7.NS.1, 7.NS.2, 7.NS.3

(1)

Ne w Je rs e y Ce nte r for Te aching and Le arning Iniciativa de Mate mática Progre s iva®

Es te ma te ria l e s tá dis ponible gra tuita me nte e n

ww.njctl.org y e s tá pe ns a do pa ra e l us o no come rcia l de e s tudia nte s y profe s ore s . No pue de s e r utiliza do pa ra cua lquie r propós ito come rcia l s in e l cons e ntimie nto por e s crito de s us propie ta rios .

NJCTL ma ntie ne s u s itio we b por la convicción de

profe s ore s que de s e a n ha ce r dis ponible s u tra ba jo pa ra otros profe s ore s , pa rticipa r e n una comunida d de a pre ndiza je profe s iona l virtua l, y /o pe rmitir a pa dre s , e s tudia nte s y otra s pe rs ona s e l a cce s o a los ma te ria le s de los curs os .

Nos otros , e n la As ocia ción de Educa ción de Nue va J e rs e y (NJEA)

s omos funda dore s orgullos os y a poyo de NJCTL y la orga niza ción

inde pe ndie nte s in fine s de lucro.

NJEA a dopta la mis ión de NJCTL de ca pa cita r a profe s ore s pa ra dirigir

e l me jora mie nto e s cola r pa ra e l be ne ficio de todos los e s tudia nte s .

Click para ir al s itio we b: www.njctl.org

7mo Grado Matemática

Sistema Numérico

www.njctl.org 2013-01-28

Slide 3 / 250

Sistema Numérico- Tabla de contenidos

· Sistema Numérico, Opuestos y Valor Absoluto

· Comparar y Ordenar Números Racionales

· Sumar Números Racionales

· Convertir la Sustracción en Adición

· Sumar y Restar Números Racionales - Revisión

· Multiplicar Números Racionales

· Dividir Números Racionales

· Operaciones con Números Racionales

· Convertir Números Racionales a Decimales

Common Core Standards: 7.NS.1, 7.NS.2, 7.NS.3

Click en el tema para ir a esa sección

· Glosario

Slide 4 / 250

Vínculos a las preguntas de muestra

PARCC

Final del año

Performance en base a las evaluaciones Calculadora N° 5 Sin calculadora N° 4 Sin calculadora N° 6 Sin calculadora N° 10 Sin calculadora N° 12 Sin calculadora N° 14

Slide 5 / 250

Algunas veces, cuando restas fracciones, encuentras que no puedes hacerlo porque el primer numerador es menor que el segundo! Cuando esto sucede, necesitas reagrupar para formar un número entero. ¿Cuántos tercios es en un entero? ¿Cuántos quintos hay en un entero? ¿Cuántos novenos hay en un entero?

Las palabras del vocabulario están

indentificadas con un subrayado de guiones.

El subrayado está vinculado al glosario al final de la presentación. Estas palabras pueden ser impresas para

armar una "pared de palabras".

(Haz click sobre el subrayado.)

Slide 6 / 250

Volver al tema

Factor

Un número entero que puede dividir a otro número sin

dejar resto 15 3 5 3 es un factor de 15 _{3 x 5 = 15} 3 y 5 son factores de 15 16 3 5 .1 R 3 no es un factor de 16

4

Un número entero que multiplicado con otro número forma un tercer

número

El cuadro tiene 4 partes

Vocabulario

1 Su significado

2 Ejemplos/

Contraejemplos

Vínculo para volver a la

página del tema. (Cómo se

utiliza en esta lección)

(2)

Sistema Numérico,

Opuestos y Valor

Absoluto

Volver a la tabla de contenidos

1

_{¿Sabes lo que es un número entero?}

Sí No

Slide 9 / 250

Sistema Numérico

0.22 Enteros positivos o Naturales 1,2,3... Cero 0 Enteros negativos ...-4, -3, -2, -1 Racionales 1/5 5/2 8.3 -2.756 -3/4 1/3 -1/11 Reales Irracionales

Slide 10 / 250

{...-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}

Definición de Entero:

Es el conjunto de números naturales

positivos, sus opuestos y el cero.

Define Entero

Ejemplos de Números Enteros:

Slide 11 / 250

Definición de Racional:

Un número que puede ser escrito como una fracción simple.

(Conjunto de números enteros y decimales que se repiten o finalizan)

Define Racional

0, -5, 8, 0.44, -0.23,

Ejemplos de números racionales:

9

, ½

(3)

entero

racional

irracional

Clasifica cada número tan específico como

sea posible:

Entero, Racional o Irracional

5 -6 0 -21 -65 1 3.2 -6.32 9 2.34437 x 103

½

¾

3¾ π 5

-1

0 -2

-3

-4

-5

1 2 3 4 5

Números Racionales en una Recta Numérica

Números

Negativos Números Positivos

Los números a la izquierda de cero son más chicos que cero

Los números a la derecha del cero son más grandes que el cero El cero no es ni negativo nipositivo ` Cero

Slide 15 / 250

-5 ₀ -3.2 12 1 2 4 5 -106 192 5.9 -1.1 2.9 1 6

¿Cuáles de los siguientes son ejemplos de enteros?

(Tilda todos los enteros)

Slide 16 / 250

2

_{¿Cuales son ejemplos de números racionales?}

A B

_-3

C

₁₀

D

_0.25

E

_75%

Slide 17 / 250

Los Números en nuestro

Mundo

Slide 18 / 250

Puedes escuchar "Y el mariscal de campos es tacleado por una pérdida de 5 yardas."

