G27101

108 

Loading.... (view fulltext now)

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Texto completo

(1)

MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

Matemática I

Guía Didáctica

MENCIÓN : Físico - Matemáticas

ELABORADA POR : Dra. Sonia María Coronel

PROFESOR(A) : Ing. Greyson Alberca Prieto

TELÉFONO : (07) 2 570 275 Ext. 2653

E-MAIL : greyson@utpl.edu.ec

TUTORÍA : Martes y Jueves de 08h00 a 10h00

Estimado Estudiante, dígnese confirmar la información aqui señalada llamando al Call Center 072588730, línea gratuita 1800 887588 o al mail callcenter@utpl.edu.ec

DATOS DE IDENTIFICACIÓN:

MATERIAL DE USO DIDÁCTICO PARA ESTUDIANTES DE LA UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA, PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL POR CUALQUIER MEDIO

OCUTRE 2007 - FEBRERO 2008

Reciba asesoría virtual en: www.utpl.edu.ec

CICLO

(2)

© 2007, UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA

Diagramación, diseño e impresión:

EDITORIAL DE LA UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA Call Center: 593-7-2588730, Fax: 593-7-2585977

C.P: 11-01-608 www.utpl.edu.ec San Cayetano Alto s/n Loja - Ecuador Primera edición Segunda Reimpresión ISBN-978-9978-09-678-9 Derechos de Autor.: 024204

Reservados todos los derechos conforme a la ley. No está permitida la reproducción total o parcial de esta guía, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

(3)

INTRODUCCIÓN ... 5

OBJETIVOS GENERALES ... 6

BIBLIOGRAFÍA ... 6

ORIENTACIONES GENERALES PARA EL ESTUDIO ... 8

PRIMER BIMESTRE

OBJETIVOS ESPECÍFICOS ... 11

CONTENIDOS ... 12

DESARROLLO DEL APRENDIZAJE ... 13

CAPÍTULO 1: FRACCIONES ... 13

CAPÍTULO 2: EXPONENTES Y RADICALES ... 35

SEGUNDO BIMESTRE

OBJETIVOS ESPECÍFICOS ... 47

CONTENIDOS: ... 48

DESARROLLO DEL APRENDIZAJE ... 49

CAPÍTULO 3: ECUACIONES LINEALES ... 49

CAPÍTULO 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ... 63

CAPÍTULO 5: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO O CUADRÁTICAS ... 68

GLOSARIO ... 102

ANEXOS ... 103

(4)
(5)

La matemática es una de las ciencias más antiguas, al igual que la Filosofía. Los conocimientos matemáticos fueron adquiridos por los hombres ya en las primeras etapas del desarrollo bajo su propia influencia e incluso de la más imperfecta actividad productiva. A medida que se iba perfeccionando esta actividad, cambió y creció el conjunto de factores que influían en el desarrollo de la matemática.

La matemática es una parte en la que se basa y se desarrolla el que hacer educativo, social, político y económico de los pueblos. Ninguna actividad humana puede prescindir de sus conocimientos.

El campo de aplicación de la matemática se amplía constantemente. A esta ampliación no es posible ponerle un límite. EL crecimiento de las aplicaciones es una de las evidencias de la existencia y fortalecimiento de las relaciones de las matemáticas con otras ciencias.

La matemática no solo se desarrolla bajo la acción de otras ciencias. Ellas a su vez, introducen en otras ciencias los métodos matemáticos de investigación. Esto a dado lugar a que algunos científicos llamen a la matemática «La reina y

servidora de todas las ciencias»

Esta asignatura que se caracteriza por la abstracción y el razonamiento. Cumple funciones como la de ser formadora, por cuanto contribuye a la transformación de la persona, no solo científicamente sino moralmente, es interdisciplinaria por cuanto se correlaciona con otras ciencias con el fin de dar solución a los diferentes problemas y práctica, porque hace que el hombre se desenvuelva por si solo en la vida, transformándose en un ente útil a la sociedad.

Respecto a los contenidos de Matemática 1 de la especialidad de FIMA, estos están orientados al logro de las categorías más elevadas (análisis, síntesis y evaluación), donde usted tendrá la oportunidad de buscar la funcionalidad de los contenidos adquiridos en años anteriores, identificarse con su propio ser como persona y un ente capaz de .. , guiarse por sí solo y tomar conciencia del compromiso que tiene para usted misma, con su familia y con la sociedad en general. Para este logro se han considerado algunos contenidos, a saber:

INTRODUCCIÓN

La escala de la sabiduría tiene sus peldaños hechos de números.

(6)

• Desarrollar ha bilidades y destrezas para plantear soluciones en el proceso operativo de las fracciones, ecuaciones lineales y cuadráticas.

• Aplicar definiciones, reglas y leyes en el desarrollo de ejercicios y problemas

• Resolver ejercicios de Operaciones con fracciones, exponentes y radicales.

• Comprender la parte teórica de las ecuaciones y aplicarla en el desarrollo de las mismas.

BÁSICA

REES PaúI K, SPARKS Fred. W. REES Charles S. SPARKS ( 1997), Álgebra,

México. D.F. Décima edición

Se ha creído conveniente tomar este texto como libro básico para la asignatura de Matemática I de la carrera de Físico - Matemática por estar sus contenidos desarrollados en forma ordenada y sistemática capaz que el alumno comprenda sin ninguna dificultad.

En cada capítulo existen algunos ejercicios tipos resueltos con su respectiva indicación.

Destaca una definición, ley o resultado en recuadros con fondo de color gris, de tal manera que el estudiante identifique rápidamente y le sirva de ayuda en su estudio.

ÿ CAPÍTULO I Fracciones

ÿ CAPÍTULO II Exponentes y Radicales

ÿ CAPÍTULO III Ecuaciones lineales

ÿ CAPÍTULO IV Sistemas de ecuaciones lineales

ÿ CAPÍTULO V Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas

OBJETIVOS GENERALES

(7)

Al final de cada capítulo presenta gran cantidad de ejercicios propuestos, como también un resumen. El mismo que contiene una lista de palabras y términos básicos y una compilación de todas las fórmulas vistas en el mismo.

COMPLEMENTARIA

GOZÁLES y Mancill, (Algunas ediciones) Álgebra Elemental Moderna, Buenos

Aires - Argentina, Editorial Kapelusz.

Es un libro sencillo lo suficientemente claro para que sea utilizado por un alumno de la Modalidad Abierta, dispone de una gran cantidad de ejercicios resueltos y propuestos lo que permite la comprensión de sus contenidos. SPIEGEL Murray R. (1997), Álgebra Superior, Colección Schaum’s, México, Editorial McGRAW-HILL. Primera edición.

Es un libro bastante sencillo, aporta con conceptos muy importantes en las ecuaciones en general y en los sistemas de ecuaciones; servirá de apoyo al estudiante porque contiene una variedad de ejercicios resueltos y propuestos.

