UNIVERSIDAD DE COSTA RICA FACULTAD DE CIENCIAS B ´ASICAS
ESCUELA DE MATEM ´ATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEM ´ATICA APLICADA
MA-1004: ´ Algebra Lineal
CARTA AL ESTUDIANTE, III SEMESTRE 2020‡
Sigla MA-1004
Naturaleza Te´orico-Pr´actico
Horas Presenciales 10
Horas estudio independiente 8
Modalidad Verano
Cr´editos 3
Requisito Ingreso a Carrera
Correquisito Ninguno
1. Descripci´ on del curso
Este curso brinda las herramientas b´asicas que son esenciales en muchos campos de es- tudio. Su utilidad pr´actica se ha consolidado en la explicaci´on de principios fundamentales y en la simplificaci´on de c´alculos en distintas ramas como ingenier´ıa, ciencias de la compu- taci´on, matem´aticas, f´ısica, biolog´ıa, procesamiento de im´agenes, econom´ıa y estad´ıstica. Lo que esperamos se convierta en un est´ımulo para el trabajo que deber´an realizar en el curso.
Dotar al estudiante de la maquinaria del ´algebra lineal necesaria para hacer frente a cursos avanzados de su respectiva carrera es el objetivo principal. Para lograr este fin el curso inicia con la teor´ıa de matrices de componentes reales y su relaci´on con el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. Posteriormente se utilizar´an herramientas algebraicas en la resoluci´on de problemas de tipo geom´etrico. En la segunda parte del curso se tiene al estudio de los espacios vectoriales y las transformaciones lineales en espacios vectoriales de dimensi´on fini- ta. Finalmente se hace una aplicaci´on al estudio de las formas cuadr´aticas. A cada concepto principal tratado se le dar´a una interpretaci´on geom´etrica, lo cual ayudar´a a visualizar mejor los conceptos.
En este curso se requiere que el estudiante desarrolle su capacidad de pensamiento abs- tracto. Se busca que obtenga conclusiones sobre c´omo resolver un problema, reconociendo las hip´otesis planteadas, y utilizar los conceptos te´oricos en el planteamiento de la soluci´on de dicho problema. Para este fin ser´a necesario incluir algunas demostraciones simples y la
‡Versi´on actualizada al 4 de diciembre del 2020.
generalizaci´on de algunos conceptos, sin llegar a un nivel de abstracci´on extremo. Este curso tiene un nivel medio de dificultad y se requiere que el estudiante dedique suficiente tiempo para comprender y asimilar los diferentes conceptos y resultados te´oricos estudiados en la clase. Adem´as para fortalecer el estudio es importante que el estudiante dedique tiempo a la resoluci´on de problemas.
2. Objetivos generales
1. Contribuir a la formaci´on matem´atica del estudiante, esencial para describir, entender y resolver problemas propios de su disciplina.
2. Contribuir al desarrollo del estudiante, de su habilidad para interpretar y deducir anal´ıticamente resultados del ´algebra lineal y aplicar ´estos a su disciplina de estudio.
3. Fomentar el uso correcto del lenguaje de la matem´atica y desarrollar la habilidad para expresar ideas de manera rigorosa y coherente.
4. Que el estudiante adquiera el dominio de los temas b´asicos del ´algebra lineal.
3. Objetivos espec´ıficos
1. Aplicar algoritmos convenientes para resolver sistemas de ecuaciones lineales y expresar, en forma adecuada, el conjunto soluci´on de un sistema de ecuaciones lineales.
2. Conocer el ´algebra de matrices y el c´alculo de determinantes, as´ı como sus propiedades, para aplicarlo adecuadamente a la soluci´on y an´alisis de los sistemas de ecuaciones lineales.
3. Determinar, si existe, la inversa de una matriz cuadrada.
4. Conocer y aplicar la geometr´ıa vectorial a diferentes tipos de problemas.
5. Conocer la estructura de espacio vectorial y espacios vectoriales relacionados con ma- trices y polinomios.
6. Identificar el conjunto Rn como un espacio vectorial con producto interno, conocer su geometr´ıa y poder generalizar los conceptos de recta y plano.
