Números Reales

´

ALGEBRA

1

. N´

umeros Reales

Presenta:

Eduardo Hern´

andez Huerta

Contenido

1 Introducci´on

2 Nomenclatura algebraica

3 Expresiones algebraicas

4 Clasificaci´on de n´umeros

5 Propiedades de los n´umeros reales

6 _{Expresiones algebraicas} 7 Descomposici´on Factorial

8 Ecuaciones de primer grado

9 Logaritmos

Introducci´

on

´

Algebraes la rama de las matem´aticas que estudia la cantidad considerada del modo m´as general posible.

EnAritm´etica las cantidades se expresan por n´umeros y ´estos expresan valores

determinados. EnAlgebra´ para lograr la generalizaci´on las cantidades se representan por medio deletras.

Notaci´

on algebraica

Loss´ımbolosempleados en ´Algebra son:

n´umeros. Representan cantidades conocidas y determinadas.

Letras. Representan toda clase decantidades, ya sean:

conocidas: se expresan por lasprimerasletras del alfabeto:a,b,· · ·

desconocidas: se representan por las´ultimasletras del alfabeto:u,v,w,· · ·

F´

ormula

F´ormula algebraicaes la representaci´on, por medio de letras, de una regla o de un principio general.

Por ejemplo.

La f´ormula que representa de un modo generalel ´area de cualquier rect´anguloes:

Signos del ´

Algebra

Los signos empleados son de tres clases:

1 Signos deoperaci´on

Suma(+)

Resta(−)

Multiplicaci´on(×)

Divisi´on (÷)

Potencia(an)

Ra´ız(√)

2 _{Signos derelaci´on<,>,} ≤_.≥_,=

3 Signos deagrupaci´on( ),[ ],{ }

Coeficiente

En el producto de dos factores, cualquiera de los factores es llamado

coeficiente del otro factor.

Existen dos tipos de coeficientes:

Coeficiente num´erico

Coeficiente literal

Cantidades positivas y negativas

Cero(0)es laausenciade cantidad. Las cantidadespositivassonmayores que 0, y las cantidadesnegativasmenores que 0.

1 _{De dos cantidadespositivas, esmayorla de mayor valor absoluto.}

2 _{De dos cantidadesnegativas, es mayorla de menor valor absoluto.}

El valor absolutode una cantidad es el n´umero que representa la cantidad prescindiendo del signoosentidode la cantidad. Elvalor relativocorresponde al

signo de la cantidad.

Representaci´

on gr´

afica de los n´

umeros

Expresi´

on algebraica

Es la representaci´on de un s´ımbolo algebraico o de una o m´as operaciones algebraicas.

Por ejemplo:

a 5x √4a (a+b)c (5x−3y)a x2

T´

ermino

Es una expresi´on algebraica que consta de un solo s´ımbolo o de varios s´ımbolosseparados entre si por el signo+o −.

Por ejemplo:

3b 2xy 4a

3x

Elementos de un t´ermino

1 _Signo 2 _Coeficiente 3 _{Parte literal} 4 Grado

Gradoabsoluto

Problema

1

Para la siguiente expresi´on algebraica:

a2_b+5a4_b3_c2_−4x2_y4

indiqu´e:

1 N´umero de t´erminos que conforman a la expresi´on.

2 Los cuatro elementos que describen cada t´ermino.

Clases de t´

erminos

Los t´erminos pueden ser:

T´erminoentero. No tienen denominador literal.

T´erminofraccionario. Tiene denominador literal.

T´erminoracional. No tiene radical.

T´erminoirracional. Contiene radical con literales.

T´erminohomog´eneo. Son los que tienen el mismogrado absoluto.

Clasificaci´

on de las expresiones algebraicas

Monomio. Expresi´on que consta deunsolo t´ermino.

3a −5bc x

2_y

4n3

Polinomios. Expresi´on que consta dem´as de unt´ermino, y estos pueden ser

binomio,trinomio, etc.

