Licenciatura en Matemáticas

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Licenciatura en Matemáticas

Plan 2002 - 201B

Programas de las asignaturas de

1er curso

2º cuatrimestre

- Algebra Lineal y Multilineal

- Análisis Matemáticos en una Variable

- Métodos Algorítmicos en Matemáticas

- Tecnología de la Programación

- Lógica

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Asignatura: ALGEBRA LINEAL Y MULTILINEAL Titulación: Licenciatura en Matemáticas

Departamento: MATEMÁTICAS Y COMPUTACIÓN Tipo de asignatura: TRONCAL

Curso: PRIMERO

Cuatrimestre: SEGUNDO

Conocimientos previos: MATEMÁTICA DISCRETA Y ÁLGEBRA

CRÉDITOS: 9 Teóricos:

Prácticos: aula laboratorio campo

OBJETIVOS:

Comprender el concepto de aplicación lineal. Conocer el espacio vectorial cociente de uno dado, y el espacio vectorial dual de formas lineales. Saber si un endomorfismo es diagonalizable, y calcular la forma canónica de Jordan de un endormorfismo. Determinar de una forma cuadrática su rango y signatura. Encontrar bases ortonormadas en un espacio vectorial con producto escalar y clasificar las isometrías en tales espacios. Clasificar los espacios vectoriales ortogonales y simplécticos.

PROGRAMA TEÓRICO Y PRÁCTICAS DE AULA:

1. APLICACIONES LINEALES: Aplicación lineal. Matriz coordenada de una aplicación lineal.

2. ESPACIOS VECTORIALES: Bases y dimensiones. Espacio vectorial cociente. Teoremas de isomorfía. Espacio vectorial dual.

3. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES: Valores y vectores propios. Diagonalización.

4. CÁLCULO DE FORMAS CANÓNICAS: Subespacios invariantes. Teorema de Cayley-Hamilton. Endomorfismos nilpotentes. Forma canónica de Jordan. Sucesiones linealmente recurrentes. Potencias y exponencia de una matriz.

5. FORMAS CUADRÁTICAS: Expresión coordenada de una forma cuadrática. Formación decuadrados. Ley de Inercia de Sylvester. Formas cuadrática definidas positivas y negativas.

6. ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEO Y UNITARIO: Producto escalar. Bases ortonormadas. Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt. Factorización QR. Proyección ortogonal. Aplicaciones normales. Diagonalización de operadores autoadjuntos. Forma canónica de una isometría. Mínimos cuadrados.

7. FORMAS BILINEALES: Formas bilineales. Expresión coordenada. Espacios vectoriales ortogonales y simplécticos. Clasificación de métricas ortogonales y simplécticas. Descomposición de isometrías en producto de simetrías.

SISTEMA Y CRITERIOS DE EVALUACIÓN:

Para superar la asignatura hay que aprobar un examen que es de teoría y problemas.

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA:

1.- P. Alberca, D. Martín: “Métodos matemáticos: algebra lineal y geometría”, Ediciones Aljibe, 2001.

2.- J. Arvesú, R. Alvarez, F. Marcellán: "Algebra Lineal y Aplicaciones". Síntesis, 1999.

3. J. Arvesú, R. Álvarez, F. Marcellán: “Problemas resueltos de álgebra lineal”. Thomson, 2005. 3.- T.S.Blyth y E. F. Robertson: "Basic Linear Algebra",

Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer, 2002. 4.- T.S. Blyth y E.F. Robertson: "Further Linear Algebra", Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer, 2002. 5.- C. W. Curtis: "Linear Algebra. An Introductory Approach". Undergraduate texts in mathematics, Springer, 1997 (séptima edición).

6.- E. W. Johnson: "Linear Algebra with Mathematica". Brooks-Cole Publishing Company, 1995.

7.- J. H. KwaK y S. Hong: "Linear Algebra", Birkhäuser, 1997. 8.- S. Lang: "Introducci\'on al álgebra lineal". Addison Wesley Iberoamericana, 1998,

9.- S. Roman: "Advanced Linear Algebra". Graduate texts in mathematics 135, Springer, 1995.

PROFESOR RESPONSABLE:

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Asignatura: ANÁLISIS MATEMÁTICO EN UNA VARIABLE Titulación: Licenciado en Matemáticas -Plan 2002

Departamento: Matemáticas y Computación

Tipo de asignatura: troncal

Curso: primero

Cuatrimestre: segundo

Conocimientos previos: LOS PROPIOS DE LA ASIGNATURA DEL PRIMER CUATRIMESTRE “CÁLCULO INFINITESIMAL Y NUMÉRICO”

OBJETIVOS:

El Análisis Matemático pretende ser un estudio riguroso del cálculo Infinitesimal estudiado durante el primer cuatrimestre. Este estudio riguroso responde a la necesidad de los matemáticos de adquirir un conocimiento profundo de las técnicas del Análisis Matemático para poder realizar generalizaciones y aplicaciones de ellas en situaciones diversas.

