Técnicas no estándar en la teoría de punto fijo : el teorema de Maurey

(1)

Facultad de Matem´

aticas

T´

ecnicas no est´

andar en

la Teor´

ıa de Punto Fijo:

El Teorema de Maurey

T E S I S

que para obtener el grado de

Maestro

en

Ciencias

P R E S E N T A:

Juan Rafael Acosta Portilla

DIRECTORES DE TESIS:

Dr. Carlos Alberto Hern´

andez Linares

Dr. Raquiel Rufino L´

opez Mart´

ınez

(2)

´

_{Indice general}

Introducci´on II

1. Preliminares 1

1.1. Filtros y ultraﬁltros . . . 1

1.2. L´ımites sobre ﬁltros . . . 4

1.3. Ultraproducto conjuntista . . . 10

1.4. Ultraproducto de espacios de Banach . . . 17

2. L1(µ) y su ultrapotencia 26 2.1. Propiedades de (L1(µ))U . . . 26

2.2. Superpropiedades y representabilidad ﬁnita . . . 40

2.3. Probabilidades aleatorias . . . 49

3. Teor´ıa de Punto Fijo 58 3.1. Conceptos b´asicos . . . 58

3.2. Resultados cl´asicos . . . 64

3.3. Punto ﬁjo y ultrapotencias . . . 72

3.4. Copias asint´oticas de ℓ1 . . . 85

3.5. Copias asint´oticas de ℓ1 y L1(µ) . . . 91

4. Teorema de Maurey y su rec´ıproco 95 4.1. Teorema de Maurey . . . 95

4.2. Rec´ıproco . . . 98

4.3. El espacio de Hardy H1 _{. . . .} ₉₉

Bibliograf´ıa 106

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Dada una funciónT :C→C, un punto fijo paraT es unx∈X tal queT(x) =x, el problema de garantizar la existencia de puntos fijos para una función depende de la función y del domino de definición, C, en el presente trabajo se considera el caso en el que C es un subconjunto convexo cerrado y acotado (o convexo, ω-compacto) de un espacio de Banach X.

La Teor´ıa de Punto Fijo se encuentra en la frontera entre la Topolog´ıa y el An´alisis Funcional, esta teor´ıa tiene sus ra´ıces en:

1. El Teorema de Brouwer [11] de 1910, el cual asegura que toda función continua, de un subconjunto convexo, cerrado y acotado de un espacio de Banach finito dimensional en s´ı mismo, tiene al menos un punto fijo.

2. El Teorema de contracción de Banach [5] de 1922, en el cual se prueba que toda funciónT continua de un espacio métrico completo en s´ı mismo con constante de Lipschitz menor que uno, tales operadores son llamados contracciones, tiene un único punto fijo y que además para cualquier x en el espacio métrico la sucesión (Tn_x_{) converge al punto fijo.}

La familia de operadores que ser´an de inter´es, son aquellos de la forma T :C →C, donde C es un subconjunto convexo, cerrado y acotado de un espacio de Banach X

y T es no expansivo, es decir:

∥T x−T y∥ ≤ ∥x−y∥

para cualesquiera x, y ∈C.

Se dice que un espacio de Banach tiene la propiedad del punto fijo (FPP) si ca-da operador que satisface las condiciones anteriores tiene un punto fijo. El estudio de estos operadores ha resultado relevante por su relación con los operadores monótonos y acretivos [28, 29], razón por la cual la teor´ıa de punto fijo para operadores no ex-pansivos ha sido considerada como parte fundamental del análisis funcional no lineal.

(4)

Los m´etodos tradicionales para estudiar los operadores no expansivos involucran ar-gumentos de geometr´ıa de espacios de Banach y arar-gumentos topol´ogicos, ver [29, 42] y sus referencias.

Pese a que los operadores no expansivos son una extensión natural de las contraccio-nes, su estudio requiere técnicas que van más allá de las aproximaciones puramente métricas. La teor´ıa de punto fijo para operadores no expansivos surge en 1965 con los teoremas de:

1. F. Browder [12] de 1965, el cual garantiza que todo espacio de Hilbert tiene la FPP

2. F. Browder y D. G¨ohde [31] de 1965, el cual asegura que todo espacio de Banach uniformemente convexo tiene la FPP.

3. W. A. Kirk [41] de 1965, el cual asegura que los espacios de Banach reﬂexivos con estructura normal tienen la FPP.

Los teoremas que se acaban de mencionar, ponen de manifiesto que la reflexividad pa-rece jugar un papel importante con respecto a la FPP, ya que los espacios de Hilbert y los Uniformemente Convexos son reflexivos, además el último teorema mencionado supone reflexividad.

No todos los espacios de Banach tienen la propiedad del punto fijo, por ejemplo, existe un subconjunto convexo, cerrado y acotado C de ℓ1 de tal modo que el ope-rador desplazamiento a la derecha (Right Shift Operator) definido de C en C es no expansivo y no tiene puntos fijos [29].

El Teorema de Maurey [52] de 1980, dice que todo subespacio cerrado y reﬂexivo de L1(µ), con µ una medida de probabilidad tiene la FPP. ´Este sumado a otros

re-sultados disponibles [42] dieron lugar a conjeturar que la FPP era equivalente a la reflexividad. En el 2008, P. K. Lin [46], mostró un espacio de Banach no reflexivo con la FPP, lo que demuestra que la conjetura es falsa; sin embargo permanece abierta la pregunta si la reflexividad implica la FPP.

El objetivo de esta tesis es probar el Teorema de Muarey y su reciproco el cual se debe a P. N. Dowling y C. J. Lennard [21] en 1997. El Teorema de Maurey será probado utilizando la teor´ıa de ultraproductos, que es una técnica no estándar. Las técnicas no estándar tienen su origen en la Lógica [15], y dan lugar a lo que se conoce como Análisis no Estándar [30], los ultraproductos definidos en Lógica se adecuan para darle la estructura de espacio de Banach [18, 49] requerida. Cabe hacer mención, que

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de Maurey aparece en la literatura para el caso L1[0,1], sin embargo, no es dif´ıcil

extender el resultado al caso L1(µ), lo cual se hace en el presente trabajo.

Con la ﬁnalidad de probar lo mencionado en el p´arrafo anterior, se organiza el pre-sente trabajo de la siguiente manera:

Capitulo 1: En este cap´ıtulo se construyen las técnicas no estándar que son usa-das a lo largo del trabajo, en primer lugar se define lo que es un filtro y se prueban propiedades de estos, en particular de los ultrafiltros, posteriormente se define lo que es un l´ımite bajo filtro y se enuncian y prueban diversas propiedades de los mismos, luego se construye el ultraproducto conjuntista y se relaciona a este con las estruc-turas anal´ıticas, probando la existencia de topolog´ıas y medidas en el utraproducto.

Posteriormente se construye el ultraproducto de espacios de Banach, que es la ade-cuación de la técnica de la lógica aplicada al contexto de espacios de Banach, para finalizar probando una serie de resultados concernientes a subespacios, subconjuntos y operadores en el utraproducto de espacios de Banach.

Capitulo 2: En este cap´ıtulo se utilizan las técnicas desarrolladas en el cap´ıtulo an-terior para probar resultados concernientes al ultraproducto (Lp(µi))U de espacios concretos, como son los Lp(µ), mostrando su relación con Lp(µe), donde µe es el ul-traproducto de la familia de medidas (µi), as´ı como la forma éxplicita de algunos elementos en L1(µe), después se define lo que es la representabilidad finita y se

de-muestra como caracteriza a los ultraproductos.

