SESIÓN DE APRENDIZAJE Nº 07

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Walter Orlando Gonzales Caicedo

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SESIÓN DE APRENDIZAJE Nº 07

FACULTAD DE :

ESCUELA PROFESIONAL DE :

DOCENTE : Walter Orlando Gonzales Caicedo CICLO: I

ASIGNATURA : Lógico Matemática FECHA: TEMAS:

Ecuaciones cuadráticas, discriminante, relación entre los coeficientes y raíces de una ecuación de segundo grado. Ecuaciones de grado mayor que 2, ecuaciones Bicuadradas, ecuaciones recíprocas, ecuaciones racionales y ecuaciones irracionales

TIEMPO: 08 horas académicas.

COMPETENCIA:

Resuelve y aplica operaciones matemáticas, relacionadas a ecuaciones cuadráticas así como su aplicación en el campo práctico de la vida cotidiana.

CAPACIDADES:

Diferencia una ecuación de una inecuación. Calcula el discriminante de una ecuación

Plantea y resuelve problemas de su especialidad, que requieren de las ecuaciones cuadráticas. Grafica e interpreta una función cuadrática y de grado superior.

ACTITUDES:

 RESPONSABILIDAD:Manifiesta compromiso e identificación en su trabajo académico.

 PUNTUALIDAD:Revela respeto a los demás y a si mismo asistiendo puntualmente a las clases.

 PARTICIPACIÓN:Muestra disposición a enfrentarse a situaciones problemáticas novedosas. Participa activamente en el desarrollo de las clases.

E V A L U A C I Ó N MOMENTOS O FASES DESCRIPCIÓN DETALLADA DE ESTRATEGIAS Y METODOLOGÍA MEDIOS Y MATERIALES TIEMP O EVALUACIÓN INDICADORE

S INSTRUMENTO

Motivación y exploración

MOTIVACION:

(ANEXO Nº 01)

EXPLORACION:

El docente presenta en la pizarra una lista de ejercicios relacionadas a operaciones con ecuaciones de segundo grado (Lluvia de ideas, Técnica interrogativa) El uso para seguir la

secuencia.

(ANEXO Nº 01)

Material Impreso. Pizarra Plumones acrílicos Mota Palabra hablada.

50 min. Interés por el tema,

participación individual y en grupo

.

Observación espontánea.

Intervención oral

Problematización

Se plantea las siguientes

interrogantes:

¿Serias capaz de

plantear ejercicios

con ecuaciones de

segundo grado?

¿Qué clase de

ecuaciones

observan en los

ejercicios

planteados?

¿Qué es un

Exposición oral

45 min.

Dadas las diferentes propiedades y operaciones

que se

realizan con ecuaciones de segundo grado,

desarrollan los ejercicios planteados

.

Participación activa

Ficha de evaluación (ANEXO Nº 05)

Ficha de

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discriminante?

¿Existe relación

entre los

coeficientes y las

raíces de la

ecuación de

segundo grado?

Construcción del conocimiento

Se forma 7 grupos.

Modulo de lógica

matemática

- (ANEXO Nº 03)

-Los estudiantes

plantean sus

ejemplos con

ecuaciones

cuadráticas,

bicuadradas,

racionales e

irracionales.

Se realizan

indicaciones en la

pizarra sobre

conceptos básicos,

dadas en la hoja

técnica.

(ANEXO Nº 04)

Se realiza la

sistematización de

lo aprendido.

Los estudiantes

plantean y

desarrollan un

laboratorio con

ejercicios.

(ANEXO Nº 05)

Papelógrafo.

Módulo lógico matemático (ANEXO Nº03)

Textos auxiliares.

cinta adhesiva 185 min.

Aplicación de la teoría en la solución de problemas específicos. A partir de los ejemplos establecidos en clase realizan problemas relacionas a su carrera.

Trabaja en forma individual y grupal , comentan ,discuten

Ficha de

autoevaluación

(ANEXO Nº 06)

Transferencia del conocimiento

L

Los estudiantes

resuelven los

ejercicios

planteados en su

módulo de trabajo.

Los estudiantes

participan

Hoja impresa

Folder de trabajo.

120 min.

