al suministrar potencia a una carga. Definamos de manera arbitraria el valor eficaz en términos de una forma de onda de corriente, aunque seria igualmente posible elegir un voltaje.

El valor eficaz de cualquier corriente periódica resulta igual al valor de la corriente directa que, al fluir a través de un resistor de R ohms, entrega la misma potencia promedio al resistor que la corriente periódica.

En otras palabras, permitimos que una corriente periódica dada fluya por el resistor, determinamos la potencia instantánea i².R sobre un periodo; esto es la potencia promedio.

Provocamos después que una corriente directa fluya por el mismo resistor y ajustamos el valor de la corriente directa hasta que se obtenga el mismo valor de potencia promedio. La magnitud resultante de la corriente directa es igual al valor medio eficaz de la corriente periódica dada.

La expresión matemática general para el valor eficaz de i(t) se obtiene con facilidad. La potencia promedio que entrega la corriente periódica i(t) al resistor se obtiene mediante:

Analísis de potencia – Valor Eficaz

Donde el periodo de i(t) es T. La potencia que entrega la corriente directa corresponde a:

𝑃 = I_EF².R

Igualando las expresiones de potencia y despejando I_EF, obtenemos:

Resumiendo, la operación que implica determinar un valor eficaz es la raíz cuadrada de la media del cuadrado, el valor eficaz se denomina a menudo como el valor de la raíz cuadrática media o simplemente el valor RMS.

Analísis de potencia – Valor medio

Valor RMS de una onda senoidal: Supongamos que tenemos la siguiente corriente i(t) = 𝐼_𝑀 sen𝜔t. Esta corriente tiene un periodo 𝑇 = ^2𝜋

𝜔 . Para obtener el valor eficaz:

Usando la siguiente identidad trigonométrica: 𝑠𝑒𝑛²ϕ =¹

2 - ¹

2 cos 2ϕ

Analísis de potencia – Valor RMS

Entonces,

Por tanto, el valor RMS de una onda sinusoidal es igual al valor máximo dividido entre 2.

De aquí que una corriente senoidal con un valor máximo de 𝐼_𝑀 entrega la misma potencia promedio a una resistencia R que una corriente dc con un valor de ^𝐼𝑀

2 .

Analísis de potencia – Valor RMS

Ejemplo: Para la tensión periódica que se muestra en la figura, obtenga:

a) El valor Medio de la tensión b) Calcule el valor rms.

c) La potencia media disipada en una resistencia de 2.25 ^

Analísis de potencia – Valor RMS

Solución:

a) Valor medio= 0 V

b) Valor rms, área bajo un ciclo de la curva 𝑣_𝑔²

𝐴 = 5² 2 30𝑥10⁻⁶ + 2² 2 37.5𝑥10⁻⁶ = 1800x10⁻⁶ Valor Medio 𝑣_𝑔²:

M.V.= ^𝐴

200𝑥10⁻⁶ = 1800x¹⁰⁻⁶

200𝑥10⁻⁶ = 9 entonces 𝑉_𝑟𝑚𝑠= 9= 3𝑉_𝑟𝑚𝑠

c) 𝑃 = ^{𝑉𝑟𝑚𝑠2}

𝑅 = ³²

2,25= 4W

Analísis de potencia – Valor RMS

Potencia eléctrica en corriente alterna: La potencia entregada a una carga en cualquier instante está definida por el producto del voltaaje aplicado y la corriente resultante, es decir, 𝑝 = 𝑣 𝑡 . 𝑖 𝑡 . Pero en corriente alterna, dado que 𝑣 e 𝑖 son cantidades sonoidales, se establece que:

𝑣 = 𝑉_𝑚 sin 𝜔𝑡 + 𝜑_𝑣 𝑖 = 𝐼_𝑚 sin 𝜔𝑡 + 𝜑_𝑖

Si la carga es resistiva 𝜑 = 0°, si la carga es reactiva (inductiva o capacitiva), 𝜑 = 90° o

− 90°. Para obtener la potencia instantánea se tiene la siguiente ecuación:

𝑝 𝑡 = 𝑣 𝑡 . 𝑖 𝑡 =𝑉_𝑚𝐼_𝑚 sin 𝜔𝑡 + 𝜑_𝑣 sin 𝜔𝑡 + 𝜑_𝑖

Potencia activa(P): Es la energía consumida, capaz de producir trabajo útil y es similar a la energía consumida por una resistencia eléctrica; su simbolo es P, sus unidades son los Watts (W). La ecuación de la potencia activa viene dada por:

Analísis de potencia – Potencia Eléctrica

𝑃 = 𝑉_𝑚𝐼_𝑚

2 cos 𝜑

Donde 𝑉_𝑚 e 𝐼_𝑚 son los valores pico del voltaje y la corriente.

