Integración conservativa en plataforma de cálculo distribuido
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(3) 0. Índice general. Índice general. III. 1. Introducción. 1. 1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 1.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 1.3. Entorno de Simulación EPPI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 1.4. Cálculo en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.5. Integración Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.5.1. Métodos de Integración Temporal: Caracterı́sticas Generales .. 5. 1.5.2. Regla del Punto Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 1.6. Tratamiento de las restricciones: Método de Penalización . . . . . . . 10 2. Descripción del Método Conservativo. 13. 2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2. Algoritmo Energı́a-Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.1. Aplicación a fuerzas conservativas centrales . . . . . . . . . . . 16 3. Formulación conservativa de algunos elementos y restricciones. 19. 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2. Barra articulada no lineal (Truss) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 iii.
(4) ÍNDICE GENERAL. iv. 3.2.1. Barra articulada no lineal con un punto fijo (Truss1 ) . . . . . 22 3.2.2. Barra articulada no lineal con extremos libres (Truss2 ) . . . . 25 3.3. Restricción escalares: Encastre (Fix ) y Rótula (Tie). . . . . . . . . . 27. 3.4. Hexaedro de material hiperelástico (Brick ) . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4.1. Elasticidad Finita: Medida de la deformación y de la tensión . 29 3.4.2. Material hiperelástico: Saint Venant-Kirchhoff . . . . . . . . . 32 3.4.3. Discretización del dominio: Elementos Finitos . . . . . . . . . 33 3.4.4. Formulación conservativa de cuerpos deformables . . . . . . . 40 4. Validación de los elementos y restricciones formulados. 43. 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.2. Validación del elemento Truss1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47. 4.3. Validación del elemento Truss2 y de la restricción Fix . . . . . . . . . 51 4.4. Validación de la restricción Tie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.5. Validación del elemento Brick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5. Aplicación: Grúa mecánica. 57. 5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.2. Solución con métodos clásicos implı́citos: Newmark y Midpoint . . . . 59 5.3. Solución con métodos BDF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61. 5.4. Solución con integración conservativa: Energı́a-Momento . . . . . . . 62 6. Conclusiones y lı́neas futuras. 65. 6.1. Resumen y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 6.2. Lı́neas futuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 A. Código C++. 69. A.1. Implementación del elemento Truss1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 A.2. Implementación del elemento Truss2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 A.3. Implementación de la restricción Fix . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 A.4. Implementación de la restricción Fix . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.
(5) ÍNDICE GENERAL. v. A.5. Implementación del elemento Brick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 B. Inputs de EPPI. 79. B.1. Input Truss1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 B.2. Input Truss2 y Fix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 B.3. Input Tie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 B.4. Input Brick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 B.5. Input Grúa Mecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Bibliografı́a. I. Índice de figuras. I. Bibliografı́a. III.
(6) vi. ÍNDICE GENERAL.
(7) 1. Introducción. Los métodos conservativos son métodos de última generación en el contexto de la integración numérica de los sistemas de ecuaciones diferenciales asociados a la dinámica de sistemas mecánicos. Se fundamentan en garantizar que el algoritmo de resolución de la integración numérica del problema conserve la energı́a total, la cantidad de movimiento y el momento cinético de forma discreta cuando se aplican a sistemas Hamiltonianos, donde esas magnitudes se conservan debido a las simetrı́as de sus ecuaciones de evolución. El interés por estos métodos viene del hecho de que existe una gran cantidad de sistemas mecánicos prácticos que son Hamiltonianos, y por que además se observa que el comportamiento de la energı́a juega un papel importante en la estabilidad del método de integración. Con estos métodos se obtienen algoritmos más robustos en el sentido de que son capaces de integrar con mayores paso de tiempo que los que se pueden tomar con métodos de integración clásicos (Runge-Kutta, Newmark, etc.) además de conservar de forma exacta magnitudes básicas del movimiento, lo que añade fiabilidad a la solución obtenida. La implementación en un entorno de cálculo distribuido permite que los cálculos necesarios puedan ser repartidos entre los distintos procesadores o máquinas disponibles. Esta metodologı́a permite abordar problemas en los que el número de grados de libertad es elevado de manera eficiente, y se pretende que el reparto de los cálculos aminore el tiempo final del computo..
(8) 2. 1.1. Introducción. 1.1. Introducción Este capı́tulo trata de poner las bases sobre las que parte el Trabajo Fin de Máster que en este documento se presenta. Se establecen los objetivos del mismo y se establece el marco de trabajo tanto fı́sico como conceptual. Ası́, se le dedica un apartado a exponer el entorno de simulación usado (marco fı́sico) y un apartado dedicado a una descripción general de la integración temporal (marco conceptual) que recoge los aspectos más generales de la misma y se definen varios conceptos que serán usados en todo el Trabajo. Además, se expone el tratamiento utilizado para introducir las restricciones basado en el método de penalización.. 1.2. Objetivos Este trabajo tiene como objetivo estudiar las posibilidades de implementación de métodos de integración temporal conservativa en un entorno de cálculo distribuido. El resultado esperable del proyecto es la programación y validación de un integrador conservativo aplicado a mecanismos flexibles dentro del programa EPPI de cálculo distribuido basado en C++ y MPI desarrollado en el Grupo de Mecánica Computacional.. 1.3. Entorno de Simulación EPPI EPPI es un programa para la simulación de sistemas multicuerpos flexibles (SMF ) desarrollado por un pequeño grupo dirigido por el Profesor Juan Carlos Garcı́a Orden dentro del grupo de mecánica computacional de la Universidad Politécnica de Madrid. La finalidad de EPPI es, por un lado, reducir los tiempos de cómputos a través de la utilización de varios procesadores y por otro lado, abordar problemas de alto números de grados de libertad que debido a la falta de memoria no pueden ser abordados con un única máquina. En el siguiente apartado se exponen los detalles más significativos del cálculo en paralelo. En este trabajo, el programa EPPI ha sido ampliado con la incorporación del método de integración conservativo en diferentes elementos y restricciones existentes en el programa EPPI que se presenta en el capı́tulo 3 de este trabajo. Las soluciones de la integración temporal conservativa del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias implementada en EPPI han sido contrastadas con las soluciones obtenidas con integración estándar disponible en la distribución de EPPI utilizada. Concretamente se hizo uso del método de Newmark en su versión más básica, la regla trapezoidal. La verificación definitiva del método conservativo se hace con la energı́a obtenida en la integración..
(9) 1. Introducción. 3. 1.4. Cálculo en paralelo Se expone aquı́ una introducción a la implementación del cálculo en paralelo enfocada a la subestructuración tal y como se presenta en Garcı́a Orden y Arribas Montejo [5]. La aplicación del método de la descomposición subestructurada divide grandes estructuras en varios superelementos estructurales complejos donde los g.d.l internos se eliminan mediante una condensación estática. Este método se implementa en EPPI a través de la librerı́a MPI (Massage Passing Interface) [1] para el intercambio entre los superelementos de forma que se mantenga la consistencia original de la estructura. Entonces, la mayor parte del cálculo se puede hacer de forma independiente para cada superelemento en procesadores diferentes. A continuación se presenta una breve introducción al método de la descomposición subestructurada y la forma del algoritmo que calcula las fuerzas internas entre las subestructuras. Para más detalles sobre la descripción teórica de fondo y el algoritmo completo ası́ como un ejemplo introductorio puede verse Garcı́a Orden y Arribas Montejo [5]. En un caso general el modelo mecánico a resolver es de la forma: Kq = Q. Donde K es la matriz de rigidez del sistema mecánico, Q es el vector de fuerzas generalizadas y q el vector de coordenadas generalizadas. El caso anterior representa formalmente a un sistema estático, pero no existe pérdida de generalidad en un caso dinámico ya que éste consiste en resolver varios sistemas estáticos en cada instante de tiempo discreto, como se verá más adelante. El dominio del sistema mecánico se descompone en N subdominios que formen una cadena abierta como la que se muestra en la figura 1.1.. 1. 2. 3. 1. 2. 3. 1. Figura 1.1. Descomposición del dominio. Para el ejemplo anterior, la matriz de rigidez K original tiene una estructura de bloques en los que existen conexiones entre las diferentes subestructuras. La descomposición transforma estas conexiones entre bloques, quedando cada bloque perteneciente a un subdominio independiente de los demás. Esto se hace a costa de duplicar los nodos pertenecientes a las fronteras entre subdominios. En la figura 1.2 se puede ver esquemáticamente este hecho..