Aplica estrategias metacognitivas para

representar la solución de los

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anotando sus

respuestas en la

pizarra

Los estudiantes

elaboran

ejercicios referidos

a operaciones con

los diferentes tipos

de ecuaciones de

segundo grado

(Hoja de

información ,Grupo

de estudio ,

trabajo en equipo;

exposición del

problema

planteado.(ANEXO

Nº04)

Los alumnos

resuelven en

grupo una ficha de trabajo:”Leo, analizo y resuelvo”

( ANEXO Nº 03 )

que les permitirá

descubrir

procedimientos

para reconocer e

interpretar a las

proposiciones.

El docente destaca

los resultados a

través de la

evaluación del

trabajo realizado..

Los alumnos

desarrollan

ejercicios

propuestos del

modulo

correspondiente

Ecuaciones de

segundo grado.

ejercicios planteados.

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BIBLIOGRAFÍA

Gonzales Caicedo, Walter Orlando y Otros. (2009). Modulo de Lógico Matemática. Lambayeque – Perú.

Moisés, Lázaro. (2007). Matemática Básica Tomos I y II. Editorial Moshera. Perú. Venero Baldeon, Armando. Matemática Básica.

Espinoza Ramos, E. (2002). Matemática Básica. Editorial Servicios Gráficos JJ. Perú.

ANEXO Nº 01

Si usted quiere exportar productos agrarios y desea saber que dimensiones debe tener una caja cuyo volumen es 1500cm3, sabiendo que debe tener 5 cm de altura y de ancho cinco cm. más que de largo. Calcular la longitud y la anchura.

SOLUCION:

Sabemos que el volumen se representa por:

V= a.b.c

1500 = 5.x. (x + 5)

Pues, aquí se plantea una ecuación de segundo grado, es decir: Desarrollando queda 5x2 + 20x - 1500 = 0.

Resolviendo la ecuación obtenemos x1 = -20 y x2 = 15.

La primera solución (-20) no vale, por lo tanto la solución es x = 15 cm de largo. La caja mide: 5 x 15 x 20

ANEXO Nº 02

Recuerda: “Cuanto menos habla el hombre de sus virtudes, más lo apreciamos”.

Emerson

Objetivo : Lograr motivar a los estudiantes y reflexionar.

ANEXO Nº 03

USS. MODULO DE LÓGICO MATEMÁTICA

ECUACIÓNES DE SEGUNDO GRADO

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ax2 + bx + c = 0; a 0

2. RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO:

Sea: ax2 + bx + c = 0; a 0 ... (1)

Multiplicando por 4a la ecuación (1), tenemos:

4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 4a2x2 + 4abx = -4ac

Sumando b2 en ambos miembros, para formar en el primero un trinomio cuadrado perfecto:

4a2x2 + 4abx + b2 = b2 – 4ac Luego:

(2ax + b)2 = b2 – 4ac Extrayendo raíz cuadrada, se tiene:

ac 4 b b ax

2 2

2ax + b = b2 4ac Despejando la incógnita x, resulta:

a 2

ac 4 b b x

2

Que viene a ser la solución general de la ecuación cuadrática (1). Establecida

por FRANCOISE VIETE en el siglo XVI.

3. DISCRIMINANTE O VARIANTE

Se denomina así a la cantidad subradical de la solución general: b2 – 4ac, y se le simboliza por la letra griega mayúscula « »; es decir:

ac 4 b2

4. RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA

De la solución general, se obtienen:

a 2 b

x₁ ó

a 2 b x₂

Para conocer los valores de estas raíces, a partir de la ecuación polinomial: ax2 + bx + c = 0; a 0

Se reemplazan directamente los valores de los parámetros a, b y c.

Pero. Si el polinomio cuadrático se puede factorizar fácilmente, entonces se realiza este procedimiento, obteniéndose dos factores lineales; para luego igualar a cero cada uno de éstos.

5. DISCUSIÓN DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA CON COEFICIENTES REALES

Tenemos: ax2 + bx + c = 0

La naturaleza de las raíces de la ecuación:

ax2 + bc + c; a, b, c R y a 0

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CASO 1:

Si > 0, las raíces serán reales y diferentes.