SWOKOWSKI Earl W., COLE Jeffery A. (1996), Álgebra y Trigonometría,

México. Grupo Editorial Iberoamérica. Tercera edición.

Es un libro útil para abordar la mayoría de los temas a tratar en esta guía, tales como: sistemas de ecuaciones, ecuaciones de primero y de segundo grado.

Otras fuentes de información

.

Otra fuente muy importante y necesaria es el Internet. A continuación se indican algunas direcciones de interés para esta asignatura.

http://www.sapiens.ya.com/geolay/pagehtm/algeb03.htm

http://www.cnice.mecd.es/Descartes /3 eso/Fracciones decimales porcentajes / Fracciones 1.htm

www.galeon.com/studentstar/expyrad02.htm

www.cnice.mecd.es/Descartes/4b eso/Sistemas ecuaClOnes lineales grafica algebraica/sis-ecu .htm

http://soko.com.ar/matem/matematica/Ecuaciones.htm http://personal.redestb.es/javfuetub/algebra/ecuaciones.htm http://luda.azc. uam. mx/curso2 /tema3 /sistemli.html http://personal5.iddeo.es /ztt /index.htm

(8)

¿Cómo proceder a realizar el estudio de la asignatura?

Estimado alumno(a)

El éxito o fracaso de una clase depende del profesor, figura principal en el aula, por lo que debemos tener presente los métodos, técnicas, procedimientos, recursos didácticos, formas de evaluar etc. elementos que nos sirven para mantener el equilibrio necesario en el proceso enseñanza - aprendizaje, evitando la rutina, monotonía y el cansancio de los alumnos, pero esto se cumpliría en una clase presencial, al hablar de estudiantes del Sistema de Estudios a Distancia esto sería diferente, el proceso que se sigue es tener una « charla didáctica guiada» a través de algunos documentos autoinstruccionales, por vía telefónica o por correo electrónico que le ayudarán en su estudio.

Esta guía didáctica constituye un curso de Matemática I. Supone el conocimiento por parte del alumno del Tecnicismo Algebraico, Expresiones Algebraicas y la Descomposición de Factores.

Para que su trabajo intelectual sea más eficiente le doy algunas pautas referencia les que son de vital importancia para el estudio de Matemática I.

ÿ Lea detenidamente la parte teórica de cada tema, luego subraye las ideas principales y por último revise las fórmulas y gráficos de los ejercicios y problemas resueltos.

ÿ Si resuelve los ejercicios propuestos le servirá como comprobación de que ha entendido el tema, si no puede resolver se puede decir que no esta comprendida la parte teórica y por lo tanto debe volver a revisar.

ÿ Para resolver problemas (donde se requiera) es aconsejable que realice un gráfico con las condiciones del mismo, esto constituye una ayuda muy eficaz para su resolución.

ÿ Trate de organizar su tiempo para estudiar, presentarse a sus pruebas presenciales y compartir la responsabilidad de su tra bajo en caso de tenerlo y su hogar.

ÿ Dedique por lo menos una hora diaria en la revisión de la materia, especialmente en la resolución de ejercicios.

ÿ Las dificultades más notorias por lo general se presentan en el desarrollo de los ejercicios, por lo que se aconseja:

• Tener cuidado en los ejercicios al trascribirlos (números y signos).

ORIENTACIONES GENERALES

(9)

• Aplicar correctamente las leyes de los signos.

• Seleccionar el método adecuado en la descomposición de factores. ÿ Como herramientas de apoyo puede utilizar la bibliografía básica y

complementaria, y los anexos que constituyen tablas de resumen para ayudarle en su estudio. Además materiales tales como: calculadora, escuadras, lápiz, borrador, etc.

ÿ Al final de la presente guía encontrará los trabajos a distancia para cada bimestre, los mismos que constan de dos partes, una parte objetiva que tiene un valor de dos puntos y una parte de ensayo con una calificación de 4 puntos.

ÿ A continuación se presenta una explicación más detallada de algunos contenidos con sus respectivos ejercicios desarrollados

SíMBOLOGÍA QUE SE UTILIZA EN ESTA GUíA

⇉ Entonces. → ⇇ Si Y solo si. ↔ = Es igual a. ≠ Es diferente a. ∴ Por lo tanto . Ejercicios propuestos Ejercicios resueltos. N Atención. E Importante.

Nota clave.

Señor estudiante le recordamos que al finalizar cada unidad existe una variedad de ejercicios propuestos que puede desarrollarlos para reforzar sus conocimientos teóricos y de esta manera estar preparado para presentarse a las evaluaciones presenciales.

Si hay dificultad en la comprensión de algún tema o desarrollo de algún ejercicio tipo, recurra al asesoramiento metodológico que le brinda su profesora de la universidad en el horario señalado anteriormente.

(10)
(11)

• Realizar un producto y división de fracciones. • Realizar una adición y sustracciones de fracciones. • Simplificar fracciones complejas

• Aplicar las leyes de los exponentes en el desarrollo de ejercicios prácticos.

• Desarrollar ejercicios con radicales, aplicando sus leyes. • Simplificar y racionalizar ejercicios con radicales. • Operar con radicales.

P

P

R I M E R

B IMESTRE

R I M E R

BIMESTRE

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

(12)

CAPÍTULO 1: FRACCIONES 1.1. Definición

1.2. Simplificación de fracciones

1.3. Reducción de fracciones algebraicas al mínimo comÚn denominador 1.4. Operaciones con fracciones

1.5. Fracciones Complejas

CAPÍTULO 2: EXPONENTES Y RADICALES 2.1. Definición del exponente

2.2. Leyes fundamentales de los exponentes

2.3. Leyes generales para exponentes enteros y fraccionarios 2.4. Radicales.- estructura de un radical

2.5. Leyes de los radicales

2.6. Racionalización de denominadores 2.7. Simplificación de radicales

(13)

1.1. DEFINICIÓN

Una fracción algebraica es una expresión que se puede escribir como cociente de dos números o de dos polinomios. Esta formada por dos partes: el numerador y el denominador. Por ejemplo: 4 5, 2x + 1 x2 + 5

Tres signos están asociados a una fracción, el del numerador, el del denominador y el de la fracción.

-a

-b

Ejemplo:

El valor de una fracción no se altera si se multiplican, o dividen, el numerador y el denominador por una misma cantidad, siempre que esta sea diferente de cero. Con esto se obtiene fracciones equivalentes; es decir, dos fracciones son equivalentes si después de amplificar o simplificar las fracciones se obtienen dos fracciones iguales.

1.2. SIMPLIFICACiÓN DE FRACCIONES

Una fracción se dice que esta reducida a su más simple expresión cuando el numerador y el denominador son primos entre si, esto es, cuando no tienen factor común alguno, sólo la unidad.