7. Identificar los espacios vectoriales de dimensi´on finita de Rn
8. Conocer y aplicar las propiedades b´asicas del producto vectorial en R3.
9. Determinar si un conjunto de vectores es una base y obtener una base ortogonal a partir de una base dada.
10. Determinar el complemento ortogonal de un subespacio de Rn.
11. Conocer las propiedades b´asicas de las transformaciones lineales y su relaci´on con el
12. Determinar si una funci´on de Rn en Rm es una transformaci´on lineal y representar una transformaci´on lineal de este tipo, mediante una matriz.
13. Determinar transformaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensi´on finita.
14. Determinar bases para el n´ucleo y la imagen de una transformaci´on lineal.
15. Representar una transformaci´on lineal mediante una matriz con respecto a bases dadas de su dominio y codominio.
16. Determinar matrices de cambio de bases y relacionarlas con la representaci´on matricial de una transformaci´on lineal.
17. Obtener los valores propios de una matriz y los espacios propios asociados a cada valor propio.
18. Determinar si una matriz o transformaci´on lineal, es diagonalizable o no.
19. Aplicar la teor´ıa de diagonalizaci´on al estudio de las curvas cuadr´aticas en dos y tres variables.
4. Actividades para lograr los objetivos
1. Para cumplir los objetivos del 1 al 3 el estudiante debe repasar las propiedades de los n´umeros reales, la resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineales en dos variables, as´ı como el tema de factorizaci´on.
2. Para cumplir los objetivos del 4 al 11 el estudiante deber repasar la suma de vectores, adem´as los temas de resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineales, ´algebra matricial y determinantes.
3. Para cumplir los objetivos del 12 al 17 el estudiante debe revisar el concepto de funci´on inyectiva, sobreyectiva y biyectiva. Adem´as se deben manejar con solvencia los temas anteriores.
4. Para cumplir los objetivos del 18 al 20 el estudiante debe repasar la teor´ıa sobre c´onicas y tener presente todo lo visto anteriormente.
5. Programa
rTema 1| Matrices
Concepto general de una matriz. Tipos de matrices: cuadrada, diagonal, identidad, triangular, sim´etrica, antisim´etrica, vector columna y vector fila . ´Algebra elemental de matrices: suma, productor escalar y multi- plicaci´on. Propiedades b´asicas del ´algebra de matrices.
rTema 2| Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas de n ecuaciones lineales en m va- riables homog´eneos y no homog´eneos. Solu- ci´on y conjunto soluci´on de un sistema de ecuaciones lineales. Matriz de coeficientes y matriz aumentada de un sistema de ecuacio- nes lineales. Operaciones elementales sobre las filas de una matriz. Matrices equivalentes por filas. Sistemas equivalentes y su relaci´on con las operaciones elementales sobre las fi- las de una matriz. Forma escalonada y forma escalonada reducida. Rango de una matriz.
M´etodo de reducci´on de Gauss-Jordan. So- luci´on de un sistema de ecuaciones lineales que depende de uno o m´as par´ametros. Sis- temas consistentes, inconsistentes, con solu- ci´on ´unica y con infinitas soluciones.
rTema 3| Matrices invertibles
Inversa de una matriz y matrices invertibles.
M´etodo de Gauss-Jordan para hallar la in- versa de una matriz. Matrices invertibles y sistemas lineales. Matrices elementales y ma- trices inversas. Matrices idempotentes y nil- potentes. Matriz transpuesta y sus propieda- des.
rTema 4| Determinantes
Definici´on de determinante de una matriz 2ˆ 2, 3ˆ3 y sus propiedades elementales. Meno- res y cofactores de una matriz n ˆ n. C´alculo del determinante de una matriz triangular.
Determinante de una matriz invertible. De- terminante de la transpuesta de una matriz.