3a+b x2−5x +6

GRADO DE UN POLINOMIO

1 Absoluto. Es el grado de su t´ermino demayorgrado.

2 _{Con relaci´on a una letra. Es el demayorexponente de dicha letra en el}

polinomio.

Clases de polinomios

Entero

x2₊x3

2 −6

Fraccionario a2

b + b c +8

Racional. No contiene radicales

4a−5b+a

3

2

Irracional

√

a+√b−√abc

Homog´eneo

4a3_+5a2_b+6ab2_+b3

Heterog´eneo

x3_+x2_+x−6

Completocon relaci´on a una letra, contiene todos los exponentes sucesivos de dicha letra.

Ordenar un polinomio

Ordenar un polinomioes escribir sus t´erminos de modo que los exponentes de una letra escogida comoletra ordenatrizqueden en

ordendescendente oascendente.

Por ejemplo:

Ordenar el polinomio:x4y−7x2y3−5x5+6xy4+y5−2x3y2

Polinomio

Otros elementos de los polinomios son:

T´ermino independiente. Con relaci´on a una letra, es el queno tienedicha letra.

a3_−a2_+3a−5

T´ermino semejantes. Dos o m´as t´erminos son semejantes cuando tienenla misma parte literal, es decir, mismas letras afectadas por iguales exponentes.

2aya −5a3b2y+8a3b2

Reducci´on de t´ermino semejantes. Es una operaci´on que tiene por objeto convertir en un solo t´ermino dos o m´as semejantes.

N´

umeros

Unn´umeroes una abstracci´on que representa una cantidad o una magnitud.

Los n´umeros se clasifican como:

Complejos(_C). Poseen una parte real y una imaginaria

Reales(R). Incluye tanto a los n´umeros racionales (positivos, negativos y el

cero)

Racionales(_Q). N´umero que puede representarse como el cociente de dos n´umeros enteros.

Enteros(Z). Elemento del conjunto num´erico que contiene los n´umeros

naturales.

Naturales(_N). Es cualquiera de los n´umeros que se usa para contar los elementos de ciertos conjuntos.

Igualdad

(=)

I. Axioma de identidad

a=a

II. Axioma de reciprocidad

a =b_∴b =a

III. Axioma de transitividad

a =b yb =c _∴a=c

Suma o adici´

on

(+)

I. Axioma de uniformidad

a =b yc=d _∴a+c=b+d

I. Axioma de conmutatividad

a+b=b+a

I. Axioma de asociatividad

(a+b) +c=a+ (b+c)

I. Axioma de identidad

Multiplicaci´

on

(

×

)

I. Axioma de uniformidad

a =b yc =d _∴a×c=b×d

I. Axioma de conmutatividad

ab=ba

I. Axioma de asociatividad

(ab)c=a(bc)

I. Axioma de distributividad

a(b+c) =ab+ab

I. Axioma de identidad

a×1=1×a =a

Operaciones fundamentales de los n´

umeros

SUMA de n´umeros relativos

Suma de dos n´umerospositivos

Se procede a la suma aritm´etica de los valores absolutos de ambos n´umeros, y al resultado obtenido se le antepone el signo+.

(+4) + (+2) = +6

Suma de dos n´umerosnegativos

Se procede a la suma aritm´etica de los valores absolutos de ambos n´umeros, y al resultado obtenido se le antepone el signo−.

(−4) + (−2) = −6

Suma de un n´umeropositivoy otronegativo

Se procede a hallar la diferencia aritm´etica de los los valores absolutos de ambos n´umeros, y al resultado obtenido se le antepone el signo del n´umeromayor.

(+6) + (−2) = +4 (−6) + (+2) = −4

Operaciones fundamentales de los n´

umeros

POTENCIA de n´umeros

Sia es cualquier n´umero real yn es un entero positivo, entonces lan-´esima potenciade a es:

an _{=a·a·a· · ·a}

| {z }

n factores

El n´umeroa se denominabase, yn se denominaexponente.