F

F

DESARROLLO DEL APRENDIZAJE

C A P Í T U L O 1

FRACCIONES

Signo de la fracción Signo del numerador

Signo del denominador

-a b =-a b= a -b

(14)

Simplificar una fracción algebraica es dividir su numerador y su denominador por un mismo fador común. Cuando, por sucesivas simplificaciones, resultan el numerador y denominador primos entre si, la fracción se dice que esta reducida a su más simple expresión.

Así en la fracción

5x(a+b)3

x2(a + b)2 en el numerador y denominador tiene factores comunes

como son (x) y (a+b), simplificando tenemos; 5(a+b)/x.

En éste ejemplo, los fadores comunes fueron evidentes porque las expresiones algebraicas del numerdor y denominador esta ban ya fadoradas. Cuando esto no ocurre es necesario fadorar antes de simplificar.

1. Simplificar las siguientes fracciones:

x2y2

x3y3 =

1 xy

Cuando al simplificar desaparecen todos los fa dores del numerador queda la unidad, ésta no puede suprimirse. En cambio si desaparecen todos los fa dores del denominador y queda la unidad, ésta puede suprimirse y el resultado es una expresión entera.

2.

2ax + 4bx

3ay + 6by , factorando el numerador y el denominador tenemos: , simplificando, (a + 2b), se tiene

2x 3y

Cuando los poligonos no pueden factorarse facilmente, se aplica las divisiones sucesivas.

Simplifique a su más simple expresión. 1. 30x6y2 45a3x4z3 2. a3 + 1 a4− a3+ a − 1 F F 2x(a + 2b) 3y(a + 2b)

(15)

3. x2− 2x − 3 x − 3 4. x3− 4x2− 21x x3 − 9x 5. x3 + 3x2− 4 x3+ 2x2− 8x − 12

VERIFIQUE SUS RESPUESTAS

1. 2X2Y2 3a3z3 , 2. 1 a − 1 , 3. x + 1 , 4. x − 7 x − 3, 5. x − 1 x − 3

1.3. REDUCCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS AL MÍNIMO COMUN

DENOMINADOR

La operación de reducir fracciones algebraicas al mínimo común denominador (m.c.d) consiste en convertirlas en fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador y que éste sea el menor posible.

Para realizar la operación debemos seguir los siguientes pasos: 1. Se simplifican las fracciones hasta hacerlas irreducibles.

2. Se halla el mínimo común múltiplo (m.c.m) de los denominadores. Este m.c.m será el denominador común.

3. Para hallar los nuevos numeradores se divide el m.c.m de los denominadores entre cada denominador; y el cociente se multiplica por el numerador respectivo.

1. Reducir al mínimo común denominador

a 6x2; b 8x; c 3xy Solución:

a. Hallamos el m.c.m de los denominadores: 6x2, 8x y 3xy

6x2; 8x; 3xy = 24x2y es el m.c.m.

b. Dividimos el m.c.m entre cada uno de los denominadores y a cada cociente lo multiplicamos por su respectivo numerador.

- 24x2 ÷ 6x2 = 4y

4y . a = 4ay; por lo que a 6x2 = 4ay 24x2y EJERCICIOS DESARROLLADOS

(16)

- 24x2 y 8x = 3xy

3xy . bx = 3bx2y; por lo que

bx 8x = 3bx2y 24x2y - 24x2y 3xy = 8x 8x . c = 8xc; por lo que c 3xy = 8cx 24x2y

c. Las fracciones reducidas al mínimo común denominador serán:

4ay 24x2y; 3bx2y 24x2y; 8cx 24x2y

2. Reducir al mínimo común denominador

a + b a2− 9; a − b a2− 6a + 9; b a2− 2a − 15 Solución:

a: Hallamos el mcm de los denominadores, aplicando la descomposición factorial puesto que son polinomios:

a2-9 = (a+3)(a-3)

a2 - 6a + 9 = (a - 3)2

a2 - 2a - 15 = (a - 5)(a + 3)

m.c.m. = (a + 3)(a - 3)2(a - 5)

b: Dividimos el m.c.m entre cada uno de los denominadores y a cada cociente lo multiplicamos por su respectivo numerador.

*

(a + 3)(a − 3)2(a − 5)

(a + 3)(a − 3) = (a − 3)(a − 5) (a − 3)(a − 5).(a + b) = (a − 3)(a − 5)(a + b) por lo que: a + b a2− 9= (a − 3)(a − 5)(a + b) (a + 3)(a − 3)2(a − 5) * (a + 3)(a − 3)2(a − 5) (a − 3)2 = (a + 3)(a − 5)

(a + 3)(a − 5).(a − b) = (a + 3)(a − 5)(a − b) por lo que: a − b a2− 6a + 9= (a + 3)(a − 5)(a − b) (a + 3)(a − 3)2(a − 5)

(17)

* (a + 3)(a − 3)2(a − 5) (a − 5)(a + 3) = (a − 3) 2 (a − 3)2.b = b(a − 3)2 por lo que: b a2− 2a − 15= b(a − 3)2 (a + 3)(a − 3)2(a − 5)

c. Las fracciones reducidas al mínimo común denominador serán:

(a − 3)(a − 5)(a + b) (a + 3)(a − 3)2(a − 5); (a + 3)(a − 5)(a − b) (a + 3)(a − 3)2(a − 5); b(a − 3)2 (a + 3)(a − 3)2(a − 5) 3. Reducir al mcd: x2 − 6x + 9 x2+ 2x − 15; 12ax + 6a 6a(x2 − 25); 7a 7ax − 35a Solución:

a. Aplicamos la descomposición factorial a numeradores y denominadores de cada fracción y simplificamos en lo posible.

1 º fracción: x2− 6x + 9 x2+ 2x − 15= (x − 3)2 (x + 5)(x − 3)= x − 3 x + 5 2º fracción: 12ax + 6a 6a(x2− 25)= 6a(2x + 1) 6a(x + 5)(x − 5)= 2x + 1 (x + 5)(x − 5) 3º fracción: 7a 7ax − 35a= 7a 7a(x − 5)= 1 x − 5

b. Buscamos el mcd de los denominadores descompuestos en factores y simplificados: (x+5); (x+5)(x-5); (x-5)

m.c.d = (x+5)(x-5)

c. Dividimos el mcd entre cada uno de los denominadores; y al cociente lo multiplicamos por su respectivo numerador.