C´alculo de determinantes aplicando opera- ciones elementales sobre las filas y/o colum- nas de matriz. Regla de Cramer. C´alculo de
la inversa de una matriz usando la matriz ad- junta. Relaci´on entre el rango de una matriz y su determinante.
rTema 5| Geometr´ıa vectorial
Representaci´on geom´etrica de un vector. Su- ma y producto escalar de vectores. Norma de un vector. ´Angulo entre dos vectores. Pro- ducto cruz en R3y c´alculo de ´areas y vol´ume- nes. Proyecciones ortogonales en R2 y R3. Combinaci´on lineal de un conjunto de vecto- res en Rn.
rTema 6| Rectas y planos
Descripci´on de una recta en Rn. Ecuaciones vectorial, param´etricas y sim´etricas de rec- tas en R3. Planos en R3. Ecuaci´on vectorial, normal y cartesiana de planos en R3. Hiper- planos en Rn. Distancia entre dos puntos, entre un punto y una recta, entre dos rec- tas, entre un punto y un plano, y entre dos planos.
rTema 7| Espacios vectoriales
Parte A. Definici´on y propiedades b´asi- cas de los espacios vectoriales. Ejemplos de espacios vectoriales, incluyendo espacios de matrices y polinomios. Subespacio vectorial.
Parte B. Combinaci´on lineal de un conjun- to de vectores de un espacio vectorial. De- pendencia e independencia lineal. Conjunto generador de un espacio vectorial. Bases y dimensi´on de un espacio vectorial. Coorde- nadas de un vector con respecto a una base ordenada. Espacio fila y espacio columna de una matriz. Intersecci´on y suma de subespa- cios vectoriales.
rTema 8| Transformaciones lineales Concepto de transformaci´on lineal. Determi- naci´on de una transformaci´on lineal por su acci´on sobre una base. N´ucleo e imagen de una transformaci´on lineal. Inyectividad y so- breyectividad de una transformaci´on lineal.
Relaci´on entre las dimensiones del dominio, el n´ucleo y la imagen de una transformaci´on lineal. Matriz asociada a una transformaci´on
lineal. Transformaci´on lineal asociada a una matriz. Espacio nulo y espacio imagen de una matriz. Composici´on de transformacio- nes lineales y producto de matrices. Matriz de cambio de base. Transformaciones linea- les invertibles. Rotaciones y reflexiones.
rTema 9| Ortogonalidad
Conjuntos, bases y subespacios ortogonales.
Bases ortonormales. Complemento ortogo- nal. Proyecci´on ortogonal sobre un subespa- cio. Ortonormalizaci´on de Gram-Schmidt.
rTema 10| Diagonalizaci´on
Concepto de valor y vector propio. Subes- pacio asociado a un valor propio. Polinomio caracter´ıstico de una matriz. Multiplicidad algebraica y geom´etrica. Matriz diagonali-
zable. Diagonalizaci´on de matrices. Matrices ortogonalmente diagonalizables. Valor y vec- tor propio de un operador lineal. Diagona- lizaci´on de operadores lineales. Operadores lineales ortogonalmente diagonalizables.
rTema 11| Curvas y superficies cuadr´ati- cas
Secciones c´onicas: par´abolas, elipses e hip´erbolas. Ecuaciones can´onicas de las curvas y superficies cuadr´aticas. Formas cuadr´aticas en general y sus matrices asocia- das. Diagonalizaci´on de formas cuadr´aticas asociadas a curvas y superficies cuadr´aticas.
Rotaci´on y traslaci´on de las secciones c´oni- cas, adem´as de conocer sus ejes principales y su ´angulo de rotaci´on.
6. Cronograma
Este cronograma es una gu´ıa de la distribuci´on semanal de los contenidos del curso, cada profesor est´a en libertad de exponer los conceptos y realizar la pr´actica que considere necesaria seg´un su estilo y en el orden que desee, siempre que no altere los contenidos que debe cubrir para cada examen parcial.