Ejemplo:

(−3)4=

−34=

Sia 6=0 es cualquier n´umero real yn es un entero positivo, entonces:

a0_{=1 y a}n ₌ 1

Leyes de los exponentes

Problema

1

Empleando las leyes de los exponentes, simplifique:

y4_y−7₌

c9

c5 =

(3x)3=

x 2 !5 = x y !3

y2_x

z

!4

Operaciones fundamentales de los n´

umeros

RADICALES de n´umeros

Sin es cualquier entero positivo, entonces lara´ızn principaldea se define como sigue:

n√_{a =b significa que b}n _=a

Sin es par, debemos tenera ≥0yb ≥0.

Operaciones fundamentales de los n´

umeros

EXPONENTES RACIONALES

Para cualuier exponente racionalm/n en sus t´erminos m´as elementales, dondem yn son enteros y n>0, definimos:

am/n _{= (}n√_a)m _{o lo que es equivalente a}m/n ₌n √_am

Sin es par, debemos requerimos quea ≥0.

Problema

1

Simplifique las siguientes expresiones:

4p

81x8_y4=

√

25b−

√

b3₌

2x3/₄

y1/₃ !3

y4

x−₁/₂ !

Expresiones algebraicas

Expresiones algebraicas

Unpolinomioen la variablex es una presi´on de la forma:

anxn+a_{| {z }}n−₁xn−1

t´ermino

+· · ·+a₁x +a₀

donde a₀,a₁,· · ·,a_n son n´umeros reales, yn es un entero no negativo. Si

Ejemplos de polinomios

Operaciones con polinomios

Las operaciones a estudiar son:

Sumayrestade polinomios

Multiplicaci´onde polinomios

Productos notables

Factorizaci´on de factores comunes

Factorizaci´on de trinomios

Suma

(+)

de polinomios

Lasuma oadici´ones unaoperaci´onque tiene por objeto REUNIR dos o m´as expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresi´on (suma).

Objetivo

Combinart´erminos semejantes(t´erminos con las mismas variables elevados a las mismas potencias) usando la propiedad distributiva.

a(b+c) =ab+ac

Problema

2

Encuentre la suma de los siguientes sumandos:

Resta

(−)

de polinomios

La restaosustracci´ones unaoperaci´onque tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el

otro sumando (resta odiferencia).

NOTA:

Si un signo menos(−)precede a una expresi´on en par´entesis, entonces se cambia el signo de cada t´ermino dentro del par´entesis cuando quitemos el par´entesis:

−(b+c) = −b−c

Regla.Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuaci´on el sustraendo con los signos cambiados y se redicen los t´erminos semejantes, SI LOS HAY.

Problema

3

Encuentre la diferencia de los siguientes polinomios:

Multiplicaci´

on

(+)

de polinomios

La multiplicaci´ones una operaci´on que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas multiplicandoymultiplicadorhallar una tercera cantidad llamadaproducto. El multiplicando y el multiplicador son llamados

factoresdel producto.

NOTA:

El orden de los factores no altera el producto.

Los factores de un producto pueden agruparse de cualquier modo (Ley asociativa).

abcd =a×(bcd) = (ab)×(cd) = (abc)×d

Problema

4

Encuentre el producto:

Productos notables

Se llamaproductos notablesa ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspecci´on, es decir, sin verificar la

multiplicaci´on.

Problema

5

Use las f´ormulas de productos notables para hallar cada producto:

1 ₍3x₊5₎2

2 (x2−2)3

3 (2x−√y)(2x+√y)

Descomposici´

on Factorial

Descomposici´

on Factorial

Se llamanfactores odivisoresde una expresi´on algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre s´ı dan comoproductola primera expresi´on.

a2_+ab

| {z }

expresi´on algebraica

= _|{z}a

factor 1

×(a+b)

| {z }

factor 2

Caso 1

. Factor com´

un en el polinomio

Se determina elfactor com´uny se escribe este como coeficiente de un par´entesis; dentro del par´entesis escribimos loscocientesde dividir los

t´erminos del polinomio y el factor com´un.

