Procesos de Lévy y algunas aplicaciones en las finanzas

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(1)ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL. FACULTAD DE CIENCIAS. PROCESOS DE LÉVY Y ALGUNAS APLICACIONES EN LAS FINANZAS. TRABAJO PREVIO A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE INGENIERO MATEMÁTICO. PROYECTO DE INVESTIGACIÓN. DANIEL ALEJANDRO AYALA LÓPEZ [email protected]. Director: DR. LUIS ALCIDES HORNA HUARACA [email protected]. QUITO, MARZO 2017.

(2) DECLARACIÓN Yo DANIEL ALEJANDRO AYALA LÓPEZ, declaro bajo juramento que el trabajo aquí escrito es de mi autoría; que no ha sido previamente presentado para ningún grado o calificación profesional; y que he consultado las referencias bibliográficas que se incluyen en este documento.. A través de la presente declaración cedo mis derechos de propiedad intelectual, correspondientes a este trabajo, a la Escuela Politécnica Nacional, según lo establecido por la Ley de Propiedad Intelectual, por su reglamento y por la normatividad institucional vigente.. Daniel Alejandro Ayala López.

(3) CERTIFICACIÓN. Certifico que el presente trabajo fue desarrollado por DANIEL ALEJANDRO AYALA LÓPEZ, bajo mi supervisión.. Dr. Luis Alcides Horna Huaraca Director del Proyecto.

(4) AGRADECIMIENTOS A mi familia por su cariño y apoyo incondicional. Al Dr. Luis Horna por sus consejos y sugerencias al realizar este proyecto. A los profesores de la Facultad de Ciencias por compartir sus conocimientos. A mis amigos de la universidad y a todos quienes estuvieron pendientes del progreso de este trabajo..

(5) DEDICATORIA A mi familia, les quiero mucho..

(6) Índice de contenido Índice de figuras. iii. Índice de tablas. vi. Índice de códigos. vii. Notación. viii. Resumen. ix. Abstract. x. 1. Preliminares. 1. 1.1. Procesos Estocásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.1.1. Proceso de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.1.2. Proceso de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1.1.3. Proceso de Poisson compensado . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 1.1.4. Proceso de Poisson compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 1.1.5. Medida aleatoria de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 1.2. Finanzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 1.2.1. Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 1.2.2. Modelos financieros, precios de activos . . . . . . . . . . . . . .. 13. 2. Procesos de Lévy. 24. 2.1. Distribuciones infinitamente divisibles y la representación de Lévy-Khintchine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25. 2.2. Ejemplos de procesos de Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29. i.

(7) 2.3. Descomposición de Lévy-Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32. 2.4. Propiedades de las trayectorias de los procesos de Lévy . . . . . . . . .. 33. 2.5. Propiedades distribucionales de los procesos de Lévy. . . . . . . . . . .. 37. 2.6. Procesos estables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38. 2.7. Procesos de Lévy y martingalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40. 3. Simulación de Procesos de Lévy. 42. 3.1. Proceso de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42. 3.2. Proceso de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44. 3.3. Proceso de Poisson compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49. 3.4. Proceso de Lévy salto-difusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51. 3.5. Proceso de Lévy α-estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54. 4. Aplicaciones en las Finanzas. 67. 4.1. Modelos basados en procesos de Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67. 4.1.1. Modelo de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67. 4.1.2. Modelo de Merton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68. 4.1.3. Modelo de Kou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69. 4.2. Aplicaciones prácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69. 4.2.1. JPMorgan Chase & Co. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69. 4.2.2. Corporación Favorita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 76. Conclusiones. 84. Recomendaciones. 86. Referencias. 87. A. Algunas definiciones de Teoría de la medida. 89. B. Función característica, momentos y cumulantes. 92. C. Modelo de series temporales. 94. D. Datos para los modelos financieros. 99. ii.

(8) Índice de figuras 1.1. Cinco trayectorias simuladas del precio de un activo con el modelo de Louis Bachelier, ecuación (1.12). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 1.2. Distribución del logaritmo de los retornos de JPM vs. distribución normal. .. 16. 1.3. Distribuciones del logaritmo de los retornos simulados por el modelo de BlackScholes vs. distribución normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17. 1.4. Evolución diaria del precio de las acciones de JPM vs. evoluciones diarias simuladas con el modelo de Black-Scholes (2013-2016). . . . . . . . . . . . .. 19. 1.5. Evolución diaria del precio de las acciones de JPM vs. evoluciones diarias simuladas con el modelo de Black-Scholes (2013). . . . . . . . . . . . . . .. 20. 1.6. Logaritmo de los retornos de las acciones de JPM. . . . . . . . . . . . . . .. 21. 1.7. Logaritmo de los retornos de la primera simulación utilizando el modelo de Black-Scholes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. 1.8. Logaritmo de los retornos de la segunda simulación utilizando el modelo de Black-Scholes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22. 1.9. Logaritmo de los retornos de la tercera simulación utilizando el modelo de Black-Scholes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22. 1.10. Logaritmo de los retornos de la cuarta simulación utilizando el modelo de Black-Scholes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. 1.11. Logaritmo de los retornos de la quinta simulación utilizando el modelo de Black-Scholes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. 2.1. Trayectoria simulada de un proceso de Wiener en el intervalo [0, 2]. . . . . .. 29. 2.2. Trayectoria simulada de un proceso de Poisson con parámetro λ = 4 en el intervalo [0, 8]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30. 2.3. Trayectoria simulada de un proceso de Poisson compuesto con parámetro λ = 10 en el intervalo [0, 10]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31. 3.1. Trayectorias de procesos de Wiener en el intervalo [0, 1]. . . . . . . . . . . .. 45. iii.

(9) 3.2. Trayectorias de procesos de Poisson con parámetro λ = 20, λ = 10 y λ = 5 en el intervalo [0, 1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47. 3.3. Trayectorias de procesos de Poisson compensados con parámetros λ = 100, λ = 50 y λ = 25 en el intervalo [0, 1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50. 3.4. Trayectorias de procesos de Poisson compuesto con parámetros λ = 100, λ = 50 y λ = 25 en el intervalo [0, 1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52. 3.5. Trayectorias de procesos de Lévy salto-difusión con parámetros (γ = 0, σ 2 = 1 y λ = 20), (γ = 2, σ 2 = 4 y λ = 10) y (γ = 4, σ 2 = 1 y λ = 5) en el intervalo [0, 1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55. 3.6. Proceso de Lévy α-estable con parámetros α = 0,5, σ = 2, β = 1 y µ = 4 en el intervalo [0, 1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59. 3.7. Trayectoria de un procesos de Lévy α-estable con distribución S0,4 (1; −1; 1). 60 3.8. Trayectoria de un procesos de Lévy α-estable con distribución S1,6 (1; 0,5; 1). 61. 3.9. Trayectoria de un procesos de Lévy α-estable con distribución S2 (1; −0,5; 1). 62 3.10. Trayectoria de un procesos de Lévy α-estable simétrico con distribución S0,4 (1, 0, 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 64. 3.11. Trayectoria de un procesos de Lévy α-estable simétrico con distribución S1,7 (1, 0, 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65. 3.12. Trayectoria de un procesos de Lévy α-estable simétrico con distribución S2 (1, 0, 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66. 4.1. Evolución diaria del precio de las acciones de JPM vs. evoluciones diarias simuladas por procesos de Levy α-estables (2013-2016). . . . . . . . . . . .. 71. 4.2. Distribuciones del logaritmo de los retornos simulados por procesos de Lévy α-estables vs distribución normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 72. 4.3. Logaritmo de los retornos con la primera simulación de un modelo basado en un proceso de Lévy α-estable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73. 4.4. Logaritmo de los retornos con la segunda simulación de un modelo basado en un proceso de Lévy α-estable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73. 4.5. Logaritmo de los retornos con la tercera simulación de un modelo basado en un proceso de Lévy α-estable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74. 4.6. Logaritmo de los retornos con la cuarta simulación de un modelo basado en un proceso de Lévy α-estable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74. 4.7. Logaritmo de los retornos con la quinta simulación de un modelo basado en un proceso de Lévy α-estable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75. iv.

