Contribución al estudio de ternas de De Morgan generalizadas

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(1)^ # ^. T E S I S. D O C T O R A L. CONTRIBUCIÓN AL ESTUDIO DE TERNAS DE DE MORGAN GENERALIZADAS. por Tomasa Calvo. Sánchez. Presentada en la FACULTAD DE INFORMÁTICA de la UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID. para la obtención del GRADO DE DOCTOR EN INFORMÁTICA ••. Madrid, Diciembre de. ^. 5?.

(2) CONTRIBUCIÓN AL ESTUDIO DE TERNAS DE «. DE MORGAN GENERALIZADAS. Tomasa Calvo Sánchez. Memoria para aspirar al grado de Doctor.. Diciembre, 1987.. Directores: Gaspar Mayor (U.I.B.) y Claudi Alsina (U.P.C.).

(3) •. A mis p a d r e s ..

(4) «. AGRADECIMIENTOS: Quiero expresar mi gratitud - Al Profesor GASPAR MAYOR,. por todo en general y en. particular por hacer posible la realización de esta memoria con el entusiasmo,. dedicación. y. seriedad. que le son propios. - Al Profesor. CLAUDI. ALSINA,. por. las. múltiples. sugerencias, críticas y discusiones en relación contenido. de. esta. memoria, del. cual he. al. podido. aprender muchas cosas. - Al Profesor. ENRIC TRILLAS, por ser el primero. que. me impulsó y animo a la realización de este trabajo. - A. todos. Ciencias. los. componentes. Matemáticas. e. del. Departamento de. Informática. de. la. Universidad de las Islas Baleares, especialmente los Profesores: NADAL BATLE, TERESA RIERA MIRO,. y. a. los. profesores. de. la. y. a. JOSÉ. Cátedra. de. Matemáticas de la E.U. de Profesorado de E.G.B.. de. la misma Universidad, por su apoyo y ayuda. durante. la realización de este trabajo. - A. todos. los. Matemáticas. y. componentes Estadística. del de. Arquitectura de Barcelona, por su amistad.. Departamento. de. la. de. E.T.S.. colaboración. y.

(5) ÍNDICE Pág. Introducción CAPITULO I.. I Ternas de De Morgan generalizadas. 1. 1.1. Ternas de De Morgan asociativas. 2. 1.2. Ternas de De Morgan casi-aritméticas. 13. 1.3. Ternas de De Morgan de agregación. 22. 1.4. Ternas de De Morgan asociativas intermedias. 42. 1.5. Ternas de De Morgan mixtas. 47. CAPITULO II. La propiedad de. absorción en. las ternas de. De Morgan generalizadas. 51. 2.1. La propiedad de absorción en las principales ternas de De Morgan generalizadas 2.2. La propiedad de. 51. absorción en las ternas de De. Morgan. mixtas. 54. 2.3. Las propiedades de sub-absorción y super-absorción. en. las ternas de De Morgan mixtas. CAPITULO. III. La propiedad. distributiva. 58. en. las. ternas. de De Morgan generalizadas. 62. 3.1. La propiedas distributiva en las principales ternas de De Morgan generalizadas 3.2. La propiedad distibutiva en las ternas de. 62 De. Morgan.

(6) CAPITULO IV.. La propiedad correspondiente a (ATIB)U(AnBC)=A en las ternas de De Morgan generalizadas. 4.1. Estudio. de la. ecuación:. (X*Y)A(X*N(Y))=h(X) en las. principales ternas de De Morgan generalizadas 4.2. Estudio de. la. ecuación:. 89. (X*Y)A(X*N(Y))=h(X) en las. ternas de De Morgan mixtas. CAPITULO V.. 88. 95. Aplicaciones a la teoría de conjuntos difusos. 124. 5.1. Entropías inducidas por ternas de De Morgan generalizadas....124 5.2. Matrices y operadores de indistinguibilidad inducidos por ternas de De Morgan generalizadas 5.3. Casi-implicaciones inducidas por. 132 las ternas de De Morgan. de agregación 5.4. Relaciones borrosas inducidas. 146 por las principales ternas. de De Morgan generalizadas REFERENCIAS. 158 ,. 163.

(7) INTRODUCCIÓN.. Los orígenes de la Lógica Matemática ó Álgebra de la Lógica se sitúan en el trabajo de G. Boole "The Mathematical Analysis of Logic" (Mac Millan, Barclay £ Mac Millan, Cambridge, 1847). Con la aportación de Boole se llegan a construir los sistemas formales necesarios para deducir los teoremas de la lógica a través de procedimientos puramente algebraicos. Así al dotar a la Lógica de un instrumento algebraico aparecen las Algebras de Boole. que modelizan la Lógica Clásica, y. todas las. variaciones que de ésta han ido surgiendo, han dado lugar a nuevas estructuras algebraicas. De la Lógica Intuicionista nacen las Algebras de Heyting; de la Lógica Polivalente. de. Luckasiewicz. nacen. las. álgebras de De Morgan, etc., teniendo así la posibilidad de hacer corresponder a cada Lógica una estructura característica. Todas las estructuras citadas que se enmarcan dentro de la Lógica Clásica ó Booleana tienen como estructura básica la de retículo, no ocurre lo mismo con todas y cada una de las estructuras que se derivan de la Lógica Polivalente. La teoría de Conjuntos Difusos (Zadeh, 1965] , que resulta ser en cierto sentido una generalización de la teoría de Conjuntos Clásicos, permite utilizar operadores conjunción y disyunción con los que ya no se. mantiene. la. estructura. reticular,. consiguiéndose. estructuras. algebraicas más flexibles; la estructura básica que se mantiene con estos conectivos (junto con el complementario definido por medio de funciones de negación fuerte) es la llamada Terna de De Morgan. Desde el trabajo de Zadeh que dio origen a la teoría de los Conjuntos. I.

(8) difusos, han ido apareciendo los trabajos de [R. Bellman y M. Giertz, 1973], [E. Trillas, 1979, 1980] , [c. Alsina, 198oJ , [ F . Esteva, 1981J , [C. Alsina, E. Trillas y L. Valverde, 1982, 1983J , [T. Riera, 1978] , ¡G. Mayor, 1984J , entre otros. Tomando como punto de partida las citadas ternas de De Morgan en esta memoria se presenta un estudio de las ternas, aquí introducidas y llamadas. "Ternas. de. De. Morgan. Generalizadas".. Estas. han. sido. construidas con la combinación de distintos operadores, como son las t-normas, t-conormas, funciones de agregación, medias casi-aritmeticas y las funciones Le, que en algún sentido genralizan los conectivos "y" y "o", junto con una negación fuerte que generaliza el "no". La memoria consta de cinco capítulos. En el capítulo. I nos. ocupamos, en distintas secciones, de la introducción de los diferentes tipos de ternas de De Morgan Generalizadas, así como de algunas propiedades que resultan de interés y del estudio de los automorfismos entre cada una de las clases de las citadas ternas. Además, en cada una de las secciones aparecen los conceptos básicos necesarios para el desarrollo de las mismas, y del trabajo de toda la memoria. El capítulo II está dedicado al. estudio de la propiedad de. absorción de la teoría de Conjuntos Clásicos en las ternas de De Morgan Generalizadas; dicho trabajo se divide en dos secciones, la primera resume el estudio de la propiedad citada sobre las Principales ternas de De Morgan Generalizadas, y la segunda sobre las llamadas ternas de De Morgan Mixtas. La última sección del capítulo, que en cierto sentido completa las anteriores recoge los resultados obtenidos al. considerar las. propiedades. (desigualdades). de. sub-absorción. y. super-absorción que se deducen de la propiedad de absorción de las dos secciones anteriores. II.

(9) En el capítulo III se estudia la propiedad distributiva en las ternas de De Morgan Generalizadas; dicho trabajo se presenta en dos secciones con el mismo criterio del capítulo anterior, aunque el número de resultados excede en mucho a los del segundo capítulo. El capítulo IV presenta un amplio estudio de la conocida relación: (AnB)U(AOB )=A de la teoría de los Conjuntos Clásicos, en las ternas de De Morgan Generalizadas; tomando como punto de partida el trabajo de C. Alsina (1985), y la introducción de un nuevo lema que resulta ser básico en el desarrollo de todo el capítulo. En el capítulo V se lleva a cabo la "interpretación" a la luz de las estructuras estudiadas, de conceptos que hacen referencia a la teoría de Conjuntos Difusos, como son el de Entropía, Métricas, Indistinguibülidad,. Casi-implicaciones. y. Relaciones. Borrosas.. El. trabajo de éste capítulo se divide en cuatro secciones, en la primera de ellas nos ocupamos de definir. entropías. con. algunos. de. los. operadores introducidos en el primer capítulo. En la segunda sección se agrupa el estudio de las métricas con él de los. operadores de. Indsitinguibilidad, por la relación que existe entre ellos (E. Trillas, 19 82* . En. la. tercera. sección. aparece. un. estudio. sobre. las. Casi-implicaciones, introducidas en dicha sección y termina con una referencia a- la principal regla de inferencia como es el Modus Ponens. En la cuarta y última sección nos ocupamos de la introducción y estudio de las relaciones borrosas, cuya línea de trabajo a seguir se basa en la definición de diferentes tipos especiales, aunque análogos, de producto de matrices, y su posterior desarrollo en función de las propiedades de las distintas relaciones a estudio. La mayor parte de los resultados obtenidos lo han sido gracias a la resolución de un gran número de ecuaciones funcionales, técnica. III.

(10) ésta que destaca en toda la memoria. Termina la memoria con una bibliografía que recoge los articulos y libros utilizados en el desarrollo de nuestro trabajo.. IV.

(11) CAPITULO I. TERNAS DE DE MORGAN GENERALIZADAS. En la teoría. de. conjuntos. difusos. son. ya bien conocidas. las. llamadas ternas de De Morgan (T,S,n); donde T es una t-norma, S es una t-conorma y n una negación fuerte tales que T=noSo(nxn), y que definen respectivamente. lo. conectivos. lógicos. -conjunción,. disyunción. y. negación-, como se indica (APB)(x)=T(A(x),B(x)), (AUB)(x)=S(A(x),B(x)) y (~IA)(x)=n(A(x)). [11]. Cabe destacar que las únicas ternas de De Mor. gan que conservan la estructura de retículo distributivo son. las. del. tipo (Mín., Max., n) siendo n una negación fuerte cualquiera [8A].. En. general, las ternas de De Morgan aparecen al prescindir de la propiedad distributiva, de la lista de axiomas de Bellman-Giertz [14], que. sin. embargo caracterizan al par Mín.-Max. La negación restablece el. nexo. de unión entre los citados conectivos u operaciones definidas sobre el intervalo [o,l], vía las leyes de De Morgan clásicas. Los amplios estudios ya realizados con este tipo de ternas,. nos. han servido como punto de partida para definir con otros operadores , ya conocidos difusos,. en. de forma. la amplía bibliografía de semejante y. la teoría. de. en un sentido más amplio. conjuntos las. aquí. llamadas "ternas de De Morgan Generalizadas". En las. distintas. secciones. de. este. capítulo,. incluimos. preliminares necesarios para el estudio de las diferentes considerar. Estudiamos, en cada caso, propiedades. ternas. los a. básicas de los o-. peradores "tratados; centrando nuestro interés en torno a los posibles automorfismos definidos sobre cada una de estas ternas en el intervalo. 1.