Ejemplo:

1 16x3y2−8x2y−24x4y2−40x2y3

2 x(a+2) −a−2+3(a+2)

Caso 2

. Factor com´

un en el polinomio

Factorizar o descomponer en factores las siguientes expresiones algebraicas:

1 3x3₊2axy₊2ay2₋3xy2₋2ax2₋3x2y

Caso 3

. Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio ordenado en relaci´on a una letra es cuadrado perfecto cuando el PRIMERO y el TERCERO t´erminos son cuadrados perfectos (o tienen ra´ız cuadrada exacta) y positivos, y el SEGUNDO t´ermino es el doble producto de

sus ra´ıces cuadradas.

a2

|{z}

√

a2=a

+

2_z}|{×a×b

2ab + _|{z}b2 √

b2=b

Caso 3

. Trinomio cuadrado perfecto

REGLA:

Se extrae la ra´ız cuadrada alprimer ytercert´ermino del trinomio y se separan estas ra´ıces por elsignodel segundo t´ermino. El binomio as´ı formado, que es la ra´ız

cuadrada del trinomio, se multiplica por s´ı mismo o se eleva al cuadrado.

Ejemplo: Factorizar

1 4x2+25y2−20xy

2 1

4− b3+b

2

9

Caso 4

. Diferencia de cuadrados perfectos

Una diferencia de cuadrados es perfecta si elvalor absolutodelminuendoy el

sustraendotienen ra´ız cuadrada.

a2

|{z}

√

a2=_a

− _|{z}b2 √

b2=_b

Factorizaci´on:

Se extrae la ra´ız cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas ra´ıces cuadradas por la diferencia entre la ra´ız

del minuendo y la del sustraendo.

Caso 4

. Diferencia de cuadrados perfectos

Factorizar o descomponer en dos factores las siguientes expresiones algebraicas:

1 25x2y4−121

2 4x2−81y4

3 x6 49−4a

10

121

Combinaci´

on de los casos

3

y

4

Factorizar o descomponer en dos factores:

1 4a2₋9x2₊49b2₋30xy₋25y2₋28ab

2 49x4−25x2−9y2+30xy

Caso 5

. TCP por adici´

on y sustracci´

on

Factorizar:

Caso 5

. TCP por adici´

on y sustracci´

on

Factorizar o descomponer en dos factores:

1 4a4₊3a2b2₊9b4

2 81a4b8₋292a2b4x8₊256x16

Caso 6

. Trinomio de la forma

x

+

bx

+

c

Trinomios de la forma:

x2_+bx+c

Cumplen las siguientes condiciones:

El coeficiente del primer t´ermino es1.

El primer t´ermino es una letra cualquiera elevada al cuadrado.

El segundo t´ermino tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

Caso 6

. Trinomio de la forma

x

+

bx

+

c

Facorizar o descomponer en factores:

1 20₊a2₋21a

2 x4+5abx2−36a2b2

Caso 7

. Trinomio de la forma

ax

+

bx

+

c

Factorizar:

1 15a2−8a−12

2 30x2+13x −10

Simplificaci´

on de expresiones fraccionarias

Ejecute las operaciones y simplifique:

x2₋₁

x2_{+x −2} = ??

x2_+2x−3

x2_+8x+16×

3x+12 x −1 = ??

1 x2₋₁−

2

(x+1)2 = ??

(x2+1)1/2_−x2_(1+x2₎−1/2

1+x2 = ??

Ecuaciones

Unaecuaci´ones unenunciadode que dos expresiones matem´aticas soniguales.

4x+7=19

a la literalx se le denominainc´ognitade la ecuaci´on, y el objetivo es hallar el valor de x que haga que la ecuaci´on sea verdadera.

Problema

6

Resuelva las siguientes ecuaciones:

7x−4=3x+8= ???