Esto puede ser representado por un número entero: -5

O, "El total de nieve caída este año ha sido 6 pulgadas más

que lo normal."

Esto puede ser representado por un número entero: +6 o 6

Los números pueden

representar situaciones

(4)

¿Puedes pensar alguna más?

Palabras que representan enteros negativos o positivos.

ganado incremento arriba más depósito menos perder debajo abajo disminución retirar

La abuela de Nico le depositó 20 dólares en su cuenta bancaria. ¿Como representaríamos a ese entero?

Un tiburón nada a 30 pies por debajo

del nivel del mar. ¿Cómo

representaríamos a ese entero?

20 -30

click click

Slide 21 / 250

1. Gastos $6.75

2. Ganancia de 11 libras

3. Depósito de $700

4. 10 grados bajo cero

5. pies sobre el nivel del

mar

Escribe un número que represente

cada situación:

R esp ue st a

Slide 22 / 250

3

_{¿Cuál de los siguientes números representa mejor la}

siguiente situación?

El efecto en tu billetera cuando gastas $10.25.

A

_-10.25

B

_10.25

C

₀

D

_{+/- 10.25}

Slide 23 / 250

4

_{¿Cuál de los siguientes números representa mejor la}

siguiente situación?

Ganas $50 sacando nieve con la pala.

A

_-50

B

₅₀

C

₀

D

_{+/- 50}

Slide 24 / 250

5

_{¿Cuál de los siguientes números representa}

mejor la siguiente situación?

Te sumerges para explorar un barco

hundido.

A B C

₀

D

(5)

Las fracciones y el signo negativo

Cuando tenemos una fracción negativa, el signo negativo

puede estar en diferentes lugares. Todos los siguientes tienen negativa una mitad.

¿Por qué son todos negativos?

Las fracciones y el signo negativo

Estas dos fracciones son positivas.

¿Por qué ambas son positivas?

Slide 27 / 250

Slide 28 / 250

Slide 29 / 250

Slide 30 / 250

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

Los números -4 y 4 son mostrados en la recta

numérica.

Los dos números están 4 unidades del 0,

pero 4 está a la derecha del 0 y -4 está ala izquierda.

Los números -4 y 4 son opuestos.

Los

opuestos

son los números que están a la misma

distancia del cero.

Opuestos

(6)

9

_{¿Cuál es el opuesto de -7?}

_{10 ¿Cuál es el opuesto de -3/2?}

Los alumnos escriben sus respuestas aquí

Slide 33 / 250

11

_{¿Cuál es el opuesto de 18.2?}

Slide 34 / 250

¿qué sucede cuando sumas dos opuestos? Veamos...

Un número y su opuesto tiene como resultado cero.

Los números y sus opuestos son llamados sumatoria

inversa

Mueve para ver la respuesta

Slide 35 / 250

Jeopardy

Los números enteros son usados en programas de

juegos.

En el juego Jeopardy tú:

· ganas puntos por una respuesta correcta

· pierdes puntos por una respuesta incorrecta

· puedes tener un puntaje positivo o negativo

Slide 36 / 250

Cuando un participante obtiene $100 por una respuesta

correcta:

Puntaje = $100

Luego responde de manera incorrecta una pregunta de

$50:

Puntaje = $50

Luego responde de manera incorrecta una pregunta de

$200:

Puntaje = -$150

¿Cómo se convierte el puntaje en negativo?

(7)

Organicemos nuestras ideas...

Cuando un participante obtiene

100 $ pregunta correcta

Luego $50 pregunta incorrecta

Preguntas Respondidas Representación Números Enteros Nuevo Puntaje 100 Correcta 50 Incorrecta 200 Incorrecta -50 100 100 50 -150 -200 Pregunta

Respondida Representación Número Entero Nuevo Puntaje

150 Incorrecta 50 Incorrecta 200 Correcta -50 -150 -150 -200 0 200

Ahora lo intentas tú...

Cuando un participante obtiene

150 $ pregunta correcta

Luego $200 pregunta correcta

Slide 39 / 250

Preguntas Respondidas Representación Números Enteros Nuevo Puntaje

Ahora lo intentas tú...

Cuando un participante obtiene $ 50 pregunta incorrecta

Luego $ 150 pregunta correcta

Slide 40 / 250

12

_{Después de las 3 respuestas siguientes ¿cuál sería el}

puntaje obtenido por el participante?

$100 incorrecta

$200 correcta

$50 incorrecta

Slide 41 / 250

13

_{Después de las 3 respuestas siguientes ¿cuál sería el}

puntaje obtenido por el participante?

$200 correcta

$50 correcta

$300 incorrecta

Slide 42 / 250

14

_{Después de las 3 respuestas siguientes ¿cuál sería}

el puntaje obtenido por el participante?

$150 incorrecta

$50 correcta

$100 correcta

(8)

15

_{Después de las 3 respuestas siguientes ¿cuál sería el}

puntaje obtenido por el participante?

$50 incorrecta

$100 incorrecta

16

_{Después de las 3 respuestas siguientes ¿cuál sería el}

puntaje obtenido por el participante?

$200 correcta

$50 correcta

$100 incorrecta

Slide 45 / 250

· Los números enteros son los positivos, el cero y

sus opuestos.

· Un

número racional

es un número que puede ser

escrito como una fracción simple.

· Un

número irracional

es un número que no puede

ser escrito como una fracción simple.

· Una recta numérica tiene números negativos a la

izquierda y positivos a la derecha.