(10) 4. 1.5. Integración Temporal 1 1 2 2 3. 3. Figura 1.2. Ecuaciones del sistema desacoplado Sin embargo, si sólo se hace lo anterior el sistema desacoplado resultante no equivale al sistema original, de hecho estarı́an resolviéndose tres estructuras independientes. La idea para conseguir que el sistema desacoplado se corresponda con el sistema original es la de añadir a los bloques la información necesaria de los demás, y ası́ seguir manteniendo la estructura independiente que muestra el esquema de la derecha de la figura 1.2. Dicha información se obtiene a través de la condensación estática de todo el subdominio a los nodos de éste que pertenecen a la frontera compartida entre subdominios. Una vez realizado lo anterior cada bloque de la estructura puede ser calculado independientemente y por tanto pueden ser enviados a distintos procesadores o máquinas para su resolución, teniendo éstos procesadores o máquinas que intercambiar cierta información que solo ellos poseen. Finalizando hay que reseñar que gracias a la estructura modular de EPPI la programación llevada a cabo en este proyecto ha podido ser abordada sin tener que reparar en la subdivisión del dominio comentada anteriormente, con lo que el cálculo en paralelo no ha supuesto una dificultad a la hora de implementar el método conservativo de elementos y restricciones.. 1.5. Integración Temporal La dinámica de sistemas multicuerpos flexibles está gobernada por sistemas de ecuaciones algebraico-diferenciales (DAE: Differential Algebraic Equation) con un alto número de variables, conocidas como grados de libertad (g.d.l de ahora en adelante). La variable independiente del problema dinámico es el tiempo. Las leyes de la dinámica, que define la naturaleza de un sistema en movimiento y predice la evolución del sistema con el paso del mismo, dan lugar a un sistema de ecuaciones diferenciales. Por su parte, el sistema de ecuaciones algebraico está asociado a ligaduras entre las componentes del sistema, es decir ligan g.d.l con lo que el resultado final es un sistema algebraico-diferencial acoplado complejo. La imposibilidad de abordar la integración analı́tica de un sistema de las caracterı́sticas anteriores, unido a la aparición de los ordenadores hizo que se desarrollaran métodos numéricos para obtener la evolución temporal de los g.d.l que definen la configuración del sistema mecánico. El paso final de estos métodos siempre es la integración temporal del sistema de ecuaciones algebraico-diferenciales..
(11) 1. Introducción. 5. La forma tradicional de abordar la integración temporal parte de un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, de la forma: dyy = ẏy = f (yy (t), t) dt. (1.1). Donde, en el caso más general, la función f es no lineal. Ahora bien, el sistema de ecuaciones diferenciales de la dinámica de sistemas multicuerpos, escrita en forma matricial compacta, es de la forma: M q̈q = Q (qq , q̇q , t). (1.2). Donde M y Q son la matriz de masa del sistema y el vector de fuerzas generalizadas, respectivamente. Ambas son, en el caso más general, funciones no lineales de (qq , q̇q , t). Sin más que aplicar un cambio de variable se comprueba que 1.2 es un un caso particular de 1.1. y=. q q̇q. . −→ ẏy =. q̇q −1 M Q (qq , q̇q , t). = f (yy , t). (1.3). Con lo que se pueden emplear las técnicas desarrolladas para los sistemas de primer orden que se presentan en el subapartado 1.5.1.. 1.5.1. Métodos de Integración Temporal: Caracterı́sticas Generales La integración temporal parte de la discretización de la variable tiempo. Con esto, el objetivo pasa a ser el de calcular el estado del sistema para cada uno de los instantes discretos de tiempo. La realidad continua se reproduce a partir de la sucesión de estado discretos obtenidos sucesivamente. Se pasa de un sistema continuo que describe a la realidad (continua) a un sistema discreto y por tanto de distinta naturaleza que el primero. Este hecho tiene sus implicaciones y una de las más importantes es la pérdida de propiedades del sistema original como es la conservación de la energı́a en aquellos sistemas reales que tienen esta propiedad. Este hecho motivó la búsqueda de métodos de integración cuyo sistema discreto resultante conservara las propiedades fı́sicas del sistema continuo inicial, apareciendo el método conservativo que en este trabajo se describe y desarrolla. El sistema discreto se define a partir de un conjunto de instantes de tiempo, normalmente con un paso constante entre ellos aunque no es una condición necesaria, y de los correspondientes estados en esos instantes. t = [t0 , t1 , . . . , tn , . . . , tN ] y (t) = [yy (t0 ), y (t1 ), . . . , y (tn ), . . . , y (tN )]. (1.4).
(12) 6. 1.5. Integración Temporal. Además, para que el sistema discreto esté definido es necesario establecer la relación entre sus estados, esto se obtiene de la ecuación 1.2 que define al sistema continuo aplicado a cada instante de tiempo discreto. Z. tn+1. f (yy (t), t)dt. y n+1 = y n +. (1.5). tn. Donde y k es la aproximación de y (tk ). La expresión 1.5 es una regla de recurrencia que proporciona a partir del estado inicial del sistema el estado siguiente. Ası́, en el contexto de la mecánica computacional se hace necesario el empleo de un bucle en pasos de tiempo para calcular en cada instante de tiempo discreto el estado del sistema. Al estado del sistema en n+1 se le llama estado actual y al estado anterior n se le conoce como estado anterior o convergido. Los diferentes métodos de integración temporal se diferencian en cómo se calcula la integral que aparece en 1.5, aunque no es una condición necesaria, es decir, existen métodos de integración que no parten de esto para su definición (como los BDF ). Como ya ha sido comentado, en un caso general esta integral es inabordable analı́ticamente con lo que se hace uso de métodos de aproximación para hallar el valor de esta. Como idea general, puede asumirse que cuanto mayor sea la discretización mejor aproximación a la integral se tendrá, sin embargo computacionalmente tendrá su coste, de ahı́ la valı́a de unos métodos sobre otros. Además de esto, son conceptos de importancia los de consistencia, convergencia y estabilidad los métodos de integración temporal, ası́ como el concepto de sistema stiff que tiene que ver con las ecuaciones del sistema, y no con el sistema fı́sico real, y que conduce a un mal condicionamiento del sistema. Para más detalles sobre estos conceptos ver Garcı́a Orden [11]. Los métodos de integración temporal se pueden clasificar en métodos de un paso o métodos multipasos. Los métodos de un paso calculan el estado actual usando la información guardada justo en el paso anterior (estado convergido). Mientras que los métodos multipasos se valen de la información almacenada en pasos anteriores al convergido como son y n−k , con k = 0, 1, 2 . . . Los ampliamente utilizados métodos de Runge-Kutta son métodos de un paso mientras que los métodos de Adam o los BDF son métodos multipasos lineales. Estos ultimos (los BDF ) métodos son adecuados para integrar sistemas stiff como la grúa presentada en el capı́tulo 5 y están disponibles en la versión de EPPI utilizada para este trabajo. También se pueden clasificar en métodos explı́citos e implı́citos. Los primeros obtienen el estado actual del sistema directamente del estado anterior o convergido, mientras que los segundos requieren un algoritmo de búsqueda de raı́ces en cada paso de tiempo ya que para hallar el estado actual se usa dicho estado, que es desconocido. Esto añade un dificultad computacional al método y es que hay que “despejar” y n+1 de la expresión 1.5 resultante. El algoritmo de búsqueda de raı́ces más comúnmente utilizado es el de iteraciones de Newton-Rapshon por su convergencia cuadrática, aunque existen variantes de este método que también son usados..
(13) 1. Introducción. 7. Los métodos explı́citos requieren un menor paso de tiempo (mayor discretización) para un correcto funcionamiento y estabilidad del método. Por su parte, los métodos implı́citos tienen un mayor rango de pasos de tiempo en los que funcionan bien, sin embargo tienen un coste computacional mayor que los explı́citos debido a la incorporación del esquema de Newton-Rapshon comentado. Existe una tercera familia de métodos que se conocen como métodos estructurales ya que fueron diseñados con el fin de abordar problemas dinámicos estructurales. Estos métodos se formulan en el formato de 1.2, es decir se construyen para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales de segundo orden. La familia β-Newmark y el método de Hilber-Hughes-Taylor (HHT) son los más usados. El primero de ellos se encuentra disponible en la versión de EPPI inicial, es decir, antes de empezar este trabajo. La familia de β-Newmark se formula a través de dos parámetros β y γ que definen a cada método dentro de la familia. Los métodos más importantes de esta familia son la regla trapezoidal o método de aceleración constante (implı́cito), regla trapezoidal modificada (implı́cito), el método de aceleración lineal (implı́cito) y el método de las diferencias centrales (explı́cito). Las expresiones que definen a la familia β-Newmark son: 1 − β ∆t2q̈q n + β∆t2q̈q n+1 q n+1 = q n + ∆tq̇q n + 2 q̇q n+1 = q̇q n + (1 − γ) ∆tq̈q n + γ∆tq̈q n+1 (1.6) El método de Newmark usado en este trabajo para validar las nuevas implementaciones de la regla trapezoidal implı́cita y del método de la energı́a- momento fue el método de aceleración constante implı́cito o regla del punto medio que surge para unos valores de los parámetros β = 41 y γ = 12 . Métodos Implı́citos Se hace mención especial de los métodos implı́citos ya que en este trabajo será implementado la regla del punto medio implı́cita y el método de la energı́amomento, ambos implı́citos. El método de la regla del punto medio implı́cito se entiende como paso previo al método conservativo o de energı́a-momento que se incorporará a EPPI en este trabajo, como se verá en el capı́tulo 2. Dicho método se puede calificar como un método de un paso e implı́cito aunque sus prestaciones distan de los métodos implı́citos tradicionales, teniendo un mayor rango de pasos de tiempo donde el método es estable, entre otras, como se comprobará en este documento. La particularidad de los métodos implı́citos reside en el algoritmo de búsqueda de raı́ces que se requiere en cada paso de tiempo. En la distribución de EPPI usada se emplea el algoritmo de Newton-Rapshon para hallar las raı́ces de una función, que en los métodos implı́citos aparece en pos de hallar el estado actual del sistema. R (yy n+1 ) = 0. (1.7).