(12) [0,lj , donde nos han sido de gran ayuda los trabajos de (F. Esteva, 1981). En lo que sigue indicamos por l=[0,l) .. 1.1. Ternas de De Morgan Asociativas. Iniciamos. esta. sección. recordando. los. axiomas. que. usaron. Bellman-Giertz (1973) como punto de partida en sus trabajos sobre conectivos difusos. Así, sean F,G:IxI. »I funciones que satisfacen. las siguientes propiedades: i.. Asociatividad: F(x,F(y,z))=F(F(x,y),z), G(x,G(y,z))=G(G(x,y),z);. ii.. Conmutatividad: F(x,y )=F(y,x), G(x,y)=G(y,x);. iii.. Monotonía: si x^x' entonces F(x,y)^ F(x',y), G(x,y) 4 G(x',y);. iv.. Si x<x', entonces F(x,x) < F(x,x'), G(x,x) < G(x,x* );. v.. F(l,l)=l, G(0,0)=0;. vi.. F(x,y)^ Mín.(x,y),. vii.. F y G son funciones de variables continuas;. G(x,y) ^.Máx. (x,y);. viii. Distributividad: F(x,G(y,z))=G(F(x,y),F(x,z)), G(x,F(y,z))=F(G(x,y),G(x,z));. [14] .. Entonces F y G definen en P(X) la intersección y la unión de la ÍS.. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. _ _ _ _ _. forma (AnB)(x)=F(A(x),B(x)), /-s_,. ^-. /\«. *v». (AUB)(x)=G(A(x),B(x)); Pero inmediatamente se demostró que la distributividad de F y G es la condición esencial para obtener el par F=Mín. y G=Máx., como ya se ha citado. Por ello en la definición de otros conectivos diferentes a los clásicos Mín.-Máx. debía prescindirse de la distributividad. Como ya hemos hecho referencia en la introducción general de este capítulo; los conectivos intersección propuestos como una alternativa. 2.

(13) al conectivo Mín. se han considerado generados, como tratamos en esta sección, por funciones T de Ixl en I, que satisfacen los siguientes axiomas: i.. Asociatividad: T(x,T(y,z))=T(T(x,y),z). ii.. Conmutatividad: T(x,y)=T(y,x). iii. Monotonía: iv.. Si x^x 1 e y¿y' entonces T(x,y)^T(x',y').. T(x,l)=T(l,x)=x. Por otra parte las funciones propuestas, en esta sección que. generan reuniones satisfacen: i.. Asociatividad: S(x,S(y,z))=S(S(x,y) ,z).. ii.. Conmutatividad: S(x,y)=S(y,x).. iii. Monotonía: Si x£x' e iv.. y^y', entonces S(x,y)^ S(x',y')•. S(x,0)=S(0,x)=x. Las funciones T y S, ya citadas, reciben el nombre respectivamente. de t-norma y de t-conorma (Ver Schweizer-Sklar, 1983). De estas definiciones se deducen inmediatamente las siguientes propiedades: v.. T(x,y)^.Mín.(x,y);. v'.. Máx.(x,y)^.S(x,y);. vi.. T(x,0)=0;. vi' . S(x,T)=.1 y Una t-norma T (t-conorma S) decimos que es estricta si es continua y estrictamente creciente: T(x,y)<T(x,y>) (resp. S(x,y)>S(x,y>), si x>0, y<y« (resp. si x<l, y>y • ) Una t-norma T (t-conorma S) decimos que es Arquímediana si es continua y T(x,x) < x. (resp. S(x,x) > x ) , para todo x de (0,1). Toda. t-norma (t-conorma) estricta es Arquímediana.. 3.

(14) Un resultado fundamental es el siguiente teorema de representación dado, por C.H. Ling (1965) [57].. Teorema 1.1.1. Una t-norma continua T es Arquimediana sí, y sólo sí, existe una función continua y estrictamente decreciente t de I en [0,+ oo] con t(l)=0 tal que T(x,y)=t("l)(t(x)+t(y)) para todo x e y en I, donde t (-1) indica la función pseudo-inversa de t y está definida por. ( t - 1 (x), si x e [o,t(o)]. 0, en los demás casos.. v. Análogamente tenemos. Teorema 1.1.2. Una t-conorma continua S es Arquimediana sí, y sólo sí, existe una función continua y estrictamente creciente s de I en. [0,+co]. con s(0)=0 tal que S(x,y)=s(_1)(s(x)+s(y)) para todo x e y en I. (Es sí -1 * (x)=s-*(x), si xe[0,s(U], s í_11 (x)=l, en los demás casos). Tales funciones t y s se llaman generadores aditivos de la t-norma y. de. la. t-conorma,. y. son. únicos. salvo. constantes. positivas. multiplicativas. En la tabla que sigue aparecen las t-normas (t-conormas) continuas y. Arquimedianas,. -con. sus. considerados por diversos. generadores autores en la. aditivos, literatura. que de. han. sido. conjuntos. difusos.. 4.

(15) # T. S. W(x,y)=Máx.(x+y-1,0). t. t. W*(x,y)=Mín.(x+y,l). 7T(x»y)=x-y. ~TT *(x,y)=x+y-xy. t. w. P. s. (x)=l-x. (x)=-lnx. s. t 1+bxy. ). S (x,y)=Mín.(l,(x\y*)1/A. a. g. (y. v. (sX-l)(sy-l) T (x,y)=log ( S. s-1. So(x,y)=logo( s s. >. , ¿ > 1. s.(x)=x. i. o. , A > 1.. s 1. X. (x)-. (1.1.5) 1-x. s-1. +1). ts(x)-logs(. (1.1.4). x. t (x)=. (s1"'X-l)(81~y-l} +1). 1-x. 1-X. 1-xy. (1.1.3). Z. (b>-l). t (x)=(l-x). ) _. x+y-xy. S. ). (1.1.2). s (x)=log X. x+y-2xy. x.y T (x / ) i Q ^x,y^. (x)=-ln(l-x). bx-1. (x)-log ( a > 0). l A. P. a-(a-l)x. S (x / ) -. T x ( x , y ) « l - M £ n . ( l , [(1-x) + (l-y)*J. (1.1.1). =X. w. (b-l)(xy+x+y) T ( x . v) - i "" a+(l-a)(x+y-xy). S. x. s -1. s-1. ). B(x)-logs(. 1_x. s. ) -1. (1.1.6). s > 0, sjtl. (Tabla 1.1 tn.

(16) El par (T,S) que aparece en (1.1.1), no es otra cosa que los conectivos internos de Bochvar, ó los débiles de Kleene, fueron considerados además por Zadeh 1974, así como los de (1.1.2). Hamacher 1976 introduce los pares (1.1.3) y (1.1.5) y Yager 1980 estudia la familia (1.1.4). La otra familia que aparece (1.1.6) es usada en el marco de las llamadas Fuzzy 0~-álgebras (Klement, 1981), cuyo interés reside en que fue utilizada por (Frank, 1979) para demostrar que la ecuación T(x,y)+S(x,y)=x+y tiene como únicas soluciones Arquimedianas los pares (1.1.1), (1.1.2) y (1.1.6). Si H E(H). el. es. una. conjunto. t-norma de. los. continua. (t-conorma),. indicamos. elementos. indempotentes. por. H,. por i.e.,. E(H) = {xe.I / H(x,x)=xl. En general, E(H) es cerrado respecto de la topología usual, por lo que I-E(H) será abierto y por tanto, siempre que este conjunto no numerable. de. sea vacio,. intervalos. abiertos. existirá disjuntos. una. familia. finita. í(a.,b.)V .. ó. con. a.,b,£E(H) y tales que. I-E(H)=.yj(a.,bi) siendo la restricción de H a cada uno de los cuadrados. (a. ,b. j. un. semigrupo arquimediano. En general una t-norma admite la siguiente representación:. Teorema 1.1.3. (Paalman de Miranda, 1970). Sea T una t-norma continua tal que I-E(T)=.j-í(a.,b.). Existe una familia de funciones continuas y X€ J. 1. 1. estrictamente decrecientes t. de (a.,b.) en R , ieJ, con t. (b. )=0, i. 1 1. 1 1. tal que t(_1)(t.(x)+t.(y)),. si (x,yjé[a.,b.^. 2. T(x,y)= Mín.(x,y),. en cualquier otro caso.. 6.

(17) Análogamente se tiene el. Teorema 1.1.4. Sea S una t-conorma tal que I-E(S)=. V.(a.,b.). Existe M íej. i. i. una familia de funciones continuas y estrictamente crecientes si de (a.1. 1,b. )&. R ,. i € J, con 1s.1 (a. )=0, tal que s¿. (s (x)+s (y)), si (x,y). j"a ,b "\'. S(x,y)= < Máx.(x,y),. en cualquier otro caso.. Después de las referencias hechas hasta ahora para los conectivos unión e intersección, haremos referencia al complementario y a las posibles relaciones entre ellos. Zadeh, para definir. el complementario. de. un. conjunto. también se limita a extender el caso clásico, es decir si A. difuso. indica el. complementario de A, entonces A(x)=l-A(x),. para todo x en I. Sin embargo Bellman y Giertz (1973) y Trillas (1979), hacen notar que a través de una involución decreciente n de I en sí mismo, tal que n(0)=l, y n(l)=0, se tiene que con el complementario definido por A (x)=n(A(x)), (P(x),n,U,n) es un álgebra de De Morgan. rw. r+*. *\-. Así pues, denominaremos una función de negación fuerte n a una función continua involutiva y decreciente. con n(0)=l. Un ejemplo. típico es n=l-j que coincide con el complemento propuesto por Zadeh. Otros ejemplos típicos en la teoría de conjuntos difusos son n(x)= \j 1-x. (negación circular). 1-x n (x)=. , s >-1. (negación de Sugeno). 1+sx Por otra parte si n es una función de negación fuerte podemos considerar la siguiente partición de I. 7.