* (x + 5)(x − 5) x + 5 = x − 5 (x − 5).(x − 3)2 = (x − 5)(x − 3)2 Por lo que: x2− 6x + 9 x2+ 2x − 5= (x − 5)(x − 3) (x + 5)(x − 5)

(18)

* (x + 5)(x − 5) (x + 5)(x − 5)= 1 1.(2x + 1) = (2x + 1) Por lo que: 12ax + 6a 6a(x2− 25)= 2x + 1 (x + 5)(x − 5) * (x + 5)(x − 5) x − 5 = x + 5 (x + 5).1 = x + 5 Por lo que: 7a 7ax − 35a= x + 5 (x + 5)(x − 5) d: Las fracciones reducidas al mcd serán:

(x − 5)(x − 3) (x + 5)(x − 5); 2x + 1 (x + 5)(x − 5); x + 5 (x + 5)(x − 5)

1. Reducir al m.c.d. las fracciones siguientes 1.1 2a 5x3; 1 2x6 ; 5a 10x 7y 6x2; 1 9xy; 5x 12y3 5 x − 1; x + 1 x2 − 2x + 1; 5(x + 1) (x − 1)3 1 x2− 7x + 12; 1 x2− 5x + 4 1.2 1.3 1.4

(19)

1.5 a2− b2 a2+ b2 ; a2+ b2 a2− b2 ; a4 + b4 a4 − b4

1.4. OPERACIONES CON FRACCIONES

1.4.1. SUMA O ADICION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Para sumar expresiones algebraicas racionales se procede igual que en aritmética, o sea: 1. Se halla el mcd de los denominadores.

2. Se divide el mcd entre los denominadores de cada fracción y se multiplica por su numerador respectivo.

3. Se reducen los términos del numerador y se simplifica la fracción, si es posible.

1. Sumar: 3 5a+ 3a 10+ a2− 6 10a Solución:

a: El mcd de: 5a, 10 y 10a es 10a.

b: Dividimos el mcd entre cada uno de los denominadores y estos cocientes obtenidos los multiplicamos por los numeradores respectivos.

* 10a 5a = 2 10a 10 = a 10a 10a= 1 2.3 = 6 a.3a = 3a2 1.(a2− 6) = a2 − 6 * * Por lo que: 3 5a+ 3a 10+ a2 − 6 10a = 6 + 3a2 + a2 − 6 10a = 4a2 10a c: Simplificando la fracción resultante

4a2 10a= 2a 5 es la suma. EJERCICIOS DESARROLLADOS

(20)

2. Sumar: 5x x − 3= 2x x2− 9 Solución: a: Se halla el mcd de x-3 y x2-9 x - 3 = x-3 x2 - 9 = (x+3)(x-3) mcd = (x+3)(x-3)

b: Dividimos el mcd entre cada uno de los denominadores y estos cocientes obtenidos los multiplicamos por los numeradores respectivos.

Por lo que: 5x x − 3+ 2x (x + 3)(x − 3)= 5x(x + 3) + 2x (x + 3)(x − 3) = 5x2+ 15x + 2x (x + 3)(x − 3) = 5x2+ 17x (x + 3)(x − 3) c: La última fracción no es posible simplificada, por lo tanto:

5x2+ 17x x2− 9 es la suma 3. Sumar: 5 x2− 11x + 24+ x + 8 x2− 64+ x x2− 6x + 9 Solución:

a: Al analizar los denominadores vemos que los mismos pueden descomponerse en factores, procedemos a realizar.

* 5 x2− 11x + 24= 5 (x − 8)(x − 3) x + 8 x2− 64= x + 8 (x + 8)(x − 8)= 1 x − 8 x x2− 6x + 9= x (x − 3)2 * * b: El mcd de: (x-8)(x-3); (x-8); (X-3)2 es: (x-8)(x-3)2

c: Dividimos el mcd entre el denominador descompuesto de cada fracción y su cociente lo multiplicamos por el numerador respectivo.

5x − 15 + x2− 6x + 9 + x2− 8x

(x − 8)(x − 3)2 =

2x2− 9x − 6

(21)

5x − 15 + x2− 6x + 9 + x2− 8x

(x − 8)(x − 3)2 =

2x2− 9x − 6

(x − 8)(x − 3)2

d: La última fracción no es posible simplificada, por tanto: = 2x2− 9x − 6 (x − 8)(x − 3)2 es la suma. 1. Sumar: 1.1 1.2 1.3 1.4 5 3a4b+ 12 8a2b5 a + 5 2ab + 5a + 3b a2b + 6 ab2 6 a + 3+ 2 a − 4 x − y x + y+ x + y x − y + 4xy x2− y2 1 x6− y6 + x6 y12− x12 3 y + 2 y + 2+ y y2 + 4 x x2− 2x + 1+ 1 x − 1+ 3 x − 1 3s − 6 4s2 + 12s − 16+ 2s − 5 6s2 − 6+ 3s2+ 3 8s2+ 40s + 32 1.5 1.6 1.7 1.8

(22)

1.4.2. RESTA O SUSTRACCÍÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Para restar expresiones algebraicas racionales se procede igual que en aritmética, o sea: 1. Se simplifican las fracciones cuando es posible.

2. Se halla el mcd de los denominadores.

3. Se divide el mcd entre los denominadores de cada fracción y se multiplica por su numerador respectivo.

4. Se restan los numeradores y se simplifica la fracción si es posible.

1. Calcule y simplifique la siguiente diferencia.

5 a− 4 b Solución: a: El mcd de a y b es ab.

b: Dividimos el mcd entre cada denominador y su cociente lo multiplicamos por el numerador respectivo.

* ab a = b ab a = a ; b.5 = 5b a.4 = 4a * ; Por lo que: 5 a− 4 b = 5b − 4a ab c: La última fracción 5b − 4a ab es la diferencia 2. De a + 2b 3a Restar 4ab2 − 3 6a2b Solución:

a: De: constituye el minuendo y Restar: el substraendo. La operación queda

planteada de la siguiente forma: EJERCICIOS DESARROLLADOS

(23)

a + 2b

3a −

4ab2 − 3

6a2b

b: El mcd de 3a y 6a2b es 6a2b, por lo que: c: a + 2b 3a − 4ab2 − 3 6a2b = 2ab(a + 2b) − 1(4ab2 − 3) 6a2b = 2a2b + 4ab2− 4ab2+ 3 6a2b = 2a2b + 3 6a2b d: La última fracción 2a2b + 3 6a2b es la diferencia. 3. Restar a + 3 a2+ a − 12De a − 4 a2− 6a + 9 Solución:

a: Planteamos la operación escribiendo primero la fracción precedida de la palabra De; a continuación la fracción precedida por la palabra Restar:

b: Hallamos el mcd de: a2-6a+9 y a2+a-12

a2 -6a+9 = (a-3)2 a2 +a+ 12 = (a+4)(a-3) mcd = (a-3)2(a+4) c: a − 4 (a − 3)2 − a + 3 (a + 4)(a − 3)= (a + 4)(a − 4) − (a − 3)(a + 3) (a − 3)2(a + 4) = a2− 16 − (a2− 9) (a − 3)2(a + 4) = a2− 16 − a2+ 9) (a − 3)2(a + 4) = −7 (a − 3)2(a + 4)= − 7 (a − 3)2(a + 4)

4. Calcule y simplifique la siguiente fracción:

a − 1 a2+ a− 1 2a − 2− 1 2a + 2 Solución:

(24)

a2+a = a(a+ 1) 2a-2 = 2(a-l) 2a+2 = 2(a+ 1) m.c.d = 2a(a+l)(a-l) b: a − 1 a(a + 1)− 1 2(a − 1)− 1 2(a + 1)=

2(a − 1)(a − 1) − a(a + 1)(1) − a(a − 1)(1)

2a(a + 1)(a − 1) = 2a2− 4a + 2 − (a2+ 1) − (a2− 1) 2a(a + 1)(a − 1) = 2a2− 4a + 2 − a2− 1) − a2+ 1) 2a(a + 1)(a − 1) = −4a + 2 2a(a + 1)(a − 1) −2(2a − 1) 2a(a + 1)(a − 1)= −(2a − 1) a(a + 1)(a − 1)= 1− 2a a(a2− 1)

c: La última fracción simplificada

1− 2a

a(a2− 1) ; es la diferencia.