(10) 4.8. Comparación entre la serie real y las predicciones del precio de las acciones de JPMorgan Chase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 76. 4.9. Evolución diaria del precio de las acciones de la Corporación Favorita. . . . .. 77. 4.10. Logaritmo de los retornos del precio de las acciones de la Corporación Favorita. 78 4.11. Distribución del logaritmo de los retornos de la Corporación Favorita vs. distribución normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 78. 4.12. Evolución diaria del precio de las acciones de la Corporación Favorita vs. evoluciones diarias simuladas por procesos de Levy α-estables. . . . . . . . .. 80. 4.13. Distribuciones del logaritmo de los retornos de la Corporación Favorita simuladas por procesos de Lévy α-estables vs. distribución normal. . . . . . . . .. 81. 4.14. Distribuciones del logaritmo de los retornos de la Corporación Favorita simuladas por procesos de Lévy α-estables vs. distribución normal. . . . . . . . .. 81. 4.15. Evolución diaria del precio de las acciones de la Corporación Favorita vs. evoluciones diarias simuladas por procesos de Levy α-estables. . . . . . . . .. 82. 4.16. Comparación entre la serie real y las predicciones del precio de las acciones de la Corporación Favorita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 83. C.1. Prueba de Dickey-Fuller para la serie de precios de JPM. . . . . . . . . . .. 95. C.2. Prueba de Dickey-Fuller para la serie de precios de JPM con una diferenciación no estacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96. C.3. Información estadística del modelo GARCH(2, 1) de JPM.. 97. v. . . . . . . . . ..

(11) Índice de tablas 1.1. Precios de un activo financiero con σ 2 = 1 simulado cinco veces con el modelo de Louis Bachelier, ecuación (1.12). . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 1.2. Prueba de normalidad del logaritmo de los rendimientos de JPM vs. prueba de normalidad de los logaritmos de los rendimientos simulados por el modelo de Black-Scholes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17. 3.1. Tiempos de ocurrencia de eventos raros de tres procesos de Poisson con parámetros λ = 20, λ = 10 y λ = 5, respectivamente, en el intervalo [0, 1] . . . .. 46. 3.2. Tiempos de ocurrencia de sucesos raros de tres procesos de Lévy salto-difusión con parámetros (γ = 0, σ 2 = 1 y λ = 20), (γ = 2, σ 2 = 4 y λ = 10) y (γ = 4, σ 2 = 1 y λ = 5) en el intervalo [0, 1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54. 4.1. Parámetros estimados por máxima verosimilitud del precio de cierre de las acciones de JPM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70. 4.2. Predicciones del precio de JPM del mes de julio de 2016 empleando procesos de Lévy α-estables y un modelo GARCH(2, 1) de series temporales. 75 4.3. Parámetros estimados por máxima verosimilitud del precio de cierre de las acciones de la Corporación Favorita. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 79. 4.4. Parámetros estimados del precio de cierre de las acciones de la Corporación Favorita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 79. 4.5. Predicciones del precio de la Corporación Favorita del mes de julio de 2016 empleando procesos de Lévy α-estables. . . . . . . . . . . . . . . .. 83. C.1. Predicciones del precio de JPM del mes de julio de 2016 con un modelo GARCH(2, 1) de series temporales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 98. D.1. Datos de JPMorgan Chase & Co. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 99. D.2. Datos de la Corporación Favorita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107. vi.

(12) Índice de códigos 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7.. Proceso Proceso Proceso Proceso Proceso Proceso Proceso. de de de de de de de. Wiener. . . . . . . . . . . Poisson. . . . . . . . . . . Poisson compensado. . . . Poisson compuesto. . . . Lévy salto-difusión. . . . Lévy α-estable. . . . . . . Lévy α-estable simétrico.. vii. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 43 44 48 49 51 57 58.

(13) Notación Rd R+ N C # lı́ms→t− Xs lı́ms→t+ Xs P(X = a) E[X] E[X|F ] Var(X) i.i.d. P hx, yi = di=1 xi yi x ∧ y = mı́n{x, y}  1 si x ∈ A, 1A (x) = 0 si x ∈ / A.. N (µ, σ 2 ) exp(λ) Poi(λ) U(a, b)    si x > 0,  1 sgn(x) = 0 si x = 0,    −1 si x < 0. R ∞ z−1 −x Γ(z) = 0 x e dx C ∞ (R). Espacio de dimensión d de números reales. Espacio de los números reales positivos. Espacio de los números naturales. Espacio de los números complejos. Número de. Límite cuando s tiende a t por la izquierda de Xs . Límite cuando s tiende a t por la derecha de Xs . Probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor a. Esperanza matemática de la variable aleatoria X. Esperanza de la variable aleatoria X condicionada por la filtración F . Varianza de la variable aleatoria X. Independientes e igualmente distribuidos. Producto escalar del vector x con el vector y. Mínimo entre x y y. Función indicatriz de x en el conjunto A. Distribución Distribución Distribución Distribución. normal con media µ y varianza σ 2 . exponencial con parámetro λ. de Poisson con parámetro λ. uniforme en el intervalo [a, b].. Función signo de x, Función gamma de z. Espacio de las funciones continuamente diferenciables en R.. viii.

(14) Resumen Desde 1900 con Louis Bachelier, los precios de activos financieros han sido modelados principalmente por procesos de Wiener. En las últimas décadas, se han observado dificultades en las propiedades estadísticas de los rendimientos de los activos pues estos no provienen de una distribución normal como se creía, debido a que presentan alta curtosis, colas pesadas, entre otras que, generalmente, son causadas por el cambio brusco (saltos) en el precio de los activos. Por este motivo, en este trabajo se presenta una introducción a los procesos de Lévy que son una clase extensa de procesos estocásticos con incrementos independientes y estacionarios provistos de la propiedad cádlág, con distribuciones infinitamente divisibles y que presentan otras propiedades genéricas que permiten modelar de mejor manera a los precios de los activos financieros, ya que nos permiten representar los saltos tanto en sus trayectorias como en sus distribuciones. El trabajo consiste de cuatro capítulos. En el primer capítulo se inicia estudiando las principales definiciones y propiedades de los procesos estocásticos y finalmente se abordan las dificultades que tienen los procesos de Wiener al modelar precios de activos financieros. En el segundo capítulo se resumen definiciones y propiedades de los procesos de Lévy. En el tercer capítulo se realizan simulaciones de algunos procesos de Lévy con en el software estadístico R. Finalmente, en el cuarto capítulo se presentan algunos modelos basados en procesos de Lévy utilizados en finanzas y se simulan precios de activos con datos provenientes de la bolsa de valores de Nueva York (NYSE). Todo esto con el fin de observar las propiedades y utilidad de los procesos de Lévy en las finanzas.. ix.

(15) Abstract Asset prices have been modeled mainly by Wiener processes since 1900. In recent years, many works have observed difficulties in the statistical properties of the asset returns because it does not come from a normal distribution as believed, due to the high kurtosis and heavy tails, which generally are caused by sudden changes (jumps) of the asset prices. Therefore, this work presents an introduction to Lévy processes which are a class of stochastic processes provided with independent and stationary increments, the cádlág property, infinitely divisible distributions and other generic properties which allow a better modeling of the assets prices, because they can represent the pathwise jumps of assets prices and their distributions.. x.

(16) Capítulo 1 Preliminares En este capítulo se presenta una introducción al estudio de los procesos de Lévy. Iniciamos dedicando una sección a los procesos estocásticos con algunas definiciones, ejemplos y propiedades. Finalmente, en la segunda sección se relatan algunos problemas que presenta un modelo clásico en finanzas para calcular el precio de activos financieros. Estos resultados nos permitirán desarrollar y tener una mejor comprensión de los siguientes capítulos. Este capítulo toma como principales referencias a [1], [2] y [3].. 1.1.. Procesos Estocásticos. Los procesos estocásticos son herramientas matemáticas que juegan un papel importante en varios campos como la ingeniería, física, economía, entre otros, debido a que nos ayudan a comprender y modelar el comportamiento aleatorio de diversos fenómenos que se presentan en la naturaleza. A continuación se presenta su definición. Definición 1.1 (Proceso estocástico). Un proceso estocástico es una familia de variables aleatorias {Xt : t ≥ 0} definidas en un espacio de probabilidad1 (Ω, F , P). Ya que el posible precio de las acciones de una empresa que cotiza en bolsa es incierto pues este depende de factores económicos, sociales, entre otros, los precios de las acciones de dicha empresa en un tiempo determinado (un minuto, un día, un mes, un año y demás) corresponden un ejemplo de proceso estocástico. Algunas definiciones que representan propiedades importantes y que las utilizaremos en el siguiente capítulo, se verán a continuación. Para ello, tomemos X = {Xt : t ≥ 0} un proceso estocástico definido en el espacio de probabilidad (Ω, F , P). 1. Ver la Definición A.7 del anexo A.. 1.