(18) N =(xe I: n(x) > x I n ' ' P =|xel: n(x)< xl n ' ' F =ls€ I: n(s)=s I n ' ' llamando a N el conjunto de los elementos negativos, a P sitivos. el de los po. y a s el punto de simetría de n. (Trillas, 1979) estudió. la. caracterización de estas funciones demostrando el siguiente: Teorema 1.1.5. Sea n una función de I en sí mismo, es una negación fuerte sí, y. sólo. si, existe. una. función. trictamente creciente g de I en [0,+ oo) con g(0)=0 =g. función. de. continua y estal. que. n(x) =. (g(l)-g(x)) para todo x en I. Tal función g es llamada generador aditivo de la negación. A dife-. rencia. de lo que pasa con los generadores de una t-norma, los genera-. dores de una negación no son únicos. La negación restablece el nexo de unión entre las t-normas y las t-conormas. Así pues. Definición 1.1.1. Sean T una t-norma, S una t-conorma y n una. función. de negación fuerte, T y S son n-duales sí, y sólo sí, To(nxn)=noS, es decir, sí y sólo sí, T(n(x),n(y))=n(S(x,y)) para todo x e y en I. Si T y S son n-duales,. entonces (T,S,n) es llamada Terna. de. De. Morgan. (Klement, 1981). Cada una de las parejas de t-normas y t-conormas que aparecen. en. la tabla 1.1., junto con n=l-j, son ejemplos de ternas de De Morgan.. Teorema 1.1.6. Si t es un generador aditivo de una t-norma Arquimediana y n es una negación fuerte, entonces t'=ton genera aditivamente una tconorma S que es n-dual de T.. Análogamente. si. S. es. una. t-conorma. 8.

(19) Arquimediana generada por s y n es una negación fuerte, entonces s'=son genera aditivamente una t-norma T que es n-dual de S. C 9 1-. Definición 1.1.2. Una aplicación f de I en sí mismo, es un morfismo entre las ternas (T ,S ,n ) y (T ,S ,n ) si verifica (i). f(T (x,y))=T (f(x),f(y)). (ii). f(n1(x))=n2(f(x)).. Cabe observar que de (i) y (ii) se deduce (iii) f(S1(x,y))=S2(f(x),f(y)) así como que, (ii) y (iii) implican (i). C 35 3.. Si f es biyectiva, f es isomorfismo. Y si, además f está definida de (I;T,S,n) en sí mismo es automorfismo.. Definición 1.1.3. Una aplicación f de I en sí mismo es un automorfismo restringido a la diagonal de (I;T,T*,n) si verifica (i). f, biyectiva;. (ii) f(T(x,x))=T(f(x),f(x)); (iii) f(n(x))=n(f(x)), para todo x en I C 20 1.. En el resto de la sección analizamos automorfismos restringidos a la diagonal para ternas de De Morgan fundamentales.. Teorema 1.1.7. Sea T la t-norma de Luckasiewicz. Entonces la única aplicación. monótona. f,. definida. de. I. en. sí. mismo,. que. es un. automorfismo restringido a la diagonal de (I;T,T*,l-j) es la identidad C 20 i.:. 9.

(20) Demostración. Supongamos que la función f verifica las condiciones (ii) y (iii) de la definición 1.1.3, entonces se tiene (i). f(Máx.(2x-l,0))=MáxX2f(x)-l,0). (ii). f(l-x)=l-f(x). y. para todo x en I. Si x>/£, la ecuación de (i) se reduce a la siguiente f(2x-l)=2f(x)-l,. (1.1.7). de donde, con x=l, se tiene f(l)=l; y de (ii) con x=l, se deduce f(0)=0. En (1.1.7), hacemos u=2x-l, luego u+1 f(u)+l f( )= 2. (1.1.8). 2. para todo u en (0,1^ , y al ser f continua, la ecuación (1.1.8) se verifica también para u=0.. ( m Sea M=. n. 1. | m=0,l,2, ...,2 ; n ^ l / el conjunto de los números. 2n racionales binarios de I.. J. Por inducción demostraremos f(. )= 2n. . Así, para n=l, tenemos 2n. f(0)=0, f(l)=l y fácilmente de (1.1.8), tenemos f{%)=%. m Suponemos cierto para n, que f(. m )=. 2n. con m=0,l,2,...,2 . 2n. Demostramos para n+1. Distinguimos dos casos: a) Si 2 ¿ m<<2. . Considerando. u+1 m m-2 = —> entonces u= 2 2n+1 2n. que. está. en I, luego de (1.1.8) tenemos. 10.

(21) m-2 n f( f(. m-2 n )+l. +1. 2°. 2n. 2. 2. r) =. 2n+l. 2n+l. b) Si 0 4 m < 2 . De la segunda condición se tiene m f(. r)=l-f(l 2 n+l. ~n+l m 2 -m , ) * l-( r )=l-f ( n+l n+l ,#. 2 2. En (*), se tiene en cuenta (a), puesto que 2. „n+l 2 -m 7— )= 2 n+l. m r 2 n+l. - m > 2 . De (a) y (b). podemos afirmar que: m f(. m )=. 2n. m ¿para todo. de M. 2n. 2n. El conjunto M es denso en I, y de la continuidad de f, se deduce que f(x)=x, para todo x en I, es decir. f=\.. Evidentemente la función identidad verifica (i) y (ii).. Teorema 1.1.8. Sea T=Mín. Entonces una función f definida de I en sí mismo es un automorfismo restringido a la diagonal de (I;T,T*,l-j) sí, y sólo sí, f es biyectiva. creciente y simétrica respecto de V2 C 20 J.. Teorema 1.1.9. Sea T=Z. Entonces una función f definida de. I en sí. mismo es un automorfismo restringido a la diagonal de (I;Z,Z*,n) sí, y sólo sí, f es biyectiva con f(0)=0, f(l)=l y simétrica respecto de Vz. l 20 ].. Teorema 1.1.10. Sea T una t-norma estricta. Entonces una aplicación f definida. de I en sí. mismo,. es. un. automorfismo. diagonal de (I;T,T*,l-j) sí, y sólo sí, f=t o h o t. restringido. a. la. y es simétrica. 11.

(22) respecto de Vz\ siendo t el generador aditivo de la t-norma y h una aplicación definida de R. en sí mismo, biyectiva y creciente, definida. por:. f(x) ,. si xe[3£,i] ;. Cf(2n x) si x é h(x) =. 2 ,n+l. f<. donde. ), si xe ( 2 ,n+l. n. 2n. ,2 n+1 ],. \ es una función arbitraria definida de [^,1]. biyectiva y creciente, con j(X)=. Teorema. 2n+l. 1.1.11.. Sea. T. una. en sí mismo,. Y(D/2, C 20 ") .. t-norma. Arquimediana.. Entonces. una. aplicación f, definida de I en sí mismo que no se anula fuera del cero, es un automorfismo restringido a la diagonal de (I,T,T*,l-j) sí, y sólo sí, f=t o got, y es simétrica respecto de X', siendo t el generador aditivo de la t-norma g una aplicación de I en. [o,kj;. (k^.1), biyectiva y creciente, definida por:. í <P<x>. g(x)= <. si X < x £ 1;. f(2 n x) si. r¿x4 2n+l. donde T es una función arbitraria de VX,Í\. ; n£1 n 2. en (k/2,k3 , biyectiva y. creciente.. 12.

(23) 1.2.. Ternas de De Morgan Casi-Aritméticas.. En esta sección damos en primer lugar la definición de una casi-aritmética M,. citando. algunas. de sus. media. propiedades inmediatas.. Pasando a construir su dual M*, vía una negación fuerte n. Estudiamos otras propiedades de dichas medias, así. como la relación que existe. entre los generadores de M y M*. Por último definimos las ternas De Morgan Casi-Aritméticas y estudiamos los automorfismos de ternas,. de. dichas. incluyendo una tabla relativa a las ternas de De Morgan Casi^. -Aritméticas. definidas. por. las. medias. casi-aritméticas más usua-. les.. Definición 1.2.1. Una. media. casi-aritmética. en. I es una operación. binaria M en I de la forma: M(x,y)=f"1(p(f(x)+qf(y)) para todo x, y en I, con p,q>0,. p+q=l. y. f: I. > [a,b]CR biyecti^. va, continua y estrictamente monótona, llamada generador de M. Indicamos por M(f,p) la media casi-aritmética M cuyo generador es f y cuyo parámetro es p. Así mismo, denominamos (J¿ al conjunto de las medias casi-aritméticas.. Las medias casi-aritméticas son idempotentes, i.e., M(x,x)=x para todo x de I, conmutativas únicamente en el caso p=q=/£, están entre el Mín. y Max., Mín<M<Máx., estrictamente crecientes en cada. variable. y vienen caracterizadas por la ecuación de bisimetría (Aczél, 1966): M(M(x,y),M(z,t))=M(M(x,z),M(y,t))= En la siguiente tabla citamos los ejemplos más clásicos. de. las. funciones del conjunto. 13.

(24) Generador, f. M.. Nombre. f(x)=log x, x> 0. M(x,y) = |x7y , p=q. f(x)=ax+b, aÔ. M(x,y)=. Media geométrica. x+y , p=q. Media aritmética. , p=q. Media armónica. 2 2xy f(x)=l/x, x > 0. M(x,y)= x+y. .. 1 k2+y2. f(x)=x2. Media de potencias V. 2. f(x)=log x, x >0. M(x,y)=xP. yq.. Media geométrica ponderada. f(x)=ax+b, aÔ. M(x,y)=px+qy. Media aritmética ponderada. f (x)=l/x, x >0. x-y M(x,y)= . . py+qx. Media armónica ponderada. f(x)=xm, m é R. »«/ \ im AJX / m+qym M(x,y)=. Media de potencias ponderada. (Tabla 1.2.1). Definición 1.2.2. Si M €.. y n es una negación fuerte sobre I,. llamamos n-dual de M, a la función M*(x,y)=n(M(n(x),n(y))), para todo x e y en I. Si M viene definida por el par (f,p), indicamos por (f*,p*) el generador y el parámetro de M*.. Teorema 1.2.1. Sea M(f,p) una media casi-aritmética y n una negación fuerte sobre I. Entonces M*, es una media casi-aritmética de la forma M*(x,y)=f*-1(p*-f*(x)+q*-f*(y)) sí, y sólo sí, f*(x)=a^f(n(x))+b, para todo x en I y a£0, b números reales.. 14.

(25) Demostración. Si n(M(n(x),n(y)))=f*"i(p*f*(x)+q*f*(y)), se tiene n(f"1(pf(n(x))+qf(n(y))))=f*-1(p*f*(x)+q*f*(y)), de donde, haciendo f(n(x))=u y f(n(y))=v, obtenemos (f*onof"1)(pu+qv)=p*(f*onef"1)(u)+q*(f*on<>f"1)(v), cuya única solución (Aczél, 1966) es (f*0nof~1)(u)=a.u +b, -aj=0, b e R y p=p* entonces f*(x)=af(n(x))+b, para todo x en I. Esta función f* es monótona y continua al serlo f.. Teorema 1.2.2. Sean M(f,p) una media casi-aritmética y M* su n-dual. Entonces M=M* sí, y sólo sí, n(x)=f. (b-f(x)), para todo x en I, donde. b=f(0)+f(l).y f(0), f(l) constantes.. Demostración. Del teorema anterior, si M=M*, tenemos f_1(pf(x)+qf(y))=nf_1(pf(n(x))+qf(n(y))), de donde, con f(x)=u e f(y)=v, se tiene (fonof- )(pu+qv)=p(fonof~ )(u)+q(fonof~ )(v), cuya única solución (Aczél, 1966) es: f(n(x))=a-f(x)+b, a £0, bfcR, para todo x de I, de donde n(x)=f_1(af(x)+b). Al. ser. n. negación. fuerte,. fácilmente. se. deduce:. a=-l. y. b=f(0)+f(l). Por tanto, n(x)=f_1(b-f(x)),. b=f(0)+f(l). para todo x en I.. 15.