· El cero no es ni negativo ni positivo

· Los números pueden representar situaciones

cotidianas

Revisión

Slide 46 / 250

Valor Absoluto de los Números

El valor absoluto es la distancia de un número del cero, sin importar su dirección.

La distancia y el valor absoluto son siempre no negativos (positivo o cero)

1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

¿Cuál es la distancia desde 0 a 5?

1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

¿Cuál es la distancia desde 0 a -5?

Slide 47 / 250

1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

El valor absoluto se simboliza con dos

barras verticales

4 ¿Cuál es el 4 ?

Esto se lee, "el valor absoluto de 4"

Slide 48 / 250

Recuerda

1 2 3 4 5 0 -1 -2 -3 -4 -5

La suma de un número y su opuesto es igual a cero. De manera que ....

En la recta numérica, un número y su opuesto están a igual distancia de cero. (Los números opuestos están en

los lados opuestos de cero) 1 2 3 4 1 2 3 4

-4 es 4 "saltos" desde 0 4 es 4 "saltos" desde cero Tanto -4 como 4 están a la misma distancia de cero

(9)

-4

₌

4 -9

₌

9 =

9.6 |9.6|

Usa la recta numérica para encontrar el valor

absoluto.

1

0

2 3 4 5 6 7 8 9

10 -1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

Mue ve pa ra Ve rifica r Mue ve pa ra ve rifica r Mue ve pa ra Ve rifica r 17

_Calcula

Slide 51 / 250

-8

18

_Calcula

Slide 52 / 250

19

_{¿Cuál es el ?}

Slide 53 / 250

20

_{¿Cuál es el ?}

R esp ue st a

Slide 54 / 250

21

_Calcula

(10)

22

_{¿Cuál es el valor absoluto del número que aparece}

en el generador?

23

_{¿Cuál de estos números tienen al 15 como su}

valor absoluto?

A

_-30

B

_-15

C

₀

D

₁₅

E

₃₀

Slide 57 / 250

24

_{¿Cuál de estos números tienen al 100 como su valor}

absoluto?

A

_-100

B

_-50

C

₀

D

₅₀

E

₁₀₀

Slide 58 / 250

Comparar y Ordenar

Números Racionales

Slide 59 / 250

Para comparar números racionales, traza los

puntos sobre la recta numérica.

Los números que se encuentra a mayor

distancia a la derecha son mayores .

Los números que se encuentra a mayor

distancia a la izquierda son los más pequeños .

Usa la recta numérica

1

0

2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

Slide 60 / 250

Coloca los números en el lugar correcto de la

recta numérica.

4 -4 5 -3 -2 3 0 2 -5 -1 1

(11)

4

-4 -3 -2 0 2 3 5

-5 -1 1

Ahora:

¿Cuál es el número entero más grande?

¿Cuál es el número entero más pequeño?

4

-4 -3 -2 0 2 3 5

-5 -1 1

¿Dónde se colocan los números racionales en la recta

numérica?

Pasa a la pizarra y escribe los siguientes números en

la recta numérica:

Slide 63 / 250

Ubica estos números en la recta numérica.

-3

¿Qué número es el más grande? Y el más pequeño?

Slide 64 / 250

Comparar Números Positivos

Los números pueden ser igual a; menos que; o más que otro número.

Los símbolos que usamos:

Igual a "=" menos que "<" más grande que ">" Por ejemplo:

4 = 4 4 < 6 4 > 2

Cuando usamos < o >, recuerda que la parte más pequeña señala al número más pequeño

Slide 65 / 250

25

_{10.5 es ______ 15.2.}

A

₌

B

_<

C

_>

Slide 66 / 250

26

_{7.5 es ______ 7.5}

A

₌

B

_<

C

_>

(12)

27

_{3.2 es ______ 5.7}

A

₌

B

_<

C

_>

Comparar Números Negativos

Mientras más grande es el valor absoluto de un número negativo, más pequeño es el número. Esto es debido a que está más lejos del cero, pero en una dirección negativa. Por ejemplo: -4 = -4 -4 > -6 -4 < -2

1

0

2 3 4 5 6 7 8 9

10 -1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

Recuerda que el número que se encuentra más lejos a la derecha de una recta numérica es el más grande.

Slide 69 / 250

Comparar Números Negativos

Una forma de pensar en ellos es en término de dinero

Prefieres tener $20 que $10.

Pero prefieres deberle a alguien $10 y no $20. Deber dinero puede ser pensado como tener una cantidad negativa de dinero, ya que necesitas tener ese dinero de vuelta para estar en cero. Por lo tanto deber $10 puede ser representado como -$10.

Slide 70 / 250

28

_{-4.75 ______ -4.75}

A

₌

B

_<

C

_>

Slide 71 / 250

29

_{-4 ______ -5}

A

=

B <

C >

1

0

2 3 4 5 6 7 8 9

10 -1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

Slide 72 / 250

30

A

=

B <

C >

(13)

31

_{-14.75 es ______ -6.2}

A

₌

B

_<

C

_>

32

_{-14.2 es ______ -14.3}

A

₌

B

_<

C

_>

Slide 75 / 250

Comparar todos los números

Cualquier número positivo es mayor que cero o cualquier número negativo.

Cualquier número negativo es menor que cero o cualquier número positivo.