1. Simplifique las siguientes fracciones: 1.1 5 ab − 2 a x − 2 x3y2 − x + 5 x2y4 1 x2− 81− 1 x2+ 18x + 81 10x x2− 12x + 36− 5 10x − 60 1 4a − 12x− a2+ 9x2 a3 − 27x3 − a 2(a2+ 3ax + 9x2) 1.2 1.3 1.4 1.5

(25)

2. De: Restar: 2.1 m + n m − n a − 4 a2− 6a + 9 1 5x + 15 m2 + n2 m2 − n2 a + 3 a2+ a − 12 x x + 3 2.2 2.3 3. Restar: De: 3.1 x 2ab x − 2 x2− x − 6 x + 5 3x2− 8x − 3 2x 3a2b x + 6 x2+ 2x − 15 3x 9x2− 1 3.2 3.3

1.4.3. SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

La suma algebraica de expresiones racionales sigue el mismo procedimiento ya estudiado, sólo tendremos el cuidado de escribir los signos + ó - según corresponda en el ejercicio.

1. Hallar la suma algebraica de: 2x 3zy+ 3y 5xz− 5z 7xy Solución:

a: El mcd de: 3yz; 5xz y 7xy es: 105 xyz Por lo que: b: 2x 3zy+ 3y 5xz− 5z 7xy = 35x(2x) + 21y(3y) − 15z(5z) 105xyz = 70x2 + 63y2 − 75z2 105xyz EJERCICIOS DESARROLLADOS

(26)

c: La última fracción

70x2+ 63y2− 75z2

105xyz es la solución.

2. Hallar la suma algebraica de: 1 x + 1+ x − 4 x2 − x + 1− x2− 3x + 2 x3+ 1 Solución: a: Hallamos el mcd de x+ 1; x2-x+ 1; x3+ 1 x+1 = x+1 x2-x+ 1 = x2-x+ 1 x3+ 1 = (x+ 1)(x2-x+ 1) m.c.d. = (x+ 1)(x2-x+ 1) Por lo que: b: 1 x + 1+ x − 4 x2− x + 1− x2 − 3x + 2 x3+ 1 = 1(x2− x + 1) + (x + 1)(x − 4) − 1(x2− 3x + 2) (x + 1)(x2 − x + 1) = x2− x + 1+ x2− 3x + −4 − x2+ 3x − 2 (x + 1)(x2− x + 1) = x2 − x − 5 (x + 1)(x2− x + 1)= x2 − x − 5 x3+ 1 c: La fracción x2− x − 5 x3+ 1 es la solución.

1. Hallar las siguientes sumas algebraicas: 1.1 a 3b2c − 2b 9ac2 + 5c 18a2b 3a 2bc− 2b 3abc+ 4c 5a2b 1 x − 3 − 2x 2x − 1+ 1 x(2x − 1) 1.2 1.3

(27)

1.4 9x2− 3y2 y(9x2− y2)+ 1 3x − y − 1 3x + y 2x3 x4+ x2y2+ y4 + 2y2 x3+ y3 − x + y x2+ xy + y2 − x2 + y2 x3 − y3 1.5

1.4.4. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

Para multiplicar dos o más fracciones los numeradores y denominadores se descomponen en factores; luego se simplifica en lo que sea posible y los resultados de la simplificación se multiplican entre si, miembro a miembro.

1. Hallar el producto de las siguientes fracciones:

2a 3b. 5b2x 6y . 4a2 7b3

a: Simplificamos los factores comunes entre numeradores y denominadores:

2a 3b. 5b2x 6y . 4a2 7b3 = a 3b. 5x 3y. 4a2 7b

b: Multiplicamos miembro a miembro los factores resultantes:

a(5x)(4a2) (3b)(3y)(7b)= 20a3x 63b2y c: La fracción 20a3x 63b2y es el producto. 2. Multiplicar: 6x2− 5x + 1 3x2− 10x + 3. x2+ 5x + 6 2x2 + 3x − 2 Solución:

a: Factoramos tanto el numerador como el denominador tenemos. * 6x2 − 5x + 1 3x2− 10x + 3= (2x − 1)(3x − 1) (x − 3)(3x − 1) 6x2 − 5x + 1 =(6x − 3)(6x − 2) 3.2 = (2x − 1)(3x − 1) 3x2 − 10x + 3 =(3x − 9)(3x − 1) 3 = (x − 3)(3x − 1)

(28)

* x2 + 5x + 6 2x2+ 3x − 2= (x + 3)(x + 2) (x + 2)(2x − 1) 2x2+ 3x − 2 =(2x + 4)(2x − 1) 2 = (x + 2)(2x − 1)

b: Simplificamos los factores comunes en los numeradores y denominadores.

(2x − 1)(3x − 1) (x − 3)(3x − 1). (x + 3)(x + 2) (x + 2)(2x − 1)= x + 3 x − 3 c: La fracción x + 3 x − 3 es el producto. 3. Simplificar: a2− 5a + 6 3a − 15 . 6a a2− a − 30. a2− 25 2a − 4 Solución:

a: Factoramos numerador y denominador. * a2− 5a + 6 3a − 15 = (a − 3)(a − 2) 3(a − 5) 6a a2− a − 30= 6a (a − 6)(a + 5) a2− 25 2a − 4 = (a + 5)(a − 5) 2(a − 2) * *

b: Simplificamos factores comunes en numeradores y denominadores:

(a − 3)(a − 2) 3(a − 5) x 6a (a − 6)(a + 5)x (a + 5)(a − 5) 2(a − 2) = a(a − 3) (a − 6) = a2− 3a (a − 6) c: La fracción a2− 3a (a − 6) es el producto. 4. Simplificar: x + 2 − 12 x + 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ x − 2 +10 − 3x x + 5 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ Solución:

(29)

a: Transformamos las expresiones mixtas a fracción: * x + 2 − 12 x + 1= (x + 2)(x + 1) − 12 x + 1 = x2+ 3x + 2 − 12 x + 1 = (x + 5)(x − 2) x + 1 x + 2 +10 − 3x x + 5 = (x − 2)(x + 5) + (10 − 3x) x + 5 = x2 + 3x − 10 + 10 − 3x x + 5 = x2 x + 5 *

b: Simplificando factores comunes en numeradores y denominadores:

(x + 5)(x − 2) x + 1 . x2 x + 5= x2(x − 2) x + 1 = x3 − 2x2 x + 1 c: La fracción x3− 2x2 x + 1 es el producto.