(26) Ejemplos 1.2.1. x+y 1. Si M(x,y)=. , (f(x)=ax+b, aÔ), entonces n(x)=l-x, negación típica 2. 2. Si M(x,y)= \/px +qy , (f(x)=x , m €. R ) , entonces n(x)=\/ 1-x , negación m-circular. 3. Si M (x, y) =l/x . y, (f(x)=x , p=q=^), entonces n(x)= 1-x , negación circular ( 84 "].. Definición 1.2.3.. Sea M g J ^ u n a media casi-aritmética y g una función. definida de I en sí mismo,. biyectiva,. continua. y. estrictamente. monótona. Llamamos autoconjugada de M mediante g a M =g o Mo(gxg).. Teorema. 1.2.3.. Sea. M(f,p). una. media. casi-aritmética. y. M. su. autoconjugada mediante g, siendo g monótona en el mismo sentido que la función f. Entonces: (i) px+qy ^Ms(x,y) ^ Máx(x.y), para todo x e y en I sí, y sólo sí, g=f p h, donde h es una función convexa, (ii) Mín (x,y) 4. Mg(x,y) ^ px+qy, para todo x e y en I sí, y sólo sí, g=f o h, donde h es una función cóncava C 79 Q.. Demostración. Suponemos f y g crecientes, de modo análogo se resuelve si f y g decrecientes. De (i), componiendo con g, se obtiene. g(px+qy)^f-1(pf(g(x))+qf(g(y)))41g(Máx(x,y)), y llamando h=f0g, se sigue h(px+qy ),£ p.h(x)+qh(y)^ h(Máx(x,y)), de donde, h convexa. De forma semejante se demuestra (ii).. 16.

(27) cr. Teorema. 1.2.4.. Sea. M(f,p). una. media. casi-aritmética. y. M. su. autoconjugada mediante g, siendo g monótona en sentido contrario que el de la función f. Entonces: (i) px+qy ,£ Mg(x,y) ^ Máx(x.y), para todo x e y en I sí, y sólo sí, g=f o h, donde h es una función cóncava, (ii) Míníx.y)^: Mg(x,y) ^r px+qy, para todo x e y en I sí, y sólo sí, g=f o h, donde h es una función convexa. Teorema 1.2.5. Sea M(f,p) una media casi-aritmética y sea M. la. autoconjugada de M, mediante g. Entonces: (i) Si px+qy ^ M (x,y) ^ Máx(x.y), para todo x e y en I, entonces M =M'(r,p'), i.e., M g eJ¿sí, y sólo sí, r(x)=oh(x)+d, para todo x en I, donde cÔ y d son números reales, fog=h y p=p'. (ii) Si Mín(x.y) ^ M (x,y) ^ px+qy, para todo x e y en I, entonces Mg=M'(r',p"), i.e. M 8 e cJ6. sí y sólo si, r" (x)=a • h(x)+b, para todo x en I, donde afO, b números reales, fog=h y p=p".. Demostración. El razonamiento a seguir para resolver. (i) y (ii) es. similar, por lo que sólo desarrollamos el primero. Así pues, en (i) si M =M'(r,p'), tenemos r(g"1(M(g(x),g(y)))=p!r(x)+qlr(y), de donde (rog_1e f"1)(pf(g(x))+qf(g(y)))=p'.r(x)+q:r(y), y sí fog=h, se sigue (roh~ )(ph(x)+qh(y))=p'.r(x)+q'jr(y), llamando: m=r0h. , h(x)=u y h(y)=v, se tiene m(pu+qv)=pim(u)+q'.m(v),. cuya solución (Aczél, 1966), es. 17.

(28) m(u)=cu+d, C;¿0, d£R, p=p' y q=q' . Por tanto, m(u)=r(h~ (u))=r(x)=c.h(x)+d, c¡¿0, d€R. y p=p',. para todo x en I.. Definición 1.2.4. Una aplicación h de I en sí mismo es un automorfismo de (I;M,M*,n) si es biyectiva y verifica (i). h(M(x,y))=M(h(x),h(y)). (ii). h(n(x))=n(h(x)),. para todo x e y en I. Cabe observar que de (i) y (ii) se deduce (iii) H(M*(x,y)J=M*(h(x),h(y))f así como que, (ii) y (iii) implican (i).. Proposición 1.2.1. Cualquier aplicación biyectiva de I en sí mismo tal . que fon=nof sobre P , es. un automorfismo restringido a la diagonal. de. (I;M,M*,n).. Teorema 1.2.6. Una aplicación h definida de I es sí mismo es un automorfismo de (I;M,M*,n) sí, y sólo sí, h(x)=f para todo x en I con a.f(s)+b=f(s), (n(s)=s),. (a.f(x)+b), aÔ, y. noh=hon sobre. beR, P. [25].. Demostración. Si. h. es. un automorfismo de. (I;M,M*,n), según. la. definición 1.2.4. de (i) se tiene h(f"1(p.f(x)+q.f(y)))=f~1(p.f(h(x))+q.f(h(y))), de donde, con f(x)=u (fohof para todo u. y. y. f(y)=v, resulta:. )(p.u+q.v)=p(fohof. )(u)+q(fohof )(v),. v en Im(f)CR"; cuya solución. (Aczél,1966) es:. 18.

(29) (fohof. )(u) = a.u b,. a;¿0, beR,. entonces h(x)=f_1(a.f(x)+b),. (1.2.1). para todo x en I. De x=s. la. segunda condición. de. la. definición. 1.2.4.. haciendo. (n(s)=s), tenemos: n(h(s))=h(n(s))=h(s),. de donde h(s)=s. Ahora, fijando x=s en (1.2.1.) s=h(s)=f_1(a.f(s)+b). ó. f(s)=a.f(s)+b.. Si noh=hon sobre I, también sobre P , P C I . n n Recíprocamente. Si h(x)=f. (a.f(x)+b), esta función h es biyectiva. al serlo f. Además, si hon=noh sobre P =noh. sobre. todo I. y h(s)=s, se deduce fácilmente que hon=. [ 59] .. Igualmente se comprueba que h. es morfismo, es decir,. h(M(x,y))=f"1((a.f(M(x,y))+b)=f"1(a.p.f(x)+a.q.f(y)+b), y M(h(x),h(y))=f"1p.f(h(x))+q.f(h(y)))=f"1(p.a.f(x)+p.b+q.a.f(y)+q.b)= =f~ (a.p.f(x)+a.q.f(y)+b), ambas expresiones. coinciden, como queríamos para todo x e y en I.. Teorema 1.2.7. Una aplicación h de I en sí mismo, es un automorfismo de (I;M,M*, 1-j ) sí y sólo sí, h(x)=f_1(a.f(x)+b) , a¿0, b e R ,. para. todo x de I y h simétrica respecto }£ [ 25 ] .. 19.

(30) Teorema 1.2.8. Una aplicación h de I en sí mismo es un automorfismo de (I,M,M*,n) sí, y sólo sí, 1. h(x)=f_1(cf(x)+d); cÔ, déR. 2. n(x)=(f"l gof)(x), para todo x de I. Siendo f el generador de M y g una función definida de Im(f)c R en sí mismo, biyectiva y decreciente, tal que verifica la ecuación (M. Kuzma, 1968) g(cy+d)=cg(y)+d, para todo y en Im(f), 2 " y además es involutiva, i.e., g =^ C 25 ] .. Demostración. De la primera condición de la definición 1.2.4, si h es un automorfismo de (I;M,M*,n), se tiene h(f_1(pf(x)+qf(y)))=f~1(pf(h(x))+qf(h(y))), y sustituyendo f(x)=u y f(y)=v, obtenemos (f0hof"1)(pu+qv)=p(fohof~1)(u)+q(foh0f"1)(v), cuya solución (Aczél, 1966) es (fohof. )(u)=cu+d, c£0, deR,. para todo u en Im(f)=[a,b]. Entonces f(h(x))=c.f(x)+d, i.e., h(x)=f_1(cf(x)+d) para todo x en I. Puesto que la función h debe satisfacer la segunda condición de un automorfismo, i.e., h<?n=noh, tenemos f~1(cf(n(x))+d)=n(f"1(cf(x)+d)), y poniendo f(x)=y, se deduce c(fonof"1)(y)+d=(f,nof"1)(cy+d), llamando g=fe>nof. , como f está definida de I en. [a,bj = Im(f) e l ,. entonces g queda definida de [a,bj en sí mismo, y resulta, de la misma definición, que es biyectiva y decreciente.. 20.

(31) Por consiguiente g, debe satisfacer la ecuación g(cy+d)=cg(y)+d. (M. Kuzma, 1968). para todo y en £a,b}. Por otra parte, si g(y)=g(f(x))=(fanof. )f(x), concluímos que. n(x)=(f~o gof)(x) y al ser. n una negación fuerte, es involutiva, lo que implica que g. también lo sea, i.e., g =j. Vamos h(x)=f. a. ver. la. suficiencia,. es. decir,. si. las. funciones:. (cf(x)+d) y n(x)=(f ogof)(x), con g(cy+d)=cg(y)+d, para todo. y en [a,b~j y g = j , satisfacen las dos condiciones (i) y (ií). de la. definición 1.2.4, para que h sea un automorfismo de (I;M,M*,n). Así pues, h(M(x,y))=f"1[cf(M(x,y))+d]=f~1[cpf(x)+cqf(y)+d], y M(h(x),h(y))=f-1[pf(h(x))+qf(h(y))] =f_1[pcf(x)+pd+qcf(y)+qd] = =f. [cpf(x)+cqf(y)+dj, luego h(M(x,y))=M(h(x),h(y)). para todo x e y en I. Veamos la segunda condición h(n(x))=f_1[cf(n(x))+d] =f"1[cf(f"1(g(f(x))))+d]= f-1|cg(f(x))+d], y n(h(x))=f"1[g(f(h(x)))]=f"1[g(cf(x)+d)] , luego: h(n(x))=n(h(x)), para todo x en I, puesto que se verifica g(cf(x)+d)=cg(f(x))+d; 2 2 ' el que sea g =j, viene exigido al ser n = j. Como corolario de este teorema, la siguiente tabla nos muestra los diferentes automorfismos h de (I;M,M ,n), al considerar cada una de las medias casi-aritméticas de la tabla 1.2.1. Así,. 21.