Luego se da una serie de resultados que asocian la representabilidad finita con la super reflexividad, para continuar con una sección en la que se define lo que es una probabilidad aleatoria y en la que se prueba la existencia de diversos l´ımites de éstas, formas de generarlas a partir de elementos enL1(µ) y su relación con las medidas de

Young, para ﬁnalizar con resultados que asocian l´ımites bajo integrales con integrales bajo las probabilidades aleatorias.

Capitulo 3: Primero se introduce el problema del punto fijo y se muestran ejem-plos de espacios y funciones concretos, as´ı como las definiciones elementales que se usan en el presente trabajo, algunas de ellas son la FPP y laτ-FPP, después se defi-nen algunas propiedades geométricas y se demuestran algunos resultados clásicos de puntos fijo como son la existencia de conjuntos minimales, la existencia de a.f.p.s., el

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Teorema de Göebel-Karlovitz y la invarianza de dominios, para posteriormente pro-bar el análogo de dichos resultados en el contexto no estándar utilizando las técnicas de los cap´ıtulos precedentes.

Finalmente se tiene una sección en la que se definen las bases de Schauder y las copias asintóticamente isométricas deℓ1, esta sección es con el objetivo de demostrar

el rec´ıproco del Teorema de Maurey, se muestra la relación de las copias asint´ oti-camente isométricas de ℓ1 con la FPP y se finaliza con el resultado que asegura la existencia de estas en subespacios no reflexivos deL1(µ).

Capitulo 4: En primer lugar se demuestra el Teorema de Maurey, posteriormente se demuestra su rec´ıproco y se finaliza dando una serie de definiciones acerca del espacio de Hardy H1 y una aplicación de las técnicas desarrolladas en los cap´ıtulos anteriores, para dar un resultado de punto fijo en el contexto del espacio de Hardy

H1_.

(7)

Preliminares

En este cap´ıtulo se enunciarán algunos resultados concernientes a filtros y ultra-filtros, los cuales serán usados en la construcción del ultraproducto y ultrapotencia conjuntista y de espacios de Banach, para posteriormente probar algunas propiedades de los mismos.

1.1. Filtros y ultrafiltros

Las definiciones que se darán en la presente sección se pueden encontrar en [36, 51, 56].

Definici´on 1 (Filtro). Un ﬁltro F en un conjunto I es una colecci´on de subcon-juntos de I con las siguientes propiedades:

1) ∅∈/ F e I ∈F

2) Si A, B ∈F entonces A∩B ∈F

3) Si A ∈F y A⊂B ⊂I entonces B ∈F

Un filtro puede ser visto como la colección de superconjuntos de secciones finales de una red, razón que motiva la siguiente definición.

Definici´on 2 (Base de filtro). Una base de filtro L en un conjuntoI es una colec-ción no vac´ıa de subconjuntos de I que satisface:

1) ∅∈/ L

2) Si L1, L2 ∈L existe L∈L con L⊂L1∩L2

(8)

CAP´ITULO 1 2

Obsérvese que la colección de secciones finales de una red es una base de filtro y que dada una base de filtro L, la colección de superconjuntos de elementos de L es un filtro, es decir, que la colección F = {A ⊂ I|existeL ∈ L con L ⊂ A} es un filtro en I.

Dada una base de filtro L, el filtro generado por ésta será la colección de super-conjuntos de elementos de la base, tal como se muestra en el ejemplo del párrafo anterior y será denotado por [L].

Un filtro F en I se dirá que es principal si F = [{{i}}] para algún i ∈ I, en cuyo caso se dirá que F es generado pori, obsérvese queF ={A⊂I|i∈A}. Dada una red (xα)α∈I, para cada α ∈ I considérese Sα = {xβ|β ≥ α}, luego el

ﬁltro asociado a la red es F(xα)α_∈I = [{Sα|α ∈I}].

Dados dos filtros F y G en I, se dirá que F es más fino queG si F ⊃G.

Si (xn) es una sucesión y (xnk) una subsucesión de ésta, entonces F(xnk) es más

ﬁno que F(xn), esto se sigue de que{xnk|k ≥i} ⊂ {xn|n ≥ni}.

Si F es un filtro en I y A ⊂ I es tal que A ∩F ̸= ∅ para cada F ∈ F enton-ces{A∩F |F ∈F} es una base de filtro, cuyo filtro generado será llamado latraza

deF en A y se escribiráFA, si A ∈F entoncesF ⊃FA, sin embargo no se puede decir que uno es más fino que el otro ya que no están definidos sobre el mismo con-junto, uno es sobreI y el otro sobre A.

El resultado anterior también vale para redes y subredes, sin embargo la definición de subred no es tan simple como la de subsucesión, siendo ésta una de las razones por las que puede resultar más conveniente el tratar con filtros que con redes.

Se puede probar que la colección F de los filtros en I está parcialmente ordenada por la inclusión, además que dada una cadena en F, ésta tiene una cota superior, a saber la unión de todos los elementos en la cadena, luego por el Lema de Zorn, la colección de todos los filtros en I tiene al menos un elemento maximal.

Definici´on 3 (Ultrafiltro). Un ultrafiltro U en X es un filtro maximal respecto a la contención.

(9)

2) U es un ultraﬁltro en I

Demostración: Supóngase 1) y sea F un filtro más fino que U, supóngase F es estrictamente más fino que U, es decir, existe A ⊂ I con A ∈ F y A /∈ U, luego

Ac_∈_U _{de donde} _Ac_∈_F _{y en consecuencia} _∅₌_A_∩_Ac_∈_F _{lo cual es una} contra-dicci´on, por lo tanto F =U.

Sup´ongase 2) y A ⊂ I con A /∈ U, luego A no puede ser un superconjunto de alg´un elemento de U, esto es que, para cada U ∈U se tiene que A ̸⊂U, de donde

Ac∩U ̸= ∅, as´ıU ∪ {Ac} es una base de filtro y el filtro generado F, es más fino que U y satisface Ac_∈ _F_{, luego por la maximalidad de} _U_{, se tiene que} _F ₌_U _y en consecuencia Ac∈U_.

La caracterizaci´on anterior permite asegurar que todo ﬁltro principal generado por

i∈I es un ultraﬁltro, esto porque dadoA ⊂I se tiene que i∈A oi∈Ac_.

Una pregunta natural es si existen ultraﬁltros que no sean principales, la respues-ta es aﬁrmativa.

Teorema 2. Existen ultraﬁltros que no son principales.

Demostraci´on: Para cada n ∈ N ll´amese Sn = {m|m ≥ n}, luego L = {Sn|n ∈

N} es una base de filtro, entonces por el Lema de Zorn existe un ultrafiltro U más fino que [L].

Se afirma que U no es principal, para demostrarlo supóngase que si lo es, enton-ces existen ∈Ntal que U = [{{n}}], luego ∅={m|m≥n+ 1} ∩ {n} ∈U, lo cual es una contradicción, por lo tanto U no es principal.

Una propiedad que satisfacen los ultrafiltros y que será de utilidad en lo subsecuente es la siguiente proposición.

Proposici´on 1. Sean U un ultraﬁltro en I y A, B ⊂ I tales que A ∪B ∈ U, entonces A∈U o B ∈U.

Demostraci´on: SiA, B /∈U entoncesAc_{, B}c_∈_U _{de donde (}_A_∪_B₎c₌_Ac_∩_Bc_∈_U as´ıA∪B /∈U.