También puede expresarse como:

𝑃 = 𝑉 × 𝐼 cos 𝜑

Donde 𝑉 𝑒 𝐼 son los valores eficaces del voltaje y la corriente a demás se considera el ángulo de fase 𝜑 o desfasamiento entre el voltaje y la corriente.

Potencia aparente (S): Potencia entregada a una carga sin considerar los efectos de un ángulo de factor de potencia de la carga, se obtiene con la siguiente formula:

𝑆 = 𝑉_𝑟𝑚𝑠 × 𝐼_𝑟𝑚𝑠

Y su valor se exresa en voltamperes (VA). Si el voltaje y la corriente hubiesen sido cantidades DC, la potencia promedio simplemente sería el producto de estas cantidades

Analísis de potencia – Potencia Activa

Pero al aplicar esta fórmula al problema senoidal, debería obtenerse un valor para la potencia absorbida que aparentemente está dada por 𝑉_𝑟𝑚𝑠𝐼_𝑟𝑚𝑠. Sin embargo, el producto de los valores eficaces de la corriente y voltaje no son la potencia promedio, lo cual se define como potencia aparente.

Potencia reactiva (Q): Se caracteriza por la acumulación de energía, durante una mitad del ciclo y la devolución de la misma durante la otra mitad. No produce un trabajo físico directo, es necesario para producir el flujo electromagnético que pone en funcionamiento elementos tales como: motores, transformadores, lámparas, fluorescentes, equipos de refrigeración y otros similares. Está dada por la expresión:

𝑄 = 𝑉 × 𝐼 × 𝑠𝑖𝑛𝜑 Donde 𝑉𝑒 𝐼, se miden en voltamperes reactivos (VAR).

En la siguiente figura se muestra la relación existente entre las distintas potencias:

Analísis de potencia – Potencia Reactiva

A partir del triángulo de potencias se puede obtener:

𝑆 = 𝑃² + 𝑄² ; cos ∅ = 𝑃

𝑆 ; tan ∅ = 𝑄

𝑃

Analísis de potencia – Potencia Reactiva

Como se observa, la potencia aparente es la suma geométrica de las potencias real y reactiva.

Por definición, el factor de potencia de entrada es la potencia activa dividida entre la potencia aparente. El factor de potencia deerá tener un valor aproximado a 1 cuando la forma de onda de la corriente concuerde con la forma de onda del voltaje y está expresado como:

𝐹𝑃 = 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎

𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 = ^𝑃

𝑉_𝑟𝑚𝑠 𝐼_𝑟𝑚𝑠

En el caso senoidal, el factor de potencia simplemente es cos 𝜑 donde 𝜑 es el angulo de desfasamiento entre el voltaje y la corriente. Para aprovechar toda la energía que se suminstra, la industria eléctrica procura que todas las instalaciones tengan un factor de potencia máximo, por lo tanto la potencia reactiva será mínima. A pesar de lo dicho anteriormente, por razones de seguridad en la red eléctrica se aconseja que el factor de potencia sea próximo a 1 pero sin llegar a este valor, ya que en este caso se produce el fenómeno denominado resonancia, que da lugar a la aparición de valores peligrosos de voltaje y corriente.

Analísis de potencia – Potencia Reactiva

Corrector del factor de potencia: Existen dos tipos de de correctores de factor de potencia:

• Corrector de factor de potencia pasivo: Es manera más común de corregir el FP, y es utiizado en aplicaciones de alta potencia. Se realiz a través de cargas reactivas, como bancos de capacitores a la entrada de la señal, esto para que el desfasamiento existente entre el voltaje y la corriente sea menor.

Existen métodos que nos pueden ayudar a la reducción de armónicos y optimizar el factor de potencia los cuales son:

a) Proveedor armónicos.

b) Proveedor de resonancia.

c) Selección de capacitancia.

d) Corección estática.

e) Inversor.

Analísis de potencia – Potencia Reactiva

• Corrector del factor de potencia activo: es la manera más eficiente de corregir el FP, para realizar esto emplean un circuito de control de alta frecuencia para controlar el flujo de corriente a la carga; lo cual tiene el efecto de sincronizar la corriente demandada para que el desfasamiento entre la corriente y el voltaje sea menor. Se utiliza para aplicaciones de media potencia.