(32) M. n. h. M(x,y)=\lx.y. x+y. n, cualquiera. h(x)=x f x, si h creciente. n cualquiera, si h cree.. h(x)=J. M(x,y)=. ( 1-x, si h decreciente n=l-j, si h decrec.. 2. 2xy M(x,y)=. h(x)=x. n, cualquiera. h(x)=x, si h creciente. n, cualquiera, si h cree.. 2 h(x)= 1-x , si h decreciente. n(x)=yl-x , si h decrec.. h(x)=x. n, cualquiera. h(x)= x, si h creciente. n cualquiera, si h cree.. h(x)=l-x, si h decreciente. n=l-j , si h decrec.. h(x)=x. n, cualquiera. h(x)=x, si h creciente. n cualquiera, si h cree.. h(x) = \/l-x , si h decrec.. , . m f, m ., , n(x)=í/1-x , si h decrec.. x+y 2 2 x +y M(x,y)= 2 M(x,y)= xP. y q. M(x,y)=px+qy xy M(x,y)= px+qy , ,m1 m m M(x,y)=. px +qy. (Tabla 1.2.2.). 1.3. Ternas de De Morgan de Agregación.. La introducción de las funciones de agregación en [0,l] (G. Mayor. 1984) responde a la idea de agrupar en una única definición no tan sólo las t-normas, t-conormas y ciertas medias, sino otros conectivos que se han utilizado en diversas áreas de aplicación de la teoría de conjuntos. difusos. [ 106] , tal. es. el. caso. de. los. conectivos:. "combinación lineal convexa de una t-norma y de una t-conorma".. 22.

(33) En primer lugar recordamos el concepto de estas funciones, junto con algunas propiedades básicas ya conocidas, y otras nuevas que se presentan dentro de los resultados. obtenidos. Cabe. destacar el. estudio de un sistema de ecuaciones, tratado ya en diversos campos a lo largo de la historia, y al que se llega. desde. cuestiones o. planteamientos diversos; como por ejemplo al plantearnos: caracterizar las k-negaciones (Fraile, A., Mayor, G. y Monserrat, M., 1985) ó ante la resolución de distintas ecuaciones funcionales, ó al ver cuando una media casi-aritmética define una función de agregación, etc.... Por último, nos ocupamos de los automorfismos de distintas ternas de De Morgan de Agregación.. Definición 1.3.1. Una función F. de Ixl en I es una función de. agregación sí verifica i.. F(x,0)=F(l,0).x, F(x,l)=(l-F(l,0))x+F(l,0).. ii.. Si x^.x' e y^y'. entonces F(x,y)^F(x',y').. iii. F es conmutativa: F(x,y)=F(y,x).. Ejemplos 1.3.1. (1) Cualquier t-norma (t-conorma) es una función de agregación. (2) Cualquier. función. de la forma: F=(l-k)T+kS,. donde. T. es. una. t-norma, S una t-conorma y k 61» Decimos que F es una combinación lineal convexa -de T y S de parámetro k (k=F(l,0)). (3) Funciones de la forma: F=So(TxS). ó. F=Tc(SxT),. siendo T t-norma y S t-conorma. Seguímos con el. 23.

(34) Teorema 1.3.1. (G. Mayor, 1984). Sea F una función de agregación, entonces (i). F es asociativa sí, y sólo sí, es una t-norma o una t-conorma;. (ii) F(l,0).Máx(x,y)«F(x,y) é(l-F(l ,0)). Min(x,y )+F(l ,0); (iii) F=Mín. (F=Máx.) sí, y sólo sí, F(1,0)=0 (F(4,0)=l) y F(x,x)=x, para todo x; (iv) F(x,x)=x, para todo x en I sí, y sólo sí, Mín. ó: F^.Máx. (v). F*(x,y)=l-F(l-x,l-y), es también una función de. agregación,. llamada 1-j dual de F.. La. transformación. de. F. en. F*. considerada. involutiva; la cual nos permite definir. en. es. decreciente. e. (f; Mín.,Máx.,*) una. álgebra de De Morgan, puesto que (p, Mín.,Máx.) con el orden usual, es un retículo distributivo con mínimo y máximo . ( p* es el conjunto de las funciones de agregación). En. general,. si. n. es. una. negación. fuerte. sobre. I,. podemos. considerar la función n-dual de F:F*(x,y)=n(F(n(x),n(y))), pero surge la pregunta: de si F* está enf' como en el caso de n=l-j. La respuesta a esta pregunta fue el origen de un trabajo, ya citado, de Fraile, A., Mayor, G. y Monserrat, M. (1985), del cual explícitamos la siguiente'.. Definición 1.3.2. A una negación fuerte n de I en sí mismo, tal que n(k-n(x))=(l-k)x+k. (1.3.1). para todo x en I y para un cierto k en (0,1) fijo, la llamamos k-negación. Se cumple n(k)=k. En esta definición se puede sustituir (1.3.1) por la siguiente expresión n(k-x)=(l-k)n(x)+k. 24.

(35) para todo x en I. (. 22 "] .. Proposición 1.3.1. Sea F una función de agregación con F(l,0)=k en (0,1) y n una negación fuerte. Entonces F*(x,y)=n(F(n(x),n(y))), para todo x e y en I, es una función de agregación con F*(l,0)=k sí, y sólo sí n es una k-negación. A las ternas. (F,F*,n) las llamamos. ternas. de. De. Morgan. de. Agregación.. En los teoremas siguientes intentamos dar una caracterización de las k-negaciones.. Proposición 1.3.2. Sea g una función continua y estrictamente monótona de I en sí mismo, que satisface el siguiente sistema g(x)+g(0)=2g(kx). (1.3.2). g(x)+g(l)=2g((l-k)x+k). (1.3.3). con g(0)+g(l)=2g(k), entonces n(x)=g. Teorema. 1.3.2.. Considerando. el. (l-g(x)) es una k-negación.. sistema. y. los. resultados. de. la. proposición anterior, se deduce (i).. Si k=1i, la k-negación es la 1-j.. ( i i ) . Si. k£/¿,. la. k-negación. queda. definida. por:. n(x)=g. 00. siendo g. =íf y f(x)= A Q ( ~v. )•. k. » Para. xÔ, con.(XOf < Ot1<Ot < .. . 4.a.. Demostración.. Sin. pérdida. de. (l-g(x)),. 00. generalidad. los x=. [To""?i. '. números enteros, y r(0)=0.. suponemos. g. creciente.. 25.

(36) Haciendo 1 =g. en el sistema de la proposición anterior se tiene el. siguiente f (-f4=k.(f(y);. (1.3.4). ^fl±I)=k+(l-k).f(y);. 0£y^l. (1.3.5). de donde (. f(y)=k-íf (2-y),. f(y)=k+(l-k).<P(2y-l),. si 0 ¿ y $ ^. (1.3.6). si ^ y < s l. (1.3.7). con f(0)=0, lf (1)=1 y f(^)=k. Este sistema de ecuaciones funcionales fue considerado por (De Rham, 1956-1957), usado por Dubins y Savage, y recientemente. por. (BillingisLey, 1983).. De (L.Tackacs, 1978) la solución del sistema (1.3.6), (1.3.7), si k=X es(f=ji de donde n=l-j, es decir es la /^-negación ó la negación típica. Por otra parte, si kjO£, la solución es: ^ oí ^ 1. ^ ( y ) = iib ( I ir ) 1 , k 0 < Ofn<a, ¿L O.. x> y. *°. < . . .«X .. e. ^¿o-^1" ' con. ... números enteros y <f?(0)=0.. La función y considerada, en el caso k4=J¿, converge para todo k de (0,1) y para cualesquiera números enteros O<£0£ ¿cX ¿. 0( .. .... Además es una función estrictamente creciente y continua en I, y W' (x)=0 casi para todo x, i.e., J es una función singular. A la vista de estos resultados tenemos:. Teorema 1.3.3. Sea n una k-negación sobre I, entonces n satisface el sistema g(x)+g(0)=2g(kx). (1.3.2). g(x)+g(l)=2g(k+(l-k)x). (1.3.3). 26.

(37) para todo x en I, con g(0)+g(l )=2g(k) y g una función continua y estrictamente. monótona sí, y sólo sí k=/£.. Demostración. Si n satisface el sistema (1.3.2), (1.3.3) se obtiene (l-2k).n(x)=l-2k. y. 2k-n(x)=n(x),. entonces se deduce k=}£. Por otra parte, si k=1i, el sistema para n será n(x)+l=2nff); n(x)=2n(iifi), el cuál tiene como única solución (G. Mayor, 1984) n=l-j, basta ver que n(-^-)=l. pT ; n ^ l y m=0,l,2, . . . ,2 . Evidentemente la función 1-j. satisface el sistema (1.3.2), (1.3.3).. A continuación nos planteamos ver que funciones de agregación F, están entre el Mín. y la media aritmética, la indicamos con M . En primer lugar la. Proposición 1.3.3. Si F es una función de agregación tal que Mín.^F^M " ". '. El. con F(l,0)=k, entonces F es idempotente y 0^k^}£.. Podemos encontrar una respuesta parcial a la pregunta anterior, si consideramos las funciones de agregación F de L.C.(T,T*) como vamos a definir.. Definición 1.3.3. Llamamos L.C.(T,T*) al conjunto de las combinaciones lineales convexas, definida por una t-norma T y su t-conorma n-dual T*. de la forma: (l-k)T+kT*, con k en (0,1). Ya podemos responder a la pregunta formulada con la. 27.

(38) Proposición 1.3.4. No existe una función de agregación de L.C.(T,T*), siendo T una t-norma estricta, T* su t-conorma, 1-j dual y kf%, tal que: Mín^.F^M .. Demostración. Si una función de agregación F de L.C.(T,T*) verificase: Mín.(x,y)^(l-k).T(x,y)+k T*(x,y)^M (x,y) di. por la proposición anterior tendríamos (l-k).T(x,x)+k-T*(x,x)=x para. todo. x. en. I.. Esta. ecuación. se. puede. expresar. como. (l-k)-T(x,x)+kT*(x,x)=(l-k)x+kx, i.e., (l-k)(T(x,x)-x))=k(x-T*(x,x)), 1-k de donde, llamando a=-^-—, resulta a+1 y en función de los generadores aditivos de T y de T*, se obtiene a[x-t_1(2t(x))] =(l-x)-t-1(2t(l-x)), llamando g(x)=t. (2t(x)) se sigue (l-x)-g(l-x)=a(x-g(x)),. y si ahora hacemos l-g=h, llegamos a la ecuación h(l-x)=a-h(x), de donde h(x)=h(l-(l-x))=a.h(l-x)=a2. h(x) 2 luego a =1, y como a£l, entonces a=-l; por tanto h(x)=0, para todo x en I, lo cual es absurdo. Ahora bien, si T es Arquimediana no estricta, y consideramos la negación. fuerte. asociada. a. dicha. t-norma,. n(x)=t~ (t(O)-t(x)),. tenemos:. Teorema 1.3.4. Sea F una función de agregación de L.C.(T,T*)i siendo T una t-norma Arquimediana y no estricta y T* la t-cohorma n-dual de T.. 28.