1. Halle el producto de las siguientes fracciones: 1.1 4ab2c3 5a2b0c4. 7a3b3c5 3ab2c2 5x2(2x + 5y)2 9y . 6y2 4x2 − 25y2. 3y(2x − 5y) 2x(2x + 5y) 2x2+ x − 3 x2+ 4x − 5. 2x2+ 11x + 5 2x2+ 7x + 6 m − mn m + n ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ 1+ n 3 m3 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ a + 2x − 14x2 2a + x ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ a − x + a2 + 5x2 1+ 4x ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ 1.2 1.3 1.4 1.5

(30)

1.4.5. DIVISION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Para dividir dos expresiones algebraicas racionales se multiplica el dividendo por el divisor invertido; esto significa que la expresión del numerador pasa a ser denominador y la expresión del denominador pasa a ser numerador.

1. Dividir : 4ax2 20by2entre 8ax 5by2 Solución:

a: La división se convierte en multiplicación, invirtiendo el divisor: 4ax2

20by2. 5by2

8ax

b: Simplificamos los factores comunes en el numerador y denominador.

4ax2 20by2. 5by2 8ax = x 8 c: La fracción x 8 es el cociente. 2. Dividir : 2x2 - 9x + 4 x2 - 16 ÷ 2x - 1 x2 + 8x + 16 Solución:

a: La división se convierte en multiplicación

2x2- 9x + 4

x2- 16 .

x2+ 8x +16

2x - 1

b: Aplicamos la descomposición factorial en numeradores y denominadores. * 2x2- 9x + 4 x2- 16 = (x − 4)(2x − 1) (x + 4)(x − 4) Note que: 2x 2- 9x + 4 =(2x - 8)(2x - 1) 2 = (x − 4)(2x − 1) EJERCICIOS DESARROLLADOS

(31)

* x2 + 8x + 16 2x - 1 = (x + 4)2 2x − 1

c: Simplificamos los factores comunes en el numerador y denominador.

(x − 4)(2x − 1) (x + 4)(x − 4). (x + 4)2 (2x − 1)= x + 4 1 = x + 4 d: La expresión x+4 es el cociente. 3. Dividir : n - 2n -1 n2+ 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ + n2+ 1-n -1 n ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ Solución:

a: Transformamos la expresión mixta a fracción de cada expresión:

* n- 2n-1 n2+2= n(n2+2)-(2n-1) n2+2 = n3+2n-2n+1 n2+2 = n3+1 n2+2 n2+1-n-1 n = n(n2+1)-(n-1) n = n3+n-n+1 n = n3+1 n *

b: La división se convierte en multiplicación, invirtiendo el divisor: n3+1 n2+2. n n3+1 n3+1 n2+2. n n3+1= n n2+2

1. Halle el cociente de las siguientes fracciones:

1.1 1 ÷ a/b 1.2 10mz2 7x2y2 ÷ 5mz 21x2y3

(32)

1.3 (x2- 3x+ 2) ÷x2 - 1 x x2- 25 x2- 16÷ x2+ 2x - 15 x2+ x - 12 a2- 2bc - b2 - c2 a2- c2 - b2+ 2bc÷ a+ b+ c a- b+ c x+ 2 x+ 3 ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥÷ x + 3 x+ 4 ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 1.4 3x+ 3 2x+ 1÷ x+ 1 4x+ 2 c2 - (a+ b)2 c2 - (a - b)2 ÷ a2- (b- c)2 (a+ b)2- c2 x+ 1 x+ 2 ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥÷ 1 + 3 x2- 4 ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ x- 2 x+ 1 ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥÷ x -x x+ 1 ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10

1.5 FRACCIONES COMPLEJAS

Se llama fracción compleja, a aquella fracción, en la cual el numerador, el denominador, o ambos, son fracciones algebraicas o expresiones mixtas. Para simplificar una fracción compleja se efectuarán las operaciones indicadas tanto en el numerador como en el denominador luego se divide los resultados obtenidos como si se tratara de una división cualquiera. 1. Calcule y simplifique 2x + 10 - 70 x + 3 2x - 2 - 10 x + 3 Solución:

a: Las fracciones mixtas del numerador y denominador las transformamos a fracciones comunes: * 2x + 10 - 70 x + 3= (2x + 10)(x + 3)− 70 x + 3 = 2x2+ 16x + 30 − 70 x + 3 = 2x2+ 16x − 40 x + 3 2(x2+ 8x − 20) x + 3 = 2(x + 10)(x − 2) x + 3 2x - 2 - 10 x + 3= (2x − 2)(x + 3)− 10 x + 3 = 2x2+ 4x − 6 − 10 x + 3 = 2x2+ 4x − 16 x + 3 2(x2+ 2x − 8) x + 3 = 2(x + 4)(x − 2) x + 3 * EJERCICIOS DESARROLLADOS

(33)

b: Dividimos los resultados: 2(x + 10)(x − 2) x + 3 ÷ 2(x + 4)(x − 2) x + 3 ÷ 2(x + 10)(x − 2) x + 3 ÷ x + 3 2(x + 4)(x − 2)÷ x + 10 x + 4 c: La fracción x + 10 x + 4 es la solución 2. Calcule y simplifique: x+1-6x+12 x+2 x-5 x-4+11x-22 x-2 x+7 Solución:

a: A esta operación se la puede considerar como una división de fracciones complejas; por tanto podremos escribir:

x+1-6x+12 s+2 x-5 ÷ x-4+11x-22 x-2 x+7

b: Operamos con cada fracción compleja para convertirla en fracción irreducible: * (x+1)(x+2)-(6x+12) x + 2 x − 5 = x2 + 3x + 2 − 6x − 12 x + 2 x − 5 = x2− 3x − 10 x + 2 x − 5 = (x − 5)(x + 2) x + 2 x − 5 =x − 5 x − 5= 1 *x − 4 + 11x − 22 x − 2 x + 7 = (x − 4)(x − 2) + (11x − 22) x − 2 x + 7 = x2− 6x + 8 + 11x − 22 x − 2 x + 7 = x2+ 5x − 14 x − 2 x + 7 = (x + 7)(x − 2) x − 2 x + 7 = x + 7 x + 7= 1 La fracción 1 1= 1 es la solución 1

(34)

1. Calcule y simplifique: 1.1 x +x 2 x −x 4 1−3 x + 2 x2 1 x − 2 x2 x − 2 2x + 3 x + 1− 3 2x + 1 1.2 20x2+7x-6 x 4 x2 -25 3-x+3y x+y 1+ y x-y x 2 -1 x+1 x 2+ 2x+3 x+1 1.3 1.4 1.5 1.6