(17) Definición 1.2 (Incrementos independientes). El proceso estocástico X tiene incrementos independientes si para todo n ∈ N y toda colección t0 , t1 , . . . , tn tal que 0 ≤ t0 < t1 < · · · < tn , los incrementos Xt0 , Xt1 − Xt0 , Xt2 − Xt1 , . . . , Xtn − Xtn−1 son variables aleatorias independientes. Esta propiedad nos dice que los desplazamientos que presenta el proceso estocástico X en intervalos disjuntos de tiempo son independientes unos de otros. Definición 1.3 (Incrementos estacionarios). El proceso estocástico X tiene incrementos estacionarios si para todo 0 ≤ s < t, el incremento Xt − Xs tiene la misma distribución que Xt−s . Es decir, la distribución del incremento Xt − Xs del proceso estocástico X en el intervalo de tiempo t − s, depende únicamente de la longitud de dicho intervalo y no de su valor en s y t. Definición 1.4 (Continuidad en probabilidad). El proceso estocástico X es continuo en probabilidad (o continuo estocásticamente) si para todo t ≥ 0 y ǫ > 0, lı́m P(|Xs − Xt | > ǫ) = 0. s→t. En otras palabras, el proceso estocástico X es continuo en probabilidad si para todo t ≥ 0, Xs converge en probabilidad a Xt . Es decir, a medida que t se acerca a s, Xt se acercará al valor de Xs con mayor probabilidad. Definición 1.5 (Trayectorias de un proceso estocástico). Las funciones Xt (ω) : R+ −→ R t 7−→ Xt (ω), con ω ∈ Ω, se llaman trayectorias del proceso estocástico X. A lo largo de este trabajo se representarán a las trayectorias mediante gráficos bidimensionales, en donde el eje de las abscisas estará representada por un intervalo de tiempo de 0 a t y el eje de las ordenadas por los valores que toma el proceso estocástico X en ese intervalo de tiempo. Definición 1.6 (Función càdlàg). Una función f : [0, T ] → R se dice càdlàg si es continua a la derecha con límites a la izquierda. Es decir; si para todo t ∈ [0, T ], los límites f (t−) = lı́m− f (x) y f (t+) = lı́m+ f (x) x→t. x→t. existen, y f (t) = f (t+). 2.

(18) De la definición anterior es importante notar que, además de que cualquier función continua es càdlàg, estás pueden tener discontinuidades que las llamaremos “saltos de f en t” y las denotaremos por ∇f = f (t) − f (t−). donde t es un punto de discontinuidad de la función f . Definición 1.7 (Proceso estocástico càdlàg). El proceso estocástico X se dice que tiene la propiedad càdlàg (o simplemente càdlàg) si sus trayectorias son funciones càdlàg. Esta propiedad que presentan algunos procesos estocásticos es muy importante ya que nos permitirá, en los siguientes capítulos, representar eventos imprevistos que se presentan principalmente en las finanzas. Un ejemplo puede ser la caída abrupta del precio de una acción en la bolsa de valores en un determinado instante de tiempo. Definición 1.8 (Modificación). Sean X = {Xt : t ≥ 0} y Y = {Yt : t ≥ 0} dos procesos estocásticos definidos en el mismo espacio de probabilidad (Ω, F , P). El proceso estocástico Y es una modificación del proceso estocástico X si para todo t ≥ 0, P(Xt = Yt ) = 1. Definición 1.9 (Martingala). Sea (Ω, F , P) un espacio de probabilidad dotado de una filtración2 Ft . El proceso estocástico X adaptado a la filtración Ft se dice martingala si para todo s > t, E[Xs |Ft ] = Xt . El concepto de martingalas fue introducido por Paul Lévy y su estudio consistía en demostrar la inexistencia de estrategias de juego infalibles, ya que como muestra su definición, si condicionamos la ganancia neta esperada de un juego al azar con información del pasado, en el siguiente turno s se obtendrá el valor del turno anterior t y de esa manera el juego será justo, es decir sin pérdidas ni ganancias para los involucrados. Como se observará en el capítulo 2, un proceso de Lévy es un proceso estocástico que cumple las propiedades anteriores, es por eso la importancia de definir estas propiedades en este capítulo. A continuación se presentan algunos procesos estocásticos, que serán fundamentales para desarrollar el siguiente capítulo ya que al cumplir las propiedades anteriores, se convierten en los ejemplos más básicos de procesos de Lévy. 2. Ver las Definiciones A.6 y A.8 del anexo A.. 3.

(19) 1.1.1.. Proceso de Wiener. Ampliamente estudiado a principios del siglo XX, fue presentado como un modelo para el fenómeno físico de movimiento browniano (movimiento aleatorio de partículas en fluidos observado inicialmente por Robert Brown) por Einstein y Smoluchowski y como una descripción de la evolución dinámica de los precios de las acciones por Bachelier. Definición 1.10 (Proceso de Wiener). Un proceso estocástico B = {Bt : t ≥ 0} se dice proceso de Wiener (o movimiento browniano), si: 1. B0 = 0, casi seguramente. 2. B tiene incrementos independientes. 3. B tiene incrementos estacionarios. 4. Para todo t > 0, Bt tiene distribución N (0, σ 2 t). El proceso de Wiener B con σ 2 = 1, se conoce como proceso de Wiener estándar. Una transformación importante de este proceso, conocida como proceso de Wiener con tendencia γ y varianza σ 2 , es la siguiente: Wt =. √. σ 2 Bt + γt. donde {Bt : t ≥ 0} es un proceso de Wiener estándar, σ 2 la varianza y γ ∈ R la tendencia del proceso. A menudo a este proceso se lo conoce también como proceso de Wiener con tendencia γ, que mide el comportamiento del proceso, y volatilidad σ, que mide la intensidad de cambio del mismo. Algunas propiedades importantes del movimiento browniano son: Es una martingala. Tiene trayectorias continuas. Tiene la propiedad de autosimilitud. Es decir, para todo a > 0, . Bat √ a. tiene la misma distribución que (Bt )t≥0 .. 4. . t≥0.

(20) Debido a que no siempre es fácil encontrar la función de densidad de algunos procesos estocásticos como se verá en el capítulo 2, es de mucha importancia la utilización de la función característica3 ya que nos permitirán caracterizar a los procesos estocásticos, en especial a los procesos de Lévy, de forma única. En este capítulo se presentarán las funciones características de todos los procesos estocásticos presentados. Así, la función característica de un proceso de Wiener está dada en la siguiente proposición. Proposición 1.1 (Función característica de un proceso de Wiener). Sea W = {Wt : t ≥ 0} un proceso de Wiener con tendencia γ y varianza σ 2 , la función característica del proceso W es . 1 2 2 ΦWt (z) = exp − σ z t + izγt , 2. ∀z ∈ R.. (1.1). Demostración. La demostración es inmediata, basta con recordar que Wt tiene distribución normal con varianza tσ 2 y tendencia tγ.. 1.1.2.. Proceso de Poisson. Los procesos de Poisson son de gran utilidad en la modelización de una gran cantidad de fenómenos aleatorios debido a que cuentan eventos raros a lo largo del tiempo. Algunos ejemplos son: 1. Las visitas diarias a una determinada página web en un día. 2. Los reclamos mensuales de clientes presentados a un empresa de telecomunicaciones. 3. El número de clientes que llega a un banco en un tiempo determinado. Existen varias formas de definir a un procesos de Poisson, en este trabajo se los definirá a partir de un proceso de conteo el cual se presenta a continuación. Definición 1.11 (Proceso de conteo). El procesos estocástico {Ct : t ≥ 0} se llama proceso de conteo si Ct es el número de sucesos (eventos o saltos) que ocurrieron en el intervalo de tiempo [0, t]. Definición 1.12 (Proceso de Poisson). Un proceso de Poisson con intensidad λ es un proceso de conteo {Pt : t ≥ 0} con: 1. P0 = 0. 3. Ver la Definición B.1 del anexo B.. 5.