(39) Entonces para cada k en £o,/¿J existe una función F tal que: Mín¿FéM_. Demostración. Sí Mín.^F^M , de la proposición 1.3.3 F es idempotente a y 0^k$/£. En el resto de la demostración distinguimos dos casos:. Caso 1. Si k=0, entonces del teorema 1.3.1., F=Mín.. Caso 2. Si 0 < k é ^. en virtud del teorema de caracterización de. F=(l-k)-T+k-T* (E. Trillas y G. Mayor, 1986), como F es idempotente, de x=F(x,x)=(l-k).T(x,x)+k-T*(x,x), obtenemos x=(l-k).t(_1)(2.t(x))+k-s(2t(x)),. (1.3.8). donde, ' 1. , si x e [o,t(0)]. s(x)= - t-1(x-t(0)), si x« [t(0),2t(0)] V. 0. , si xe. [2t(0), + oo). siendo t el generador aditivo de la t-norma T, consideramos t(0)=l, De (1.3.8) se obtiene el siguiente sistema. 2t(x)=tefrjr). si 2t(x) <t(0)=l,. (1.3.9). 2t(x)-l=t(-j-r),. si 2t(x) >t(0)=l. (1.3.10). de donde t(k)=j£ y si t(x)<3£ (t(x)>/£) entonces x > k (x<k).. Ahora bien, éste sistema se transforma en el siguiente 2t((l-k)y+k)=t(y), , 2t(k-y)-l=t(y),. si O á y ^ l. (1.3.11). si O é y é l. (1.3.12). con 2t(k)=t(0)+t(l). Haciendo en primer lugar. T =t. se obtiene el. 29.

(40) siguiente. (Aiíii)=k.<ftx),. si O ^ x ^ l. 2. f (f-)=(l-k).f(x)+k,. si O á x ^ l ,. ó bien Í)(x)=k .f(2x-l),. si ^ ¿ x é l. ^ ( x M l - k ) - f(2x)+k,. siOáx^;. y en segundo lugar llamando. nos queda. V(x) = (l-k)+kY(2x-l),. Y(x) = (l-k)-vf(2x),. si ^ é x 4 l. o^x^y2. si. Este último sistema que ya aparece. resuelto. en el teorema. 1.3.2.,. tiene como soluciones: (1). Si k=yz,. Y ( x ) = x . entonces f(x)=l-x y t(x)=l-x.. Por tanto, T(x,y)=Máx.(x+y-1,0), es decir, la única solución es la t-norma de Luckasiewicz. (2). Si 0 <C k <C y¿, existe una solución singular, definida por co co H / ( x ) = Z n ( - i ~ ) 1 . ( l - k / * 1 , s i x¿0 y x = í n l Í C i , c o n O « y <0¿ < ; . . « . . . . . . 1=U. U. 1=U. /\. números enteros y ^Y(0)=0. Ü 82 1. Entonces. Y. 1. 1. viene expresada. como sigue co. ^(x)=l-Y(x)=l-.£ í^)1y t(x)=y. (l-k)011, ,. (x).'El teorema queda demostrado.. Nota 1.3.1. Si n=l-j y k=V2, en el teorema anterior, el sistema que se deduce de (1.3.8) se reduce a la ecuación 2-h(y/2)=h(y);. 0*y<l,. donde h(0)=0, h(l)=l y h(/£)=)£, siendo. h=to(l-j). (1.3.13) -t el generador. aditivo de la t-norma T-. La solución de (1.3.13) viene expresada por:. 30.

(41) ^(x). ;. Yz^x^l. h(x)=, h (x)=J-.(f(2n. x); - ¿ ¿ x A n n+1 n \ n 2 V 2 2 siendo. Y. n^l,. una función arbitraria, definida de [^'-U. en s. ^ mismo,. biyectiva y creciente. Por tanto, t=h o (1-j), con h definida por medio de otra función T arbitraria. Vamos a ver cuando una media casi-aritmética M(f,p) es una función de agregación. La primera condición, evidentemente,. que hay que. exigirle a M de acuerdo con la definición 1.3.1 es que sean p=q=/¿, por la conmutatividad de las funciones de agregación. Por tanto, ahora nos vamos a referir a las medias casi-aritméticas conmutativas, i.e., M(f,Ji).. Teorema 1.3.5. Sea M(f,^) una media casi-aritmética, cuyo generador f es una función continua y creciente, definida de I en â,b)c.R con f(%) =. . Entonces. la media casi-aritmética. M es una función de. agregación sí, y sólo sí, f(x)=(b-a)x+a, para todo x en I.. Demostración. De las condiciones de frontera para que M sea. una. función de agregación, tenemos el sistema f(x)+a. 2 f(x)+b. = f(-y). (1.3.14). L. = f(*±i). (1.3.15). 2. Pasamos. a. demostrar. n m=0,1,2,...,2 .. que: f (—=-)=-¡r- -(b-a)+a, 2 2. para. todo. n^.1 y. a+b Si n=l, de (1.3.14), f (^)=——=a+/£(b-a). Suponemos cierto para n, es decir, _/in . m /, > «»« „n , f ( — ) =—(b-a)+a, con m=0,l,2,...,2 y n > l . 2 n 2° 31.

(42) Ahora se trata de demostrar que se verifica para n+1. Distinguimos dos casos: m=2.s y m=2.s+l, donde m=0,l,2,. ,2. , en los. números. m. de la forma. 2 n+l. Si m=2.s f ( ^ ) = f (^)=a+(B-) ( b - a ^ a + ^ U b - a ) ' 2n+l 2n 2n 2n+l hemos podido aplicar la hipótesis de inducción, ya que. 0<s<2 .. Si m=2.s+l ,2s*l ,. /2s+l\. igual que en el caso anterior hemos aplicado la. hipótesis de inducción. ~ ^ 2s+l „ n puesto que 0 < — k ~ ^ Así está demostrado que. f(-2-)=a+(V )(b-a). n n 2. para todo n > l y. 2. n=0,l,2,. ,2. Por otra parte, el conjunto M=. n. ; m=0,l,2,. ,2 ; n >1 >. 2. denso en I, y por la. es. 1. continuidad de f,. se deduce. f(x)=(b-a)x+a x+y. para todo x en I. Luego M(x,y)= —-j1-, co es evidente.. para todo x, y en I. El recípro-. De este teorema se tiene el. Corolario 1.3.1.. Sea M(f,j£) una media casi-aritmética, cuyo. dor f es una función,. continua. y. decreciente,. definida. f(1i)= —^— . Entonces M es una función. [a, b] C R. con. sí, y sólo. sí, f(x)=(a-b)x+b,. de. de. genera I. en. agregación. para todo x en I.. 32.

(43) Con. otras. condiciones. para. el. generador. de. la. media. casi-aritmética M(f,/£), se tiene:. Teorema 1.3.6. Sea M(f,j£) una media casi-aritmética, donde f es una función, continua y f. (—j- )=r£/£ en. creciente, definida. (0,1).. Entonces =j,. agregación sí, y sólo sí, f. la. Demostración. Nos aparece resuelto. si x. ¿.oi, 4.. referimos en. el. M. [a,bj o R. es. una. y. con. función. de. definida por. y. ¿°. ^JblF*. números enteros y ^(0)=0.. sólo. teorema. I en. función. estando. f ( x WÍb ( Í 7 £ ) Í ' r * Í ' con 0<oí. <oC •Coi ¿. de. v\Vz,. al caso 1.3.5.. Así. porque. pues,. el. caso v=Vz r^X. suponemos. en. (0,1). De las condiciones de frontera, para que M(f,3£) sea una función de agregación, tenemos. ^fUfír.y); f(ywi). =. f((1. _r)y+r),. para todo y en I. Este sistema se puede expresar de la forma f(y)+f(0)=2f(r.y). (1.3.16). f(y)+f(l)=2f((l-r)y+r). (1.3.17). donde 2.f(r)=f(0)+f(1). La. solución. de. este. sistema. (1.3.16),. (1.3.17). aparece. en. el. teorema 1.3.2.. En los próximos teoremas veremos cuando una media casi-aritmética M.íg.p.)» t-norma. sobre T. y. su. los puntos t-conorma. casi-aritmética conmutativa. del T*,. intervalo n-dual. I, de. determinados T,. define. por. una. una. media. ó define directamente la media aritmética. 33.

(44) M . Elejirnos las t-normas fundamentales. Así tenemos: a. Teorema 1.3.7. Sean T la t-norma producto, n=l-j y M (g,p ) una media casi-aritmética. Entonces T satisface la siguiente ecuación funcional M (x,y)=M1(T(x,y),T*(x,y)),. (1.3.18). para todo x e y en I sí, y sólo sí, g(x)=cx+d; cÔ, d=g(0) números reales, para todo x de I, y p =/£.. Demostración. De (1.3.18) tenemos la siguiente ecuación g(_l2.)_p , g(x.y)+q1g(x+y-x.y), de donde, haciendo x+y=u e<x.y=v, se tiene g(—)=P1«g(v)+q • g(u-v), y sí en esta ecuación llamamos z=u-v, se llega a la ecuación g(^j~)=P1-. giv)+q1-. g(z). cuya solución (Aczél, 1966) es g(v)=cv+d, cfO,de R. y. p =J$,. para todo v de I.. Teorema 1.3.8. Sean T=Mín., n una negación fuerte sobre I, y M(f,j£) M (g,p1). dos. medias. casi-aritméticas.. Entonces. T. satisface. la. siguiente ecuación funcional f"1(^f(x)+^f(y))=g"1(p1.g(T(x,y))+q1.g(T*(x,y))). (1.3.19). para todo x, y en I sí, y sólo sí, la función g viene definida por g(x)=cf(x)+d, cÔ, d números reales, para todo x de I y p.=^, i.e., M=M .. Demostración. Suponemos x < y en I, entonces (1.3.19) con f(x)=u, f(y)=v, y gof. =h resulta la ecuación. 34.

(45) h( ii f X )=p 1 .h(u) + q 1 .h(v) cuya solución (Aczél, 1966) es cf=0, d g R. h(u)=c.u+d;. y. p.=l/2. para todo u en D=Im(f). De la expresión obtenida para la función h, se deduce que g(x)=c-f(x)+d de donde. v M1(x,y)=f^ 1[yr2f(x)+V 2f(y)] es decir, M. =M(x,y). y M son idénticas.. Teorema 1.3.9. Sea T¿,. la t-norma de Luckasievácz,. n=l-j y M (g,p ) una. media casi-aritmélica cuyo generador g es una función, continua y creciente, definida de I en sí. mismo. Entonces. se. verifica. la. siguiente ecuación funcional Ma(x,y)=M1(Tl, (x,y),T*(x,y)). (1.3.20). para todo x e y en I sí, y sólo sí, (1) g=j, si P 1 =l/2; co ,. i p. Y i\ (2) g ( x ) = / ¿ U-p —- H l ^ ). *i. r. 00. .. y. x. . con x=¿>Q —ST i x ¿ 0 , 0 < a Q < Otf. ...<«.<... números enteros y g(0)=0, si p =£1/2.. Demostración. De (1.3.20), se deduce el sistema g(2y^)=P1-g(x+y- 1 )+qi. g(l),. si x+y> 1. (1.3.21). g(íy^=P1-g(0)+q1-g(x+y),. si x+y é, 1. (1.3.22). Tomando x=y en las dos ecuaciones del sistema, se obtiene g(x)=p • g(2x-l)+q , gíx).^. g(2x). ,. si x > Vz sixáK. (1.3.23) (1.3.24). La solución del último sistema (1.3.23), (1.3.24) (L. Tackacs,. 35.