(14) 8. 1.5. Integración Temporal. El algoritmo consiste en hallar la raı́z de 1.7, conocido como residuo, a partir de (0) una estimación inicial, y n+1 , que juega un papel importante en la convergencia del (0) algoritmo. En EPPI se usa como estimación inicial el estado anterior, es decir y n+1 = y n . Esto es una decisión arbitraria aunque basada en el hecho de usar el método de penalización para introducir las restricciones ya que éste tiene el inconveniente de dar lugar a sistemas stiff como se verá en el siguiente apartado. Conocida la estimación, el algoritmo usa la siguiente expresión recurrente para hallar la raı́z. h i−1 (i+1) (i) (i) (i) y n+1 = y n+1 − J (yy n+1 ) · R (yy n+1 ). (i) J (yy n+1 ). =. R (yy (i) ∂R n+1 ). (1.8). (1.9). (i) ∂yy n+1. Donde i representa la etapa de iteración y J se conoce como matriz jacobiana que en el caso de estar resolviendo un sistema mecánico (como en este Trabajo) resulta ser la matriz de rigidez tangente, K T . Esta interpretación da lugar a una interpretación de la dinámica numérica que consiste en resolver varios sistemas estáticos en cada paso de tiempo discreto. El algoritmo tiene su fin cuando el valor de alguna función del residuo es inferior R (yy n+1 )) < tol. Esta función g puede ser la norma del residuo o a una tolerancia g(R una función energética del residuo como es el caso que usa EPPI . En un problema mecánico el residuo es, en definitiva, una fuerza, ya que tiene sus dimensiones. Una función energética se obtiene del producto escalar entre el residuo y una posición como por ejemplo: R (yy (i+1) ) · (yy (i+1) − y (i) ) (i+1) n+1 n+1 n+1 g R (yy n+1 ) = (1) (1) (0) R (yy n+1 ) · (yy n+1 − y n+1 ). (1.10). La anterior función es la usada en la distribución de EPPI utilizada en este Trabajo. 1.5.2. Regla del Punto Medio La regla del punto medio aproxima la integral que aparece en la ecuación 1.4 por el valor de la función f en el centro del intervalo t ∈ [tn , tn+1 ]. En la figura 1.3 se observa una interpretación geométrica de la regla del punto medio asumiendo que el estado anterior es el valor exacto de la función integrada. La fórmula de integración resulta: y n+1 = y n + ∆t · f (yy n+ 1 , tn+ 1 ) 2. y n+ 1 = 2. 2. y n+1 + y n tn+1 + tn y tn+ 1 = 2 2 2. (1.11).
(15) 1. Introducción. 9. Figura 1.3. Interpretación geométrica de la regla del punto medio. Se trata, pues, de una regla implı́cita ya que en la aproximación a la integral se usa el estado actual, esto es y n+1 . Si se introduce 1.1 en 1.12 se puede escribir: y n+1 = y n + ∆t · ẏy n+ 1. (1.12). 2. Que escrito en formato 1.2, es decir trabajando en la dinámica de sistemas multicuerpos flexibles, da lugar a las siguientes relaciones: q n+1 = q n + ∆t · q̇q n+ 1. (1.13). q̇q n+1 = q̇q n + ∆t · q̈q n+ 1. (1.14). 2 2. Haciendo uso de la ecuación dinámica escrita en la forma 1.2 se obtiene la aceleración media: q̈q n+ 1 = M −1Q (qq n+ 1 , q̇q n+ 1 , tn+ 1 ) (1.15) 2. 2. 2. 2. Que introducida en 1.14 da lugar a: q̇q n+1 = q̇q n + ∆t · M −1Q (qq n+ 1 , q̇q n+ 1 , tn+ 1 ) 2. 2. (1.16). 2. Donde cabe recordar que el estado actual está contenido en q n+ 1 y que q̇q n+ 1 2 2 se obtiene de la relación 1.14. Como la regla es implı́cita es necesario escribir la anterior expresión en forma de residuo sobre el que se aplicarán las iteraciones de Newton-Rapshon, esto es: R (qq n+1 ) = M (q̇q n+1 − q̇q n ) − ∆t · Q (qq n+ 1 , q̇q n+ 1 , tn+ 1 ) 2. 2. 2. (1.17). Que tiene una interpretación fı́sica clara. El balance entre n y n+1 de la cantidad de movimiento total. La matriz de rigidez tangente resulta:.
(16) 10. 1.6. Tratamiento de las restricciones: Método de Penalización. K T (qq n+1 ) =. R (qq n+1 ) ∂R = ∂qq n+1. h i ∂ Q (qq n+ 1 , q̇q n+ 1 , tn+ 1 ) ∂ M (q̇q n+1 − q̇q n ) 2 2 2 = − ∆t ∂qq n+1 ∂qq n+1. (1.18). Definiendo K i como la contribución inercial a la matriz tangente global y K Q como la contribución de la matriz tangente global de las fuerzas generalizadas se puede escribir: KT = Ki + KQ En la mayorı́a de los casos la función Q se puede separar en fuerzas que dependen únicamente del tiempo, Q t , relacionadas con las acciones externas, con fuerzas que dependen de las coordenadas, Q q , y con fuerzas que dependen de las derivadas temporales de las coordenadas, Q q̇ , relacionadas con fuerzas internas del cuerpo de carácter elásticas o disipadoras, respectivamente. Las acciones externas dependientes del tiempo no tienen contribución a la matriz tangente global, con lo que se puede escribir: K q + K q̇ ) K T = K i + ∆t(K En la mayorı́a de los casos se trabaja con matrices de masas constantes con lo que la contribución a la matriz tangente global de las fuerzas de inercias puede ser calculada:. Ki = M ·. ∂q̇q n+1 2 = ·M ∂qq n+1 ∆t. (1.19). 1.6. Tratamiento de las restricciones: Método de Penalización El tratamiento de las restricciones en el programa EPPI se hace mediante el método de penalización. Éste método consiste en introducir las fuerzas de restricción derivadas de un potencial de la forma, 1 VΦ (qq ) = ΦT αΦ 2 Donde α ∈ Rmxm es la matriz de penalización. Esto equivale a decir que las fuerzas de restricción son de tipo elásticas, con rigidez αi , es decir, se está introduciendo muelles con esta rigidez que sustituyen a las fuerzas de restricción..
(17) 1. Introducción. 11. Esta formulación conduce a un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE) que puede resolverse por cualquier integrador. El método de penalización puede interpretarse como una aproximación al método de multiplicadores de Lagrange, de tal manera que λ ≈ αΦ . Se puede comprobar que esta aproximación es más exacta a medida que aumentan los valores de α (αi → ∞). Las ventajas de estas formulación son: - Conduce a un sistema de ecuaciones exclusivamente diferencial. - El tamaño del sistema de ecuaciones es de n x n. No se incrementa el número de incógnitas, como en el caso de los multiplicadores de Lagrange. Φ) se puede mejorar, - El grado de cumplimiento de las ecuaciones de restricción (Φ tanto como se quiera, aumentando los valores de penalización. Por contra, tiene los siguientes inconvenientes: Φ y aceleración Φ̈ Φ no se cumplen - Las restricciones en posición Φ, velocidad, Φ̇ exactamente aunque se aumenten los valores de penalización. - Elevar el valor de penalización para obtener un mejor cumplimiento de la restricción conduce a un sistema stiff, mal condicionado numéricamente. Esto limita el tipo de integrador que puede ser utilizado, habiendo que usar integradores que presenten un buen funcionamiento a este tipo de problemas. El empleo simultáneo del método de penalización y el método de la energı́amomento conduce a un algoritmo compacto para el tratamiento de restricciones holónomas con una conservación exacta de la energı́a. Es importante advertir que, en el contexto de las restricciones holónomas, únicamente tiene sentido formular de forma conservativa las restricciones esclerónomas o lo que es lo mismo, aquellas que no dependen explı́citamente del tiempo, que no disipan energı́a..
(18) 12. 1.6. Tratamiento de las restricciones: Método de Penalización.
(19) 2. Descripción del Método Conservativo. El método conservativo, también conocido como de la energı́a-momento (a partir de ahora se hará referencia a él con uno u otro nombre, indistintamente), surge como respuesta a la búsqueda de métodos numéricos que conserven la energı́a en sistemas Hamiltonianos. La conservación de la energı́a es una propiedad del sistema Hamiltoniano continuo que se pierde al definir el sistema Hamiltoniano discreto con los métodos clásicos de integración. Recuérdese que el sistema discreto surge de realizar una discretización de la variable tiempo con el objeto de integrar las ecuaciones algebraico-diferenciales que surgen en los sistemas multicuerpos flexibles..