1

0

2 3 4 5 6 7 8 9

10 -1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

Slide 76 / 250

Arrastra el símbolo de desigualdad correcta entre los

pares de números:

1) -3.2 5.8

3) 63 36

5) -6.7 -3.9

7) -24 -17

9) -8.75

-8.25

2) -237 -259

4) -10.2 -15.4

6) 127 172

8)

10) -10

-7

Slide 77 / 250

Slide 78 / 250

(14)

35

A

=

B <

C >

36

A

=

B <

C >

Slide 81 / 250

37

A

=

B <

C >

Slide 82 / 250

Slide 83 / 250

Un termómetro puede ser

visto como una recta

numérica vertical. Los

números positivos están

sobre el cero y los

negativos debajo del cero.

Slide 84 / 250

0

A

nsw

er

Si la temperatura leída en un termómetro es 9

0

, ¿cuál

será la nueva lectura si la temperatura:

desciende 3 grados?

aumenta 2 grados?

desciende 9 grados?

(15)

39

_{Si la temperatura que se lee en el termómetro es}

10 ℃

, ¿Cuál sería la nueva lectura de la temperatura

si la temperatura desciende 5 grados?

40

_{Si la temperatura que se lee en el termómetro es}

10 ℃

, ¿Cuál sería la nueva lectura de la temperatura

si desciende 12 grados?

Slide 87 / 250

41

_{Si la temperatura que se lee en el termómetro es -3}

_℃

_,

¿Cuál sería la nueva lectura de la temperatura si

desciende 3 grados?

Slide 88 / 250

42

_{Si la temperatura que se lee en el termómetro es -3}

_℃

_,

¿Cuál sería la nueva lectura de la temperatura si

aumenta 5 grados?

Slide 89 / 250

43

_{Si la temperatura que se lee en el termómetro es -3}

_℃

_,

¿Cuál sería la nueva lectura de la temperatura si

desciende 12 grados?

Slide 90 / 250

Sumar Números

Racionales

(16)

Símbolos

Usaremos "+" para indicar adición y "-" para sustracción. Los paréntesis son usados para mostrar las cosas más claramente. Por ejemplo, si queremos sumar -3 a 4 escribiremos:

4 + (-3), lo cual es más claro que 4 + -3. O si queremos restar -4 de -5 escribiremos: -5 - (-4), lo cual es más claro que -5 - -4.

Mientras que el título de esta sección es "Adición" vamos a aprender aquí como sumar y restar usando la recta numérica.

La adición y la sustracción son operaciones inversas (tienen el efecto opuesto). Si sumas un número y luego le restas el mismo número no has cambiado nada. La adición deshace a la sustracción y viceversa.

Adición:

Un paseo sobre la línea recta.

Slide 93 / 250

1. Comienza en el cero

2. Anda el número de pasos indicado para el primer número. 3. Anda el número de pasos indicado para el segundo número. 4. Estás parado sobre la respuesta.

Adición: Un paseo sobre la línea recta.

Reglas para la dirección

· Ir a la derecha para números positivos.

· Ir a la derecha para números negativos.

· Ir en la dirección opuesta cuando resta, en vez de

sumar, al segundo número.

· Restar un número negativo significa que te desplazas a

la derecha: ya que es el opuesto de moverse a la izquierda.

Así es como funciona.

Slide 94 / 250

Marquemos 3 + 4 sobre la recta numérica.

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

2. Anda el número de pasos indicado para el primer número.

3. Toma el número de pasos indicado para el segundo número. 4. Estás parado sobre la respuesta.

Slide 95 / 250

Marquemos 3 + 4 sobre la recta numérica.

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

· Ve a la derecha por números positivos

3. Toma el número de pasos indicado para el segundo número.

4. Estás parado sobre la respuesta.

Slide 96 / 250

Marquemos 3 + 4 sobre la recta numérica.

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

2. Anda el número de pasos indicado para el primer número. 3. Toma el número de pasos indicado para el segundo número.

(17)

Marquemos -4 + (-5) sobre la recta numérica.

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

3. Toma el número de pasos indicado para el segundo número. 4. Estás parado sobre la respuesta.

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

Marquemos -4 + (-5) sobre la recta numérica.

· Ve a la izquierda por números negativos

3.Toma el número de pasos indicado para el segundo número. 4. Estás parado sobre la respuesta.

Slide 99 / 250

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

Marquemos -4 + (-5) sobre la recta numérica.

2. Anda el número de pasos indicado para el primer número. 3.Toma el número de pasos indicado para el segundo número.

Slide 100 / 250

Marquemos 5 + -7 sobre la recta numérica

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

3.Toma el número de pasos indicado para el segundo número. 4. Estás parado sobre la respuesta.

Slide 101 / 250

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

Marquemos 5 + -7 sobre la recta numérica.

3.Toma el número de pasos indicado para el segundo número.

Slide 102 / 250

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

Marquemos 5 + -7 sobre la recta numérica.

2. Camina el número de pasos indicado para el primer número. 3. Toma el número de pasos indicado para el segundo número.

(18)

Marquemos -4 + 9.5 sobre la recta numérica

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

Marquemos -4 + 9.5 sobre la recta numérica

Slide 105 / 250

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

Marquemos -4 + 9.5 sobre la recta numérica

2. Camina el número de pasos indicado para el primer número. 3. Toma el número de pasos indicado para el segundo número.

Slide 106 / 250

Adición: Usando el Valor Absoluto

Puedes sumar siempre usando la recta

numérica.

Pero si analizamos nuestros resultados,

podemos ver como llegamos al mismo

resultado sin tener que dibujar la recta

numérica.

Logramos las mismas respuestas, pero más

fácil.

Slide 107 / 250

1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 3 + 4 = 7 -4 + 9.5 = 5.5 5 + (-7) = -2 -4 + (-5) = -9 -10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 12 3 4 5 6 7 8 910

Podemos ver algunos patrones que nos permite crear reglas para llegar a este resultado sin tener que graficar.