(10)

CAP´ITULO 1 4

Teorema 3. Sea U un ultraﬁltro en I entonces son equivalentes: 1) U es principal

2) Existe A⊂I ﬁnito con A∈U

Demostraci´on: Es claro que 1) implica 2), solo resta probar que 2) implica 1).

Sup´ongase que existe {x1,· · ·xn} = A ⊂ I con A ∈ U luego

n

∪

k=1

{xk} ∈ U por lo tanto {xn0} ∈U para alg´un 1≤n0 ≤n.

Del teorema anterior se sigue que todo ultrafiltro sobre un conjunto finito es principal y que los elementos de los ultrafiltros que no son principales necesariamente deben de ser infinitos.

Se dirá que un filtro es numerablemente incompleto si existe una sucesión (In) enU tal que ∩

n

In=∅.

Se observa que todo ultrafiltro U en N que no es principal, contiene las secciones finales de la sucesión identidad en N, es decir, Im ={n∈N|n > m} ∈U para cada

m∈N, esto porque para cadam∈Nse tiene queIc

m es ﬁnito y dado queIm∪Imc =N entoncesIm ∈U, luego como

∩

m

Im =∅, se concluye que todo ultraﬁltro sobreNque

no es principal es numerablemente incompleto.

Obsérvese que siempre que se tenga un filtro F que es numerablemente incompleto, se puede construir una sucesión decreciente cuya intersección es vac´ıa, es decir, una sucesión (In) en F tal que In+1 ⊂In para cada n ∈N y

∩

n

In =∅.

1.2. L´ımites sobre filtros

Al igual que con sucesiones y redes, mediante filtros se puede definir la conver-gencia de una colección.

Definici´on 4 (L´ımite sobre ﬁltro). Sea (xi)i∈I una colecci´on de elementos indizados

por I, definida en un espacio topológico Hausdorff X y F un filtro en I, se dirá que

(xi)i∈I converge a x ∈ X respecto a F, si para cada Ux vecindad de x se tiene que {i∈I|xi ∈Ux} ∈F, en cuyo caso se escribir´a x= l´ım

(11)

Se pudo definir el l´ımite sobre un filtro en el caso de espacios que no son Haus-dorff, sin embargo no se garantizar´ıa la unicidad.

Se han presentado dos notaciones para escribir el l´ımite de una colecci´on (xi)i∈I respecto a un ﬁltroF sobre I, a saber l´ım

F xi y l´ımi,F xi, la primera se utilizará siempre que la familia esté indizada por un único parámetro i, mientras que la segunda se utilizará cuando la familia dependa de más de un parámetro, para recalcar respecto a cual se calcula el l´ımite.

Si FA es la traza de F para alg´un A ⊂ I, entonces se deﬁne l´ım

i∈A,Fxi := l´ımFA

xi

donde se considera para calcular el l´ımite sobreFAla subcolección (xi)i∈A de (xi)i∈I. Supóngase bajo las hipótesis de la definición de l´ımite sobre filtro, que C⊂X es ce-rrado, (xi)i_∈I es convergente bajo F ax y{xi|i∈I} ⊂C, entonces l´ım

F xi =x∈C,

esto porque para cada Ux vecindad de x se tiene que ∅ ̸= {i ∈ I|xi ∈ Ux} ∈ F de donde existe i0 ∈I con xi0 ∈Ux, es decir Ux∩C ̸=∅, luego x es un punto adherente

deC, por lo tanto x∈C.

Si se está trabajando con varias topolog´ıas, entonces cuando se calcule el l´ımite de una colección (xi)i∈I, bajo un filtro F en I, respecto a una topolog´ıa τ, se escri-birá τ −l´ım

F xi, en particular cuando se considere un espacio de Banach, se

deno-tar´aω−l´ım

F xi al l´ımite respecto a la topolog´ıa debil y aω

∗₋_l´ım

F xi al l´ımite respecto

a la topolog´ıa débil∗, el último siempre y cuando de antemano esté fijado un predual.

Los filtros principales brindan poca información acerca de la convergencia ya que si F = [{{i0}}] para algún i0 ∈I entonces l´ım

F xi =xi0, ´esto porque para cada Uxi0

vecindad de xi0 se tiene que i0 ∈ {i ∈ I|xi ∈ Uxi0} de donde {i0} ⊂ {i ∈ I|xi ∈

Uxi₀} ∈F.

Las siguientes proposiciones muestran la utilidad de trabajar con ultraﬁltros en lugar de ﬁltros.

Proposici´on 2. Si (xn) es una sucesión en un espacio topológico Hausdorff X yU

un ultraﬁltro en N que no es principal, entonces si (xn) converge a x ∈ X se tiene

que x= l´ım

U xn.

Demostraci´on: Sea Ux una vecindad de x, entonces como (xn) converge a x, existe

(12)

CAP´ITULO 1 6

complemento ﬁnito entonces A ∈ U, as´ı{n ∈ N|xn ∈ Ux} ⊃ {n ∈ N|n ≥ N} =

A∈U, de donde l´ım

U xn =x.

As´ı las sucesiones convergentes convergen al mismo l´ımite bajo los ultrafiltros so-bre N que no son principales, luego los l´ımites bajo filtros son una generalización de los l´ımites usuales.

La convergencia de sucesiones bajo ultraﬁltros, garantiza la convergencia fuerte de subsucesiones como se muestra a continuaci´on.

Proposici´on 3. Sean(xn)es una sucesión en un espacio métricoX,U un ultrafiltro

en N que no es principal y sup´ongase quel´ım

U xn=x∈X existe, entonces existe una

subsucesi´on (xnk) de (xn) tal que x= l´ım

k xnk.

Demostraci´on: Para cada n ∈ N se tiene que In = {m ∈ N|xm ∈ B(x,_n1)} ∈ U, luego como U no es principal, In es inﬁnito para cada n∈N.

Se escoge un n1 ∈ I1, luego se deﬁne inductivamente una sucesi´on (nk) del mo-do siguiente, para cada 1 ≤ l ≤ k se suponen escogidos ´ındices nl ∈ Il, tales que

n1 <· · ·< nk, se observa queJ =Ik+1− {1,· · · , nk}es inﬁnito y tiene complemento

ﬁnito, por lo que J ∈ U de donde existe nk+1 ∈ J, por construcci´on nk+1 ∈ Ik+1 y nk+1 > nk>· · ·> n1.

As´ı (xnk) es una subsucesi´on de (xn) tal que d(xnk, x) <

1

k para cada k ∈ N, de donde l´ım

k xnk =x.

Una consecuencia inmediata de la proposición anterior es que la convergencia de sucesiones (xn) bajo ultrafiltros enN que no son principales, implica la existencia de puntos de acumulación para (xn).

El siguiente resultado es el análogo al resultado sobre sucesiones el cual asegura que toda subsucesión de una sucesión convergente, tiene el mismo l´ımite que la sucesión.

Proposici´on 4. Sea X un espacio topológico Hausdorff, (xi)i∈I una colección de

elementos en X, F un ﬁltro en I, A⊂I con A ∈F entonces l´ım

F xi existe si y solo

si l´ım

i∈A,Fxi existe, en este caso i∈l´ımA,Fxi = l´ımF xi.

Demostraci´on: Si l´ım

F xi = x entonces dada Ux vecindad de x, se tiene que {i ∈

(13)

as´ı l´ım

i∈A,Fxi =x.