(20) 14. 2.1. Introducción. 2.1. Introducción En este capı́tulo se expone los fundamentos del método conservativo o de energı́amomento estableciendo su marco de aplicación, los sistemas Hamiltonianos, y entendido éste como una regla del punto medio modificada para que la energı́a se conserve intrı́nsecamente en el algoritmo de integración. El diseño de algoritmos conservativos puede estar orientado a alguna de las siguientes 3 lı́neas: proyección, conservación automática y estabilización, ver Garcı́a Orden [11]. El método aquı́ presentado pertenece a la segunda lı́nea, de forma que el balance energético forma parte integral del algoritmo. El algoritmo estudiado, de la energı́a-momento, se basa en el concepto de la derivada discreta introducido por los autores González y Simó [12] en el contexto de sistemas Hamiltonianos. De esta manera es posible obtener un algoritmo que conserve exactamente la energı́a total y los momentos lineal y cinético. Este algoritmo, como se ha dicho, se formula imponiendo la conservación exacta de la energı́a total, dando eficiencia y robustez al esquema de integración propuesto. Ası́, combinando este método con el método de penalización para imponer restricciones, es posible utilizar valores altos en el penalizador para mejorar la eficiencia del método, puesto que el integrador energı́a-momento muestra un muy buen comportamiento frente a este tipo de problemas (sistemas diferenciales de carácter stiff ), y permite integrar con grandes pasos de tiempo los problemas dinámicos.. 2.2. Algoritmo Energı́a-Momento En el caso de imponer las restricciones mediante el método de penalización el sistema de ecuaciones que gobierna el movimiento de los sistemas multicuerpos, definidos por un vector de coordenadas generalizadas q , en ausencia de fuerzas no conservativas es: M q̈q = −DV (qq ), con V = V ∗ + VΦ + Πh. (2.1). Donde Πh es la energı́a elástica (aproximada mediante la discretización de elementos finitos) de los cuerpos deformables, VΦ es el potencial de las restricciones y V ∗ es el potencial del resto de fuerzas, tanto internas como externas. El empleo del método de penalización de un potencial de fuerza para hallar la fuerza de la restricción lo hace especialmente adecuado para integrar el sistema discreto resultante con un algoritmo conservativo como se podrá comprobar en este capitulo. Es condición necesaria que el sistema intrı́nsecamente desarrolle una energı́a potencial que pueda igualar a la energı́a cinética del mismo para que se hable de conservación de la energı́a y del algoritmo energı́a-momento. Los sistemas Hamiltonianos.
(21) 2. Descripción del Método Conservativo. 15. son los que cumplen lo anterior de ahı́ que la aplicación del método conservativo vaya asociado a este tipo de sistemas. El esquema conservativo energı́a-momento puede ser interpretado como una modificación de la regla del punto medio. Como se ha visto en el subapartado 1.5.2 la regla del punto medio tiene las siguientes expresiones: q n+1 = q n + ∆t · q̇q n+ 1. con. 2. 1 q̇q n+ 1 = (q̇q n+1 + q̇q n ) 2 2. q̇q n+1 = q̇q n + ∆t · q̈q n+ 1. (2.2) (2.3). 2. Donde q̈q n+ 1 se obtiene de la ecuación 2.1 evaluada en q n+ 1 = 12 (qq n+1 + q n ). 2. 2. En lugar de hacer lo anterior, el algoritmo de la energı́a momento utiliza el concepto de derivada discreta (González y Simó [6]) para evaluar la expresión 2.1 y llegar ası́ a la expresión: M (q̇q n+1 − q̇q n ) + ∆t · DV (qq n+1 , q n ) = 0. (2.4). Donde D es el operador de la derivada discreta. La expresión anterior da lugar a lo que se conoce como el sistema Hamiltoniano discreto asociado al sistema Hamiltoniano continuo descrito por 2.1. La derivada discreta puede ser interpretada como aquella evaluación de la expresión 2.1 que hace que la energı́a se conserve. La definición formal de la derivada discreta aplicada a una función potencial entre dos pasos de tiempos es:. DV (qq n+1 , q n ) = DV (qq n+ 1 ) +. ∆V − DV (qq n+ 1 ) · ∆qq 2. ∆qq · ∆qq. 2. ∆qq. (2.5). Siendo D el operador derivada o gradiente, ∆V = V (qq n+1 ) − V (qq n ) y ∆qq = q n+1 − q n . Puede observarse en 2.5 cómo la derivada discreta equivale a evaluar el el gradiente del potencial en el punto medio (lo que hace la regla del punto medio) más un segundo término que puede ser interpretado como lo que le falta a dicha evaluación para mantener la energı́a constante. El operador derivada discreta tiene dos propiedades importantes, que son: 1. Direccionalidad : DV (qq n+1 , q n ) · ∆qq = ∆V ∀ q n+1 , q n 2. Consistencia: DV (qq n+1 , q n ) = DV (qq n+ 1 ) + O(||qq n+1 − q n ||) ∀ q n+1 , q n 2. La primera de ellas surge de la definición de la derivada discreta y a la postre es la propiedad que asegura la conservación de la energı́a, como se verá más adelante. En cambio, la segunda propiedad viene a demostrar que para una discretización.
(22) 16. 2.2. Algoritmo Energı́a-Momento. suficiente, esto es (||qq n+1 − q n || → 0), el operador derivada discreta coincide con el operador gradiente evaluado en el punto medio. Por tanto, puede asegurarse que la regla del punto medio es conservativa de forma general para una cierta discretización. Conociendo las propiedades anteriores y la definición de la derivada discreta es fácil comprobar que la energı́a total del sistema se conserva. Para ello, se analiza el incremento de energı́a cinética entre dos pasos de tiempo, tn y tn+1 : 1 1 T q̇q n+1M q̇q n+1 − q̇q Tn M q̇q n 2 2 1 T M (q̇q n+1 + q̇q n ) = (q̇q − q̇q Tn )M 2 n+1. ∆Tn+1 = Tn+1 − Tn =. (2.6). Introduciendo en 2.6 las ecuaciones 2.4 y 2.3 se llega a, 1 2 ∆Tn+1 = − ∆tDV (qq n+1 , q n )T M −T M (qq n+1 − q n ) = 2 ∆t = −DV (qq n+1 , q n )T (qq n+1 − q n ) = −DV (qq n+1 , q n ) · ∆qq. (2.7). Donde se ha tenido en cuenta la simetrı́a habitual de la matriz de masa M . Por último, haciendo uso de la propiedad de direccionalidad se establece que: ∆T = −DV (qq n+1 , q n ) · ∆qq = −∆V. (2.8). Con lo que queda demostrada la conservación de la energı́a en los sistemas Hamiltonianos discretos definidos a partir de la derivada discreta y el sistema continuo de la forma 2.1. 2.2.1. Aplicación a fuerzas conservativas centrales En el caso particular de que el potencial sea exclusivamente función de la norma del vector de coordenadas generalizadas V = V (q), es decir, no tiene dependencia completa del vector q se puede llegar al algoritmo conservativo de forma más sencilla que la aplicación directa del concepto de derivada discreta. Esto se consigue partiendo de una regla del punto medio modificada e imponiendo la conservación de la energı́a en cada paso de tiempo. En efecto, la regla del punto medio tiene la expresión,. q̈q n+ 1 = 2. DVn+ 1 1 2 M −1 q 1 (q̇q n+1 − q̇q n ) = −M ∆t qn+ 1 n+ 2. (2.9). 2. Donde DVn+ 1 = DV (qn+ 1 ). Si ahora se introduce el algoritmo conservativo 2 2 como una modificación de la regla del punto medio, de la forma: M (q̇q n+1 − q̇q n ) = −∆tσqq n+ 1. 2. (2.10).
(23) 2. Descripción del Método Conservativo. 17. Ahora bien, para que la energı́a total E = T + V se conserve, se debe cumplir que el cambio de energı́a cinética ∆Tn+1 entre dos pasos de tiempo cualesquiera, sumado al cambio de energı́a potencial ∆Vn+1 , sea igual a cero. Ası́, el incremento de energı́a cinética entre dos pasos viene dado por, 1 1 1 M (q̇q n+1 + q̇q n ) ∆Tn+1 = Tn+1 − Tn = q̇q Tn+1M q̇q n+1 − q̇q Tn M q̇q n = (q̇q Tn+1 − q̇q Tn )M 2 2 2 Haciendo uso de la expresión 2.10 en el primer factor de la expresión anterior (2.11) y de la expresión 2.3 en el último factor se llega a, ∆Tn+1 = −. 2 1 ∆t M −T M σ(qq Tn+1 + q Tn )M (qq n+1 − q n ) 2 2 ∆t. Trabajando con una matriz de masa simétrica, que es lo habitual en la mayorı́a de los sistemas multicuerpos, se puede escribir finalmente que el incremento de energı́a cinética entre dos pasos cualesquiera es, 1 1 2 ∆Tn+1 = − σ(qq Tn+1 + q Tn )(qq n+1 − q n ) = − σ(qn+1 − qn2 ) 2 2. (2.11). Estableciendo ahora la conservación de la energı́a que dice que, ∆En+1 = ∆Tn+1 + ∆Vn+1 = 0 → ∆Tn+1 = −∆Vn+1 y sustituyendo 2.11 en dicha conservación se obtiene, 1 2 − qn2 ) = −(Vn+1 − Vn ) − σ(qn+1 2. (2.12). Despejando de la anterior expresión (2.12) se obtiene lo que debe valer σ para que el algoritmo garantice la conservación de la energı́a paso a paso. σ=. Vn+1 − Vn 1 2 (q − qn2 ) 2 n+1. (2.13). Sustituyendo este resultado en 2.10 el sistema discreto de fuerzas centrales resulta, Vn+1 − Vn q 1 =0 (q 2 − qn2 ) n+ 2 2 n+1. M (q̇q n+1 − q̇q n ) + ∆t 1. (2.14). Que si se identifica término a término con 2.4 se puede concluir que la derivada discreta en este caso vale: Vn+1 − Vn q 1 DV (qq n+1 , q n ) = 1 2 (2.15) 2 ) n+ 2 (q − q n+1 n 2.