Adición:

Usando Valores Absolutos

Slide 108 / 250

Para sumar enteros con el mismo signo

1. Suma el valor absoluto de los números racionales.

2. El signo permanece igual.

(Igual signo, calcula el resultado)

1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 3 + 4 = 7 -4 + (-5) = -9 -10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 12 3 4 5 6 7 8 910 3 + 4 = 7; los dos signos son positivos; por lo tanto 3 + 4 = 7

4 + 5 = 9; los dos signos son negativos; por lo tanto -4 + (-5) = -9

(19)

Interpretando la estrategia del Valor Absoluto

La razón por la que la estrategia del valor absoluto

funciona, si los signos de los números enteros son

iguales es:

El valor positivo es la distancia que caminas en una

dirección, positiva o negativa.

Si los dos números tienes el mismo signo, las

distancias se sumarán, ya que los dos te están

pidiendo que viajes por la misma dirección.

Si caminas un kilómetros al oeste y luego dos

kilómetros más, estarás a tres kilómetros al oeste de

donde comenzaste.

Para sumar dos números enteros con diferentes signos 1. Encuentra la diferencia del valor absoluto de los números enteros

2. Mantiene el signo del número entero que tenga el mayor valor absoluto.

(Diferente signos, encuentra la diferencia) 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -4 + 9.5 = 5.5 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 5 + (-7) = -2

9.5 - 4 = 5.5; 9.5 > 4, y 9.5 es positivo; por lo tanto -4 + 9.5 = 5.5

7 - 5 = 2; 7 > 5 y 9 es negativo; por lo tanto 5 + (-7) = -2

Adición: Usar Valor Absoluto

Slide 111 / 250

Si los signos de los números enteros son diferentes:

Para el 2do tramo de tu viaje viajarás en la dirección opuesta que en el 1er tramo, deshaciendo alguna parte del viaje original. La distancia total en la que te encuentras del punto del partida será la diferencia entre las dos distancias.

El signo de la respuesta debe ser el mismo que el del número mayor, ya que es la dirección por donde has viajado más. Si caminas un kilómetro al oeste y luego dos kilómetros al este, estarás una kilómetro al este del punto de partida.

Interpretar la Estrategia del Valor Absoluto

Slide 112 / 250

Sumar Números Racionales: Para sumar números enteros con el mismo signo: 1. Suma el valor absoluto.

2. El signo permanece igual.

(Mismo signo, calcula la suma) Para sumar números enteros con diferente signo: 1. Encuentra la diferencia del valor absoluto de los números enteros.

2. Mantén el signo del número entero con el valor absoluto mayor. (Diferentes signos, calcula la diferencia)

Slide 113 / 250

44

11 + (-4) =

Slide 114 / 250

45

-4 + (-4) =

(20)

46

17 + (-20) =

47

-15 + (-30) =

Slide 117 / 250

48

-5 + 10 =

Slide 118 / 250

49

-9 + (-2.3) =

Slide 119 / 250

50

5.3 + (-8.4) =

Slide 120 / 250

51

4.8 + (12.6) =

(21)

52

-14.3 + 7.93 =

53 R esp ue st a

Slide 123 / 250

54 R esp ue st a

Slide 124 / 250

55 R esp ue st a

Slide 125 / 250

Convirtiendo la

Sustracción en

Adición

Slide 126 / 250

Restando Números

Restar un número es lo mismo que sumar su

opuesto.

(Suma en una recta,

(22)

Restando Números

Restar un número es lo mismo que sumar su opuesto. Podemos ver esto en la recta numérica, recordando nuestra reglas de direcciones. Compara estos dos problemas: 8 - 5 y 8 + (-5).

Para "8 - 5" nos movemos 8 pasos a la derecha y luego 5 a la izquierda, ya que el signo negativo nos dice que nos movamos en la dirección opuesta que sería para +5.

Para "8 - 5" nos movemos 8 pasos a la derecha y luego 5 a la izquierda, ya que estamos sumando -5.

De cualquier manera terminamos con un resultado de +3. 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

Restando Números

Compara estos dos problemas: 8 - (-2) y 8 + 2.

Para "8 - (-2)" nos movemos 8 pasos a la derecha, luego 2 a la derecha, ya que el signo negativo nos dice que nos movamos en la dirección opuesta que sería de -2.

Para "(8 + 2)" nos movemos 8 pasos a la derecha, luego 2 a la derecha, ya que estamos sumando 2.

De cualquier manera terminamos con un resultado de +10. 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

Slide 129 / 250

Restando Números

Cualquier sustracción puede ser transformada en adición:

· Cambiando el signo de sustracción a adición.

· Cambiando el número entero después del signo de

sustracción a su opuesto

EJEMPLOS:

5 - (-3) es lo mismo que 5 + 3 -12 - 17 es lo mismo que -12 + (-17)

Slide 130 / 250

56

_{Convierte el problema de sustracción en}

uno de adición.

8 – 4

A

_{-8 + 4}

B

_{8 + (-4)}

C

_{-8 + (-4)}

D

_{8 + 4}

Slide 131 / 250

57

_{Convierte el problema de sustracción en uno de}

adición.

-3.7 - (-10.1)

A _{-3.7 + 10.1} B _{3.7 + (-10.1)} C _{-3.7 + (-10.1)} D _{3.7 + 10.1}

Slide 132 / 250

58

_{Convierte el problema de sustracción en uno}

de adición.

A B

C

D

(23)

59

_{Convierte el problema de sustracción en uno}

de adición.