Ejemplo:

Resolver: 3x2 – 5x +1 = 0

Solución:

Cálculo del discriminante:

= (-5)2 – 4(3)(1) = 13 donde: > 0

Luego, reemplazando en la solución general:

X = ) 3 ( 2

13 ) 5 (

De aquí: x1 =

6 13 5

ó x2 =

6 13 5

Las raíces son reales y diferentes.

CASO 2:

Si > 0, las raíces serán reales e iguales; esto es, una raíz real doble.

Ejemplo:

Resolver: 4x2 – 12x + 9 = 0

Solución:

Análogamente: = (-12)2 – 4(4)(9)=0

En la solución general: x = ) 4 ( 2

0 ) 12 (

De aquí: x1 = x2 =

2 3

CASO 3:

Si <0, las raíces serán imaginarias y conjugadas.

Ejemplo:

Resolver: x2 – 2x + 2=0

Solución:

De igual manera: = (-2)2 – 4(1)(2)=-4 Donde: < 0, y en la solución general:

X = ) 1 ( 2

4 ) 2 (

De aquí x1 = 1 + i ó x2 = 1 - i

Las cuales son imaginarias y conjugadas.

6. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA CON COEFICIENTES REALES

Sean las funciones:

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y = g(x) = 0 Si: f(x) = g(x)... ( )

Se obtiene la ecuación cuadrática:

ax2 + bx + c = 0; a 0

De la igualdad de funciones ( ), se deben calcular aquellos x (x1 y x2) para los

cuales las ordenadas de ambas funciones (y1 y y2) son las mismas; es decir,

geométricamente, hallar los puntos de intersección de las gráficas de estas funciones, como se muestra en la figura:

Donde y1 = y2 = 0 y x1 x2

Siendo las abcisas de los puntos de intersección (x1; 0) y (x2, 0) de las gráficas

de f y g, las raíces de la ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0; a 0

Ejemplo

Resolver gráficamente: 2x2 – x – 15 = 0

Solución:

Tenemos la gráfica de la función cuadrática y = f(x) = 2x2 – x – 15

Las abcisas de los puntos P y Q de intersección de la gráfica de F y el eje horizontal, nos representan las raíces o soluciones de la ecuación.

Observar que; para:

Y

y =f(x)

y = g(x)

X

(x

1

,y

1

) (x

2

,y

2

)

Y

y =f(x)

F

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)

0 ;

3 (

Q

0 ;

2

5 P

:

puntos

los

generan

Se

0 F

y

3 x

0

2

5 y

2

5 x

) 3 (

7. INTERPRETACION GEOMÉTRICA DE LA DISCUSIÓN DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA DE COEFICIENTES REALES.

En la ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0; a 0 sabemos que la naturaleza de sus raíces viene dada por el valor del discriminante « ». Según esto, geométricamente, se obtienen gráficamente lo siguiente:

CARACTERISTICAS DEL DESCRIMINANTE

COEFICIENTE PRINCIPAL

REPRESENTACIÓN GEOMETRICA

NATURALEZA DE LAS RAICES

> 0

a > 0

X1 X2 LOS RAÍCES SON

REALES Y DIFERENTES X1 X2

a < 0 X1 X2

= 0

a > 0

X1 = X2 LAS RAÍCES SON

REALES E IGUALES X1 = X2 O UNA RAÍZ

REAL DOBLE a < 0

X1_{= X}2

< 0

a > 0

LAS RAÍCES SON IMAGINARIAS Y

CONJUGADAS a < 0

OBSERVACION: Dada la ecuación cuadrática con coeficientes racionales: ax2 + bx + c = 0; a 0

Si su discriminante es un número cuadrado perfecto, las raíces de dicha ecuación siempre serán racionales. Si no es así, serán irracionales y conjugados.

Ejemplo:

Resolver: 2x2 – x – 6 = 0 • Cálculo del discriminante:

= (-1)2 – 4(2)(-6)= 49 (cuadrado perfecto) Luego reemplazando en la solución general:

X = ;

) 2 ( 2

49 ) 1 (

de la cual se obtienen:

X1 = 2 ó x2 = -3/2

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8. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA (Teoremas de Viéte)

Si x1 y x2 son raíces de la ecuación cuadrática:

ax2 + bx + c = 0; a 0 Entonces, se verifica las siguientes propiedades:

TEOREMA 1: Suma de Raíces x1 + x2 =

-a b

TEOREMA 2: Producto de Raíces x1 • x2 =

a c

TEOREMA 3: Diferencia de Raíces

X1 – x2 =

a

Las anteriores propiedades se verifican en una ecuación cuadrática con coeficientes de naturaleza arbitraria (reales o complejos).