Semana Fecha
1 04 Ene al 8 Ene Tema 1: Matrices Tema 2: Sistemas de Ecuaciones Lineales 2 11 Ene al 15 Ene Tema 3 : Matrices Invertibles Tema 4 : Determinantes 3 18 Ene al 22 Ene Tema 5 : Geometr´ıa Vectorial Tema 6 : Rectas y Planos
4 25 Ene al 29 Ene Tema 7: Espacios Vectoriales Parte A Tema 7: Espacios Vectoriales Parte B I Parcial Viernes 07 de Febrero 9am [Temas 2, 4, 5, 6 y 7A]
5 1 Feb al 5 Feb Tema 8: Transformaciones Repaso
6 8 Feb al 12 Feb Tema 8: Transformaciones Tema 9: Ortogonalidad 7 15 Feb al 19 Feb Tema 10 : Diagonalizaci´on Tema 11 : Curvas Cuadr´aticas 8 22 Feb al 26 Feb Tema 11 : Curvas Cuadr´aticas Repaso
* * * Fin de Lecciones III-Semestre 2020 * * * II Parcial Lunes 01 de Marzo 9am [Temas 7B, 8, 10 y 11]
Ampliaci´on Viernes 05 de Marzo 9am
7. Evaluaci´ on
Se realizar´an dos ex´amenes parciales, cada uno con el mismo valor porcentual de 40 %.
Adem´as se realizar´an dos quices con un valor porcentual del 10 % cada uno. El primer quiz evaluar´a Tema 1: Matrices y Tema 3: Matrices Invertibles, el segundo quiz evaluar´a Tema 9:
Ortogonalidad.
7.1. Reporte de la nota final
Para efectos de promoci´on rigen los siguientes criterios, los cuales se refieren a la nota de aprovechamiento N A indicada arriba, expresada en una escala de 0 a 10, redondeada, en enteros y fracciones de media unidad, seg´un el reglamento vigente:
Si N A ě 6, 75 el estudiante gana el curso con calificaci´on NA redondeada a la media m´as pr´oxima, los casos intermedios como 7,25 se redondean hacia arriba, es decir, 7,5 Si 5, 75 ď N A ă 6, 75, el estudiante tiene derecho a realizar el examen de ampliaci´on, en el cual se debe obtener una nota superior o igual a 7 para aprobar el curso con nota 7, en caso contrario su nota ser´a 6,0 o 6,5, la m´as cercana a NA.
Si N A ă 5, 75 pierde el curso.
7.2. Ampliaci´ on
Estar´a dividido en dos secciones, correspondientes a los contenidos de cada examen parcial.
Los estudiantes que por su nota de aprovechamiento tengan derecho a realizar el examen de ampliaci´on repondr´an la secci´on o secciones en las que su nota en el examen parcial correspondiente fue inferior a 7,0.
8. Calendario de ex´ amenes
Las fechas de las pruebas parciales (sujetas a la disponibilidad de aulas) son las siguientes:
I Parcial Viernes 7 de Febrero II Parcial Lunes 01 de Marzo Ampliaci´on Viernes 05 de Marzo
9. Detalles sobre evaluaciones
r1| Disposiciones para la realizaci´on de las evaluaciones: Los ex´amenes son de c´atedra y su resoluci´on es individual. Cualquier intento de copiar en el examen ser´a sancionado con base en lo que establece la reglamentaci´on vigente. Los ex´amenes ser´an en l´ınea utilizando Mediaci´on Virtual
r2| Ex´amenes de reposici´on: Aquellos estudiantes con ausencia justificada a un examen de c´atedra, tales como enfermedades (con justificaci´on m´edica), o choques de ex´amenes (con constancia la coordinaci´on respectiva), o casos de giras (reportados por escrito) y con el visto bueno del ´organo responsable, podr´an realizar el examen de reposici´on, siempre que llenen la boleta de justificaci´on (se pide en la secretar´ıa de la Escuela de Matem´atica), adjunten la respectiva constancia y la entreguen al profesor correspondiente, en los cinco d´ıas h´abiles siguientes despu´es de realizada la prueba.
r3| Calificaci´on de ex´amenes: El profesor debe entregar a los alumnos los ex´amenes ca- lificados y sus resultados, a m´as tardar 10 d´ıas h´abiles despu´es de haberlos efectuados, de lo contrario, el estudiante podr´a presentar reclamo ante la direcci´on de la Escuela de Matem´atica.
r4| M´as detalles de los puntos anteriores y otros (como p´erdida de ex´amenes, reclamos) el estudiante puede consultar el Reglamento de R´egimen Acad´emico Estudiantil‡.