A

B

C D

60

_{Convierte el problema de sustracción en uno}

de adición.

1 - 9

A

_{-1 + 9}

B

_{1 + (-9)}

C

_{-1 + (-9)}

D

_{1 + 9}

Slide 135 / 250

61 ¿Qué expresiones son equivalentes a ?

A

B

C

D

E

F

From PARCC sample test

Slide 136 / 250

Revisión

Sumar y Restar Números

Racionales

Slide 137 / 250

62

_Calcula.

-6 – 2

Slide 138 / 250

63

_Calcula.

5 + (-5)

(24)

64

_Calcula.

-10.5 + 6.2

65

_Calcula.

7.3 – (-4)

Slide 141 / 250

66

_Calcula.

R esp ue st a B

Slide 142 / 250

67

_Calcula.

9.27 + (-8.38)

Slide 143 / 250

68

_Calcula.

-4.2 + (-5.9)

Slide 144 / 250

69

_Calcula.

-2 – (-3.95)

(25)

70

_Calcula.

5 - 6 + (-7)

71

_Calcula.

19 + (-12) - 11

Slide 147 / 250

72

_Calcula.

-2.3 + 4.1 + (-12.7)

Slide 148 / 250

73

_Calcula.

-8.3 - (-3.7) + 5.2

Slide 149 / 250

74

_Calcula.

R esp ue st a

Slide 150 / 250

75 Se grafica dos números, n y p sobre la recta numérica que se muestra abajo

Los números n-p, n+p y p-n se graficarán sobre la recta. Selecciona una expresión de cada grupo para hacer esta declaración cierta.

El número con el menor valor absoluto es__________ El número con el mayor valor absoluto es__________

A n - p B n + p

C p - n D n - p

E n + p F p - n

(26)

Multiplicando

Números Racionales

Símbolos

En el pasado, se usaba "x" para indicar

multiplicación. Por ejemplo, "3 veces 4" se escribía 3 x 4.

Sin embargo, esto será un problema en el futuro ya que la letra "x" se usa en álgebra como una variable variable.

Hay dos formas para indicar multiplicación: 3 veces 4 será escrito como 3∙4 o 3(4).

Slide 153 / 250

Paréntesis

El segundo método para mostrar multiplicación, 3(4), es poner al segundo número en paréntesis.

Los paréntesis son usados también para otros propósitos. Si queremos sumar -3 a 4 lo escribiremos como 4 + (-3), el cual es más claro que 4 + -3.

Además, cualquier operación que esté en un paréntesis se hace primero. La forma de escribir que queremos restar 4 de 6 y luego dividirlo por 2 sería (6 - 4) ÷ 2 = 1.

Sacando el paréntesis quedaría

6 - 4 ÷ 2 = 4, por que trabajamos de izquierda a derecha.

Slide 154 / 250

Multiplicar Números Racionales

La multiplicación es solo una forma rápida de

escribir adiciones repetidas.

Estas formas son equivalentes:

3

·

4 3 +3 + 3 + 3

4 + 4 + 4

todas son igual a 12.

Slide 155 / 250

Sabemos como sumar en una recta numérica.

Hagamos lo mismo con la multiplicación solo

agregando adiciones repetidas.

Para hacer eso, comenzaremos en cero y luego

seguir sumando: 3+3+3+3 o 4+4+4.

Deberíamos obtener el mismo resultado de

cualquiera de las dos maneras, 12.

Multiplicar Números Racionales

Slide 156 / 250

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

-3

Hagamos 4 x 3 en la recta numérica.

11 1312 14 16 1715

Lo haremos como

3+3+3+3

(27)

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

-3

11 1312 14 16 1715

Hagamos 5 x 2 en la recta numérica.

Hazlo así

5+5

y así

2+2+2+2+2

Multiplicar Números Negativos

Usemos la misma estrategia para determinar las

reglas para multiplicar números negativos.

Si tenemos 4 x (-3) lo podemos pensar como (-3)

sumado a si mismo 4 veces. Pero no sabemos

que pensar de sumar 4 a si mismo -3 veces, por lo

tanto lleguemos a una respuesta de este modo:

4 x (-3) = (-3)+(-3)+(-3)+(-3)

Slide 159 / 250

1

0 2 3

-17-16 -14-15 -13-12-11-10-9-8 -7-6 -5-4-3 -2-1

4 x (-3) Sobre la recta numérica

4 x (-3) = (-3)(-3)(-3)(-3)(-3)

Entonces podemos ver que 4 x (-3) = -12

Slide 160 / 250

4∙3 4 + 4 + 4 12 4(-3) (-3) + (-3) + (-3) -12

Multiplicar números positivos tiene un valor positivo.

Multiplicar un número negativo y uno positivo tiene un valor negativo. ¿Qué sucede si multiplicamos dos números negativos?, ¿cuál es el signo de (-4)(-3)?

Reglas de Signos para Multiplicar

Números Racionales

?

Slide 161 / 250

Multiplicar Números Racionales

No podemos sumarle algo a si mismo un número negativo de veces; no sabríamos lo que significa. Pero podemos pensar en nuestra regla, en donde un signo (-) nos dice que invirtamos la dirección.

Si pensamos en (-4)(-3) como -(4)(-3) podemos ver que la respuesta será el positivo de (-12):12

Cada signo negativo nos hace invertir la dirección una vez, por lo tanto dos multiplicados negativos nos hace volver a la dirección positiva.

Slide 162 / 250

4∙3 4 + 4 + 4 12 4(-3) (-4) + (-4) + (-4) -12

Multiplicar números positivos nos da un resultado positivo.