(21) 2. Incrementos independientes. 3. Incrementos estacionarios. 4. Para todo t > 0, Pt tiene distribución de Poi(λt). Algunas propiedades importantes, demostradas en [2, Proposición 2.12], son las siguientes: Para cualquier t > 0, Pt es finito casi seguramente. Para cualquier evento ω, su trayectoria es constante a trozos y aumenta en saltos de tamaño uno. Sus trayectorias son càdlàg. Es continuo en probabilidad. Observemos cómo es la función característica de este proceso. Proposición 1.2 (Función característica de un proceso de Poisson). La función característica del proceso de Poisson {Pt : t ≥ 0} con intensidad λ es: ΦPt (z) = exp λt eiz − 1 ,. ∀z ∈ R.. (1.2). Demostración. La demostración es inmediata pues Pt tiene distribución de Poisson con intensidad λt. Por lo tanto, un proceso de Poisson {Pt : t ≥ 0} cuenta el número de sucesos (eventos o saltos) n ≥ 1, de tamaño uno, que ocurrieron hasta el instante de tiempo t y cuyos tiempos de ocurrencia T1 , T2 , . . . , Tn son variables aleatorias independientes con distribución exp(λ). El procedimiento de contar sucesos define una medida en [0, t] conocida como medida aleatoria. La idea de esta medida será de gran utilidad en el trabajo pues nos permitirá observar algunas propiedades interesantes de los procesos de Lévy como los saltos en sus trayectorias que en finanzas representan eventos raros como caídas en los precios de activos financieros. La definición formal de medida aleatoria se presenta a continuación. Definición 1.13 (Medida aleatoria). Sea A ⊂ R+ un conjunto medible4 y sea T1 , T2 , . . . una sucesión de tiempos de ocurrencia de sucesos, la medida M(ω, A) = #{n ≥ 1, 4. Ver la Definición A.2 del anexo A.. 6. Tn (ω) ∈ A}. (1.3).

(22) se llama medida aleatoria y representa el número de sucesos (eventos o saltos) ocurridos en el conjunto medible A, tal que M(ω, .) es una medida a valores enteros positivos y M(A) es finita casi seguramente para cualquier conjunto acotado A. Es importante observar que: M(ω, .) depende de ω ∈ Ω, que le proporciona la aleatoriedad a la medida; y si asociamos M a un proceso de Poisson, a M se la conoce como medida aleatoria de salto asociada al proceso de Poisson {Pt : t ≥ 0} cuyo parámetro λ determina el valor esperado de la medida aleatoria así: E[M(A)] = λ|A|. (1.4). donde |A| es la medida de Lebesgue de A. Es decir, si A ⊆ R+ tal que A = [a, b], su medida de Lebesgue es |A| = b − a. A partir de lo anterior podemos expresar el proceso de Poisson {Pt : t ≥ 0} en términos de la medida aleatoria M de la siguiente manera: Z Pt (ω) = M(ω, [0, t]) = M(ω, ds). (1.5) [0,t]. 1.1.3.. Proceso de Poisson compensado. Definición 1.14 (Proceso de Poisson compensado). El proceso {Ct : t ≥ 0} se dice proceso de Poisson compensado si, para todo t ≥ 0 Ct = Nt − λt,. (1.6). donde {Nt : t ≥ 0} un proceso de Poisson con parámetro λ. La característica más importante de un proceso de Poisson compensado es que el proceso es una martingala, lo que significa que la mejor predicción del valor futuro del proceso, al tiempo t + 1, es la del valor presente, es decir, al tiempo t. La función característica del proceso se presenta a continuación. Proposición 1.3 (Función característica de un proceso de Poisson compensada). Sea {Ct : t ≥ 0} un proceso de Poisson compensado con parámetro λ. Su función característica es: ΦCt (z) = exp λt eiz − 1 − iz , ∀z ∈ R. (1.7) 7.

(23) Al igual que el proceso de Poisson, se puede asociar una medida aleatoria al proceso de Poisson compensado {Ct : t ≥ 0}, llamada medida aleatoria compensada y definida por: Z f [0, t]) = M(ω, [0, t]) − M(ω, λds [0,t]. = M(ω, [0, t]) − λt,. donde M(ω, [0, t]) es la medida aleatoria de un proceso de Poisson y λ su intensidad. f(A) con A ∈ R+ verifica que Por la ecuación (1.4), M. f(A)] = 0 y Var(M f(A)) = λ|A|, E[M. por lo que se dice que el proceso de Poisson compensado es un proceso de Poisson centrado.. 1.1.4.. Proceso de Poisson compuesto. Definición 1.15 (Proceso de Poisson compuesto). Sea N = {Nt : t ≥ 0} un proceso de Poisson, y sean X1 , X2 , . . . variables aleatorias i.i.d. con distribución F e independientes del proceso N. El proceso estocástico Yt =. N X. Xk. k=1. se llama proceso de Poisson compuesto con intensidad λ y función de distribución de tamaño de salto F . Comúnmente las variables aleatorias Xk son conocidas como tamaños de salto. Mediante su definición, se deducen algunas propiedades. Sus caminos son funciones càdlàg constantes a trozos. Los tiempos de salto T1 , T2 , . . . tienen la misma distribución que los tiempos de salto del proceso de Poisson N. Su función característica se presenta en la siguiente proposición. Proposición 1.4 (Función característica de un proceso de Poisson compuesto). Sea {Yt : t ≥ 0} un proceso de Poisson compuesto con intensidad λ y función de distribución 8.

(24) de tamaño de salto F , entonces la función característica del proceso Yt es: . ΦYt (z) = exp tλ. Z. izx. (e. R. . − 1)dF (x) ,. ∀z ∈ R.. (1.8). Demostración. La demostración de esta proposición se obtiene condicionando E[eizYt ] con N, así: ΦYt (z) = E[eizYt ]. PN. = E[eiz t=1 Xt ] X PN = E[eiz t=1 Xt |N = n]P(N = n) n≥0. =. X. E[eiz. Pn. t=1. Xt. ]e−λ. n≥0. X Z. λn n!. n. λn n! R n≥0 Z izx = exp λ (e − 1)dF (x) .. =. izx. e. dF (x). e−λ. R. 1.1.5.. Medida aleatoria de Poisson. Unas definiciones relevantes a considerar, son extensiones de la definición de medida aleatoria y de medida aleatoria de salto asociada a un proceso de Poisson en espacios más generales, pues como se mencionó anteriormente nos serán útiles para comprender, en el capítulo 2, como están compuestos los procesos de Lévy. Definición 1.16 (Medida aleatoria). Sea X = {Xt : t ≥ 0} un proceso estocástico. Para cualquier conjunto medible B ∈ [0, t] × Rd \ 0, la medida JX (B) = #{(Tn , △X = XTn − XTn−1 ) ∈ B}. (1.9). se llama media aleatoria del proceso X. La medida aleatoria de salto asociada al proceso estocástico X, contiene toda la información de las discontinuidades o saltos del proceso, es decir, los tiempos T1 , T2 , . . . en los que ocurren los saltos antes del tiempo t y el tamaño △X de dichos saltos. La medida aleatoria de salto de un proceso de Poisson en su forma general se define así: 9.

(25) Definición 1.17 (Medida aleatoria de Poisson). Sean (Ω, F , P) un espacio de probabilidad, E ∈ Rd \ 0 y µ una medida de Radon5 en (E, ε). Una medida aleatoria de Poisson en E con intensidad de medida µ, es una medida aleatoria a valores enteros M : Ω × ε −→ N (ω, A) 7−→ M(ω, A), tal que Para (casi todos) los sucesos ω ∈ Ω, M(ω, .) es una medida de Radon a valores enteros en E: para cualquier conjunto medible acotado A ⊂ E, M(A) < ∞ es una variable aleatoria a valores enteros. Para cada conjunto medible A ⊂ E, M(., A) = M(A) es una variable aleatoria de Poisson con intensidad µ(A): P(M(A) = k) = e−µ(A). [µ(A)]k . k!. Para conjuntos medibles disjuntos A1 , . . . , An ∈ ε, las variables M(A1 ), . . . , M(An ) son independientes. Con estas generalizaciones obtenemos el siguiente resultado para los procesos de poisson compuesto. Proposición 1.5 (Medida aleatoria de salto de un proceso de Poisson compuesto). Sea {Yt : t ≥ 0} un proceso de Poisson compuesto con parámetro λ y distribución F . Su medida de salto JY , definida por: JY (B) = #{(t, Yt − Yt− ) ∈ B},. (1.10). para cualquier conjunto medible B ⊂ Rd × [0, ∞[, es una medida aleatoria de Poisson en [0, t] × Rd con intensidad de medida µ(dt × dx) = ν(dx)dt. = λF (dx)dt.. La demostración de la proposición anterior se encuentra en [2, Capítulo 3]. Esta proposición implica que todo proceso de Poisson compuesto Y = {Yt : t ≥ 0} 5. Ver la Definición A.10 del anexo A.. 10.