(24) 18. 2.2. Algoritmo Energı́a-Momento. Observación: La expresión anterior está cerca de ser lo que se obtendrı́a con la regla del punto medio si la derivada DVn+ 1 se aproximase numéricamente por una 2 diferencia central, esto es: DVn+ 1 = DV (qn+ 1 ) ' 2. 2. Vn+1 − Vn qn+1 − qn. (2.16). Ası́ la regla del punto medio “aproximada”, resultado de introducir 2.16 en 2.9, quedarı́a: M (q̇q n+1 − q̇q n ) + ∆t. Vn+1 − Vn q 1 =0 qn+ 1 (qn+1 − qn ) n+ 2. (2.17). 2. Como en general no se cumple que qn+ 1 = 12 (qn+1 + qn ), la expresión resultante 2 no da lugar a lo obtenido con la derivada discreta, cosa que ya podı́a afirmarse al conocer la definición de ésta última. Sin embargo, para una discretización suficiente se podrı́a afirmar que lo anterior si se cumple y se podrı́a interpretar la derivada discreta como la aproximación del gradiente evaluado en el punto medio que es lo que decı́a la propiedad de consistencia de la derivada discreta. Esta interpretación trata de enfatizar la fı́sica del problema y ver que la fuerza introducida con el concepto de derivada discreta no dista de la obtenida en el sistema continuo, además de comprobar que los términos dimensionalmente concuerdan, como no podı́a ser de otra forma..
(25) 3. Formulación conservativa de algunos elementos y restricciones. Se presenta en este capı́tulo los pormenores de la formulación conservativa de algunos elementos y restricciones. En concreto se ha abordado la formulación de un elemento barra articulada constituido por material elástico no lineal distinguiendo dos casos. En el primer caso uno de los extremos de la barra está fijo (Truss1 ) y por tanto el elemento cuenta con 3 g.d.l. En cambio, en el segundo caso los extremos pueden moverse libremente (Truss2 ) con lo que el elemento pasa a tener 6 g.d.l. Además de estos, se ha abordado la formulación de un elemento 3D hexaédrico (8 nodos) constituido de material hiperelástico de Saint-Venant (Brick ). El desarrollo del anterior elemento tiene su contexto en la técnica de discretización de los elementos finitos. Finalmente, se ha formulado un par de restricciones como son la fijación a un punto, o encastre (Fix ) y la unión entre dos puntos, o rótula (Tie), haciendo uso del método de penalización ..
(26) 20. 3.1. Introducción. 3.1. Introducción Para abordar las formulaciones pretendidas se desarrollan los fundamentos matemáticos de cada elemento ası́ como de las restricciones mediante el método de penalización. Para cada elemento y restricción formulado se expone el modelo continuo obtenido de aplicar las ecuaciones de Lagrange de la mecánica clásica y las leyes de comportamiento del material modelado. A continuación se presentan los modelos discretos definidos a partir de los continuos, aplicando la regla del punto medio y el método conservativo descrito en el capı́tulo 2, objetivo de este trabajo. Como aspectos generales cabe decir que la formulación de los elementos barra articulada y las restricciones encastre y rótula pertenecen a la familia de sistemas Hamiltoniano definidos a partir de una fuerza central, por lo que serán usadas las expresiones expuesta en el apartado 2.2.1, concretamente la expresión 2.13 es de especial importancia para la formulación de éstos elementos. Por su parte, el elemento hexaédrico no está encuadrado en esta familia con lo que se llegará a su formulación conservativa aplicando el concepto de derivada discreta. El anterior elemento además, requiere una discretización espacial con la técnica de los elementos finitos que también ha sido incluida en este capitulo.. 3.2. Barra articulada no lineal (Truss) El elemento barra articulada (truss) es un elemento prismático, con área transversal constante en toda su longitud, donde las dimensiones de la sección transversal son mucho menores que la dimensión longitudinal. Se define a través de dos nodos (extremos del elemento), distribuidos por el espacio 3D, y el área de la sección transversal. En general, cada nodo cuenta con 3 g.d.l asociados a las 3 posibles traslaciones en el espacio, lo que implica que dicho elemento solo sea capaz de transmitir carga en la dirección axial del mismo. Este elemento puede ser formulado para un análisis elástico lineal, un análisis con no linealidad material o un análisis con no linealidad geométrica, es decir grandes deformaciones y desplazamientos. En este último análisis se ha de usar una formulación euleriana, coordenadas actuales. Ley Constitutiva En este caso se ha trabajado con una formulación que tiene en cuenta grandes deformaciones y desplazamientos, es decir, geométricamente no lineal. Con ella pueden abordarse casos lineales sin más que actuar sobre las acciones para que no generen grandes desplazamientos. Dicha formulación está incluida en la distribución de EPPI utilizada y cuya descripción completa se puede ver en el libro de Bonet J., Wood R.D. [2]. En las siguientes lı́neas se exponen las expresiones más significativas de la ley constitutiva..
(27) 3. Formulación conservativa de algunos elementos y restricciones. 21. El material se define a través de un potencial hiperelástico en términos de los logaritmos de las elongaciones principales y de las constantes de Lamé (λ y µ), teniendo la expresión: λ Ψ(λ1 , λ2 , λ3 ) = µ (ln λ1 )2 + (ln λ2 )2 + (ln λ3 )2 + (ln J)2 (3.1) 2 Donde J = λ1 λ2 λ3 , y por tanto ln J = ln λ1 + ln λ2 + ln λ3 . Este potencial se entiende como una generalización de la ley constitutiva (tensión-deformación) empleada en la elasticidad lineal clásica. Las tensiones principales de Cauchy se obtiene a partir del potencial hiperelástico como sigue: 1 ∂Ψ 2µ λ σαα = = ln λα + ln J (3.2) J ∂ ln λα J J Ahora bien, en el caso de la barra articulada bajo consideración se sabe que las tensiones en los direcciones principales transversales al eje de la barra son nulas, lo que permite afirmar: σ22 = λ ln J + 2µ ln λ2 = 0 σ33 = λ ln J + 2µ ln λ3 = 0. (3.3) (3.4). De donde se obtiene fácilmente que las elongaciones en la dirección 2 y en la dirección 3 son idénticas y se relacionan con la elongación principal (λ1 ) a través del coeficiente de Poisson como sigue, ln λ2 = ln λ3 = −ν ln λ1. con. ν=. λ 2λ + 2µ. (3.5). Introduciendo esto en la expresión de la tensión principal 1 se llega a la ley constitutiva uniaxial que define el comportamiento de la barra: σ11 =. E ln λ1 J. con. E=. µ(2µ + 3λ) λ+µ. (3.6). Donde J puede expresarse en función de la elongación principal 1 haciendo uso del coeficiente de Poisson: (1−2ν) J = λ1 (3.7) Finalmente la función de densidad de energı́a elástica respecto de la configuración de referencia uniaxial se obtiene de introducir lo anterior en 3.1. 1 W = Ψ(λ1 ) = E(ln λ1 )2 (3.8) 2 Además serán útiles las derivadas primeras y segundas de la función de densidad de energı́a respecto de la elongación. DW =. dW ln λ1 =E dλ1 λ1. (3.9).
(28) 22. 3.2. Barra articulada no lineal (Truss). D2 W =. 1 − ln λ1 d2 W =E 2 dλ1 λ21. (3.10). Ecuación de movimiento Las ecuaciones dinámicas de este elemento pueden ser obtenidas usando las ecuaciones de Lagrange: d ∂L ∂L − = Qt (3.11) dt ∂q̇q ∂qq Donde la función lagrangiana L se construye a partir de las energı́as cinética y potencial de la forma L = T − V y donde Q t es el vector de fuerzas generalizadas de las acciones exteriores, que en general dependerán del tiempo. La energı́a cinética se calcula fácilmente si se conoce la matriz de masa M . Para la barra articula dicha matriz es constante y simétrica, los detalles de su obtención se pueden ver [8]. 1 T = q̇q T M q̇q (3.12) 2 En cuanto a la energı́a potencial, se obtiene de la función de densidad de energı́a elástica definida anteriormente. V = A0 l0 W. (3.13). Introduciendo 3.12 y 3.13 en 3.11 se obtiene: M q̈q + A0 l0. ∂W = Qt ∂qq. (3.14). Aplicando la regla de la cadena en la derivada que aparece en 3.14 se llega a la ecuación de movimiento 3.15 a expensas de conocer la relación entre la elongación de la barra y el vector de fuerzas generalizadas M q̈q + A0 l0 DW. dλ1 = Qt dqq. (3.15). 3.2.1. Barra articulada no lineal con un punto fijo (Truss1) La barra articulada no lineal con un punto fijo se define a partir de las coordenadas del nodo libre. Tomando el nodo fijo como origen del sistema inercial de coordenadas X1 X2 X3 , el vector de coordenadas generalizadas se escribe: q = {x1 , x2 , x3 }T. (3.16). Es decir, es el vector de posición del nodo libre, con lo que la elongación de la bap 2 rra será función de la norma de dicho vector, que se denotará por q = x1 + x22 + x23 . λ1 =. q l0. (3.17).