Por otra parte, si l´ım

i∈A,Fxi = x entonces para cada Ux vecindad de x se tiene que {i∈A|xi ∈Ux} ∈FA, luego{i∈A|xi ∈ Ux} ∈F y como {i∈I|xi ∈Ux} ⊃ {i∈

A|xi ∈Ux}, se sigue que {i∈I|xi ∈Ux} ∈F, se concluye l´ım

F xi =x.

El siguiente resultado puede ser considerado un rec´ıproco de las Proposiciones 2 y 3.

Proposici´on 5. Sean X un espacio métrico, x∈X fijo y (xn) una sucesión en X,

tal que para todo ultraﬁltro U en N que no es principal, es convergente ax, entonces

(xn) tiene un único punto de acumulación a saber x, más aún, l´ım

n x=x.

Demostraci´on: Unicidad del punto de acumulaci´on, se tomany1 y y2 dos puntos de

acumulaci´on de (xn), entonces existen subsucesiones (xnk) y (xns) tales quexnk →y1

y xns →y2, se consideran los conjuntos I1 = {nk|k ∈ N} e I2 ={ns|s ∈ N}, luego

para i = 1,2, las familias Li = {A ⊂ N|Ii ⊂ A} son bases de ﬁltro y se pueden extender a ultraﬁltros Ui.

De las Proposiciones 2 y 4, se sigue que y1 = l´ım

k xnk = n∈l´ımI1,U1

xn = l´ım

U1

xn = x

= l´ım

U2 xn =n∈l´ımI2,U2

xn = l´ım

s xns =y2.

Para demostrar que (xn) es convergente, se considera (xnk) subsucesi´on, se toma

I = {nk|k ∈ N} y se considera un ultrafiltro U tal que contiene a la base de filtro {A ⊂ N|I ⊂ A}, de la Proposición 4 se sigue l´ım

n∈I,Uxn = l´ımU xn = x, entonces por la Proposici´on 3, existe una subsucesi´on (xn_ks) de (xnk) que converge a x, de donde

l´ım

n xn =x.

El siguiente teorema garantiza la convergencia de colecciones respecto a ultraﬁltros en cierta familia de espacios topol´ogicos.

Teorema 4. Sea K un espacio topol´ogico, entonces son equivalentes: 1) K es compacto

2) Para cada (xi)i∈I familia en K y ultraﬁltroU en I, se tiene que (xi) converge

respecto a U

Demostraci´on: Se probar´a que 1) implica 2), sean K compacto, (xi)i∈I en K con

(14)

CAP´ITULO 1 8

{Uy1,· · · , Uyn}, as´ı

n

∪

r=1

{i∈I|xi ∈Uyr} = {i ∈ I|xi ∈ K} = I ∈ U por lo que

{i∈I|xi ∈Uyr0} ∈U para alg´un 1≤r0 ≤n lo cual es una contradicci´on.

Ahora se demostrará que 2) implica 1), seaF={Fi|i∈I}una familia de subconjun-tos de K con la propiedad de la intersección finita, se busca demostrar que∩

i∈I

Fi ̸=∅,

para ello llámese Γ a la colección de subconjuntos finitos de I, luego por cada ele-mento A∈Γ tómese un elementoxA ∈

∩

i∈A

Fi y seaβ(A) = {B ⊃A|B ∈Γ}, ya que

β(A)̸=∅ y β(A)∩β(B)⊃β(A∪B), se deduce que la colecciónB={β(A)|A∈Γ} es una base de filtro en Γ, de donde se puede extender a un ultrafiltro U en Γ, sea (xA)A∈Γ la familia construida, por hipótesis converge a l´ım

U xA=x∈K, basta probar

que x ∈ ∩

i∈I

Fi, sup´ongase lo contrario, entonces existe i0 ∈ I tal que x /∈ Fi0, como

Fi0 es cerrado existe una vecindad Ux de x de tal modo que Ux ∩Fi0 = ∅, como

x = l´ım

U xA se sigue que {A ∈Γ|xA ∈Ux} ∈ U y puesto que {i0} ∈ Γ, se tiene que

∅ ̸=β({i0})∩{A∈Γ|xA∈Ux} ∈U y existeB0 ∈β({i0})∩{A∈Γ|xA∈Ux} ∈U, entonces dado que para cada B ∈ β({i0})∩ {A ∈ Γ|xA ∈ Ux} se tiene xB ∈ Ux y

xB ∈

∩

i∈B

FB ⊂Fi0, se concluye quexB0 ∈Ux yxB0 ∈Fi0 lo cual es una contradicci´on.

Una consecuencia de los resultados anteriores es el siguiente corolario.

Corolario 1. Sea (xn) una sucesi´on acotada en R y U un ultraﬁltro en N que no es principal, entonces l´ım infxn ≤l´ım

U xn ≤l´ım supxn.

Demostración: Sea ϵ > 0, r = l´ım infxn y s = l´ım supxn, luego solo una cantidad finita de términos de (xn) no pertenecen a [r−ϵ, s+ϵ], se considera N = máx{n ∈

N|xn ∈/ [r − ϵ, s +ϵ]}, entonces I0 = {n ∈ N|n > N} ∈ U, de donde l´ım

U xn

= l´ım

UI₀

xn ∈ [r−ϵ, s+ϵ], es decir r−ϵ ≤ l´ım

U xn ≤ s+ϵ, al ser ϵ > 0 cualquiera, se

concluye l´ım infxn ≤l´ım

U xn ≤l´ım supxn.

Los l´ımites de colecciones bajo ﬁltros se comportan pr´acticamente igual que los l´ımites sucesionales como lo muestran las siguientes proposiciones.

(15)

1) f es continua en x

2) f(x) = l´ım

F f(xi)para toda familia(xi)i∈I enX yF ﬁltro en Ital quel´ımF xi =x

Como consecuencia inmediata se tiene que (l´ım

F xi)

2

= l´ım

F x

2

i y ∥l´ım

F xi∥ = l´ımF ∥xi∥

siempre que tengan sentido las expresiones.

Los l´ımites bajo filtros también son compatibles con las funciones semicontinuas in-feriormente y superiormente como se muestra a continuación.

Proposici´on 7. Sean (xi)i∈I una colección en un espacio topológico Hausdorff yF

un ﬁltro en I, tales que l´ım

F xi existe, entonces:

1) Siφes una funci´on semicontinua inferiormente se cumpleφ(l´ım

F xi)≤l´ımF φ(xi)

2) Siφes una transformaci´on semicontinua superiormente se tiene queφ(l´ım

F xi)≥

l´ım

F φ(xi)

En el entendido de que los l´ımites se calculan en la compactificación de R dada al añadir los puntos al infinito −∞ e ∞.

Demostración: Solo se efectuará la demostración del inciso 1) ya que la del inciso 2) es análoga.

Sea ϵ > 0, entonces existe I′ ∈ F tal que φ(xi) < l´ım

F φ(xi) +ϵ para todo i ∈ I

′_,

as´ı xi ∈ φ−1((−∞,l´ım

F φ(xi) + ϵ]) para todo i ∈ I

′_{, como} _φ _{es semicontinua}

in-feriormente, entonces el conjunto φ−1₍₍_−∞_,_l´ım

F φ(xi) + ϵ]) es cerrado, de donde

l´ım

F xi ∈φ

−1₍₍_−∞_,_l´ım

F φ(xi) +ϵ]), es decir φ(l´ımF xi)≤l´ımF φ(xi) +ϵ para todo ϵ >0,

as´ıφ(l´ım

F xi)≤l´ımF φ(xi).