El objetivo básico de este curso pretende que los estudiantes adquieran manejo en el uso de las definiciones y de las técnicas y métodos de demostración propios del Análisis Matemático. Trataremos las funciones elementales y analizaremos, por ejemplo, los conceptos de convergencia, continuidad, derivabilidad o integrabilidad. En cuanto a los resultados, presentaremos demostraciones completas y rigurosas de algunos de los teoremas fundamentales del Análisis Matemático, como el Teorema de Bolzano o el Teorema de Rolle. Asimismo construiremos de manera satisfactoria la teoría de integrabilidad de Riemann y analizaremos los criterios de convergencia de series numéricas.

T1. Números, sucesiones y series numéricas.

1. Los números naturales (principio de inducción), los números enteros, los números racionales y los números reales. 2. Sucesiones y límites de sucesiones.

3. Series numéricas. Criterios de convergencia

T2. Continuidad de funciones. 1. Límites de funciones. 2. Continuidad de funciones.

3. Teoremas básicos sobre funciones continuas.

T3. Cálculo diferencial..

1. Derivada y diferencial.

2. Teoremas básicos sobre derivación. 3. Serie de Taylor.

4. Aplicaciones. T4. Integral de Riemann.

1. Definición y propiedades.

2. Caracterizaciones de funciones integrables.

3. Teorema fundamental del cálculo, consecuencias y aplicaciones 4. Integrales impropias.

La evaluación consistirá en una sola prueba cuya calificación alcanzará el 100% de la nota.

Apostol, T. M., “Análisis matemático”, (segunda edición). Reverté, Barcelona, 1976.

Bartle, R. G., Sherbert, D. R., “Introducción al análisis matemático de una variable”. Limusa, México, 1990. Demidovich, B., “5000 problemas de análisis matemático”. Paraninfo, Madrid, 1978.

Fernández, E., “Apuntes de Análisis I”. Univ. de La Rioja, Logroño, 2003.

Garay, J., Cuadra, J. L., Alfaro, M., “Una introducción al cálculo infinitesimal”. Univ. de Zaragoza, 1974. Klambauer, G., “Aspects of calculus”. Springer, Berlín, 1986.

Kudriávtsev, L. D., “Problemas de análisis matemático: límite, continuidad, derivabilidad”. Mir, Moscú, 1989. Maron, I. A., “Problemas sobre cálculo de una variable”. Paraninfo, Madrid, 1975.

Ortega, J. M., “Introducción al análisis matemático”. Univ. Aut. De Barcelona, 1990. Rudin, W., “Principios de análisis matemático” (segunda edición). Castillo, Madrid, 1974. Spivak, M., “Calculus. Cálculo infinitesimal” (segunda edición). Reverte, Barcelona, 1990.

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Asignatura: MÉTODOS ALGORÍTMICOS EN MATEMÁTICAS Titulación: Licenciado en Matemáticas -Plan 2002

Tipo de asignatura: Troncal

Curso: primero

Conocimientos previos: Álgebra Matricial y conocimientos básicos de Matlab (conocimientos adquiridos en la asignatura Matemática Discreta y Álgebra), Análisis Matemático (conocimientos adquiridos en la asignatura Cálculo Infinitesimal y Numérico).

OBJETIVOS:

1. Establecer una primera toma de contacto con las técnicas numéricas que sirva para conocer un amplio catálogo de métodos que aproximan las soluciones de los problemas abordados (esencialmente ecuaciones lineales y ecuaciones no lineales.)

2. Aprender cómo se resuelven estos problemas con el ordenador de un modo eficiente.

1. Preliminares de Análisis Numérico.

2. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. 3. Resolución de ecuaciones no lineales.

PROGRAMA DE PRÁCTICAS EN LABORATORIO Y CAMPO:

El programa se compone de seis prácticas: 1. Programación y funciones en Matlab. 2. Aritmética del ordenador.

3. El método de eliminación gaussiana.

4. Métodos de factorización para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. 5. Métodos iterativos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. 6. Métodos iterativos para la resolución de ecuaciones no lineales.

En todas las prácticas se utiliza el programa MATLAB y se desarrollan algoritmos numéricos.

La evaluación consistirá en una sola prueba escrita cuya calificación alcanzará el 100% de la nota. Esta prueba incluirá cuestiones teórico-prácticas y cuestiones relacionadas con las prácticas de ordenador.

La materia evaluable se basa en la exigida en el curso 2008-09. El material necesario para su preparación estará a disposición del alumno en la biblioteca (ver bibliografía básica) y en el aula virtual.

AUBANELL, A., BENSENY, A. y DELSHAMS, A. Útiles básicos de Cálculo Numérico. Labor, 1993. BURDEN, R. L. y FAIRES, J. D. Análisis numérico. Grupo Editorial Iberoamérica, 1985.

INFANTE, J. A. y REY J. M. Métodos Numéricos. Teoría, problemas y prácticas con MATLAB. Pirámide, 1999.

KINCAID, D. y CHENEY, W. Análisis numérico: Las matemáticas del cálculo simbólico. Addison-Wesley Iberoamericana, 1994.