(29) 3. Formulación conservativa de algunos elementos y restricciones. 23. Conocida la relación de λ1 con el vector de coordenadas generalizadas se puede obtener la ecuación de movimiento de este elemento sin más que sustituir la relación 3.17 en 3.15. d q = Qt (3.18) M q̈q + A0 l0 DW dqq l0 Donde la derivada que aparece tiene la siguiente expresión. dλ1 d q q uq = = = dqq dqq l0 l0 q l0. (3.19). Siendo u q el vector unitario en la dirección y sentido de q . De forma compacta la ecuación de movimiento resulta. M q̈q + A0. DW q = Qt q. (3.20). Donde el término A0 DWqq /q tiene una interpretación fı́sica clara y es la fuerza interna instantánea, que podrı́a a haber sido obtenida como el producto de la tensión de Cauchy por el área actual. En efecto, si se atiende a la expresión 3.6 y se sabe la expresión del área actual (A) en función de la elongación principal 1 (3.21), se puede escribir: Aq A J V = = λ1 → A = A0 (3.21) J= V0 A0 l0 A0 λ1 uq = − Q q = −σ11 Au. E ln λ1 q J q DW ln λ1 · A0 = −A0 E = −A0 q J λ1 q λ1 q q | {z }. (3.22). DW. La fuerza es de tipo elástico ya que solo depende del vector de coordenadas q , ası́ que encaja con la definición de Q q en el formato descrito en la descripción de la regla del punto medio, en el subapartado 1.5.2. Formulación con la regla del punto medio Se rescatan aquı́ las formulas del punto medio que fueron explicadas en el subapartado 1.5.2. 1 (qq n+1 + q n ) 2 2 1 q n+1 − q n (q̇q n+1 + q̇q n ) = 2 ∆t qn+ 1 = ||qq n+ 1 || q n+ 1 =. 2. 2. Obviando de ahora en adelante el término de fuerzas Q t , ya que para su inclusión basta con evaluar la expresión en tn+ 1 y ya que no tiene contribución a la matriz 2 tangente, el residuo es de la forma: Qq ]n+ 1 = 0 M (q̇q n+1 − q̇q n ) − ∆t [Q 2. (3.23).
(30) 24. 3.2. Barra articulada no lineal (Truss). Qq ]n+ 1 = −A0 [Q. DWn+ 1. 2. 2. qn+ 1. q n+ 1. (3.24). 2. 2. Donde DWn+ 1 es el valor de la derivada de la densidad de energı́a evaluada en 2 λn+ 1 = qn+ 1 /l0 . 2. 2. Qq ]n+ 1 a la matriz tangente global (K K q) La contribución del vector de fuerzas [Q 2 se calcula linealizando la expresión 3.24 alrededor de q n+1 .. Kq = −. Qq ]n+ 1 ∂[Q. 2. ∂qq n+1 ". 2. =−. Qq ]n+ 1 ∂qq n+ 1 ∂[Q 2. ∂qq n+ 1. 2. 1 A0 D W = 2 2 l0 qn+ 1. n+ 12. 2. ∂qq n+1. =−. q n+ 1 ⊗ q n+ 1 + A0 2. Qq ]n+ 1 ∂[Q 2. ∂qq n+ 1 2. DW. 2. n+ 12. qn+ 1. 2. 2. 1 · 1= 2. 1−. q n+ 1 ⊗ q n+ 1 2. 2. 2 qn+ 1. !# (3.25). 2. Formulación con el método de la Energı́a-Momento Como se ha comentado en el capı́tulo 2 el método conservativo o de la energı́amomento puede interpretarse como la aplicación al sistema continuo inicial del una regla del punto medio modificada, por tanto el residuo es de la forma. Qq ]∗n+ 1 M (q̇q n+1 − q̇q n ) = ∆t [Q. (3.26). 2. Qq ]∗n+ 1 , para Donde el valor de la fuerza que se ha de aplicar en el punto medio, [Q 2 que se cumpla la conservación de la energı́a es: Vn+1 − Vn Wn+1 − Wn q n+ 1 = −A0 l0 1 2 q 1 2 2 2 (q − qn ) (q − qn2 ) n+ 2 2 n+1 2 n+1. Qq ]∗n+ 1 = − 1 [Q 2. (3.27). Hay que observar que la expresión 3.27 está bien definida para ∆q = (qn+1 − qn ) → 0, utilizando el siguiente desarrollo en serie de la función potencial alrededor de qn+ 1 . 2. Vn+1 = Vn + DVn+ 1 (qn+1 − qn ) + 2. Qq ]∗∆q→0 ' − 1 [Q 2. DVn+ 1. 2. (qn+1 + qn ). 1 3 2 DVn+ 1 (qn+1 − qn ) + . . . 2 24. q n+ 1 ' − 2. DVn DWn q n = −A0 qn qn qn. (3.28). Donde, en este caso, el operador D hace referencia a la derivada respecto de la variable independiente del potencial, es decir, la derivada respecto de la norma q. Qq ]∗n+ 1 a la matriz tangente global se La contribución de la fuerza generalizada [Q 2 obtiene de la linealización de ésta alrededor de q n+1 . ∂ Q ∗q n+ 1 dqq n+ 1 dσ Vn+1 − Vn 2 2 Kq = − = q n+ 1 ⊗ +σ con σ = 1 2 2 ∂qq n+1 dqq n+1 dqq n+1 (q − qn2 ) 2 n+1.
(31) 3. Formulación conservativa de algunos elementos y restricciones. 25. Que da lugar, después de cierta elaboración, a: Kq = 2. DVn+1 − σqn+1 1 q n+ 1 ⊗ q n+1 + σ11 2 2 2 qn+1 (qn+1 − qn ) 2. (3.29). Resultando una matriz no simétrica. Para definir la matriz cuando ∆q → 0 se linealiza la expresión 3.29, donde qn+1 ' qn , obteniéndose la matriz simétrica. K ∆q→0 =. D2 Vn − σ ∗ 1 q n ⊗ q n + σ ∗1 2 2qn 2. (3.30). Donde σ ∗ se define como: σ∗ =. DVn DWn = A0 qn qn. 3.2.2. Barra articulada no lineal con extremos libres (Truss2) Se trata de una generalización de lo expuesto en el apartado anterior. La barra articulada no lineal con extremos libres se define a partir de las coordenadas de sus nodos. Tomando el origen del sistema inercial de coordenadas X1 X2 X3 en un lugar arbitrario del espacio, el vector de coordenadas generalizadas se escribe: xT1 |x xT2 }T q = {x. (3.31). Siendo x 1 y x 2 los vectores de posición de los nodos de la barra. La elongación de la barra se mide a través de la distancia entre los nodos. Si se le llama r al vector que conecta ambos nodos se puede escribir. r = x2 − x1. (3.32). La norma de este vector recoge la deformación que sufre la barra en cada instante. Ası́, llamando r a la norma de r , la elongación se escribe como sigue. λ1 =. r l0. (3.33). Conocida la relación de λ1 con el vector de coordenadas generalizadas se puede obtener la ecuación de movimiento de este elemento sin más que sustituir la relación 3.17 en 3.15. d r M q̈q + A0 l0 DW = Qt (3.34) dqq l0 Donde la derivada que aparece tiene la siguiente expresión. dλ 1 r d r = = dqq dqq l0 l0 r −rr. (3.35).
(32) 26. 3.2. Barra articulada no lineal (Truss). Siendo u el vector unitario en la dirección y sentido de q . De forma compacta la ecuación de movimiento resulta. DW r M q̈q + A0 = Qt (3.36) r −rr Donde el nuevo término que aparece tiene la misma interpretación fı́sica, resulta ser la fuerza interna en cada instante. Usando el formato descrito en el apartado 1.5.2, se escribe: r DW (3.37) Q q = −A0 r −rr Formulación con la regla del punto medio Siguiendo los mismos pasos que para el “Truss1 ” y a la vista de las expresiones que definen al “Truss2 ” se obtiene: Qq ]n+ 1 = 0 M (q̇q n+1 − q̇q n ) − ∆t · [Q. (3.38). 2. Qq ]n+ 1 = −A0 [Q 2. DWn+ 1. (. r n+ 1. 2. ). 2. (3.39). −rr n+ 1. rn+ 1 2. 2. x2 )n+ 1 − (x x1 )n+ 1 y M la matriz de masas Siendo r n+ 1 = (rr n+1 + r n )/2 = (x 2 2 2 asociada a los g.d.l de la barra articulada (ver [8]) y donde ahora DWn+ 1 es el valor 2 de la derivada de la densidad de energı́a evaluada en rn+ 1 . 2. La matriz tangente global se puede obtener a partir de su homóloga en el caso del “Truss1 ”. A A −A Kq = (3.40) A −A A. " 2 DWn+ 1 1 A0 D Wn+ 12 2 A= r n+ 1 ⊗ r n+ 1 + A0 2 2 2 2 l0 rn+ 1 rn+ 1. 1−. r n+ 1 ⊗ r n+ 1 2. 2. 2. 2. 2 rn+ 1. !# (3.41). 2. Formulación con el método de la Energı́a-Momento La formulación conservativa para este elemento consta de la siguientes expresiones del residuo: Qq ]∗n+ 1 M · (q̇q n+1 − q̇q n ) = ∆t [Q (3.42) 2. Qq ]∗n+ 1 [Q 2. Wn+1 − Wn = −A0 l0 1 2 (r − rn2 ) 2 n+1. (. r n+ 1 2. −rr n+ 1. 2. ) (3.43).