En la siguientes proposición se dan por hecho las definiciones básicas sobre espa-cios vectoriales topológicos, las cuales se pueden encontrar en [17, 54].

Proposici´on 8. Sean X un espacio vectorial topol´ogico Hausdorﬀ, (xi)i∈I y (yi)i∈I

dos familias de vectores en X, (λi)i∈I una colecci´on de escalares, F un ﬁltro en I y l´ım

F xi =x, l´ımF yi =y, l´ımF λi =λ entonces:

1) l´ım

(16)

CAP´ITULO 1 10

2) l´ım

F λixi =λx

Demostraci´on: 1) Sea Ux+y una vecindad de x +y, como + es continua, existe una vecindad b´asica Ux ×Uy con Ux vecindad de x y Uy vecindad de y tal que +(Ux×Uy)⊂Ux+y, es decir Ux+Uy ⊂Ux+y.

Como {i ∈ I|xi ∈Ux},{i ∈I|yi ∈ Uy} ∈F entonces A= {i ∈I|xi ∈ Ux} ∩ {i ∈

I|yi ∈ Uy} ∈ F luego xi +yi ∈ Ux +Uy ⊂ Ux+y para todo i ∈ A y dado que

B ={i∈I|xi+yi ∈Ux+y} ⊃A se tiene que B ∈F, as´ı l´ım

F (xi+yi) =x+y.

2) Sea Uλx una vecindad de λx, por la continuidad del producto escalar existen

Ux vecindad de x y Uλ vecindad de λ tales que ·(Uλ×Ux)⊂Uλx, luego ya que I1 =

{i ∈ I|xi ∈ Ux} ∈F e I2 = {i ∈ I|λi ∈ Uλ} ∈ F entonces {i ∈ I|λixi ∈ Uλx} ⊃ {i ∈ I|λi ∈ Uλ, xi ∈ Ux} = I1 ∩I2 ∈ F, por lo tanto {i ∈ I|λixi ∈ Uλx} ∈ F, as´ı l´ım

F λixi =λx.

En la próxima proposición se suponen las definiciones y algunos resultados de ret´ıcu-los de Banach ret´ıcu-los cuales se pueden consultar en [8, 17].

Proposici´on 9. Sean X un ret´ıculo de Banach, (xi)i∈I una colecci´on en X tal que

xi ≥0 para cada i∈I, F un ﬁltro en I y l´ım

F xi =x, entonces x≥0.

Demostración: Ya que en todo ret´ıculo de Banach X el cono positivo X+ es un conjunto cerrado, se sigue por una observación dada inmediatamente de la definición de l´ımite bajo filtro que x= l´ım

F xi ∈X

+_{, es decir} _x_≥_0.

El resultado anterior asegura que si xi ≤ yi para todo i ∈ I0 ∈ F ﬁltro en I, entonces l´ım

F xi ≤l´ımF y.

1.3. Ultraproducto conjuntista

Considérese una familia de conjuntos (Xi)i∈I y un filtroF enI, entonces se define una relación ∼_F en ∏

i∈I

Xi mediante: (xi)∼F (yi) si {i∈I|xi =yi} ∈F.

Lema 1. La relaci´on ∼_F es una relaci´on de equivalencia.

(17)

Sean (xi),(yi),(zi) ∈

∏

i∈I

Xi tales que (xi) ∼F (yi) y (yi) ∼F (xi) entonces {i ∈

I|xi =zi} ⊃ {i∈I|xi =yi} ∩ {i∈I|yi =zi} ∈F. El lema anterior permite deﬁnir el producto reducido.

Definici´on 5 (Producto reducido). Sean (Xi)i∈I una familia de conjuntos y F un

ﬁltro en I, se deﬁne el producto reducido (Xi)F =

∏

i∈I

Xi/∼

F

Si (xi)∈

∏

i∈I

Xi, su clase de equivalencia en el producto reducido es (gxi)_F ´o (gxi). SiAi ⊂Xi yAi ̸=∅ para cadai∈I entonces(gAi)_F ={(gxi)_F ∈(Xi)F|existe (xi)∈

g

(xi)_F con xi ∈Ai para cada i∈I}, siAi =∅para algúni∈I, hay tres posibilidades excluyentes, J = {i ∈ I|Ai ̸= ∅} ∈ F ó Jc = {i ∈ I|Ai = ∅} ∈ F ó J, Jc ∈/ F, luego se define:

g

(Ai)_F =

    

g

(A′_i)_F , siJ ∈F, donde A′_i =Ai si i∈J y Ai =Xi sii∈Jc ∅ , siJc∈F

No est´a deﬁnido , siJ, Jc∈_/ F

Obsérvese que si F es un ultrafiltro, entonces J ∈ F o´ Jc _∈ _F_{, por lo que} ₍g_A i)_F siempre está definido, además (Ai)U =∅ es equivalente a {i∈I|Ai =∅} ∈U. Si Ai ⊂ Xi para cada i ∈ I, entonces, siempre que esté definido, se puede consi-derar (Ai)F encajado en (Xi)F asociando al primero el conjunto (gAi)_F ⊂(Xi)F.

Definici´on 6 (Ultraproducto). Si (Xi)i∈I es una familia de conjuntos y U es un

ultraﬁltro en I, entonces el producto reducido (Xi)U es llamado ultraproducto, si

adem´as Xi =X para cada i∈I, entonces(X)U = (Xi)U es llamada ultrapotencia.

Una ventaja que brinda el trabajar con ultraproductos y no solo con productos re-ducidos, es que los primeros son compatibles con las operaciones usuales de conjuntos como lo muestra la siguiente proposici´on.

Proposici´on 10. Sean (Ai)i∈I, (Bi)i∈I dos familias indizadas de conjuntos y U un

ultraﬁltro en I, entonces considerando Ai, Bi ⊂Ai∪Bi para cada i∈I se tiene:

1) (Ai)_U ∪(Bi)_U = (Ai∪Bi)U

(18)

CAP´ITULO 1 12

3) (Ai)U −(Bi)U = (Ai−Bi)U

Demostración: 1) Sea (gxi) ∈ (Ai)U ∪(Bi)U, luego (gxi) ∈ (Ai)U ó (gxi) ∈ (Bi)U, supóngase(gxi)∈(Ai)U, de donde existe (x′i)∈(gxi) conx′i ∈Ai∪Bi para cada i∈I tal que x′_i ∈Ai si Ai ̸=∅, as´ı(gxi) =(gx′i)∈(Ai∪Bi)U.

Por otra parte tómese (gxi) ∈ (Ai ∪ Bi)U, luego considérense los conjuntos IA = {i ∈ I|xi ∈ Ai} e IB = {i ∈I|xi ∈ Bi}, dado que IA∪IB = I ∈U, entonces por serU un ultrafiltro, se tiene que IA∈U o IB∈U, supóngase IA∈U y para cada

i /∈ IA esc´ojase un yi ∈ Ai ∪Bi de tal modo que yi ∈ Ai cuando Ai ̸= ∅, luego la colecci´on (x′_i) dada por:

x′_i =

{

xi , sii∈IA

yi , sii /∈IA

satisface (gx′_i)∈(Ai)U y (x′i)∈(gxi), de donde (gxi) =(gx′i)∈(Ai)U.