Multiplicar un número negativo y uno positivo nos da un resultado negativo Multiplicar dos números negativos nos da un resultado positivo. (-4)(-3)

-((-4) + (-4) + (-4)) -(-12)

12

Reglas de Signos para Multiplicar Números

Racionales

(28)

Cada vez que multiplicas por un número negativo cambias el signo.

Multiplicar por un número negativo hace que la respuesta sea negativa.

Multiplicar dos números negativos vuelve la respuesta positiva.

1(-3) = -3 -3(-4) = 12

Multiplicar Números Racionales

Cuando multiplicamos dos números con el mismo signo (+ ó -), el producto es positivo.

Cuando multiplicamos dos números con diferente signo, el producto es negativo.

Cuando multiplicamos varios números con diferentes signos, cuenta el número de negativos.

Una cantidad par de números negativos = producto positivo Una cantidad impar de números negativos = producto negativo

Multiplicar Números Racionales

Slide 165 / 250

Podemos ver también estas reglas si observamos los siguientes patrones:

3(3) = 9 -5(3) = -15 3(2) = 6 -5(2) = -10 3(1) = 3 -5(1) = -5 3(0) = 0 -5(0) = 0 3(-1) = -3 -5(-1) = 5 3(-2) = -6 -5(-2) = 10 3(-3) = -9 -5(-3) = 15 2.5(3) = 7.5 -3.1(3)(-2) = 18.3 2.5(2) = 5 -3.1(2)(-2) = 12.4 2.5(1) = 2.5 -3.1(1)(-2) = 6.2 2.5(0) = 0 -3.1(0)(-2) = 0 2.5(-1) = -2.5 -3.1(-1)(-2) = -6.2 2.5(-2) = -5 -3.1(-2)(-2) = -12.4 2.5(-3) = -7.5 -3.1(-3)(-2) = -18.3

Multiplicar Números Racionales

Slide 166 / 250

76

_{¿Cuál es el valor de (-3)(-9)?}

Slide 167 / 250

77

_{¿Cuál es el valor de 5(-4.82)?}

Slide 168 / 250

78

_{¿Cuál es el valor de (-3.2)(-6.4)?}

(29)

79

_{¿Cuál es el valor de (-5.12)(-9)?}

80

_{¿Cuál es el valor de -2(-7)(-4)?}

Slide 171 / 250

81

_Calcula

R esp ue st a

Slide 172 / 250

82

_Calcula

Slide 173 / 250

83 Juana entró a un concurso de pastelería. Usa 3.1 onzas

de harina para hacer un rollo de canela. ¿Cuántas onzas

de harina necesita para hacer 7 rollos de canela?

Slide 174 / 250

84 Tim está enviando 4 cajas de remeras. Cada caja pesa

6.3 libras. Si por cada libra de envío paga 5.20 . ¿Cuánto

tiene que gastar?

(30)

Dividiendo Números

Racionales

Símbolos de la División

Quizás la mayoría de las veces has usado el símbolo"÷" para mostrar una división.

También representaremos a la división como fracción.

Recuerda:

9 9÷3 = 3

3

son dos maneras de representar la división.

= 3

Slide 177 / 250

Dividir Números Racionales

La división es el opuesto de la multiplicación, como la sustracción de la adición.

Cuando divides un número, por otro número, estás tratando de averiguar cuántos tendrías que sumar del segundo número para obtener al primer número.

Por ejemplo, 5∙2 = 10, significa que podría dividir 10 en 5 grupos de 2, o 2 grupos de 5.

Estos es lo que hacemos en la recta numérica con la multiplicación, pero para atrás.

Tratemos 10 ÷ 2

Slide 178 / 250

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

-3

11 1312 14 16 1715

Hagamos 10

÷

2 sobre la recta numérica

Esto significa cuántas largos de 2 se necesitarían para sumar 10.

La respuesta es 5: el número de flechas rojas de 2 de largo, de punta a punta, nos da un largo total de 10.

Slide 179 / 250

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-2

-3

11 1312 14 16 1715

Hagamos 10

÷

5 sobre la recta numérica

Esto significa cuántos largos de 5 se necesitarían para sumar 10.

La respuesta es 2: el número de flechas verde de 5 de largo, de punta a punta, da un total de 10.

Slide 180 / 250

1

0 2 3

-17-16 -14-15 -13-12-11-10-9-8 -7-6 -5-4-3 -2-1

-12

÷

3 sobre la recta numérica

Esto se puede leer como cuántos pasos de 3 necesitaríamos para llegar a -12.

Cada flecha roja representa un paso de 3,

entonces podemos ver que -12

÷

3 = -4

(la

respuesta es negativa por que los pasos están a la

izquierda)

(31)

-15 ÷ 3 = -5

Sabemos que -5(3) = -15,

por lo tanto tiene sentido que -15 ÷ 3 = -5.

También sabemos que 3(-5) = -15.

Entonces, cuál es el valor de -15 ÷ -5

El valor debe ser 3 positivo, por que 3(-5) = -15

-15

3 = -5

Dividir Números Racionales

El cociente de dos números positivos es positivo.

El cociente de un número positivo y uno negativo es negativo. El cociente de dos números negativos es positivo.

Cuando dividimos varios números con diferentes signos, cuenta el número de negativos.