(26) puede ser representado de la siguiente forma: Z X Yt = △Ys = s∈[0,t]. [0,t]×Rd. yJY (ds × dt),. (1.11). donde JY es una medida aleatoria de Poisson con intensidad de medida ν(dx)dt, pues Yt representa una suma finita del número de eventos o saltos ocurridos en el intervalo de tiempo [0, t] cuyo tamaño de salto depende de un proceso de Poisson.. 1.2.. Finanzas. Como se menciona en [4], las finanzas estudian la forma en que la gente asigna sus recursos a lo largo del tiempo con la esperanza de obtener beneficios que se desconocen anticipadamente con certeza. De aquí yace una de las principales causas para estudiar a los procesos estocásticos en las finanzas pues estos nos proporcionan un método para estudiar, modelar y predecir los posibles beneficios de una inversión a lo largo del tiempo. En esta sección, se presentan algunas definiciones básicas en finanzas tomadas principalmente de [5], [6], una breve historia de los principales modelos financieros basado en procesos estocásticos utilizados para obtener precios de activos y algunos de los inconvenientes que tienen estos modelos, y que son la principal razón por la que se realiza este trabajo.. 1.2.1.. Definiciones básicas. Iniciaremos definiendo a un Instrumento Financiero, el cual es un contrato monetario que se presenta entre las partes, es decir, es un contrato entre un emisor que oferta algún producto y un inversor que invierte en el producto ofertado. A estos productos los llamaremos activos financieros y los definiremos a continuación. Definición 1.18 (Activo financiero). Un activo financiero es cualquier posesión que pueda producir beneficios económicos. Los emiten empresas en búsqueda de financiación y pueden ser acciones, opciones, bonos, títulos de renta fija o variable, entre otros. Estos activos financieros se comercializan en mercados financieros que son espacios físicos como la bolsa de valores de Nueva York y/o virtuales en los que se realizan intercambios de instrumentos financieros. Los instrumentos financieros se pueden clasificar en: Instrumentos en efectivo cuyo valor está determinado por el mercado y son fácilmente transferibles: Los ejemplos más claros son los préstamos y depósitos. 11.

(27) Instrumentos derivados que son instrumentos cuyo valor se deriva de distintas circunstancias, de una o más entidades y que pueden ser negociados en las bolsas de valores. Ejemplo de instrumentos derivados son acciones, opciones, entre otros. En este trabajo nos enfocaremos principalmente en instrumentos derivados ya que al depender, su valor, de diversas circunstancias aleatorias; presentan un interesante problema que puede ser modelado empleando procesos estocásticos. Todo inversionista espera una ganancia después de un tiempo de su inversión inicial, a esta ganancia se la conoce con el nombre de rentabilidad y se define a continuación. Definición 1.19 (Rentabilidad, rendimiento o retorno). Se llama rentabilidad a la ganancia relativa de una inversión. Si S0 es la inversión inicial y St el valor que se obtiene al tiempo t, la rentabilidad R se calcula así: Rt =. St − S0 . S0. A partir de aquí, notaremos St al precio de un activo financiero en el instante de tiempo t y llamaremos logaritmo del retorno o rendimiento del precio de un activo financiero a: St rt = ln St−1 El empleo de los retornos es importante ya que nos permitirá comparar precios de activos financieros de mejor manera, ya que no es lo mismo ganar un dólar cuando se han invertido diez que ganar un dólar cuando se han invertido mil. Para las aplicaciones emplearemos el logaritmo de los retornos ya que utilizaremos un análisis técnico, es decir, emplearemos principalmente gráficos para analizar el precio de los activos financieros, específicamente de acciones ya muchas personas se encuentran interesadas en conocer cualquier información que les permita predecir su precio en un determinado tiempo; y al suponer que estos se distribuyen normalmente, los logaritmos de los retornos también lo harán. Como ya se ha dicho, en este trabajo nos enfocaremos en la valoración de activos financieros específicamente de acciones6 , que son títulos emitidos por sociedades que representa el valor de una de las fracciones iguales en que se divide su capital social y que generalmente confieren beneficios de participación en la empresa, para las aplicaciones en las finanzas debido a la facilidad en la obtención de los datos en las bolsas de valores de Nueva York y de Quito , pero es importante mencionar que los procesos de Lévy se pueden emplear en una gran cantidad de problemas en Finanzas por las características que presentan. 6. Definición tomada de la dirección web de la referencia [7].. 12.

(28) 1.2.2.. Modelos financieros, precios de activos. Un antiguo problema en finanzas es la valoración de activos financieros por la imprecisión que se tiene al calcular su valor debido a la aleatoriedad que presentan los mercados financieros. A continuación se presenta una breve historia de algunos modelos que influyeron en el estudio de las matemáticas financieras y varios problemas que presentan principalmente al calcular el valor de activos financieros. En 1900 Louis Bachelier fue el primero en proponer un modelo basado en un proceso de Wiener para describir activos financieros en su tesis doctoral Théorie de la Spéculation. El modelo predice el precio S de un activo financiero que depende de su precio inicial S0 , un término σ que mide la desviación estándar del precio del activo (volatilidad ) y una variable aleatoria W con distribución N (0, 1). Para diferentes instantes de tiempo t, la variable aleatoria W se convierte en una función que depende del tiempo, que como se observó en la sección anterior, corresponde a un proceso de Wiener Wt . Así, el modelo que propuso Bachelier es el siguiente: St = S0 + σWt .. (1.12). Lamentablemente, ya que Wt tiene distribución N (0, t), el modelo permite tener precios de activos St negativos. Un ejemplo de esto se presenta a continuación. Calculemos el precio de un activo en 12 instantes de tiempo (período mensual) cuyo precio inicial es S0 = 1 dólar, presenta una volatilidad σ = 1 y consideremos Wt un proceso de Wiener estándar simulado. La tabla 1.1 y la figura 1.1 presentan cinco simulaciones de los precios del activo y sus trayectorias, en ambos se observa el inconveniente de los precios negativos lo cual es absurdo. Esta primera dificultad al describir precios de activos financieros, motivó a la investigación y generó una amplia teoría de los procesos estocásticos con particular énfasis en los procesos de Wiener para modelos financieros. Uno de los modelos más populares se presentó en 1973 por Fisher Black y Myron Scholes cuyo trabajo The Pricing of Option and Corporate Liabilities fue publicado en The Journal of Political Economy. El conocido y muy utilizado modelo Black-Scholes propone una ecuación diferencial estocástica para obtener el precio de acciones, está. 13.

(29) Tiempo (t) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12. St1 1 0,37 0,56 -0,28 1,32 1,65 0,83 1,31 2,05 2,63 2,32 3,83 4,22. St2 1 0,38 -1,84 -0,71 -0,76 -0,77 0,17 0,99 1,59 2,51 3,29 3,36 1,37. St3 1 1,62 1,56 1,41 -0,06 -0,54 -0,12 1,24 1,13 1,52 1,47 0,09 -0,33. St4 1 0,61 0,55 1,65 2,41 2,25 1,99 2,69 3,25 2,56 1,85 2,21 2,98. St5 1 0,89 1,77 2,17 1,55 1,9 0,77 2,2 4,18 3,81 2,77 3,34 3,2. 1 −2. 0. S(t). 2. 3. 4. Tabla 1.1: Precios de un activo financiero con σ 2 = 1 simulado cinco veces con el modelo de Louis Bachelier, ecuación (1.12).. 0. 2. 4. 6. 8. 10. 12. t Figura 1.1: Cinco trayectorias simuladas del precio de un activo con el modelo de Louis Bachelier, ecuación (1.12).. 14.