10. Metodolog´ıa y Recursos
Debido a la situaci´on generada por la pandemia, durante el tercer ciclo de 2020 las clases se seguir´an desarrollando bajo la modalidad de presencialidad remota. Por ello, el desa- rrollo de los temas se realizar´a de forma sincr´onica y asincr´onica, con el apoyo de entornos virtuales de aprendizaje. En las clases se utiliza la t´ecnica expositiva con posibilidad de in- volucrar a los estudiantes y si es posible, usar recursos tecnol´ogicos. Las clases se deben de complementar con trabajo individual por parte del estudiante para resoluci´on de ejercicios y asimilaci´on de la materia.
Se utilizar´a la plataforma institucional Mediaci´on Virtual en modalidad vir- tual alta. En ese sitio se publicar´an anuncios pertinentes al curso, y adem´as, se pueden encontrar documentos ´utiles. Se acord´o habilitar el entorno en Mediaci´on Virtual para todos los profesores de la c´atedra, con el fin de que cada profesor pueda subir su material y sea compartido por todos. Cada grupo tendr´a su propia carpeta.
Objetivos de evaluaci´ on
r1 | Matrices:
r1.1|Reconocer una matriz, sus caracter´ısticas, componentes y poder clasificarla como cuadrada, diagonal, etc.
r1.2|Realizar las principales operaciones del ´algebra de matri- ces. Conocer y aplicar sus propiedades.
r2 | Sistemas de ecuaciones lineales:
r2.1| Determinar si una ecuaci´on dada es lineal o no, respecto de las variables involucradas.
r2.2|Identificar la matriz de coeficientes de un sistema de ecua- ciones lineales.
r2.3|Escribir un sistema de ecuaciones lineales en forma matri- cial (matriz aumentada).
r2.4|Aplicar operaciones elementales a las filas de la matriz au- mentada de un sistema de ecuaciones lineales para obtener el conjunto soluci´on del sistema.
r2.5|Expresar, adecuadamente, el conjunto soluci´on de un sis- tema de ecuaciones lineales.
r2.6|Calcular la forma escalonada reducida de una matriz.
r2.7|Determinar si dos matrices dadas son equivalentes por fi- las.
r2.8|Determinar el rango fila de una matriz.
r2.9|Determinar si un sistema de ecuaciones lineales es incon- sistente, comparando los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada del sistema.
r2.10| Estudiar sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes constantes y determinar condiciones algebraicas sobre los coefi- cientes para que el sistema sea inconsistente, o tenga soluci´on
´
unica, o tenga infinitas soluciones.
r3 | Matrices invertibles
r3.1|Conocer el concepto inversa de una matriz y determinar en que casos una matriz tiene inversa, y calcularla.
r3.2| Conocer y aplicar las propiedades de la trasposici´on de matrices en relaci´on con la suma y el producto de matrices y la multiplicaci´on por escalar.
r3.3|Resolver ecuaciones matriciales, aplicando las propiedades algebraicas de la suma y la multiplicaci´on, de la transposici´on y de la inversi´on de matrices.
r3.4|Identificar el producto de una matriz por un vector colum- na como una combinaci´on lineal de las columnas.
r3.5|Determinar si un sistema de ecuaciones lineales homog´eneo tiene soluci´on ´unica y/o hallando el rango de la matriz asociada y relacionarlo con independencia vectorial.
r4 | Determinantes
r4.1|Calcular el determinante de matrices y conocer sus pro- piedades.
r4.2|Aplicar operaciones elementales sobre las filas o columnas de una matriz para llevarla a forma triangular y calcular su determinante.
r4.3| Conocer y aplicar la linealidad por filas (columnas) del determinante de una matriz.
r4.4| Conocer y aplicar las propiedades del determinante res- pecto a la multiplicaci´on y la trasposici´on de matrices.
r4.5|Calcular el determinante de una matriz inversa.
r4.6|Determinar, calculando el determinante, si una matriz cua- drada dada es invertible o no.
r4.7|Conocer y aplicar la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales n ˆ n y matriz de coeficientes invertible.