2) Sea (gxi) ∈ (Ai)_U ∩(Bi)_U entonces (gxi) ∈ (Ai)_U y (gxi) ∈ (Bi)_U, luego existen (x1_i),(x2_i) ∈ (gxi) con x1i ∈ Ai y x2i ∈ Bi para cada i ∈ I, luego I0 = {i ∈ I|x1i ∈

Ai ∩Bi} ⊃ {i ∈ I|x1i = x2i} ∈ U de donde I0 ∈ U, para cada i /∈ I0 se escoge yi ∈Ai∪Bi de tal modo que yi ∈Ai ∩Bi cuandoAi∩Bi ̸=∅, se deﬁne:

x′_i =

{

x1_i , si i∈I0 yi , si i /∈I0

Por construcci´on (gx′_i) ∈ (Ai ∩Bi)U, adem´as {i ∈ I|x′i =x1i} ⊃ I0 ∈ U, por lo que

g

(xi) =(gx1i) = (gx′i)∈(Ai∩Bi)U.

Si(gxi)∈(Ai∩Bi)U entonces existe (x′i)∈(gxi) conx′i ∈Ai∪Bi tal quex′i ∈Ai∩Bi cuando Ai∩Bi ̸=∅, luego(gxi) = (gx′i)∈(Ai)U ∩(Bi)U.

3) Se omite porque su prueba es muy semejante a las dos anteriores.

Los siguientes lemas son consecuencia inmediata de la proposici´on anterior.

Lema 2. Sea (Xi, τi)i∈I una familia de espacios topol´ogicos y U un ultraﬁltro en I,

entonces τe0 ={(Ui)U |Ui ∈τi} es una base para una topolog´ıa en (Xi)U.

Lema 3. Sea (Ωi, σi)i∈I una familia de ´algebras y U un ultraﬁltro en I, entonces la

(19)

Ya que el ultraproducto de espacios topol´ogicos y de ´algebras de conjuntos se puede dotar de la misma estructura, entonces resulta natural buscar darle estructura de espacio de medida al ultraproducto de espacios de medida.

Consid´erese (Ωi, µi, σi)i∈I una familia de espacios de medida tales que sup i∈I

µi(Ωi) <

M < ∞ y U un ultraﬁltro en I, entonces se deﬁne µe(Ae) = l´ım

U µi(Ai) para cada

e

A= (Ai)U ∈eσ0, luego tiene sentido la siguiente proposici´on.

Proposici´on 11. La función eµestá bien definida en eσ0, es aditiva, σ-subaditiva, σ

-finita, luego puede ser extendida de forma única a la m´ınimaσ-álgebraσeque contiene a σe0.

Demostraci´on: La aditividad, σ-subaditividad y σ-ﬁnitud, sumadas a que eµ(∅) = l´ım

U µi(∅) = 0, son las hip´otesis del Teorema de Caratheodory, luego la existencia de

una medida y su unicidad quedan garantizadas si se prueban las primeras.

Primero se probar´a queµe((Ai)U) existe, como sup i∈I

µi(Ωi)< M < ∞entoncesµi(Ai)≤

µi(Ωi) ∈ [0, M] para todo Ai ∈σi, luego dado que [0, M] es compacto, se sigue que

e

µ(Ae) = l´ım

U µi(Ai) existe para todo Ae= (Ai)U ∈eσ0.

La función µe está bien definida, considérense Ae = (Ai)U = (Bi)U = Be, luego ∅ = (Ai)_U − (Bi)_U = (Ai − Bi)U de donde I0 = {i ∈ I|Ai − Bi = ∅} ∈ U, as´ıµe(Ae)−µe(Be) = l´ım

U µi(Ai)−l´ımU µi(Bi) = l´ımi∈I0,U

µi(Ai−Bi) = l´ım i∈I0,U

µi(∅) = 0.

Se demostrar´a la aditividad de µe, sean Ae = (Ai)U,Be = (Bi)U ∈ eσ0 ajenos,

en-tonces como ∅ = (Ai)U ∩(Bi)U = (Ai∩Bi)U se tiene que I0 = {i ∈ I|Ai ∩Bi = ∅} ∈U, luego para todo i ∈I0 se satisface µi(Ai∪Bi) = µi(Ai) +µi(Bi) de donde

e

µ(Ae∪Be) = l´ım

U µi(Ai∪Bi) = l´ımi∈I,U(µi(Ai) +µi(Bi)) = eµ(

e

A) +eµ(Be).

Además µe es σ-finita, de hecho es finita por el mismo argumento usado para pro-bar la existencia.

Se mostrar´a que eµ es σ-subaditiva, puesto que µe es aditiva, basta probar que pa-ra cadaϵ >0,A,e Af1,· · · ∈eσ0 con Ae= (Ai)U,Afk = (Aki)U, Ae=

∞

∪

k=1

f

Ak yAfk∩Afn=∅ si k̸=n se tiene que eµ(Ae)≤

∞

∑

k=1

e

(20)

CAP´ITULO 1 14

Ya que para cada k ∈ N se cumple µi(Afk) = l´ım

U µ(A

k

i), entonces para cada k ∈ N

existeIk ={i∈I|µi(Aki)<µe(Afk) + ₂ϵk} ∈U, entonces se deﬁne para cadak ∈N.

B_ik =

{

Ak

i , si i∈Ik ∅ , si i /∈Ik

Dado que {i ∈ I|Ak_i = B_ik} = Ik ∈ U entonces (Aki)U = (Bik)U, luego consid´erese

k ∈ N ﬁjo, entonces si i ∈ Ik se tiene µi(

∞

∪

k=1 Bk_i) ≤

∞

∑

k=1

µi(Bik) ≤

∞

∑

k=1

(eµ(Afk) +

ϵ

2k),

mientras que si i /∈ Ik, entonces µi(

∞

∪

k=1

B_ik) = µi(∅) = 0 ≤

∞

∑

k=1

(eµ(Afk) +

ϵ

2k), por lo

tanto µe

^

(

∞

∪

k=1

B_ik) = l´ım

U µi(

∞

∪

k=1

B_ik)≤l´ım

U (

∞

∑

k=1

(µe(Afk) + ϵ 2k)) =

∞

∑

k=1

e

µ(Afk) +ϵ. Como Ae =

∞

∪

k=1

f

Ak ⊂ (

∞

∪

k=1

B_ik)_U y µe es mon´otona dado que es aditiva, entonces

e

µ(Ae)≤µe(

∞

∪

k=1

Ak_i)_U ≤

∞

∑

k=1

e

µ(Afk) +ϵ.

Se observa que en la proposici´on anterior, la σ-subaditividad implica la aditividad siempre que la uni´on sea un elemento de σe0, es decir, si E,e Ef1,· · · ∈σe0,Efn∩Efm =∅ y Ee=

∞

∪

n=1

f

En, entonces µe(Ee) =

∞

∑

n=1

e

µ(Efn).

Teorema 5. Si (Ωi, µi, σi)i∈I es una familia de espacios de medida compleja tales

quesup i∈I|

µi|(Ωi)< M < ∞yU es un ultraﬁltro en I, entonces la funci´onµe((Ai)_U) = l´ım

U µi(Ai)definida en eσ0 está bien definida, es aditiva y admite una única extensión a

e

σ la m´ınima σ-´algebra que contiene a eσ0, adem´as |µe|((Ai)U) = l´ım

U |µi|(Ai) para cada

(Ai)U ∈σe0, luego la variaci´on del ultraproducto es el ultraproducto de las variaciones.