(30) dada por:. dSt = µdt + σdWt , St. (1.13). donde la primera parte de la ecuación (1.13), µdt representa un crecimiento determinístico pues µ, la tendencia, mide el crecimiento promedio del precio del activo; y la segunda parte de la ecuación, σdWt representa la parte aleatoria del modelo ya que Wt es un procesos de Wiener estándar y σ, al igual que en el modelo de Bachelier, mide la volatilidad del precio del activo. Al ser la volatilidad proporcional al precio St de la acción, se asegura que el precio siempre sea positivo. En [8, capítulo 4] se muestra que la solución a la ecuación diferencial (1.13) es: σ2 St = S0 exp µ− t + σWt 2. (1.14). Al proceso St , se lo conoce comúnmente como Movimiento Browniano Geométrico. La ecuación (1.14), al estar basada en el movimiento browniano geométrico, supone que los logaritmos de los rendimientos de un activo financiero se distribuyen normalmente. Sin embargo, se han presentado infinidad de estudios en los que se argumenta que los rendimientos de los activos financieros en su mayoría no se distribuyen normalmente. Uno de estos estudios es el realizado por Rama Cont en [3], en el que se presentan las denominadas “Propiedades estadísticas estilizadas de los rendimientos de los activos” que son propiedades estadísticas comúnmente observadas en los rendimientos de los precios de diferentes activos, instrumentos y mercados financieros. A continuación se realizará una comparación de algunas de las propiedades estilizadas de los rendimientos del precio de cierre diario de las acciones de JPMorgan Chase & Co7 . (JPM-NYSE), comprendidas en el período enero 2013 a junio 20168, con las propiedades que presentan los rendimientos de los precios simulados utilizando el modelo de la ecuación (1.14) de Black-Scholes en el mismo período de tiempo, con el fin de evidenciar algunos de los problemas que presenta este modelo. Colas pesadas: En general la distribución de los rendimientos de un activo presenta la forma acampanada de la distribución normal, lo que lleva a confusiones pues en realidad estas distribuciones presentan un pico más pronunciado que se denomina como leptucurtosis (curtosis positiva mayor a 3), y colas pesadas que en la práctica significa una mayor probabilidad de obtener valores extremos (saltos). Esto lo podemos 7 8. Una breve reseña de la empresa JPMorgan Chase se encuentra en 4.2.1. Los datos se muestran en el anexo D.. 15.

(31) 40. apreciar en las figuras 1.2 y 1.3, en donde se comparan, en la primera la distribución del rendimiento del logaritmo del precio de JPM con su respectiva distribución normal teórica y en la segunda las distribuciones del rendimiento del logaritmo del precio de JPM simuladas por la ecuación (1.14) con su distribución normal teórica, es decir, con la misma media y varianza. Se observa que mientras los rendimientos de JPM presentan las características antes mencionadas de leptocurtosis y colas pesadas, los rendimientos simulados se asemejan mucho más a la distribución normal por el movimiento browniano que se emplea en la simulación.. Rend. Precio. 0. 10. 20. 30. Dist. Normal. −0.10. −0.05. 0.00. 0.05. 0.10. Figura 1.2: Distribución del logaritmo de los retornos de JPM vs. distribución normal. Efectivamente, al realizar la prueba de Jarque-Bera para probar si los datos provienen de una distribución normal, obtenemos los resultados de la tabla 1.2, en donde se verifica que los rendimientos de los precios de JPM no proviene de una distribución normal pues su p-valor es menor a 0.05, mientras que los rendimientos de los datos simulados efectivamente pertenecen a una distribución normal debido a que su p-valor supera a 0.05. De esta manera vemos que los modelos basados en el movimiento browniano no modelan correctamente la distribución real de los logaritmos de los rendimientos de los precios de los activos financieros. Otro problema que presentan los modelos basados en el movimiento browniano geométrico y que es el más importante por el que se estudian los procesos de Lévy, es que el movimiento browniano no puede representar los cambios bruscos o saltos que a menudo presentan los precios de los activos financieros en sus trayectorias, pues como se observó en la sección anterior una característica de estos procesos estocástico es la continuidad de sus trayectorias. 16.

(32) 40. S1 S2. 30. S3 S4. 20. S5. 0. 10. Dist. Normal. −0.10. −0.05. 0.00. 0.05. 0.10. Figura 1.3: Distribuciones del logaritmo de los retornos simulados por el modelo de BlackScholes vs. distribución normal.. Media Des. est. Asimetría Curtosis Jarque-Bera p-valor. JPM 0,00037 0,01363 -0,07985 5,96403 323,436 0,00000. S1 0,00091 0,01046 0,01419 2,69389 3,46914 0,17647. S2 0,00028 0,01007 -0,02970 3,31769 3,83445 0,14701. S3 0,00102 0,01056 0,02471 3,10776 0,51596 0,77260. S4 0,00068 0,01031 -0,04058 3,01430 0,24932 0,88279. S5 0,00024 0,01014 0,04210 2,77682 2,08862 0,351933. Tabla 1.2: Prueba de normalidad del logaritmo de los rendimientos de JPM vs. prueba de normalidad de los logaritmos de los rendimientos simulados por el modelo de BlackScholes.. 17.

(33) En la figura 1.4 se muestra de color negro la evolución diaria del precio de las acciones de JPM y de otros colores, cinco evoluciones diaria simuladas de los precios utilizando la ecuación (1.14). Se observa que la trayectoria de los precios de JPM tiene saltos mientras que las trayectorias simuladas basadas en un proceso de Wiener son siempre continuas. Finalmente, la invariancia de escalas del movimiento browniano, propiedad que se muestra comparando las figuras 1.4 y 1.5, es otra dificultad que tienen los modelos basados en el movimiento browniano para modelar precios de activos. En las figuras miramos que las trayectorias simuladas con el movimiento browniano al recortar el período de tiempo a un año son parecidas a sus trayectorias de tres años, es decir, son invariantes en escalas de tiempo. Mientras que la trayectoria del precio de JPM en la figura 1.5 no presenta la propiedad de invariancia de escalas ya que prácticamente se mueve por saltos cuando acortamos el período de tiempo a un año. Lo antes dicho se corrobora con los gráficos siguientes, en ellos se observa que las cinco simulaciones de los rendimientos por el modelo de Black-Scholes están dentro de una banda, lo que indica que los precios no presentan cambios bruscos en todo el período considerado, mientras que los rendimientos del precio real presentan altibajos motivo del cambio brusco del precio. Todas las dificultades anteriormente mencionadas son el motivo por el cual se realiza este trabajo, ya que como veremos en el próximo capítulo los procesos de Lévy tienen propiedades generales importantes que nos ayudarán a resolver estos inconvenientes.. 18.

(34) Tiempo. 2013−01−02 2013−07−19 2014−02−04 2014−08−20 2015−03−09 2015−09−22 2016−04−08. Figura 1.4: Evolución diaria del precio de las acciones de JPM vs. evoluciones diarias simuladas con el modelo de Black-Scholes (2013-2016).. Precio. 120. 100. 80. 60. 40. 19.

(35) Tiempo. 2013−01−02 2013−02−28 2013−04−25 2013−06−20 2013−08−15 2013−10−10 2013−12−05. Figura 1.5: Evolución diaria del precio de las acciones de JPM vs. evoluciones diarias simuladas con el modelo de Black-Scholes (2013).. Precio. 60. 55. 50. 45. 40. 20.

(36) 0.10 0.00 −0.10 2013. 2014. 2015. 2016. −0.10. 0.00. 0.10. Figura 1.6: Logaritmo de los retornos de las acciones de JPM.. 2013. 2014. 2015. 2016. Figura 1.7: Logaritmo de los retornos de la primera simulación utilizando el modelo de Black-Scholes.. 21.

(37) 0.10 0.00 −0.10 2013. 2014. 2015. 2016. Figura 1.8: Logaritmo de los retornos de la segunda simulación utilizando el modelo de. −0.10. 0.00. 0.10. Black-Scholes.. 2013. 2014. 2015. 2016. Figura 1.9: Logaritmo de los retornos de la tercera simulación utilizando el modelo de Black-Scholes.. 22.

(38) 0.10 0.00 −0.10 2013. 2014. 2015. 2016. Figura 1.10: Logaritmo de los retornos de la cuarta simulación utilizando el modelo de. −0.10. 0.00. 0.10. Black-Scholes.. 2013. 2014. 2015. 2016. Figura 1.11: Logaritmo de los retornos de la quinta simulación utilizando el modelo de Black-Scholes.. 23.