C´alculo de la inversa de una matriz usando la matriz adjunta.
r5 | Geometr´ıa vectorial
r5.1|Reconocer una combinaci´on lineal de un conjunto de vecto- res en R e interpretar flechas entre puntos de Rncomo vectores.
r5.2|Interpretar geom´etricamente la suma de dos vectores y el
r5.3|Calcular el producto punto de dos vectores, la norma de un vector y el ´angulo formado por dos vectores.
r5.4| Determinar la proyecci´on ortogonal de un vector sobre otro.
r5.5|Calcular el producto cruz de dos vectores en R3 y usarlo para calcular ´areas y vol´umenes simples.
r5.6|Interpretar el valor absoluto del determinante de una ma- triz 3 ˆ 3 como el volumen del paralelep´ıpedo formado por sus vectores fila.
r6 | Geometr´ıa vectorial
r6.1|Determinar ecuaci´on vectorial, param´etrica y sim´etrica pa- ra una l´ınea recta en R3.
r6.2|Determinar ecuaci´on vectorial y normal para un plano R3. r6.3|Generalizar el concepto de ecuaci´on normal para un plano al de hiperplano.
r6.4|Determinar intersecciones entre dos l´ıneas rectas, entre una l´ınea recta y un plano y entre dos planos.
r7 | Espacios vectoriales
r7.1|Reconocer la estructura de espacio vectorial en diferentes contextos y determinar si un subconjunto de un espacio vecto- rial es un subespacio vectorial.
r7.2|Reconocer subespacios formados por las combinaciones li- neales de un conjunto finito de vectores de un espacio vectorial.
r7.3|Conocer la intersecci´on y la suma de subespacios vectoria- les.
r7.4|Hallar un conjunto generador de vectores de un subespacio vectorial.
r7.5| Determinar condiciones para que un conjunto de vecto- res, que dependen de uno o m´as par´ametros, sea linealmente independiente.
r7.6| Conocer el concepto de base y dimensi´on de un espacio vectorial.
r7.7|Hallar bases para los espacios fila y columna de una matriz.
r7.8|Hallar bases para subespacios generados por un conjunto de vectores conocidos.
r7.9| Determinar las coordenadas de un vector de un espacio vectorial, con respecto a una base fija.
r8 | Transformaci´ones lineales
r8.1|Conocer el concepto de transformaci´on lineal y sus propie- dades b´asicas.
r8.2|Determinar si una funci´on dada entre dos espacios vecto- riales es una aplicaci´on o transformaci´on lineal.
r8.3|Reconocer los subespacios n´ucleo e imagen de una trans- formaci´on lineal y obtener sus bases.
r8.4| Determinar completamente una transformaci´on lineal a partir de las im´agenes de los elementos de una base de su do- minio.
r8.5|Determinar si una transformaci´on lineal es inyectiva o so- breyectiva.
r8.6|Conocer y aplicar la relaci´on entre las dimensiones del do- minio, el n´ucleo y la imagen de una transformaci´on lineal.
r8.7| Conocer que la suma, la multiplicaci´on por escalar y la composici´on de transformaciones lineales.
r8.8|Reconocer que toda matriz de dimensi´on m ˆ n en deter- mina una transformaci´on lineal de Rnen Rm.
r8.9|Obtener una representaci´on matricial para una transfor- maci´on lineal dada de Rnen Rmcon respecto a las bases can´oni- cas, e identificar la acci´on de la transformaci´on lineal como una multiplicaci´on de una matriz por un vector.
r8.10|Obtener una representaci´on matricial para una transfor- maci´on lineal dada de Rnen Rmrespecto a bases dadas para el dominio y el producto de matrices.
r8.11|Reconocer una representaci´on matricial de la transforma- ci´on identidad, como una matriz de cambio de base.
r8.12| Obtener distintas representaciones matriciales de una transformaci´on lineal, mediante multiplicaci´on por matrices de cambio de base.