Los correctores de factor de potencia activos son más eficientes ya que pueden alcanzar un FP del 95%. A continuación se mencionan algunos ejemplos de corrector de potencia activos:

Corrector de factor de potencia en dos etapas: El método utilizado para la corrección del factor de potencia consta de dos etapas como se muestra en la figura siguiente:

Analísis de potencia – Potencia Reactiva

La primera etapa es donde se realiza la conversión CA/CD, así como la corrección del factor de potencia, la rectificación se realiza en un circuito de puente de diodo; la corrección del FP pone en fase el voltaje y la corriente, esto lo realiza con un convertidor CD/CD. La segunda etapa se complementa con un convertidor CD/CD, el cual es requerido para realizar el voltaje de salida. Desde que este método tiene dos etapas, el tamaño y el costo se elevan y la eficiencia se ve disminuida debido a la transferencia de energia entre una etapa y otra. Sin embargo esto podría ser una buena opción par aconvertidores CA/CD debido a las siguientes razones:

• Forma de onda senoidal de la corriente garantiza el cumplimento de cualquier estandar.

• Buen funcionamiento en voltajes de línea universal.

• El hecho de tener un voltaje constate en la entrada permite un buen diseño de la segunda etapa.

• Ofrece la posibilidad de aislar la linea de la carga.

• La penalidad que existe en en la eficiencia es parcialmente compesada, por el hecho de

Analísis de potencia – Potencia Reactiva

Que el voltaje controlado por un capacitor de almacenamiento.

Corrector de factor de potencia con una etapa: Se realiza la corrección del factor de potencia a través de una sola etapa como se muestra en la figura siguiente:

En la figura se muestra que se realiza la converción de CA/DC y la correción del factor de potenicia, además de tener un voltaje de saida regulado. Esto se obtiene modificando un convertidor CD/CD, para que trabaje como un convertidor CA/CD.

Analísis de potencia – Potencia Reactiva

Y también ponga en fase el voltaje y la corriente y no distorsione sus formas de onda. Por lo cual se reduce costos, debido a que se utiliza un solo circuito y se reducen las pérdidas que podría ocasionar la transferencia de energía de una etapa a otra.

Ejemplo: Una fuente de tensión de 339 cos (100t - 66) V se conecta a una carga puramente inductiva de 150 mH. Determine:

a) ¿Cuál es la corriente eficaz que circula por el circuito?.

b) ¿Cuál es la potencia instantánea máxima que absorbe la carga?.

c) ¿Cuál es la potencia instantánea mínima que absorbe la carga?.

d) Calcule la potencia aparente que entrega la fuente.

e) Calcule la potencia reactiva que entrega la fuente.

f ) ¿Cuál es la potencia compleja entregada a la carga?

Analísis de potencia – Potencia Reactiva

Solución:

V = 339 -66° V, w = 100 rad/s, carga inductiva pura de 150 mH (j47.12 ) a) I= ^𝑉

𝑍 =^{339∠−66°}

𝑗47.12 = 7.194∠-156° A así 𝐼_𝑒𝑓𝑓= ^7.194

2 = 5,087 A rms b) p(t) = ½ V_mI_m cos  + ½ V_mI_m cos(2wt + )

donde  = ángulo de corriente – ángulo de voltaje p_max = ½ V_mI_m cos  + ½ V_mI_m =

= (1 + cos(-90°)) (339)(7.194)/ 2 = 1219 W c) app_min = ½ V_mI_m cos  - ½ V_mI_m = -1219 W

d) parent power = V_eff I_eff = ³³⁹

2 5,087 = 1219 VA

Potencia reactiva = Q = V_eff I_eff sin ( – ) = 1219 VA Potencia Compleja = j1219 VA

Analísis de potencia – Potencia Reactiva

La Distorsión Armónica Total o THD (Total Harmonic Distortion), es un parámetro que nos indica la similitud entre la forma de onda y su componente fundamental. En casi todos los casos se desea que un sistema sea lineal en invariante en el tiempo, pero si el sistema cuenta con un dispositivo no lineal, entonces el contenido adicional es sumado a la diferencia original y se expresa como:

𝑇𝐻𝐷 =

𝐼₂² + 𝐼₃² + 𝐼₄² + ⋯ + 𝐼_𝑁² 𝐼₁

El THD usualmente es expresado en porcentaje, como factor de distorsión o en decibeles, como atenuación de la distorsión.

Analísis de potencia – Distorsion Armonica

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