Demostraci´on: Puesto que cadaµi es una medida, entonces admite una descompo-sici´on de la formaµi =νi+−νi−+i(η

+

i −η−i ) dondeν

+

i y νi− son las partes positiva y negativa de la parte real de µi y ηi+, ηi− son las partes positiva y negativa de la parte imaginaria de µi, luego por la proposici´on anterior, ya que las cuatro funciones que descomponen a µi son medidas positivas,entonces admiten extensiones eν+, νe−, eη+ y

e

(21)

Ya que µe((Ai)U) = l´ım

U µi(Ai) = l´ımU (ν

+

i (Ai) − νi−(Ai) + i(ηi+(Ai) − η−i (Ai))) = l´ım

U ν

+

i (Ai)− l´ım

U ν

−

i (Ai) +i(l´ım

U η

+

i (Ai) −l´ım

U η

−

i (Ai)) = eν+((Ai)U)−νe−((Ai)U) +

i(ηe+((Ai)U)−eη−((Ai)U)), entonces eν+−eν−+i(ηe+−eη−) es una medida en eσ que extiende aµe.

Para probar la unicidad de la extensi´on, por [43] basta probar que µe es σ-aditiva en σe0 y esto se tiene ya que µe ≡ eν+ −eν− +i(ηe+ −eη−) en σe0 y cada una de las

funciones del lado derecho de la igualdad es σ-aditiva.

Para mostrar que la variaci´on del ultraproducto |µe| es igual al ultraproducto de las variacioneseτ tal queτe((Ai)U) = l´ım

U |µi|(Ai), por [43] es suﬁciente demostrar que

|µe|((Ai)U) = l´ım

U |µi|(Ai) para todo (Ai)U ∈eσ0.

Recu´erdese que:

|µ|(A) = sup{

∞

∑

n=1

|µ(Bn)|: (Bn) es partici´on numerable de A con Bn∈σ}

Luego sea Ae = (Ai)U ∈ σe0 y (Ben) partici´on numerable de Ae con Bin ∈ σi y

e

Bn = (Bin)U, entonces

∞

∑

n=1

|µe(Ben)| =

∞

∑

n=1

l´ım

U |µi(B

n i )| ≤

∞

∑

n=1

l´ım

U |µi|(B

n i) =

∞

∑

n=1

e

τ(Ben) =eτ(Ae), as´ı|µe| ≤eτ en eσ0.

Para demostrar la desigualdad restante se considera ϵ > 0, entonces para cada

i ∈ I existe una partici´on numerable (Bn

i) de Ai tal que |µi|(Ai)−ϵ <

∞

∑

n=1

|µi(Bin)|

≤ |µi|(Ai), para cadan ∈Nse considera Ben = (Bin)U.

Se observa que la familia {Ben|n∈N} es ajena por parejas y su uni´on Be =

∪

n

e

Bn es

un subconjunto de Ae· · ·(1).

Para dar prueba de ello, sim̸=nentoncesBem∩Ben= (Bim)U∩(Bin)U = (Bim∩Bin)U = (∅)_U =∅, as´ı{Ben|n ∈N} es ajeno por parejas.

(22)

CAP´ITULO 1 16

consecuencia Be ⊂Ae. Adem´as se tiene que l´ım

U

∞

∑

n=1

|µi(Bin)|=

∞

∑

n=1

l´ım

U |µi(B

n

i)| · · ·(2).

Se demostrar´a (2), dado N ∈ N ﬁjo, se tiene l´ım

U

N

∑

n=1

|µi(Bin)| = N

∑

n=1

l´ım

U |µi(B

n i)| y

N

∑

n=1

|µi(Bin)| ≤

∞

∑

n=1

|µi(Bin)|, luego

∞

∑

n=1

l´ım

U |µi(B

n

i )| ≤l´ım_U

∞

∑

n=1

|µi(Bin)|.

Ya que l´ım

U

N

∑

n=1

|µi(Bin)| →

∞

∑

n=1

l´ım

U |µi(B

n

i)| cuando N → ∞, entonces para

demos-trar la igualdad, basta probar que l´ım

U

N

∑

n=1

|µi(Bin)| →l´ım_U

∞

∑

n=1

|µi(Bin)|cuandoN → ∞.

Dado δ > 0, sin pérdida de generalidad, mediante la construcción que se empleó en la prueba de la Proposición 11, se pueden suponer representantes (Cn

i ) ∈ Ben tales que para cada N ∈ N se tiene eτ

^

(

∞

∪

n=N

C_in) ≤

∞

∑

n=N

e

τ(Ben) +δ, luego |l´ım

U

∞

∑

n=1

|µi(Bin)| −

l´ım

U

N

∑

n=1

|µi(Bin)||= l´ım

U (

∞

∑

n=1

|µi(Bin)|−

∞

∑

n=1

|µi(Bni)|) = l´ım

U

∞

∑

n=N

|µi(Bin)| ≤l´ım

U

∞

∑

n=N

|µi|(B_in)

= l´ım

U |µi|(

∞

∪

n=N

B_in) =τe

^

(

∞

∪

n=N

B_in) =eτ

^

(

∞

∪

n=N

C_in)≤

∞

∑

n=N

e

τ(Ben) +ϵ. Para probar la ´ultima igualdad se toma |eτ

^

(

∞

∪

n=N

B_in)−eτ

^

(

∞

∪

n=N

C_in)|=|l´ım

U |µi|(

∞

∪

n=N

B_in)−

l´ım

U |µi|(

∞

∪

n=N

C_in)|= l´ım

U |µi|(

∞

∪

n=N

B_in− ∞

∪

n=N

C_in) ≤l´ım

U |µi|(

∞

∪

n=N

(B_in−C_in))· · ·(3), ya que

(Bn

i )U = (Cin)U, entonces eτ((Bin −Cin)U) = 0 para cada n ∈ N, luego realizando la misma construcción que se efectuó en la demostración de la Proposición 11, dado

δ >0 se pueden encontrar representantes de (Bn

i −Cin)U de tal modo que se

garan-tice τe

^

(

∞

∪

n=N

(B_in−C_in)) ≤

∞

∑

n=N

e

τ((B_in−C_in)_U) +δ = δ, as´ı de (3) se sigue eτ

^

(

∞

∪

n=N

B_in)

=eτ

^

(

∞

∪

n=N

(23)

Finalmente, de (1) y (2) se inﬁere eτ(Ae)−ϵ = l´ım

U (|µi|(Ai)−ϵ) ≤ l´ımU

∞

∑

n=1

|µi(Bin)|

=

∞

∑

n=1

l´ım

U |µi(B

n i)|=

∞

∑

n=1

|µ^(Ben)| ≤

∞

∑

n=1

|µe|(Ben) =|µe|(Be)≤ |µe|(Ae), as´ıeτ ≤ |µ| eneσ0.

1.4. Ultraproducto de espacios de Banach

Consid´erese una familia{(Xi,∥·∥Xi)|i∈I}de espacios de Banach sobre un mismo

campo, entonces se deﬁne el conjunto ℓ_∞(Xi) = {(xi)∈

∏

i∈I

Xi|sup i∈I∥

xi∥X_i <∞}.

Lema 4. Sea{(Xi,∥·∥Xi)|i∈I} una colecci´on de espacios de Banach en un mismo

campo, entonces (ℓ_∞(Xi),∥·∥∞)es un espacio de Banach con las operaciones

coorde-nada a coordecoorde-nada y la norma ∥(xi)∥∞ = sup i∈I∥

xi∥X_i.