(35)

2.1. DEFINICIÓN DEL EXPONENTE

Una expresión algebraica elevada a una potencia cualquiera da como resultado otra expresión tomada como factor dos o más veces.

exponente an =a x a x a .... n factores

Base

2.2. LEYES FUNDAMENTALES DE LOS EXPONENTES

2.2.1. Toda base elevada a la enésima potencia es igual a multiplicar

la base tantas veces nos indique el exponente. En general.

an = a . a . a ... n factores

EJEMPLOS:

Toda base elevada a la cero potencia es igual a 1. En general: 1. 23 = 2 x 2 x 2 = 8

2. 34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81

3. x5 = x . x . x .x. x

2.2.2. Toda base elevada a la cero potencia es igual a 1. en

general.

a0 = 1

El exponente cero proviene de dividir potencias iguales de la misma base: an = an = an-n = a0 O bien: an an = 1 Luego: a0 = 1

C A P Í T U L O 2

EXPONENTES Y RADICALES

(36)

1. 70 = 1

2. (6m2 n3 )0 = 1

3. (5x3 _ y2)0 = 1

2.2.3. Toda base elevada a un exponente negativo se transforma

en positivo cuando se le da su valor inverso o recíproco. En

general.

a-n= 1

an

El exponente negativo proviene de dividir dos potencies de la misma base cuando el exponente del dividendo es menor que el exponente del divisor.

am÷ am+n = am-(m+n)= am-m-n= a-n O bien: a m am+n = am aman= 1 an Luego: a-n=a1n 1. 4-3= 1 43 = 1 64 3a−2= 3 a2 3a

( )

−2 = 1 (3a)2 = 1 9a2 (a + b)−2= 1 (a + b)2 a−2+ b−2= 1 a2+ 1 b2 2. 3. 4. 5. EJERCICIOS DESARROLLADOS EJERCICIOS DESARROLLADOS

(37)

2.2.4. Toda base elevada a un exponente fraccionario se transforma

en un radical de tal forma que la base pasa a ser una cantidad

subradical, el denominador del exponente el índice de la

raíz y el numerador el exponente de la cantidad subradical.

En general:

a

m/n

= a

n m 1. 32/3= 33 2 = 93 a−4b1/2= 1 a4 b = b a4 2.

2.3. LEYES GENERALES PARA EXPONENTES ENTEROS Y

FRACCIONARIOS

Las siguientes leyes nos sirven para aplicar en exponentes enteros m y n y / o exponentes fraccionarios.

n = p/q m = r/s

Producto de bases iguales. El producto de bases iguales es igual a la misma base y

como exponente la suma de los mismos.

a

m

.a

n

=a

m+n

EJEMPLOS.

1.

a

5

.a

3

= a

5+3

= a

8

a

6

.a

-4

= a

6+(-4)

= a

2

2.

Cociente de bases iguales. El cociente de bases iguales es igual a la misma base y como

exponente la resta de los mismos. am an = a m−n 1. a 6 a4 = a 6-4 = a2 EJERCICIOS DESARROLLADOS EJERCICIOS DESARROLLADOS

(38)

2. a 5 a8 = a 5-8 = a-3 = 1 a3 63b7 62b2 = 6 3-2b7-2 = 61b5 = 6b5 3.

Potencia de otra potencia. Toda base elevada a una potencia, y a su vez a otras potencias

es igual a escribir la misma base y multiplicar sus exponentes. (am)n = a mn

1. (a 2 ) 3 = a 2.3 = a 6

2. (2x 3 ) 2 = 2 1.2 x 3.2 = 2 2 x 6 = 4x 6

3. (-3x3) 3 = -3 1.3x 3.3 = -3 3x 9 = -27x9

Cociente de bases diferentes. El cociente de bases diferentes elevadas a un exponente

común, es igual a cada base afectada por el exponente común.

a b ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ n = a n bn 1. a b ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 4 = a 4 b4 2 3x ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 3 = 23 3x3x3 = 8 27x3 2.

Producto de bases diferentes: El producto de bases diferentes elevadas a un exponente

común es igual a cada base afectada por el exponente común. En general: (a . b)m = a m bn

EJERCICIOS DESARROLLADOS

(39)

Simplifique las siguientes expresiones e indique la respuesta con exponentes positivos. 1. 53 x 52 (-3x5)3 15b7y3 9b5y2 2x0y a−2x−1y−3 2a2b3e ea-3 (a-1b0c-3)2 (a-1b-1c-1) 2. 37 / 34 5a+0+ 3a-1 -1(x-1)(2x-3)-2+ (2x-3)-1 3. 4. 6. 5. 7. 8. 9.

2.4. RADICALES

2.4.1. ESTRUCTURA DE UN RADICAL.

Los elementos de un radical son: índice de la raíz, cantidad subradical, exponente de la cantidad subradical y coeficiente de la raíz.

q an m

2.4.2. GRADO DE UN RADICAL.

El grado de un radical viene determinado por el índice de la raíz.

EJEMPLOS

1. 5 Es de segundo grado

TAREA DE REFUERZO No. 09

Índice Coeficiente

Cantidad subradical

(40)

2. 83

Es de tercer grado 3. 4n Es de enésimo grado

2.4.3. RADICALES SEMEJANTES.

Dos o mas radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y la misma cantidad subradical. En general.

p an y q an

EJEMPLOS.

2 33 y 5 33

2.5. LEYES DE LOS RADICALES

PRODUCTO DE RADICALES.

El producto de radicales de un mismo grado o índice es igual al producto de las cantidades subradicales conservando el radical común, es decir:

xn n y = xyn

Encuentre el producto de: 1. 3 7 = 21

2. 2ab5 5 5a2b3

= (2ab)(5a5 2b3) = 10a5 3b4

Frecuentemente el radicando obtenido como producto de dos radicales de orden n, tiene factores que son enésimas potencias. En tales casos se deben eliminar del radical todos los factores racionales posibles.

3. Encontrar el producto de: 5ab2 15ab3

SOLUCION

5ab2 15ab3 = (5ab2)(15ab3) = 75a2b5 = (25a2b4)(3b) = 5ab2 3b EJERCICIOS DESARROLLADOS

(41)

COCIENTE DE RADICALES.

Para resolver el cociente de radicales que tienen el mismo grado se divide las cantidades subradicales y se conserva el radical común, es decir:

x n y n = x y n

Encuentre el cociente de: 1. 5 3 = 5 3 2. 16a5b6 4 3ab2 4 = 16a5b6 3ab2 4 = 2ab 1/34

POTENCIA DE UN RADICAL.