MARTÍN, I. y PÉREZ, V. M. Cálculo Numérico para Computación en Ciencia e Ingeniería. Síntesis, 1998. MATHEWS, J. H. y FINK, K. D. Métodos Numéricos con MATLAB. Prentice Hall, 1999.

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Asignatura: TECNOLOGÍA DE LA PROGRAMACIÓN Titulación: Licenciatura en Matemáticas

Departamento: Matemáticas y Computación Tipo de asignatura: Obligatoria

Curso: 1º

Cuatrimestre: SEGUNDO

Conocimientos previos: conceptos de Metodología de la Programación

CRÉDITOS: 7,5 Teóricos:

OBJETIVOS:

- Desarrollo de los conocimientos obtenidos en la asignatura Metodología de la Programación/Informática. - Adquisición por el alumno de buenos hábitos a la hora de programar.

- Aprendizaje de nuevos métodos y herramientas de programación. - Dominio de un lenguaje de programación de alto nivel (lenguaje C++).

PROGRAMA

1. Análisis de la eficiencia de algoritmos

2. Introducción a la recursividad. Algoritmos y estructuras de datos recursivos.

3. Punteros y gestión dinámica de la memoria. Representación dinámica de datos recursivos. 4. Concepto de tipo abstracto de datos. Diseño modular.

5. Estructuras de datos lineales: pilas, colas y listas. 6. Estructuras de datos no lineales.

SISTEMA DE EVALUACIÓN

Se realizará un examen práctico escrito con dos partes: 1. Ejercicios a resolver en seudocódigo – 7 puntos 2. Ejercicios a resolver en C++ - 3 puntos

Será necesario aprobar las dos partes para aprobar la asignatura.

BIBLIOGRAFÍA

- A. V. Aho, J. E. Hopcroft, J. D. Ullman. "Estructuras de datos y algoritmos". Addison-Wesley, 1988. - G. Brassard, P. Bratley. "Algorítmica. Concepción y Análisis". Masson S. A., 1990.

- J. Campos. "Estructuras de datos y algoritmos". Prensas Universitarias de Zaragoza, 1995. - H. Deitel y P. Deitel. "C++: cómo programar". Prentice Hall, segunda edición, 1999.

- X. Franch. "Estructuras de datos. Especificación, diseño e implementación. Edicions UPC, 1994.

- J. Galve, J. C. González, A. Sánchez, J. A. Velázquez. "Algorítmica: Diseño y Análisis de Algoritmos Funcionales y Abstracción". RA-MA, 1993.

- R. Peña. "Diseño de Programas. Formalismo y Abstracción". Prentice Hall, 1993.

- P. C. Scholl. "Algorítmica y Representación de Datos. Tomo 2: Recursividad y Árboles". Masson, S. A., 1991 - B. Stroustrup. "El lenguaje de programación C++". Addison-Wesley Iberoamericana, edición especial, 2001. - N. Wirth. "Algoritmos + Estructuras de datos = Programas". Ediciones del Castillo, 1980.

PROFESORA RESPONSABLE:

Mª Vico Pascual Martínez Losa

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Asignatura: LÓGICA

Titulación: Licenciado en Matemáticas -Plan 2002

Tipo de asignatura: obligatoria

Curso: primero

Conocimientos previos:

OBJETIVOS:

-Conocer la relación entre lenguaje y verdad en modo formalizado. -Aprender procedimientos para razonar:

a) por deducción mediante axiomas y reglas, b) por métodos de resolución.

c) Aplicar la lógica a la informática.

-La verdad en el lenguaje. Del lenguaje cotidiano al lenguaje formal. -Cálculo de proposiciones.

-Fórmulas y tablas de verdad. Equivalencia y formas normales. -Tautologías y reglas de deducción.

-Razonamiento formal. Teoremas de deducción y de reducción al absurdo. -Algoritmos de resolución.

-Cálculo de predicados

-Fórmulas e interpretaciones. Leyes lógicas. -Reglas de deducción. Razonamiento formal. -Equivalencia y formas prenexas.

-Algoritmos de resolución.

PROGRAMA DE PRÁCTICAS EN LABORATORIO:

Se proporcionarán los guiones de las prácticas, que el alumno podrá realizar de forma autónoma en las aulas informáticas (Mac) habilitadas al efecto.

Examen final escrito con esta puntuación: Cuestiones 3, Problemas 6, Prácticas 1. El punto de Prácticas se podrá obtener entregando las mismas a lo largo del curso (procedimiento recomendado).

-M. Ben-Ari, Mathematical logic for computer science, Springer, London 2001.

-C-L. Chang, R., R. C-T. Lee, Symbolic Logic and mechanical theorem proving, Academic Press, Boston, 1973.

-A. Deaño, Introducción a la lógica formal, Alianza, Madrid, 1980. -A.G. Hamilton, Lógica para matemáticos, Paraninfo, Madrid, 1981. -S. Lipschutz, Matemáticas para computación, McGraw-Hill, México, 1983.

PROFESORES RESPONSABLES:

Luis Español González. Luis Javier Hernández Paricio.