(46) 1978), ya. r e f l e j a d a en e l teorema 1 . 3 . 2 .. (1). g=j, si. (2). g ( x ) = X ( . L- /. 00. p ^ p. i—r. " Pl 1. 0<Of < a <. .. .. ) 1 ..((1l - P p 1 )) X a_<. Estas soluciones, ma. es:. 00. ,. , ccon o n x= x =2X, - s ;i=o _ n r> 2" 1. <a.< según. el. ,. x+0,. números enteros y g(0)=0. valor. de p , satisfacen. el. siste-. (1.3.21.), (1.3.22.), puesto que es equivalente al (l.3.23). y. (1.3.24.).. Corolario 1.3.2.. Sean T. la t-norma de Luckasiewicz,. n=l-j, y M(g,p ). una media casi-aritmética, cuyo generador g es una función, continua y decreciente,. definida. de. I. en. sí. mismo.. Entonces. se. verifica. la ecuación funcional Ma(x,y)=M1(T£(x,y),T*(x,y)),. (1.3.25). para todo x e y es I sí, y sólo sí, (1). (2). g=l-j, si p 1 = ^ P ^ l i i+1 «i xr 1 g(x) = Z ( T -^)\((l-P 1 ) -(l-p.) ), con x = £ -¿, x 40 x L 1_ i=o Pi i=o 2 i y 0<tt <<*..< - .«<0e.<«-.« números enteros y g(0)=l, si p 4 %•. En el resto de la sección presentamos los resultados obtenidos. del. estudio de algunos automorfismos de las ternas de De Morgan de Agregación. Damos en primer lugar la. Definición 1.3.4. Una aplicación f de I en sí mismo es un automorfismo de (I;F,F*,n), siendo n la k-negación asociada a F, si f es. biyectiva. y verifica (i). f(F(x,y))=F(f(x),f(y));. 36.

(47) (ii) -. f(n(x))=n(f(x)),. para todo x e y en I. Las condiciones (i) y(ii) implican la siguiente: (iii). f(F*(x,y))=F*(f(x),f(y)).. Teorema 1.3.10. Una aplicación biyectiva y creciente es un automorfismo de (I;F,F*,n) sí y sólo sí, se verifica (iv). f(F(x,y))=F(f(x),f(y)); para todo x e y en I,. (v). f(n(x))=n(f(x)), para todo x en [0,k] , k=F(l,0).. Demostración. Si f es un automorfismo de (I;F,F*,n) según la definí— ción 1.3.4., se. verifican las condiciones (iv) y (v).. Recíprocamente. Si f es una aplicación biyectiva que verifica las condiciones (iv)y ( v ). Así, de (iv) tomando y=0 e y=l sucesivamente se obtiene f(k.x)=k.f(x). (1.3.25). f((l-k)x+k)=(l-k)f(x)+k. (1.3.26). Ahora de (1.3.25), (1.3.26) y de la definición de una. k-negación. se tiene f(n(k.x))=f((l-k)n(x)+k)=(l-k)f(n(x))+k. (1.3.27). n(f(k.x))=n(k.f(x))=(l-k)n(f(x))+k. (1.3.28). para todo x en I. Considerando (v) en (1.3.27) y (1*3.28), podemos concluir que f(n(x))=n(f(x)) para todo. x. en I [ 25] .. Proposición 1.3.5. Sea F una función de agregación idempotente, entonces cualquier aplicación biyectiva f tal que fon=nof para todo x en[0,k] con k=F(l,0), definida. de I en sí mismo, es un automorfismo restringi. do a la diagonal de (I;F,F*,n).. 37.

(48) Teorema 1.3.11. Sea F una función de agregación idempotente, entonces una aplicación. f creciente, definida de. I. en. sí. mismo,. es. un. automorfismo de (I;F,F*,n) sí, y sólo sí, es la aplicación identidad, i.e., f=j.. Demostración. Al ser F una función de agregación. idempotente. la. podemos expresar (G. Mayor, 1984) como: F(x,y)=(l-k. )-Min(x,y)+k • Máx(x.y) (1.3.29) xy xy para todo x,y en I,- y k =k(x,y). xy Si f es un automorfismo de (I;F,F*,n), de la condición (i) de la definición 1.3.4 y de (1.3.29), considerando x-cy, se tiene f((l-k. xy. )-x+k. xy. )=(l-k )-f(x)+k • f(y) xy xy. para todo x e y en I, cuya solución (Aczél y Paganoni, 1985) es f(x)=cx +d,. c¿0, d 6 R. para todo x en I. Como f creciente, se deduce: c=l y d=0; luego f= j. Por tanto, se verifica la condición (ii) de la definición 1.3.4.. Análogamente tenemos el siguiente. Teorema 1.3.12. Sea F una función de agregación idempotente, entonces una aplicación. f decreciente, definida. de I en sí mismo. es. un. automorfismo de (I;F,F*,n) sí, y sólo sí, n=f=l-j [25],. Demostración. Si f es un automorfismo de (I,F,F*,n), por medio del razonamiento dado en el teorema anterior, y del decrecimiento de f, se obtiene que: f=l-j. Esta. sí, y sólo sí, k =l-k , i.e., k =1/2. xy xy' xy función debe verificar la condición (ii). de. los. 38.

(49) automorfismos, luego de dicha condición con f=l-j resulta l-n(x)=n(l-x) ó bien n(l-x)+n(x)=l para todo x en I. Por lo tanto (L. Valverde,1982) n=l-j. Con este último resultado reafirmamos que la única k-negación con k.=Yz es la función n=l-j . Un resultado más general es el. Teorema 1.3.13.. Sea f una aplicación biyectiva y creciente. definida. de I en sí mismo, entonces el único automorfismo de (I;F,F*,n) es aplicación. la. identidad [25].. Demostración. Supongamos que. f. es un automorfismo de (I;F,F*,n), es. decir, que satisface las condiciones (iv), (v) del teorema 1.3.10. Vamos a ver que si f satisface estas condiciones, entonces. f=J. en [0,k], k=F(l,0), y por tanto en [0,l] (Ver teorema 1.3.10.). En la demostración utilizamos el conjunto D c[o,k], que ser denso en dicho intervalo,. introducido. k-negaciones por; (A. Fraile, G. Mayor. y. en. un. resulta. estudio sobre las. M. Monserrrat, 1985). Es. te conjunto viene definido como sigue. D = tal que. : p >. p k P. p. i °» pi. l p i P 2"- p nJ. p. <. K 2--- J=. p. \. k. l l. € Z. , si m=l P. .(l-(l-k) p. .l-(l-k). 2. 2. ) , si m=2. .(l-[p ...p *3. ]). , si m > 3. m. 39.

(50) Por otra parte, se tiene que. n( [Pl])=l-(l-k) y n([Plp....p ])=l-(l-k) 1 <¿ m. .(l-[popQ. . .p ]) , si ¿ 6 m. m>2. De la condición (iv), -teorema 1.3.10.-, con y=0 se obtiene f(k.x)=k.f(x) y de aquí por inducción, tenemos f(kP.x)=kP.f(x),. p>l. para todo x en I. Entonces podemos afirmar P P l l f(k x)=k x .. Ahora, es fácil ver que P. P P P P l 2 l 2 l ¿ ¿ f([PlP2])=f(k \(l-(l-k) ))=k \f(l-(l-k) )=k \f(n([p 2 ])) = P. =k. P. l. X. .n(f([p2]))=k. Asumimos que f f ( [ p. P P l 2 l \ n ( [ k ¿])=k \ ( l - ( l - k ). P. 2 )= [p1P2].. verifica. iP2. ] ) = [ p. •••f'm-l. y probamos que para todo m,. iP2-'-Pm-l]. ;. m > 3. m > 3 , también es cierto. Así,. füp.p. ...p l)=f(kP' .(l-(l-k)P2).(l-tp.p. ...p ]))) = 1 ¿.. P. l =k \ P. =k. l. m. 3 4. m. P. P 2 l ¿ f((l-U-k) ).(l-[p3p4...pm])))=k 1.f(n([p2p3...pm])) =. P. .n(f([p p ...p ]))=k ¿. o. m. l. .n([p p ...p ])= ¿ 3. m. P1 P2 =k .(l-(l-k) .(l-[p ...p ])) = [p p ...pJ . o. m. l ¿. m. Entonces, al ser el conjunto D denso en [o,k] , resulta. que i. función f=jrn k ] » y por lo indicado en el teorema 1.3.10., resulta f J. " [o.il'.

(51) Teorema 1.3.14.. Sea f una aplicación biyectiva y decreciente defini-. da de I en sí mismo, entonces si es un sulta f=n. y. automorfismo de (I;F,F*,n) re. F=F* [ 25 ] .. Demostración. Si f es un automorfismo de (I;F,F*,n), es decir, f verifica las condiciones (i) y (ii) de la definición 1.3.4. De la primera condición (i), con y=0 e y=l sucesivamente se tiene f(k.x)=(l-k).f(x)+k. (1.3.30). f((l-k)x+k)=k.f(x). (1.3.31). De (1.3.30) por inducción se tiene f(kP.x)=(l-k)P.f(x)+(l-k)P_1.k+.í..+(l-k).k+k. (1.3.32). para todo x en I, y p > 1 . En el resto de la demostración consideramos todo lo reflejado en el teorema anterior, respecto al conjunto DC[o,k] . Por otra parte,. si x=l en (1.3.32) se tiene. f(kp)=(l-k)P_1.k+...+(l-k)k+k=l-(l-k)P=n(kP) Además es fácil de ver que P P P P P -1 l 2 l 2 l f([p1P2l)=f(k -"-fl-U-k) ¿))=(l-k) .f(l-(l-k) )+(l-k) . k+..+(l-k)k+k=. Px P,-l P,-2 =(l-k) .f(n([P ]))+(l-k) .k+(l-k) .k+...+(l-k).k+k= P. = (l-k) p. =(l-k). l l. p _1 i .n(f([p ])) + (l-k) . k+ p. .n(n(k. 2. p _1 1 ))+(l-k) .k+. p p p -1 = (l-k) .k +(l-k) .k+ Pi P =(l-k) \ k +l-(l-k). + (l-k).k+k= +(l-k).k+k=. +(l-k).k+k=. =l-(l-k) \(l-k. )=n([Plp2l). 41.