(33) 3. Formulación conservativa de algunos elementos y restricciones. 27. En el lı́mite, ∆rr = (rr n+1 − r n ) → 0, el vector de fuerza tiene la siguiente expresión: ( ) DVn+ 1 r n+ 1 DWn rn ∗ 2 2 Qq ]∆rr →0 ' − 1 [Q = −A0 (3.44) rn −rr n (r + rn ) −rr n+ 12 2 n+1 Qq ]∗n+ 1 a la matriz tangente global se La contribución de la fuerza generalizada [Q 2 obtiene a partir de su homóloga en el caso de la barra articulada con un punto fijo. Kq = A=2. A A −A A −A A. . 1 DVn+1 − σrn+1 r n+ 1 ⊗ r n+1 + σ11 2 2 2 rn+1 (rn+1 − rn ) 2. (3.45). Resultando una matriz no simétrica. Para definir la matriz cuando ∆rr → 0 se linealiza la expresión 3.45, donde rn+1 ' rn , obteniéndose la matriz simétrica: B B −B Kq = B −B B B=. D 2 Vn − σ ∗ 1 r n ⊗ r n + σ ∗1 2 2rn 2 σ∗ =. (3.46). DVn DWn = A0 rn rn. 3.3. Restricción escalares: Encastre (Fix) y Rótula (Tie) Una restricción escalar se define a partir de una función Φ3 q = ||q|| → Φ(q) ∈ R. El potencial de penalización también depende únicamente de la distancia, y está dado por VΦ : R 3 q → 21 αΦ2 ∈ R, siendo α el factor de penalización. Con esto, las ecuaciones dinámicas del sistema multicuerpos (representado por la matriz de masa M y el vector de coordenadas generalizadas q ) donde existen fuerzas de restricción, tiene la siguiente expresión: M q̈q +. ∂VΦ αΦ(DΦ) = 0 → M q̈q + q=0 ∂qq q. (3.47). Las restricciones que tienen sentido formular en el contexto de un algoritmo conservativo son las esclerónomas. Tanto la restricción encastre como la restricción rótula presentadas en este apartado lo son. Las restricciones escalares dependen únicamente de la distancia absoluta al origen de coordenadas q = ||qq ||, como ha sido definida. Esto la convierte en un modelo de fuerza central lo que hace que la formulación de una restricción escalar (con el.
(34) 28. 3.3. Restricción escalares: Encastre (Fix) y Rótula (Tie). método de penalización) sea igual a la formulación de las barras articuladas anteriores con la única diferencia de que, en el caso de la restricción, el potencial es un potencial de restricción VΦ . Teniendo en cuenta lo anterior, las restricciones escalares sobre un único punto (como la restricción fix ) se corresponden con lo dicho para el caso de la barra articulada con un punto fijo (Truss1 ), mientras que una restricción escalar sobre dos puntos (restricción tie) se implementa como en el caso de la barra articulada con extremos libres (Truss2 ). Basta con sustituir el potencial de restricción (VΦ ) por el potencial del material (W ) que aparece en los elementos barra, ası́ como sus respectivas derivadas, para obtener la formulación de la restricción. Con esto, la fuerza de restricción que habrá que aplicar en el punto medio para obtener el algoritmo de la energı́a-momento, atendiendo a 3.27, será: Φ2n+1 − Φ2n VΦn+1 − VΦn 1 = −α q 1 = −σqq n+ 1 q [ff Φ ]∗n+ 1 = − 1 2 2 2 2 − qn2 n+ 2 qn+1 (q − qn2 ) n+ 2 2 n+1. (3.48). Mientras que la contribución a la matriz tangente de 3.48, atendiendo a 3.25, será: αΦn+1 (DΦ)n+1 − σqn+1 1 Kq = (qq n+ 1 ⊗ q n+1 ) + σ11 (3.49) 2 2 2 qn+1 (qn+1 − qn ) 2 La restricción encastre establece la sujeción de un punto material a un punto del espacio y se define a partir de una función de restricción Φ(q) igual a la identidad, es decir, Φ = q, y por tanto el potencial de restricción es VΦ = 12 αq 2 . Que puede ser interpretado por el potencial de un muelle de rigidez k = α. Sustituyendo estas expresiones en 3.48 y en 3.49 se obtienen el vector de fuerzas y la contribución a la matriz tangente global, respectivamente. 2 qn+1 − qn2 ∂VΦ ∗ [ff Φ ]n+ 1 = −α 2 q 1 = −αqq n+ 1 = − = [ff Φ ]n+ 1 (3.50) 2 2 2 qn+1 − qn2 n+ 2 ∂qq n+ 1 2. Identificando la expresión 3.50 con 3.48 se observa que σ = α. Por tanto, la matriz tangente resulta, αqn+1 − αqn+1 1 1 ∂ 2 VΦ Kq = q 1 ⊗ q n+1 + α11 = (3.51) 2 qn+1 (qn+1 − qn2 ) n+ 2 2 2 ∂qq 2 n+ 1 2. Por su parte, la restricción escalar rótula establece la unión entre dos puntos materiales pertenecientes a cuerpos distintos. El potencial de restricción en este x1 − x 2 || con x 1 y x 2 las coordenadas de caso vale VΦ = 21 αr2 , siendo r = ||rr || = ||x los puntos a unir. Utilizando el paralelismo existente entre las restricciones escalares que actúan sobre dos puntos con la formulación del elemento Truss2, la fuerza que hay que aplicar en el punto medio es: ( ) ( ) 2 2 1 1 r r r − r n+ n+ n 2 2 [ff Φ ]∗n+ 1 = −α n+1 = −α (3.52) 2 2 rn+1 − rn2 −rr n+ 1 −rr n+ 1 2. 2.
(35) 3. Formulación conservativa de algunos elementos y restricciones. 29. Y la aportación a la matriz tangente se escribe en el mismo formato que se usó para el Truss2 (3.45), donde ahora la matriz A es: A=. 1 1 αrn+1 − αrn+1 r n+ 1 ⊗ r n+1 + α11 = α11 2 2 2 rn+1 (rn+1 − rn ) 2 2. (3.53). Observación. Las expresiones anteriores coinciden con la formulación de la regla del punto medio. Es decir, la regla del punto medio es conservativa en sistemas donde el potencial es cuadrático, como en el caso del potencial de restricción del encastre y de la restricción rótula.. 3.4. Hexaedro de material hiperelástico (Brick) En este apartado se hace un repaso de los conceptos fundamentales que permiten abordar la formulación conservativa de un elemento hexaédrico de 8 nodos con 3 g.d.l por nodo, constituido de material hiperelástico de Saint Venant-Kirchhoff. Dichos conceptos descansan en la elasticidad finita, la definición de los materiales hiperelásticos y la discretización de elementos finitos. Con esto se tiene los ingredientes necesarios para presentar la formulación conservativa buscada.. 3.4.1. Elasticidad Finita: Medida de la deformación y de la tensión Se considera un sólido moviéndose de forma arbitraria en el seno del espacio euclı́deo tridimensional (Bonet y Wood, [2]). En el instante inicial, t = 0 ocupa la región B0 (configuración de referencia) y en un instante t ocupa la región B (configuración deformada). El cambio de configuración de B0 a B se realiza mediante un proceso isotermo. Al vector de un punto X del cuerpo en la configuración de referencia se le denomina coordenadas materiales mientras que al vector de un punto en la configuración deformada, x , se le denomina coordenadas espaciales. Se denomina movimiento a la función ϕ que relaciona ambas configuraciones: X , t) x = ϕ(X La posición de un punto arbitrario x en la configuración deformada también X ) y del vector puede expresarse en función de la posición en la de referencia (X desplazamiento u mediante la expresión, x = X +u. siendo. X , t) u = ϕu (X. Asociado al movimiento existe un tensor de segundo orden llamado gradiente de deformación F , definido por: X , t) = F (X. x X , t) ∂x ∂ϕ(X = X X ∂X ∂X. (3.54).
(36) 30. 3.4. Hexaedro de material hiperelástico (Brick). Este tensor contiene toda la información de la deformación en el entorno de un punto. Ası́ el determinante del tensor F recoge la relación entre los volúmenes en la configuración de referencia y la configuración deformada en cada punto. J=. dV F) > 0 = det(F dV0. Para que el movimiento previamente definido sea admisible la relación de volúmenes debe ser mayor que cero, en caso contrario se destruirı́a materia en el proceso de deformación. Además, la función ϕ debe tener inversa, es decir, se ha de poder x, t) o lo que es lo mismo existe F −1 , lo que concuerda con que expresar X = ϕ−1 (x J > 0. Esto equivale a decir que para cada x ∈ B existe un único X ∈ B0 tal que X , t) (condición de impenetrabilidad). x = ϕ(X El tensor gradiente de la deformación admite las descomposiciones polares por la derecha y por la izquierda: F = RU = V R Donde U y V son tensores de elongación simétricos y positivos y R es el tensor de rotación (ortogonal) propio, R ∈ SO(3). A partir del tensor gradiente de deformación se obtienen diferentes medidas de la deformación: C = F TF = U 2 b = FF T = V 2 1 C − 1) (C E = 2 1 a = (11 − b −1 ) 2 1 F +FT) −1 (F ε = 2. Cauchy-Green por la derecha Cauchy-Green por la izquierda. (3.55) (3.56). Green-Lagrange. (3.57). Almansi. (3.58). Lineal de Euler. (3.59). En cuanto a las medidas de tensión, se asume que solo existe una tensión verdadera que se mide en la configuración deformada y se llega a partir del postulado de Cauchy. Sin embargo se hace necesario el empleo de otras medidas de tensión en algunas ocasiones para referir éstas a la configuración indeformada y en otras para mejorar la operatividad del tensor, esto es, usar tensores que midan la tensión y que sean simétricos, como lo es el de tensiones verdaderas. En la teorı́a clásica de la mecánica del medio continuo se asume que la fuerza total sobre una determinada superficie de la configuración deformada es una función continua del área de la superficie. La relación diferencial entre la fuerza y el área en cada punto viene dada por el vector tensión R t , de forma que la fuerza total (ff Σ ) sobre una superficie Σ se expresa como f Σ = Σ t dS. El postulado de Cauchy establece que la tensión en un punto x sólo depende de la normal a la superficie en ese punto.