2

x +1 −3= 4x+6

x +1

a−x a+x +

a x = −1

3 2x−1−

5 4x−2 =

3 8x2_−8x+12

Modelado con ecuaciones

Gu´ıa para modelar con ecuaciones

1 Identifique las variables e introduzca notaci´on para las variables

2 _{Transforme palabras en ´algebra}

3 _{Formule el modelo}

Problema

7

Una compa˜n´ıa de renta de autos cobra $30 al d´ıa y$0.15 por milla para rentar un auto. Helen renta un auto durante dos d´ıas y su cuenta

llega a$108. ¿Cu´antas millas recorri´o?

Problema

8

Un jard´ın cuadrado tiene un andador de 3 ft de ancho alrededor de su borde exterior como se ve en la figura. Si el ´area de todo el jard´ın, incluyendo los andadores, es de

Problema

9

Un lote rectangular para construcci´on mide 8 ft m´as largo de lo que es de ancho y tiene un ´area de2900ft2. Encuentre las dimensiones del lote.

Problema

10

Un hombre que mide 6 ft de alto desea hallar la altura de cierto edificio de cuatro pisos. Mide su sombre y encuentra que es de 28 ft de largo, mientras que su propia

Problema

11

Un fabricante de bebidas gaseosas anuncia su refresco de naranja como “con sabor natural”, aun cuando contiene s´olo 5 % de jugo de naranja. Un nuevo reglamento federal estipula que para ser llamado “natural”, una bebida debe contener al menos 10 % de jugo de fruta. ¿Cu´anto jugo de naranja puro debe agregar este fabricante a

900 galones de refresco de naranja para apegarse al nuevo reglamento?

Problema

12

Debido a una fuerte tormenta anticipada, el nivel del agua en un estanque debe bajarse 1.0 ft. Abrir el vertedero A baja el nivel en esta cantidad en 4 h, mientras

Logaritmos

Definici´

on

Logaritmode un n´umero real positivo es elexponente al cual hay que elevar otro n´umero llamadobase para obtener el n´umero dado. Por ejemplo:

Log_b(a) =c dado que: bc=a

Ejemplo:

¿Cu´al es el logaritmo base cinco de 125?

Log₅(125) = ???

Problema

13

Calcular los siguientes logaritmos:

1 log 39= ??? 2 log

12111= ??? 3 log

464= ???

Problema

14

Mediante el uso de la definici´on de logaritmo, expr´esense en forma exponencial las proposiciones siguientes:

1 _log 636=2 2 _log

216=4 3 _log

Problema

15

Mediante el uso de la definici´on de logaritmo, expr´esense en forma logar´ıtmica las proposiciones siguientes:

1 272/3=9 2 2−4= 1

16 3 34=81

Problema

16

Utilizando la definici´on de logaritmo, hallar el valor de x en cada una de las igualdades siguientes:

1 _log 28=x 2 _log

x49=2 3 _log

Propiedades algebraicas

Logaritmo de unproducto

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

Log(A×B) =LogA+LogB

Logaritmo de uncociente

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

Log A

B

!

=LogA−LogB

Propiedades algebraicas

Logaritmo de unapotencia

El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.

LogAn=nLogA

Logaritmo de unara´ız

El logaritmo de una ra´ız es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividido entre el ´ındice de la ra´ız.

Logn√A= LogA

Propiedades particulares

log

a

=

x

a

₌

x

log

a

=

1

log

1

=

0

Problema

17

Dada una expresi´on logar´ıtmica, hallar su valor:

1 2

log₂√52+log₂8+log₂1

4 810+log0.03+log5

r

1 9

3 4

log_aa√5a+log1

a 3 √ a √ a

log₂√58+log₂16+log₂1₈

Problema

18

Utilizando las propiedades algebraicas de los logaritmos, desarrolla al m´aximo las expresiones siguientes:

1 2

log2m

2_n3

pq4 log

s

a2_b3_c5

mp

Problema

19

Resu´elvanse las ecuaciones de los problemas siguientes

1 2

log₃(x +2) −log₃(x−6) =2

Gr´

afica de logar´ıtmo

Problema

13

Simplificar la siguiente expresi´on empleando las propiedades de los logaritmos.

Log_x x

2x·√3_x

!