(52) Asumimos que f verifica faP. lP2---Pm-.])=n(tpiP2"-Pm-l]):. y probamos que para todo m, P. P. l. P. .f(l-(l-k). m > 2 , también se verifica. Así, P. l. 2 .(l-(l-k) ¿.(l-[p3p4...pm])))=. 2. P l_1 .(l-[p_p....p ]))+(l-k) . k+...+(l-k).k+k= J 4 m. f([PlP2...pm])=f(k =(l-k). m > 2. P Pi — 1 =(l-k) 1.f(n(lp_p_...p ]))+(l-k) X .k+...+(l-k).k+k= ¿ó. m. P P —1 = (l-k) 1.n(f([poP„...p ])) + (l-k) X .k+...+U-k).k+k= ¿ ¿. P. =(l-k). l. m. P. .n(n([ p_p_...p ]))+(l-k) ¿ ó. l_1. m. P P -1 = (l-k) 1.fp0p^...p ] + (l-k) 1 .k+ ¿3 m P P l l =(l-k) A.[p p ...p ]+ l-(l-k) = ¿ ó. .k+...+(l-k).k+k=. + (l-k).k+k=. m. Pl =l-(l-k) .(l-[p2p3...pm])=n([p1p2..-Pm]). Entonces, f=n sobre D y al ser denso en [o,k], resulta que. f=n. sobre el intervalo [0,k]. Veamos ahora que f =n sobre todo el intervalo I. Así, de (1.3.30) al ser f=nr. , y de la definición de una k-negación, se tiene (l-k)n(x)+k=n(k.x)=f(k.x)=(l-k).f(x)+k. para todo x de I. Por lo tanto, f=n en todo I. Como esta función. ha. de satisfacer la condición (i) -definición 1.3.4.- i.e., n(F(x,y)) = =F(n(x) ,n(y)) , para todo x e y en I, resulta que dicha igualdad es cierta. sí, y sólo sí, F=F*. (F*=noFo(nxn).. 1.4. Ternas.de De Morgan Asociativas Intermedias. Las. ternas. que. en. esta. sección estudiamos tienen un interés. 42.

(53) particular,. ya. que. son. generadas. por. un. tipo. de. funciones:. asociativas, conmutativas, idempotentes, continuas y crecientes. Estas funciones son las únicas con dichas propiedades entre el Mín. y el Max. Nos ocupamos, en primer lugar, de la definición de dichas funciones y de la estructura que inducen en el intervalo I. Luego pasamos a definir dichas ternas, en el mismo sentido de las ternas consideradas en las secciones anteriores de este capítulo, y concluimos la sección con el estudio de los automorfismos de estas ternas.. Definición 1.4.1. Una función L de Ixl en I viene definida por c Máx(x,y), six^c e y ¿. c Lc(x,y) = . Mín(x,y), c. ,. si x > c. e. y>c. en cualquier otro caso; 0 < c < 1. para todo x e y en I. Además: L =Mín. y L =Máx.. Estas funciones verifican las siguientes propiedades i.. Asociativa: L (x,L (y,z))=L (L (x,y),z) c c c e. ii.. Conmutativa: L (x,y)=L (y„x) c c iii. Monotonía: Si x 4 x1 e y ^ y' entonces L (x,y) <. L (x',y'). c iv.. Idempotencia: L (x,x)=x. e. [2ll.. c Llamamos. 1. al conjunto de estas funciones. Este conjunto con el. orden usual es un conjunto ordenado, y cualquier función L. verifica:. Mín ií L ^ Max. [21]. c. Proposición 1.4.1. El retículo distributivo. ,Mín.,Máx.) es con el. orden usual isomorfo a I [21].. 43.

(54) Demostración. Basta definir una función f como sigue:. f:S. »I. L >c c Evidentemente es biyectiva. Por otra parte, si L ¿ L, se tiene: c d c=L (c,d)<L (c,d)=d, por consiguiente f(L ) ¿-f(L,). c e ' c d Recíprocamente. Si f(L )á.f(Lj, i.e., c ^ d, por medio de la c d definición 1.4.1, se ve fácilmente que L «£. L ,. c d Pasamos a definir la función L*, 1-j dual de L , como sigue c c L*(x,y)=l-L (l-x,l-y), c c Por la definición 1.4.1, obtenemos L*(x,y)=l-L (l-x,l-y)=L.. (x,y) c c l-c luego L. e <í cL , , 00 <- l-c < 1.. Lo cL por medio Proposición 1.4.2. La dualidad definida sobre el retículo. de la función 1-j, verifica: i.. ale. ¡fe. Sí L ^ L,, entonces L,¿L c d d e. ii. L**=L c c. Demostración. Si L ^ L , , tenemos c<d, luego l-d¿l-c, de donde por la c d proposición anterior, se deduce L. . ¿ L.. En (ii), L*=Ln y L* =L. ,. .=L , luego L**L . & c l-c J l-c l-(l-c) c' c c. Teniendo. en cuenta. las dos proposiciones. anteriores,. podemos. afirmar el siguiente resultado.. Teorema 1.4.1. (X;Mín., Max.,1-j) es un álgebra de De Morgan isomorfa al álgebra (I;Mín.,Máx.,1-j) [21].. 44.

(55) Demostración. La primera parte se deduce de las proposiciones 1.4.1 y 1.4.2. Por lo que respecta a la segunda parte, el isomorfismo de la primera proposición es compatible con la función 1-j, puesto que f(L*)=f(L1 )=l-c=l-f(L )=l-j(f(L )). c 1-c c e Obviamente (¿£ ;Mín. ,Máx. ,1-j) no es un álgebra de Boole, ya que. LtU,y)=L v (x,y). Más en general si n es una función de negación fuerte sobre I definimos, la función L*, n-dual de L , como c L*(x,y)=n(Lc(n(x),n(y))), y por la definición 1.4.1., resulta. entonces L. n(c) L* (x.y^L^Xx.y) oC. Así e oL. Así que, como n es involutiva y decreciente podemos. afirmar:. Teorema 1.4.2. (¿C;Mín.,Máx.,n) es un álgebra de De Morgan isomorfa al álgebra (I;Mín.,Máx.,n) [ 211 . No es un álgebra de Boole, ya que L*(x,y)=L , >(x,y)=L (x,y), s n( . s) s siendo s el punto de simetría n, i.e., n(s)=s, 0 < s < l . A. las. ternas. (L ,L*,n),. las. llamamos. ternas. de. De. Morgan. Asociativas Intermedias. Siguiendo la estructura. de las secciones. anteriores. de. este. capítulo, pasamos a estudiar algunos automorfismos de (L ,L*,n). Así, c c Definición 1.4.2. Una aplicación f definida de I en sí mismo es un automorfismo de (I;L ,L ,n) si es biyectiva y verifica: (i). f(Lc(x,y))=J.c(f(x),f(y));. (ii) f(n(x))=n(f(x)), para todo x e y en I. Las condiciones. (i) y. (ii). implican. la. 45.

(56) siguiente (iii). f(L*(x,y))=L (f(x),f(y)),. para todo x e y en I,. Proposición 1.4.3. Cualquier aplicación biyectiva de I en si mismo tal que * fon=nof sobre P , es un automorfismo restringido a la diagonal de(L ,L ,n). n o c. Proposición 1.4.4. Si f es un automorfismo de (I;L ,L ,n) entonces: (i). f(c)=c. y. f(n(c))=n(c). (ii). f(s)=s. donde se (0,1) y n(s)=s.. Demostración. De la primera condición de la definición 1.4.2., si y=c. se. tiene f (c)=f(L (x,c))=L (f(x) ,f(c)) , c c para todo x en I, y de la definición de las funciones de OÍ, esta igualdad es cierta sí, y sólo si, f(c)=c.. Teorema 1.4.3. Una aplicación de I en si mismo, monótona, es un automorfijs * mo de (I;L ,L ,n) si, y sólo si, f es biyectiva y simétrica respecto de i, y. f(c)=c.. * Demostración. Si f es un automorfismo de (I;L ,L ,n), de la condición c c de la definición 1.4.2 con y=c, tenemos. (i). f(c)=f(L (x,c))=L (f(x),f(c)) , c c para todo x en I, luego f(c)=c. Y de la condición (iii) de la citada definición con n=l-j, se deduce la simétria de f en. i.. El reciproco es de comprobación inmediata según la definición de L. 46.

(57) Teorema 1.4.4. Una función monótona f, definida de I en sí mismo, es un automorfismo de (I;L ,L* ,n) sí, y sólo sí, f es biyectiva con c e f(c)=c y f(n(c))=n(c).. Demostración. Si f es un automorfismo de (I;L ,L*,n), haciendo y=c en c e la condición (i) de la definición 1.4.2, e y=n(c) en la condición (ii) de la misma. definición, se obtiene respectivamente. que f(c)=c y. f(n(c))=n(c). El recíproco es inmediato.. 1.5. Ternas de De Morgan Mixtas. El origen de estas ternas se debe al estudio de diferentes. pares de. conectivos, de manera que los dos conectivos que determinan cada par no están relacionados, por medio de una negación fuerte definida sobre I. Definimos estas ternas, y considerando algunos resultados de las secciones. anteriores. estudiamos. algunos. automorfismos. de. dichas. ternas.. Definición 1.5.1. Sea T una t-norma. (t-conorma), F una función de. agregación, M una media casi-aritmética, y una función L . Entonces llamamos. ternas. de. De. Morgan. Mixtas,. a. las. formadas. por. dos. cualesquiera de estas funciones junto con una función de negación fuerte n. Designamos con (I;J,H,n) a dichas ternas.. Definición 1.5.2. Una aplicación g definida de I en sí mismo, es un automorfismo de (I;J,H,n) si g es biyectiva y verifica: (i). g(J(x,y))=J(g(x),g(y));. (ii) g(H(x,y))=H(g(x),g(y));. 47.

(58) (iii) g(n(x))=n(g(x)), para todo x e y en I.. Teorema 1.5.1. Si T es una t-norma estricta y H cualquier función de las citadas en la definición 1.5.1., entonces el único automorfismo de (I;TiH,n) es la identidad.. Demostración. Si g es un automorfismo de (I;J,H,n) entonces de la condición (i) de la definición 1.5.2, teniendo en cuenta el teorema de la representación de la t-norma. (C.H. Ling, 1965),. fácilmente se. deduce g(x)=t-1(k.t(x)),. (G. Mayor, 1984). para todo x en I, siendo t el generador aditivo de la t-norma. Por otra parte de la condición g(s)=s, n(s)=s, entonces considerando g(s)=t. (iii) de la definición la expresión. 1.5.2. de g tenemos:. (k«t(s))=s, de donde se obtiene k=l. Por tanto, g(x)=x, para. todo x de I. Así, g=j también verifica la condición. (ii) de los. automorfismos de (I;J,H,n).. Teorema 1.5.2. El único automorfismo de (I;Mín.,M.,n) es la identidad.. Demostración. Si g es un automorfismo de (I;Mín.,M.,n), de la primera condición de la definición 1.5.2 se deduce que g es creciente. De la segunda condición de la misma definición y del teorema 1.2.6 resulta que g viene expresada por: g(x)=f_1(a.f(x)+b),. a*0, b e R,. para todo x en I, siendo f el generador de M.. 48.