(37) 3. Formulación conservativa de algunos elementos y restricciones. 31. n), de manera que t = t (x x, n ). Basándose en estos conceptos se define el tensor de (n tensiones de Cauchy o tensor de tensiones verdaderas (σ), que verifica: x, n ) = σ(x x)n n t (x A partir de σ se definen otros tensores de tensión: F −T P = JσF F −1 σF F −T S = F −1P = JF τ = Jσ. Primer tensor de Piola-Kirchhoff Segundo tensor de Piola-kirchhoff Tensor de Kirchhoff. (3.60) (3.61) (3.62). Siendo el primer tensor de Piola-Kirchhoff un tensor no simétrico y el segundo tensor de Piola-Kirchhoff un tensor simétrico, estando este último referido a la configuración indeformada. Las distintas medidas de tensión y deformación forman parejas conjugadas de forma que el trabajo virtual de deformación (δΠ) se puede expresar como: Z δΠ =. Z σ : δε dV. =. B. Z E dV0 = S : δE. τ : δε dV0 = B0. B0. Z. Z. τ : δaa dV. F dV0 = P : δF. =. (3.63). B. B0. Es importante observar que algunas medidas conjugadas están referida a la configuración deformada (B) y otras a la configuración de referencia (B0 ). Se establecen ahora los balances mecánicos que dan lugar a la formulación fuerte de las ecuaciones dinámicas de los cuerpos deformables en la configuración deformada. - Balance másico: ∂ρ x) = 0 + div(ρẋ ∂t. (3.64). Siendo ρ la densidad másica del material, por unidad de volumen en la configuración deformada: dm = ρdV . - Balance de la cantidad de movimiento: x div(σ) + b = ρẍ. (3.65). Siendo b las fuerzas volumétricas y ρ la densidad másica. - Balance del momento cinético. Puede demostrarse (Malvern, [10] ) que establece la simetrı́a del tensor de tensiones de Cauchy: σ = σT. (3.66).
(38) 32. 3.4. Hexaedro de material hiperelástico (Brick). Por su parte, la forma débil de las ecuaciones de movimiento de un cuerpo elástico BE con frontera ∂BE y sometido a unas cargas volumétricas bE y a unas fuerzas de contorno t E se expresa como la nulidad del trabajo total δΠtotal dado por:. Z. Z. Z. xδx x dVE −δΠint − ẍ BE. x dVE − bE δx. x dSE −δΠΦ = 0 t E δx. BE. x ∈ ν (3.67) ∀δx. ∂BE. Donde ν es el espacio de dimensión finita de todas las variaciones de x . Los términos que intervienen en 3.67 son los trabajos virtuales de las fuerzas de inercia (δΠiner ), de las fuerzas internas (δΠint ) causadas por la deformabilidad del cuerpo, de las fuerzas externas directamente aplicadas (δΠext ), y de las fuerzas de restricción (δΠΦ ), que pueden ser internas o externas. El trabajo virtual de las fuerzas internas δΠint se puede expresar de cualquiera de las formas expresadas en 3.63. Sin embargo, dado que en 3.67 todos los términos se x hay que desarrollar las expresiohan expresado en función de la variación virtual δx nes 3.63 para obtener éstas escritas mediante la variación virtual de las coordenadas x). espaciales (δx Por último, el trabajo virtual de las fuerzas de restricción empleando el método de penalización descrito en el apartado 1.6 tiene la siguiente expresión: Z δΠΦ = −. αΦ x dSΦ (D1Φ )(αΦ αΦ)δx. (3.68). ∂Φ BE. Donde el operador D1 es el operador derivada respecto de las coordenadas espaciales x .. 3.4.2. Material hiperelástico: Saint Venant-Kirchhoff Los materiales hiperelásticos se definen como aquellos materiales elásticos (su estado tensional depende exclusivamente de la deformación instantánea) que se deforman con un trabajo independiente del camino. Se definen a partir de una función de densidad de energı́a de deformación W que en el caso de que el material sea isótropo es solo función de los invariantes del tensor de Cauchy-Green por la derecha C . La consecuencia de la definición de hiperelasticidad es que se puede escribir,. S =2. ∂W ∂W = C E ∂C ∂E. (3.69). Lo que da lugar a otra definición del material hiperelástico, aquel cuya función de densidad de energı́a de deformación es un potencial de la tensión..
(39) 3. Formulación conservativa de algunos elementos y restricciones. 33. El modelo de Saint Venant-Kirchhoff es un modelo constitutivo de material hiperelástico útil en problemas en que se presenten grandes desplazamientos y rotaciones. Sin embargo, sólo es estrictamente válido para deformaciones moderadas. Se emplea, no obstante, debido a su sencillez que lo hace particularmente adecuado para ser empleado con la formulación del algoritmo energı́a-momento. La función de densidad de energı́a de este modelo en función de los invariantes de C , ya que es un modelo isótropo, es: W (IC , IIC ) =. µ λ (IC − 3)2 + (IIC − 2IC + 3) 8 4. (3.70). Donde IC e IIC son el primer y segundo invariante del tensor de Cauchy-Green por la derecha C y siendo λ y µ las constantes elásticas de Lamé. La función de densidad de energı́a de deformación puede ser expresada en función del tensor C o del tensor E resultando:. C) = W (C. λ µ C ) − 3]2 + C 2 ) − 2tr(C C) + 3 [tr(C tr(C 8 4. (3.71). λ E )]2 + µE E :E [tr(E 8. (3.72). E) = W (E. Aplicando a 3.72 la condición de hiperelasticidad dada por 3.69 se obtiene el segundo tensor de Piola-Kirchhoff para el material de Saint Venant-Kirchhoff, o lo que es lo mismo la ley constitutiva del material, que resulta: E ) = λtr(E E )11 + 2µE E S (E. (3.73). Para los desarrollos venideros es interesante expresar los tensores S y E con formato de matriz columna: S T = (S11 S22 S33 S12 S13 S23 ) E T = (E11 E22 E33 E12 E13 E23 ) 3.4.3. Discretización del dominio: Elementos Finitos A la natural discretización temporal hay que añadir una discretización espacial realizada mediantes técnicas de elementos finitos, de forma que el dominio continuo se divide en subdominios o elementos. Se presenta a continuación la técnica básica de discretización del continuo tridimensional mediante elementos finitos en el caso no lineal y desde un planteamiento en la configuración de referencia, conocida como lagrangiano total..
(40) 34. 3.4. Hexaedro de material hiperelástico (Brick). El cuerpo elástico continuo BE se discretiza espacialmente mediante elementos Sn X ) como finitos (BE = e=1 Ωe ), de forma que tanto las coordenadas materiales (X x) de un punto arbitrario el interior del elementos Ωe se interpolan a las espaciales (x partir de n coordenadas nodales mediante las funciones de forma Ni , i = 1, . . . , n. Sobre las coordenadas espaciales se aplica en realidad una semidiscretización, en la X , t) se separa claramente entre las funcioque la dependencia con la variables (X nes de forma (que contienen la dependencia espacial, a través de las coordenadas materiales) y las variables nodales (que contienen la dependencia temporal).. X , t) = x (X. n X. X )x xei (t) ≡ Ni (X. i=1. e x e1 x2 = N · q eE ≡ {N1I 3 | N2I 3 . . . NnI 3 } . . . e xn n X X = NiX ei ≡ N · q eE0. (3.74). (3.75). i=1. Donde las matrices columna q eE y q eE0 contienen las coordenadas cartesianas, respecto de un sistema inercial, de los nodos del elemento de forma ordenada. Para que la aproximación 3.74 sea exacta en los nodos, la función de forma Ni vale la unidad en el nodo i y se anula en los demás. La dimensión de las matrices ası́ definidas depende de la propia dimensión del espacio (dim) y del número de nodos. Ası́, el tamaño de la matriz N es en general dim × (n · dim). Teniendo en cuenta esto el elemento hexaédrico de 8 nodos que se pretende formular tendrá una matriz de funciones de forma N de tamaño 3 × 24. Los elementos llamados isoparamétricos interpolan los desplazamientos igual que la geometrı́a (expresiones 3.74, 3.75), de manera que el desplazamiento de un punto u) se interpola a partir de los desplazamientos nodales, interior (u u ≡ N · ∆qq e ,. con. ∆qq eE = q eE − q eE0. (3.76). A continuación se discretiza la formulación débil planteada en 3.67. La forma de hacerlo es integrar cada término de la citada ecuación a nivel elemental, haciendo uso de la discretización expresada en 3.74 y 3.75. La contribución (δΠe ) de un solo elemento Ωe al trabajo virtual total es la diferencia entre el trabajo virtual de las fuerzas de inercia y de la suma de las fuerzas aplicadas (externas o internas) y de restricción. δΠe = δΠeiner − δΠeext − δΠeint − δΠeΦ. (3.77). Introduciendo las discretizaciones 3.74 y 3.75 se obtiene la contribución de cada.
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