Una cantidad par de números negativos = cociente positivo Una cantidad impar de números negativos = cociente negativo

Dividiendo Números Racionales

Slide 183 / 250

85

_{Encuentra el resultado de 32 ÷ 4}

Slide 184 / 250

86

_{Encuentra el resultado de:}

Slide 185 / 250

87

_{Encuentra el resultado de:}

Slide 186 / 250

(32)

89

_{Encuentra el resultado de:}

90

Encuentra el resultado de:

R esp ue st a

Slide 189 / 250

91

_{Encuentra el resultado de:}

Slide 190 / 250

92

_{Encuentra el valor de}

Slide 191 / 250

93 Pedro pone 8 autitos de juguete en una fila. Si la fila

mide 16.4 metros de longitud, ¿cuál es la longitud de

cada autito?

Slide 192 / 250

94 Olivia exprimió 3/4 de galón de jugo de naranja. Dividió

esta cantidad de jugo en 6 tazas. ¿Cuántos galones

caben en cada taza?

(33)

95 ¿En que situación el cociente de -24: 3 podría usarse para responder la pregunta?

A La temperatura de una sustancia disminuye a razón de 24 grados por minuto durante 3 minutos, ¿cuál fue el cambio total de temperatura de la sustancia?

B Un equipo de fútbol pierde 24 yardas en un juego, luego gana 3 yardas en el siguiente juego, ¿cuántas yardas en total ganó el equipo en los dos juegos?

C Julia retiro $24 de su cuenta bancaria durante 3 días. Si retiró la misma cantidad cada día, ¿en cuánto cambio la cantidad de dinero en su cuenta bancaria cada día?

D Un frasco tiene 24 galletitas. Cada chico recibe 3 galletitas. ¿Cuántos chicos hay?

Operaciones con

Números Racionales

Slide 195 / 250

Cuando simplificas expresiones con números

racionales, debes seguir el orden de las

operaciones mientras recuerdas las reglas para

los números positivos y negativos!

Slide 196 / 250

Orden de las Operaciones

P

aréntesis

E

xponentes

M

ultiplicación

D

ivisión

A

dición

S

ustracción

Completar al mismo tiempo...cualquiera que sea

primeros...de izquierda a derecha

(TODOS los símbolos para agrupar)

Slide 197 / 250

Simplifiquemos esto paso por paso...

¿Qué harías primero? 5 - (-2) = 5 + 2 = 7

¿Qué harías primero después? (-3)(7) = -21

¿Cuál es el último paso? -7 + (-21) = -28

-7 + (-3)[5 - (-2)]

Slide 198 / 250

Simplifiquemos paso por paso...

¿Qué harías primero? ¿Qué harías primero luego?

¿Qué harías en tercer lugar? ¿Qué harías al final?

Click para revelar Click para revelar Click para revelar Click para revelar

(34)

96

_{Simplifica la expresión.}

-12

÷

3(-4)

97

_{Simplifica la expresión}

[-1 - (-5)] + [7(3 - 8)]

Slide 201 / 250

98

Simplifica la expresión

40 - (-5)(-9)(2)

Slide 202 / 250

99

_{Simplifica la expresión}

5.8 - 6.3 + 2.5

Slide 203 / 250

100 Simplifica la expresión.

-3(-4.7)(5-3.2)

Slide 204 / 250

101

_{Simplifica la expresión}

(35)

102

_{Simplifica la expresión}

₁₀₃

Completa el primer paso para simplificar.

¿Cuál es la respuesta?

[3.2 + (-15.6)] - 6[4.1 - (-5.3)]

Slide 207 / 250

104

_{Completa el paso siguiente para simplificar.}

¿Cuál es la respuesta?

[3.2 + (-15.6)] - 6[4.1 - (-5.3)]

-12.4 - 6[4.1 - (-5.3)]

click para revelar los pasos de la diapositiva anterior

Slide 208 / 250

105

_{Completa el siguiente paso para simplificar.}

¿Cuál es la respuesta?

[3.2 + (-15.6)] - 6[4.1 - (-5.3)]

-12.4 - 6[9.4]

-12.4 - 6[4.1 - (-5.3)]

Slide 209 / 250

106

_{Completa el siguiente paso para simplificar.}

¿Cuál es la respuesta?

[3.2 + (-15.6)] - 6[4.1 - (-5.3)]

-12.4 - 56.4

-12.4 - 6[9.4]

-12.4 - 6[4.1 - (-5.3)]

click para revelar los pasos de la diapositiva anterior

(36)

108 Simplifica la expresión R esp ue st a 109

Slide 213 / 250

110

Slide 214 / 250

111

(-4.75)(3) - (-8.3)

Slide 215 / 250

Resuelve en grupo.

Slide 216 / 250

¿Que te parece si

resuelves esta?

(37)

112 113

[(-3.2)(2) + (-5)(4)][4.5 + (-1.2)]

Slide 219 / 250

114

Slide 220 / 250

115

Slide 221 / 250

116

Slide 222 / 250

117 Selecciona el número correcto de pasos para completar

la ecuación

A 2

B -2

C 3/4

D -4/3

E 2

F -2

G 4/3

H -3/4

_____ _____

(38)

Convertir Números

Racionales en

Decimales

Slide 225 / 250

Definición de Número Racional:

Un número que puede ser escrito como una fracción simple. (Conjunto de números enteros y decimales exactos o periódicos)

Para que un número sea racional, deberías ser capaz de dividir la fracción y tener un decimal exacto o periódico.

¿Te acuerdas de la definición de

Número Racional?

Slide 226 / 250

Usa divisiones largas!

Divide el numerador por el denominador.

Si el decimal es exacto o periódico, entonces tienes un número racional.

Si el decimal continúa infinitamente, entonces tienes un número irracional.