Ejemplo:

Si x1 y x2 son raíces de la ecuación cuadrática: 2x2 + 6x + 3 = 0

Se cumplen las relaciones de Viéte: • x1 + x2 = –

2 6_{= –3}

• x1 • x2 =

2 3

Tenemos: = (6)2 – 4(2)(3)=12; entonces:

• x1 – x2 = 3

2 3 2 2 12

OBSERVACION: Propiedades auxiliares.

TEOREMA 4: (X1 + X2)2 + (X1 – X2)2 = 2(X12 + X22)

TEOREMA 5: (X1 + X2)2 – (X1 – X2)2 = 4X1X2

9. FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA A PARTIR DE SUS RAÍCES (Teorema Recíproco de Viéte).

Demostración Inductiva:

Sean x1 y x2 las raíces de cierta ecuación cuadrática de incógnita x; es decir:

x = x1 ó x = x2

Por transposición de términos, se tienen:

x – x1 = 0 ó x – x2 = 0

Los cuales se obtienen a partir de:

(x – x1) (x – x2) =0

Efectuando: x2 – (x1 + x2)x +x1 x2 = 0

Llamando a: x1 + x2 = S

y: x1 • x2 = P

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(A esta ecuación se le denomina canónica, normalizada u ordinaria, debido a que su coeficiente principal es la unidad).

Ejemplo:

Formar una ecuación de segundo grado, cuyas raíces sean 10

29 3

ó 10

29 3

Solución:

Tenemos:

• Asumiendo que dichos valores son x1 y x2 respectivamente. Calculemos S y

P por separado:

S =

5 3 10

6 10

29 3 10

29 3

P =

5 1 100

20 100

29 3 10

29

3 2 2

Aplicando la fórmula “ ”, se tiene:

X2 - 0

5 1 x 5 3

Que expresa con coeficientes enteros, resulta: 5x2 – 3x – 1 = 0

Ejemplo:

Construir una ecuación cuadrática que acepte como raíces a:

2

i 3

ó (-1 + 2i)

Solución:

Calculando S y P se tienen:

S = 2

i 3

+(-1+2i)= 2

i 5 1

P = 2

i

3 _{•(-1 + 2i) =} 2

i 5 5

La ecuación formada, será:

x2 - 0

2 i 5 5 x 2

i 5 1

La cual reduce a:

2x2 – (1 + 5i)x – 5 + 5i = 0 Siendo: i = 1, la unidad imaginaria.

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Siendo x1 y x2 las raíces de la ecuación:

x2 – 3x + 1 = 0 Calcular el valor de:

Q = x1 (x12 + 1) +x2 (x22 + 1) SOLUCIÓN:

En la Ecuación: x2 – 3x + 1 = 0 Por propiedades:

(I) x1 + x2 = 3

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Elevando (I) al cubo

(x1+x2)3=33 x13+x23+3(x1 . x2)(x1+x2)=27

x13 + x23+3(1)(3) = 27

x13 + x23 = 18

En: Q = x1 (x12 + 1) +x2 (x22 + 1)

Q = (x13 + x1) + (x23 + x2)

Q = (x13 + x23) + (x1+ x2)

Q = 18 +3 Q = 21

2. Calcular las raíces de:

3

3₇₂ _x ₁₆ _x₌₂

SOLUCIÓN:

Elevando al cubo:

3 3

3₇₂ _x ₁₆ _x ₌₂3

72–x–16+x-33₇₂ _x_•3₁₆ _x 3₇₂ _x 3₁₆ _x ₌₈

56 - 33₍₇₂ _x₎₍₁₆ _x₎• 2 = 8

48 = 63₁₁₅₂ ₈₈_x _x2

Elevando al cubo: 512 = 1152 – 88x + x2

0 = x2 – 88x + 640 Luego:(x - 80) (x - 8) = 0

8 x 80 x 2 1

3. Resolver x en la ecuación:

c b a x 1 c 1 b a 1 x 1 SOLUCIÓN:

Transponiendo se tiene:

x 1 c b a x 1 c 1 b a 1

Efectuando miembro a miembro:

) c b a x ( x c b a x x ) b a ( c b a c ) c b a x ( x ) c b a ( ) b a ( c c b a Simplificando: ) c b a x ( x 1 ) b a ( c 1 Entonces:

x(x+a+b+c) = -c(a+b) x2 + (a+b+c)x + c(a+b)=0

Factorizando:

(x+a+b)(x+c)=0

Luego:

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ANEXO Nº04

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nº07

I. RESOLVER CADA UNA DE LAS SIGUIENTES PROBLEMAS:

1. Resolver la ecuación: x2 12x 27 x2 12x 35 2 2. Indicando una raíz. 2. Calcular m, si las raíces de la ecuación: (m+1)x2 – 2mx + (m-3) = 0. Son

iguales.

3. En la ecuación:

bc a 1 b

x a c

x a bc

) a 2 x (

x 2

Una de las raíces es.

4. Formar la ecuación de 2do. Grado cuyas raíces son:

m 3 3

3 3 x

; m 3 3

3 3

x₁ ₂

5. Indicar una de las raíces de x luego de resolver la ecuación: 9mx2 + 12(m+1)x + 8 = m3

6. Indicar la suma de las raíces que admite la ecuación:

2 5 x 2

x 6 x 6

x 2

7. Hallar m en: x2 + 2(m–1)x + (m-1)2 = 0 m>1 Si:

11 58 x x x

x

1 2 2

1 _(x

1 y x2 raíces

de la ecuación).

8. Siendo x1; x2 las raíces de la ecuación: x2 + 5x + 7 = 0. Determinar: E

= 3

2 2 1 2 2 3

1 x x x

x

9. Formar la ecuación cuadrática cuyas raíces sean 5 veces las raíces de la ecuación: 3x2–x+1 = 0

10. Si una de las raíces de x2 + ax + b = 0 es el cubo de la otra hallar: b[(b-1)2+4a2]

11. Determine p+1 tal que la ecuación en x, 2px2 +4px+5p=3x2+x+8 el producto de sus raíces sea igual a 2 veces su sumas.

12. Sea la ecuación ax2 – 8x + 6=0 encontrar el valor de “a” para que su conjunto solución sea {

0 0;3r

r }

1 3 . E s c r i b i r u n a e c u a c ió n d e s e g u n d o g r a d o c u y a s s o l u c i o n e s son: 3 y −2.

1 4 . La sum a de dos núm er os es 5 y su product o es −84. Halla d i c h o s n ú m e r o s .

1 5 . D e n t r o d e 1 1 a ñ o s l a e d a d d e P e d r o s e r á l a m i t a d d e l c u a d r a d o d e l a e d a d q u e t e n ía h a c e 1 3 a ñ o s . C a l c u l a l a e d a d d e P e d r o .

II. CALCULAR LAS RAICES DE CADA UNA DE LAS ECUACIONES

16. 25x2 - 1 = 0

17. x3 + 10x2 + 25x = 0

18. x3 + x2 - 6x = 0

19. x2 + 2x - 5 = 0 (sugerencia: puede escribirse como x2+2x+1-6=0)

20. x4 + x3 -9x2 - 9x = 0 21. x2 = 81

22. 14x2 - 28 = 0 23. (x + 6)(x - 6) = 13

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26. x2 = 7x

27. 21x2 + 100 = - 5 28. 2x2 - 6x = 6x2 - 8x 29. (x - 3)2 - (2x + 5)2 = - 16 30. (4x - 1)(2x + 3) = (x + 3)(x - 1)

III. CALCULAR LAS RAICES DE CADA UNA DE LAS ECUACIONES RACIONALES

31. Desarrollar:

Solución:

2 1 x

1 2x

1 2 x 2 x

L u e g o : L a s o l u c i ó n e s :

A partir del ejemplo anterior desarrollar los siguientes ejercicios

3 2 .

4 x

1 2 x

1

2

3 3 .

6 13 x 1 x 3

3 4 . H a l l a u n n ú m e r o e n t e r o s a b i e n d o q u e l a s u m a c o n s u i n v e r s o e s 26/5.