r8.13|Determinar si una transformaci´on lineal es invertible y ob- tener la transformaci´on lineal inversa.
r8.14|Conocer la relaci´on entre transformaciones lineales inver- tibles y matrices invertibles, y aplicarlo para obtener inversas.
r9 | Ortogonalidad
r9.1|Reconocer conjuntos ortogonales u ortonormales de un es- pacio vectorial con producto interno.
r9.2| Determinar el complemento ortogonal de un subespacio dado.
r9.3| Obtener la proyecci´on ortogonal de un vector sobre un subespacio vectorial.
r9.4|Obtener una base ortonormal a partir de una base dada de un subespacio usando ortogonalizaci´on de Gram-Schmidt.
r10 | Diagonalizaci´on:
r10.1|Identificar los valores propios de una matriz cuadrada, de- terminar los espacios propios correspondiente y obtener una ba-
se para cada uno de ellos.
r10.2|Identificar la multiplicidad algebraica y geom´etrica de un valor propio.
r10.3| Determinar si una matriz dada A o una transformaci´on lineal es diagonalizable (o si es el caso, ortogonalmente diago- nalizable) y en caso que lo sea obtener una matriz invertible(si es el caso, ortogonal) C tal que C´1AC sea diagonal.
r10.4|Conocer que una matriz real es ortogonalmente diagonali- zable si y solo si es sim´etrica.
r11 | Curvas y superficies cuadr´aticas
r11.1|Conocer las formas cuadr´aticas de las principales curvas y superficies cuadr´aticas.
r11.2|Expresar una forma cuadr´atica por una matriz sim´etrica.
r11.3| Usar la diagonalizaci´on ortogonal para obtener un cam- bio de variable lineal apropiado que elimine los t´erminos mixtos de la forma cuadr´atica de las curvas y superficies estudiadas, e identificar el tipo de curva o superficie.
r11.4|Dibujar las curvas o superficies cuadr´aticas, determinar y dibujar los ejes asociados a los cambios de variable y calcular el
´
angulo de rotaci´on.
11. Profesores y grupos de MA-1004
Horario Profesor(a)
L 09:00-11:50, K 09:00-10:50 Jorge Esquivel Araya M 09:00-11:50, J 09:00-10:50
L 13:00-15:50, K 13:00-14:50 David Vallejos Mel´endez M 13:00-15:50, J 13:00-14:50
L 13:00-15:50, K 13:00-14:50 Maria Lara Solano M 13:00-15:50, J 13:00-14:50
L 15:00-17:50, K 15:00-16:50 Mois´es Solano C´ordoba M 15:00-17:50, J 15:00-16:50
Referencias
[ACG14] C. Arce, W. Castillo, and J. Gonz´alez. ´Algebra lineal. Editorial UCR, 2014.
[Ant04] H. Anton. Introducci´on al ´algebra lineal. Limusa, M´exico, 2004.
[Arc14] C. Arce. Ejercicios resueltos de ´algebra lineal. Editorial UCR, 2014.
[Ger92] H. Gerber. Algebra lineal. Grupo Editorial Iberoam´erica, 1992.
[GF12] S. Grossman and J. Flores. ´Algebra lineal. McGraw Hill, 2012.
[Gol80] L. Golovina. ´Algebra Lineal y Algunas de sus Aplicaciones. Mir, Moscu, 1980.
[Mal72] A. Maltsev. Fundamentos de ´Algebra Lineal. Mir, Mosc´u, 1972.
[S´an20a] J. S´anchez. ´Algebra Lineal Fundamental: Teor´ıa y Ejercicios. Editorial UCR, 2020.
[S´an20b] J. S´anchez. MA1004 ´Algebra Lineal: Ex´amenes Resueltos. En revisi´on, 2020.
[Str06] G. Strang. ´Algebra lineal y sus aplicaciones. Ediciones Paraninfo, 2006.
‡Departamento de Matem´atica Aplicada Tel: (506) 2511-6555
Universidad de Costa Rica http://www.emate.ucr.ac.cr
Sede Rodrigo Facio [email protected]