(39) Capítulo 2 Procesos de Lévy En el presente capítulo se estudia a los procesos de Lévy, nombrados en honor al matemático francés Paul Lévy (1886-1971) quien fue el primero en estudiar estos fenómenos aleatorios y es considerado uno de los padres fundadores de la teoría moderna de los procesos estocásticos. Se empezará por la definición formal y luego se verán algunas propiedades y ejemplos clásicos de procesos de Lévy. Como referencias principales se este capítulo se han tomado [2], [9], [10], [11] y [12]. Definición 2.1 (Proceso de Lévy). Un proceso estocástico {Xt : t ≥ 0} sobre un espacio de probabilidad (Ω, F, P) con valores en Rd se llama proceso de Lévy si tiene las siguientes propiedades: 1. X0 = 0 casi seguramente. 2. Tiene incrementos independientes. 3. Tiene incrementos estacionarios. 4. Es continuo en probabilidad. 5. Es càdlàg. Nota 2.1. La propiedad 5. no es una verdadera restricción para que un proceso sea de Lévy debido a que cualquier proceso que cumpla con las propiedades 1. a 4. (conocido como proceso de Lévy en ley) tiene una única modificación1 que satisface las anteriores propiedades y es càdlàg, el teorema y su demostración se encuentran en [13, Teorema 30] o en [9, Teorema 11.5], por lo que se la puede asumir sin pérdida de generalidad. 1. Ver la Definición 1.8. 24.

(40) Mediante la definición anterior nos podemos dar cuenta de lo amplia que es la clase de procesos de Lévy, es por eso que se han relacionado con otras herramientas estadísticas, algunas de ellas las veremos a continuación.. 2.1.. Distribuciones infinitamente divisibles y la representación de Lévy-Khintchine. Las distribuciones infinitamente divisibles están fuertemente relacionadas con los procesos de Lévy como se observará. Para ello primero definiremos una distribución infinitamente divisible, luego daremos algunos ejemplos y finalmente mostraremos la relación con los procesos de Lévy. Definición 2.2 (Distribución infinitamente divisible). Una distribución de probabilidad F de una variable aleatoria X en R se dice infinitamente divisible si para cualquier entero n ≥ 2, existen n variables aleatorias independientes igualmente distribuidas Y1 , . . . , Yn tales que Y1 + · · · + Yn tiene distribución F . Como la distribución de la suma de variables aleatorias i.i.d. está dada por la convolución de la distribución de las variables aleatorias, es decir F = µ∗n , donde µ es la distribución de las variables aleatorias i.i.d.; una distribución infinitamente divisible se puede definir también como una distribución que tiene raíz n-ésima bajo convolución. Además se puede caracterizar a una distribución infinitamente divisible mediante su función característica de la siguiente forma: Caracterización 2.1. La distribución de una variable aleatoria X es infinitamente divisibles, si para todo n ∈ N, existe una variable aleatoria X (1/n) , tal que ΦX (z) = [ΦX (1/n) (z)]n . Lo expresado anteriormente, se encuentra en [12, pág. 8] y en [10, pág. 25]. Algunos ejemplos de distribuciones infinitamente divisibles son: Ejemplo 2.1 (Distribución normal). La distribución de una variable aleatoria X con distribución N (µ, σ 2) es infinitamente divisible.. 25.

(41) En efecto, para todo z ∈ R,. 1 2 2 ΦX (z) = exp izµ − z σ 2 µ 1 2 σ2 = exp n iz − z n 2 n n µ 1 2 σ2 = exp iz − z n 2 n . = [ΦX 1/n (z)]n ,. donde X 1/n tiene distribución N. . µ σ2 , n n. .. Ejemplo 2.2 (Distribución de Poisson). La distribución de Poisson con intensidad λ de una variables aleatoria X es infinitamente divisible. Efectivamente, para todo z ∈ R, ΦX (z) = exp[λ(eiz − 1)] λ iz = exp n (e − 1) n n λ iz = exp (e − 1) n = [ΦX 1/n (z)]n ,. donde X 1/n tiene distribución de Poi. λ n. . .. Ejemplo 2.3 (Distribución de Poisson compuesta). La distribución de Poisson compuesta con intensidad λ y distribución F , de una variables aleatoria X, es infinitamente divisible. Para este fin, es suficiente con tomar una variable aleatoria X 1/n con distribución de Poisson compuesta con intensidad nλ y distribución F para comprobar la caracterización. Más ejemplos de distribuciones infinitamente divisibles, que no serán demostradas en este trabajo pero se pueden demostrar de forma similar a las anteriores, son: la distribución exponencial, la distribución gamma, entre otras. Enunciaremos una primera propiedad de los procesos de Lévy que nos permitirá observar la relación con las distribuciones infinitamente divisibles. 26.

(42) Proposición 2.1. Si {Xt : t ≥ 0} es un proceso de Lévy, entonces para cada t ≥ 0, Xt tiene una distribución infinitamente divisible. Recíprocamente, si F es una distribución infinitamente divisible, entonces existe un proceso de Lévy {Xt : t ≥ 0} tal que X1 tiene distribución F . Demostración. ⇒) Sea X = {Xt : t ≥ 0} un proceso de Lévy, para todo t ≥ 0 y para todo n ≥ 2 podemos escribir Xt = Y1 (t) + . . . + Yn (t), donde Yk (t) = X. . kt n. . −X. . (k − 1)t n. . .. Como X es un proceso de Lévy, entonces tiene incrementos independientes y estacionarios, por lo tanto las variables aleatorias Yk (t) son i.i.d. ⇐) Ver [10, pág. 65]. Esta proposición restringe a las distribuciones de los procesos de Lévy ya que estas deben ser infinitamente divisibles; además, nos menciona que la distribución de Xt está determinada por el conocimiento de la distribución de X1 y por lo tanto, el único grado de libertad que tenemos que especificar de un proceso de Lévy es la distribución de Xt en algún instante de tiempo (por lo general t = 1). Otra propiedad importante, conocida como representación de Lévy-Khintchine que nos permitirá caracterizar a cada proceso de Lévy de forma única por medio de su función característica, será enunciada posterior a la definición de un instrumento necesario conocido como Medida de Lévy que nos permitirá modelar los cambios bruscos de los precios de las acciones en los ejemplos presentados a lo largo del trabajo. Definición 2.3 (Medida de Lévy). Sea {Xt : t ≥ 0} un proceso de Lévy en Rd . La medida de borel2 ν en Rd \ {0} dada por: ν(A) = E[#{t ∈ [0, 1] : △Xt 6= 0, △Xt ∈ A}],. A ∈ B (Rd ). se llama medida de Lévy. Además, ν es una medida de Radon que cumple: Z (|x|2 ∧ 1)ν(dx) < ∞. Rd \{0}. Como se observa en su definición, ν(A) representa el número esperado, por unidad de tiempo, de saltos cuyo tamaño pertenece al conjunto A. 2. Ver la Definición A.9.. 27.

(43) Teorema 2.1 (Representación de Lévy-Khintchine). Sea {Xt : t ≥ 0} un proceso de Lévy con distribución infinitamente divisible F en Rd , entonces su función característica puede ser representada por ΦXt (z) = etψ(z) ,. z ∈ Rd ,. (2.1). donde ψ : Rd → C es una función continua llamada exponente característico (o símbolo de Lévy) de Xt definida por 1 ψ(z) = − hz, Azi + ihγ, zi + 2. Z. Rd. (eihz,xi − 1 − ihz, xi1|x|<1 )ν(dx). (2.2). con A una matriz d × d simétrica definida no negativa, ν la medida de Lévy y γ un vector en Rd . La representación de (2.2) por A, ν y γ es única. Consecuentemente; si A es una matriz d × d simétrica definida no negativa, ν una medida de Lévy y γ ∈ Rd , entonces existe una distribución infinitamente divisible F con función característica de la forma (2.1). La demostración del Teorema 2.1 es compleja y requiere de otras herramientas que están fuera del estudio de este trabajo por lo que no se realizará. La demostración se encuentra en [9, pág. 40]. Nota 2.2. En el caso de valores reales, es decir, si F es una distribución infinitamente divisible en R, su exponente característico se escribe como: Z 1 2 ψ(z) = − Az + iγz + (eizx − 1 − izx1|x|<1 )ν(dx) (2.3) 2 R Como mencionamos anteriormente, la representación de Lévy-Khintchine nos proporciona una herramienta muy importante al momento de caracterizar cada proceso de Lévy, la cual tiene un nombre y será presentada a continuación. Definición 2.4 (Tripleta característica). Llamamos a la tripleta (A, ν, γ), formada en el Teorema 2.1, como tripleta característica de la distribución F . En la que A representa a la matriz de covarianza gaussiana, ν a la medida de Lévy de la distribución F y γ a un término de tendencia que determina la velocidad del movimiento. Las propiedades presentadas en esta sección, nos indican que la colección de todas las distribuciones infinitamente divisibles está en correspondencia uno a uno con la colección de todos los procesos de Lévy y que un proceso de Lévy se caracteriza de forma única por su tripleta característica. Fue por eso importante enunciar las funciones características de los procesos estocásticos del capítulo 1 ya que al poder modelar los precios de las acciones mediante procesos estocásticos (procesos de Wiener) que a 28.