Demostración: La cerradura algebraica se siguen directo de la definición deℓ_∞(Xi), el que ∥·∥_∞ es una norma es consecuencia de las propiedades del supremo y de las normas coordenada a coordenada.

Completez, sea{(xk

i)}kuna sucesi´on de Cauchy enℓ∞(Xi) yϵ >0 dado, entonces exis-teN ∈Ntal que para todom, n > N se tiene que sup

i∈I

∥xn_i−xm_i ∥=∥(xn_i)−(xm_i )∥_∞< ϵ, de donde, para cada i∈I la sucesi´on (xn

i)n es de Cauchy enXi, luego por cadai∈I ll´amese xi = l´ım

n x n

i, se aﬁrma que (xi) ∈ ℓ∞(Xi) y que {(xni)}n converge a (xi), en efecto, ∥(xi)∥∞ = ∥(xi) + (xni) −(xni)∥∞ ≤ ∥(xi − xni)∥∞ +∥(xni)∥∞ < ∞ y ∥(xi)−(xni)∥∞< ϵ sin > N.

Bajo las mismas hipótesis del lema anterior, supóngase que U es un ultrafiltro en I, entonces para cada (xi) ∈ ℓ∞(Xi) se tiene que sup

i∈I

∥xi∥X_i < ∞, luego {∥xi∥X_i|i ∈ I} ⊂[0, M] para alg´unM > 0, por lo tanto l´ım

U ∥xi∥Xi existe para cada (xi)∈ℓ∞(Xi),

luego para cada (xi)∈ℓ∞(Xi) se deﬁne N ((xi)) = l´ım

U ∥xi∥Xi.

Lema 5. La funci´on N es una seminorma en ℓ_∞(Xi).

(24)

CAP´ITULO 1 18

N ((0i)) = l´ım

U ∥0i∥Xi = 0. N (λ(xi)) = l´ım

U ∥λxi∥Xi =|λ|l´ım

U ∥xi∥Xi =|λ|N ((xi)). N ((xi) + (yi)) = l´ım

U ∥xi +yi∥Xi ≤ l´ım

U (∥xi∥Xi +∥yi∥Xi) = N ((xi)) + N ((yi)).

Ll´amese ker(N ) = {(xi)∈ℓ∞(Xi)|N ((xi)) = 0}.

Proposici´on 12. ker(N ) es un subespacio cerrado de ℓ_∞(Xi).

Demostraci´on: La prueba de la cerradura algebraica se sigue directo de las propie-dades de los l´ımites bajo ﬁltros.

Se demostrar´a la cerradura topol´ogica, como ℓ_∞(Xi) es de Banach, entonces bas-ta probar que Ker(N ) es completo, sea {(xk

i)}k una sucesi´on de Cauchy en ℓ∞(Xi) y ϵ > 0 ﬁjo, luego existe N ∈ N tal que n, m ≥ N implican sup

i∈I

∥xn_i −xm_i ∥X_i =

∥(xn_i)−(xm_i )∥_∞ < ϵ

2, puesto que ℓ∞(Xi) es completo, existe (xi) ∈ ℓ∞(Xi) al que {(xk

i)}k converge, entonces por ser uniforme la convergencia sup i∈I

∥xn_i −xi∥X_i < ϵ si

n ≥N, as´ı∥xi∥X_i ≤ ∥xn

i∥Xi+ϵpara todoi∈I y n≥N, de donde ﬁjandon0 =N se

tiene l´ım

U ∥xi∥Xi ≤l´ım

U (∥x

n0

i ∥Xi+ϵ) = ϵ, por lo tanto l´ım

U ∥xi∥Xi = 0 y (xi)∈ker(N ).

Como ker(N ) es un subespacio cerrado de ℓ_∞(Xi), entonces ℓ∞(Xi)

/

ker(N ) es un espacio Hausdorﬀ.

Definici´on 7 (Ultraproducto de espacios de Banach). El ultraproducto de una fa-milia (Xi)i∈I de espacios de Banach, respecto a un ultraﬁltro U en I, es el cociente

ℓ_∞(Xi)

/

ker(N ), denotado mediante (Xi)U, si Xi = X para toda i ∈ I, entonces (X)_U = (Xi)U es llamada ultrapotencia de X respecto a U.

La norma cociente en (Xi)U se deﬁne ∥(gxi)∥U = ´ınf{∥(xi) + (yi)∥∞|(yi) ∈

ker(N )}, nótese que es la definición usual de norma en el cociente de espacios de Banach, tomando como seminorma a ∥·∥_∞ y como subespacio ker(N ).

(25)

Proposici´on 13. La norma cociente en(Xi)_U satisface, ∥(gxi)∥_U = l´ım

U ∥xi∥Xi para

cualesquiera (xi)∈(gxi).

Demostraci´on: Sea(gxi)∈(Xi)_U, luego(gxi) ={(xi+yi)∈ℓ∞(Xi)|(yi)∈ker(N )}, as´ı l´ım

U ∥xi+yi∥Xi ≤l´ım

U ∥xi∥Xi+ l´ım

U ∥yi∥Xi = l´ım

U ∥xi∥Xi.

Por otra parte l´ım

U ∥xi∥Xi = l´ım

U ∥xi +yi −yi∥Xi ≤ l´ım

U ∥xi +yi∥Xi + l´ım

U ∥yi∥Xi =

l´ım

U ∥xi∥Xi, por lo tanto l´ım

U ∥xi+yi∥Xi = l´ım

U ∥xi∥Xi.

Luego l´ım

U ∥xi∥Xi = l´ım

U ∥xi + yi∥Xi ≤ l´ım

U supi∈I

∥xi +yi∥Xi = l´ım

U ∥(xi + yi)∥∞ =

∥(xi+yi)∥∞.

As´ı, ya que (yi) ∈ ker(N ) es cualesquiera, se tiene l´ım

U ∥xi +yi∥Xi ≤ l´ım

U ∥xi∥Xi

≤ sup

(yi)∈ker(N)

∥(xi+yi)∥∞ =∥(gxi)∥U, es decir, l´ım

U ∥xi∥Xi ≤ ∥(gxi)∥U para cualesquiera

(xi)∈(gxi).

Para demostrar la otra desigualdad, t´omese ϵ > 0 ﬁjo, entonces se tiene que Iϵ = {i| ∥xi∥X_i ≤ l´ım

U ∥xi∥Xi +ϵ} ∈ U puesto que es una vecindad de l´ım

U ∥xi∥Xi, ahora

consid´erese (yi) tal que:

yi =

{

−xi , si i /∈Iϵ 0 , si i∈Iϵ

Y como l´ım

U ∥yi∥Xi = l´ım

i∈Iϵ,U

∥yi∥Xi = l´ım

i∈Iϵ,U

0 = 0, se tiene que (yi)∈ker(N ), adem´as ∥(xi + yi)∥∞ = sup

i∈I∥

xi + yi∥Xi = sup

i∈Iϵ

∥xi∥X_i, de donde ∥(xi +yi)∥∞ = sup i∈Iϵ

∥xi∥X_i

≤sup i∈Iϵ

l´ım

U ∥xi∥Xi +ϵ = l´ım

U ∥xi∥Xi+ϵ.

Por lo tanto ∥(gxi)∥U = ´ınf

(yi)∈ker(N)

∥(xi + yi)∥∞ ≤ l´ım

U ∥xi∥Xi + ϵ, as´ı ∥(gxi)∥U ≤

l´ım

U ∥xi∥Xi.