3 5 . 0

9 28 4

32

2 2

x x

; Solución: x1=5, x2=-5, x3= 4, x4=-4

3 6 . 3

2 ₃

3

x x x

x ; Solución:x1= i, x2=-i,

IV. CALCULAR LAS RAICES DE CADA UNA DE LAS ECUACIONES BICUADRADAS

Son ecuaciones de cuarto grado sin términos de grado impar:

a x4 + b x2 + c = 0

P a r a r e s o l v e r e c u a c i o n e s b i c u a d r a d a s, e f e c t u a m o s e l c a m b i o

x2 = t , x4 = t2; c o n lo q u e g e n e r a u n a e c u a c i ó n d e s e g u n d o g r a d o c o n l a i n c ó g n i t a t :

a t2 + b t + c = 0

P o r c a d a v a l o r p o s i t i v o d e t h a b r á d o s v a l o r e s d e x :

E j e m p l o :

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S e a: T e n e m o s :

E n t o n c e s :

L u e g o :

O B S E R V AC I Ó N : E l m i s m o p r o c e d im i e n t o p o d e m o s u t i l i z a r p a r a r e s o l v e r l a s e c u a c i o n e s d e l t i p o :

a x6 + b x3 + c = 0 a x8 + b x4 + c = 0 a x1 0 + b x5 + c = 0

3 7 . x6 7x3 6 0 3 8 . x4 − 10x2 + 9 = 0 3 9 . x4 13x3 36 0 4 0 . x4 − 61x2 + 9 0 0 = 0 4 1 . x4 − 25x2 + 1 4 4 = 0 4 2 . x4 − 16x2 − 225 = 0

V. CALCULAR LAS RAICES DE CADA UNA DE LAS ECUACIONES IRRACIONALES

P a r a l a r e s o l u c i ó n d e e c u a c i o n e s i r r a c i o n a l e s s e d e b e t e n e r e n c u e n t a l o s i g u i e n t e :

1 º S e a ís l a u n r a d i c a l e n u n o d e l o s d o s m i e m b r o s , p a s a n d o a l o t r o m i e m b r o e l r e s t o d e l o s t é r m i n o s , a u n q u e t e n g a n t a m b ié n r a d i c a l e s .

2 º S e e l e v a n a l c u a d r a d o l o s d o s m i e m b r o s .

3 º S e r e s u e l v e l a e c u a c i ó n o b t e n i d a .

4 º S e c o m p r u e b a s i l a s s o l u c i o n e s o b t e n i d a s v e r i f i c a n l a e c u a c i ó n i n i c i a l. Ha y q u e t e n e r e n c u e n t a q u e a l e l e v a r a l c u a d r a d o u n a e c u a c i ó n s e o b t i e n e o t r a q u e t i e n e l a s m i s m a s s o l u c i o n e s q u e l a d a d a y , a d e m á s l a s d e l a e c u a c i ó n q u e s e o b t i e n e c a m b i a n d o e l s i g n o d e u n o d e lo s m i e m b r o s d e l a e c u a c i ó n .

5 º S i l a e c u a c i ó n t i e n e v a r i o s r a d i c a l e s , s e r e p i t e n l a s d o s p r i m e r a s f a s e s d e l p r o c e s o h a s t a e l i m i n a r l o s t o d o s .

E j e m p l o : D e s a r r o l l a r

2 x

3 x

1

S o l u c i ó n :

(15)

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2 x

3 x

1

2 º E l e v a m o s a l c u a d r a d o l o s d o s m i e m b r o s : ( 2x 3)2 (x 1)

2x 3 x2 2x 1

3 ºR e s o l v e m o s l a e c u a c i ó n : x2 4x 4 0

E s d e c i r :

(x 2) 0

4 ºC o m p r o b a m o s :

2 .

2

3

2

1

L u e g o : L a e c u a c i ó n t i e n e p o r s o l u c i ó n x = 2.

4 3 . x x 4 2

4 4 .

2 x

3 x

1

4 5 .

5 x

4

1

2 x

4 6 . 3 x 1 11 2x

4 7 . 2x 1 x 4 6

4 8 . 1 1 13 x 2; Solución: x= 2601

4 9 . 3x 1 2x 1 1 ; Solución: x1=1, x2= 5,

5 0 . ₄

1 4

4

x x x