(44) continuación veremos son procesos de Lévy nos permitirán conocer de antemano toda la información que sabemos a partir de su función característica.. 2.2.. Ejemplos de procesos de Lévy. Mediante la definición de proceso de Lévy, las funciones infinitamente divisibles y la representación de Lévy-Khintchine, presentamos algunos ejemplos clásicos de procesos de Lévy. Todos estos procesos fueron descritos en el Capítulo 1. Ejemplo 2.4 (Proceso de Wiener). Comparando las definiciones de proceso de Wiener y de proceso de Lévy (Definición 1.10 y Definición 2.1), vemos que un proceso de Wiener es un proceso de Lévy. Por medio de su distribución, la cual es normal, podemos asegurar que es infinitamente divisible (Ejemplo 2.1) y por lo tanto podemos caracterizar al movimiento browniano mediante su función característica (Teorema 2.1), que fue expresada en la ecuación (1.1) y cuya tripleta característica es (A = σ 2 , ν = 0, γ = γ).. −1.0. W(t). 0.0. Proceso de Wiener. 0.0. 0.5. 1.0. 1.5. 2.0. t Figura 2.1: Trayectoria simulada de un proceso de Wiener en el intervalo [0, 2]. Ejemplo 2.5 (Proceso de Poisson). Por la definición 1.12, el proceso de Poisson con intensidad λ es un proceso de Lévy. Como la distribución de una variable aleatoria del 29.

(45) proceso es de Poisson y la distribución de Poisson es infinitamente divisible (ejemplo 2.2), existe una única representación del proceso por medio de su función característica, la cual se encuentra en la ecuación (1.2) y por el Teorema 2.1 tiene tripleta característica (A = 0, ν = λδ1 , γ = 0), donde δ1 es la medida de Dirac en {1}.. 10 0. 5. N(t). 15. Proceso de Poisson. 0. 2. 4. 6. 8. t Figura 2.2: Trayectoria simulada de un proceso de Poisson con parámetro λ = 4 en el intervalo [0, 8].. Ejemplo 2.6 (Proceso de Poisson compuesto). Proposición 2.2. Sea Y = {Yt : t ≥ 0} un proceso de Poisson compuesto con intensidad λ y distribución F . El proceso Y es un proceso de Lévy. Demostración. La demostración de la proposición se obtiene demostrando que los incrementos del proceso de Poisson compuesto Y son independientes y estacionarios, lo cual se logra por los incrementos independientes y estacionarios del proceso de Poisson y las variable aleatorias independientes con distribución F . Finalmente, la continuidad en probabilidad se obtiene por la continuidad en probabilidad del proceso de Poisson. La demostración detallada se encuentra en [10, demostración de la Proposición 1.3.11].. 30.

(46) Dado que la distribución de Poisson compuesto es infinitamente divisible (ejemplo 2.3), el proceso de poisson compuesto tiene una única representación a través de su función característica (teorema 2.1) descrita en la ecuación (1.8) y cuya tripleta característica es: Z A=λ xF (dx), ν = λF (dx), γ = 0 . 0<|x|<1. 5 0. X(t). 10. Proceso de Poisson compuesto. 0. 2. 4. 6. 8. 10. t Figura 2.3: Trayectoria simulada de un proceso de Poisson compuesto con parámetro λ = 10 en el intervalo [0, 10].. Una característica basada en la forma de las trayectorias de los proceso de Levy que conlleva a una propiedad más fuerte que la proposición 2.2 se enuncia a continuación. Proposición 2.3. {Yt : t ≥ 0} es un proceso de Poisson compuesto si y solo si es un proceso de Lévy y sus trayectorias son funciones constantes a trozos. Demostración. La demostración completa está en [2, Proposición 3.3]. Otros ejemplos de procesos de Lévy se citarán a lo largo de este y los siguientes capítulos.. 31.

(47) 2.3.. Descomposición de Lévy-Itô. En esta sección presentamos un resultado muy importante en la teoría de los procesos de Lévy llamada descomposición de Lévy-Itô, que nos permitirá describir las trayectorias de un proceso de Lévy en una parte continua y en una parte con saltos. Teorema 2.2 (Descomposición de Lévy-Itô). Sea X = {Xt : t ≥ 0} un proceso de Lévy en Rd y ν su medida de Lévy. Entonces, se tiene que: ν es una medida de Radon en Rd \ {0} que verifica: Z. 2. |x|≤1. |x| ν(dx) < ∞ y. Z. |x|≥1. ν(dx) < ∞. La medida de salto de X, denotada por JX , es una medida aleatoria de Poisson en [0, ∞[×Rd con intensidad de medida ν(dx)dt. Existe un vector γ ∈ Rd y un movimiento browniano {Bt : t ≥ 0} con matriz de covarianza A, tales que: e ǫ, Xt = γt + Bt + Xtl + lı́m X t ǫ→0. donde. Xtl y eǫ = X t. Z. ǫ≤|x|<1,s∈[0,t]. =. Z. |x|≥1,s∈[0,t]. (2.4). xJX (ds × dx),. x{JX (ds × dx) − ν(dx)ds} =. Z. ǫ≤|x|<1,s∈[0,t]. xJeX (ds × dx).. Los términos de la ecuación 2.4 son independientes y la convergencia del último término es casi segura. Demostración. La demostración completa del teorema se encuentra en [9, pág. 125] La descomposición de Lévy-Itô nos indica que todo proceso de Lévy se puede descomponer como la suma de tres procesos independientes; el primero γt + Bt , que proporciona la parte continua al proceso es un movimiento browniano con tendencia γ y matriz de covarianza A; el segundo Xtl un proceso de Poisson compuesto3 ; y el tercero e ǫ un proceso de Poisson compuesto compensado4 . X t 3 4. Ver la proposición 1.5 y su implicación. Ver la sección 1.1.3.. 32.

(48) Los dos últimos términos de la ecuación (2.4), aportan la parte discontinua al proceso ya que incorporan saltos a Xt descritos por la medida de Lévy ν. Es importante mencionar algunas cosas con respecto a la medida ν: R La condición |x|≥1 ν(dx) < ∞ significa que X tiene un número finito de saltos con valor absoluto mayor a 1, por lo tanto Xtl es un proceso de Poisson compuesto con un número finito de saltos. ν puede tener una singularidad en cero, es decir, pueden existir infinitos pequeños saltos cerca de cero cuya suma no necesariamente converge. Por ello el tercer término de (2.4) se presenta centrado, convirtiéndose en un proceso compensado (martingala, ver la sección 1.1.3) que cuando ǫ → 0 se obtiene la convergencia de este término. Para finalizar esta sección y gracias a la descomposición de Lévy-Ito, de forma general, un proceso de Lévy se puede aproximar con arbitraria precisión a un proceso de Lévy salto-difusión pues posee una parte continua y otra parte con un número finito de saltos en cada intervalo de tiempo que representan sucesos “raros”. Un proceso de Lévy salto-difusión se define así: Definición 2.5 (Proceso de Lévy salto-difusión). Sea {Wt : t ≥ 0} un proceso de Wiener con tendencia γ y varianza σ 2 y sea {Yt : t ≥ 0} un proceso de Poisson compuesto con parámetro λ y distribución F . El proceso {Dt : t ≥ 0}, definido por Dt = Wt + Yt ,. ∀t ≥ 0. se llama proceso de Lévy salto-difusión. Para los ejemplos en las finanzas, la descomposición de Lévy-Itô nos permitirá obtener valores y simular trayectorias de los precios de las acciones de un activo financiero de manera más real pues, al poder representarlos en una parte continua y en una parte discontinua, los valores normales del precio (cuando no haya eventos imprevistos) serán modelados con procesos continuos como el de Wiener y los cambios abruptos del precio (cuando existan eventos imprevistos) se modelarán con procesos discontinuos como el proceso de Poisson compensado.. 2.4.. Propiedades de las trayectorias de los procesos de Lévy. Como se presentó en la sección anterior, un proceso de Lévy puede estar formado por un movimiento browniano y un proceso de Poisson compuesto, dos procesos esto33.