Un radical elevado a una potencia es igual a la cantidad subradical elevada a dicha potencia, es decir:

x

n

( )

m

= xn m

Encuentre las potencias siguientes. 11

3

( )

4

= 113 4

= 146413

Si un radical contiene a otro radical, es igual al producto de los índices bajo la misma cantidad subradical, es decir.

a m n = anm 1. 3 5 = 53.2 = 56 EJERCICIOS DESARROLLADOS EJERCICIOS DESARROLLADOS EJERCICIOS DESARROLLADOS

(42)

Si en un radical existen factores comunes entre el índice y el exponente de la cantidad subradical, estos se simplifican, es decir:

anm m = an 2. a10 5

= a5.2 5

= a

La multiplicación de radicales de diferente índice de una cantidad subradical común es igual, a un radical cuyo índice es el producto de los índices de los radicales y como cantidad subradicalla común, como potencia la suma del producto de la potencia del primer radical por el índice del segundo radical mas la potencia de la segunda cantidad subradical por el índice del primer radical, es decir.

an pmaq = anm pm+qn

Multiplicar:

53 24 53 = 53.4 2.4+3.3 = 512 8+9 = 512 17 = 512 1255 = 5 512 5

Para introducir cantidades dentro de un radical se procede elevando las cantidades a la potencia que indique el índice de la raíz, es decir:

a bn = anb

Introduzca dentro del radical 1. 5 3 = 52.3 = 25.3 = 75

Del Álgebra de González-Mancil, Tomo 11, resuelva el ejercicio 119. EJERCICIOS DESARROLLADOS

EJERCICIOS DESARROLLADOS

(43)

2.6. RACIONALlZACION DE DENOMINADORES.

Una fracción que contiene un radical en el denominador se puede expresar siempre por medio de otra fracción equivalente que no contenga ningún radical en el denominador. Este proceso se llama racionalización de denominadores.

Muchas operaciones que contienen radicales se facilitan si al principio se racionalizan todos los denominadores. Si el radicando es una fracción cuyo denominador es un monomio, se multiplica ambos términos del quebrado por un número tal que convierta al denominador en potencia enésima del denominador.

1. Racionalice el denominador de: 3 3

SOLUCION:

Para racionalizar el denominador de 3

3 se multiplica cada miembro de la fracción por 3 y se obtiene. 3 3 = 3 3 3 3 = 3 3 3 = 3 2. Racionalice: x 2-y2 2x x+y SOLUCION:

Para racionalizar el denominador de x

2-y2

2x x+y se multiplica cada miembro de la fracción por x+y y tenemos.

x2-y2 2x x+y = x2-y2 x+y 2x x+y x+y = (x + y)(x − y) x+y 2x (x + y)2 = (x + y)(x − y) x+y 2x(x + y) = (x − y) x + y 2x

Expresiones Conjugadas. - son dos expresiones que contienen radicales de

segundo grado como x + y y x − y ,las que difieren solo en el signo que une sus términos.

Para racionalizar esta clase de expresiones, se multiplican ambos términos de la fracción por la conjugada del denominador y se simplifica el resultado. Por ejemplo:

(44)

7+2 5 7 - 5 = ( 7+2 5)( 7+ 5) ( 7 - 5)( 7+ 5) = 7+ 35+2 35+10 7-5 = 17+3 35 2 3. Racionalizar: 2 − 5 2 + 5 − 10 SOLUCIÓN:

Para racionalizar el denominador de una expresión que contiene 3 radicales de 2do. Grado, se procede de la siguiente manera.

consideramos al denominador como un binomio, así: 2- 5

2+ 5

(

)

- 10 ⎡

⎣⎢ ⎤⎦⎥

Luego procedemos como en el caso anterior 2- 5 2+ 5

(

)

- 10 ⎡ ⎣⎢ ⎤⎦⎥ = 2- 5

(

2+ 5

)

+ 10 ⎡ ⎣⎢ ⎤⎦⎥ 2+ 5

(

)

- 10 ⎡ ⎣⎢ ⎤⎦⎥⎡⎣⎢

(

2+ 5

)

+ 10⎤⎦⎥ = -3+2 5-5 2 ( 2+ 5)2-( 10)2= -3+ 5-5 2 2+2 10+5-10 =-3+ 5-5 2 2 10-3 = -3+ 5-5 2-(2 10+3) (2 10-3)(2 10+3) =5 2-14 5-9-6 10 31

Del Álgebra de González y Mancil Tomo 11, resuelva del ejercicio 122, los números impares.

2.7. SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES.

Para simplificar un radical se debe eliminar los factores del radical hasta que el radicando contenga sólo el exponente igualo mayor que el índice del radical y el índice sea tan pequeño como sea posible. En otras palabras simplificar un radical es obtener otro equivalente de índice menor.

(45)

Para simplificar una expresión radical se efectúan los pasos siguientes:

1. Se realizan todas las operaciones posibles aplicando las leyes de los radicales. 2. Se eliminan de los radicales todos los factores y divisores que sean posibles. 3. Se racionalizan los denominadores.

4. Si el resultado final contiene un radical, este se reduce al menor orden posible. Por ejemplo: * 1 2 256a 10b15 5 = 1 2 2 523a10b15 5 = 2 2a 2b3523 = a2b35 23 3 4 8a6b7 c8 3 = 3 4(2)a 2 b6b c6c2 3 = 3 2 a2b2*c c2*c b c2 3 = 3 2 a2b2 c3 bc3 c2 3 = 3 2 a2b2 c3 bc 3 *

Del Álgebra Superior de Schaum, revise los ejercicios resueltos de las páginas 56 a la 60 y resuelva los ejercicios propuestos de la página 61(uno de cada item).

(46)
(47)

S

S

E G U N D O

BIMESTRE

E G U N D O

BIMESTRE

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Desarrollar ecuaciones lineales: ya sea enteras, fraccionarias, literales y

con radicales.

• Resolver problemas sobre ecuaciones lineales.

• Resolver sistemas de ecuaciones, empleando algunos métodos. • Resolver ecuaciones cuadráticas, utilizando algunos procedimientos. • Resolver problemas sobre ecuaciones cuadráticas.

(48)

CAPÍTULO 3: ECUACIONES LINEALES

3.1. Ecuaciones de primer grado con una incógnita 3.2. Clasificación de ecuaciones.

3.3. Métodos para resolver una ecuación de primer grado. 3.4. Problemas de aplicación de las ecuaciones de primer grado.

CAPÍTULO 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

4.1. Definición.

4.2. Método de resolución.

CAPÍTULO 5: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO O CUADRÁTICAS

5.1. Definición.

5.2. Clasificación de ecuaciones de segundo grado. 5.3. Resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas 5.4. Ecuaciones de segundo grado completas factorizables.

5.5. Resolución de ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado 5.6. Resolución de ecuaciones empleando la fórmula general. 5.7. Solución gráfica de ecuaciones de segundo grado.

5.8. Problemas de aplicación.

5.9. Resolución de ecuaciones fraccionarias. 5.10. Resolución de ecuaciones literales. 5.11. Resolución de ecuaciones con radicales 5.12. Carácter de las raíces

5.13. Relación entre las raíces y los coeficientes

CONTENIDOS

(49)

DESARROLLO DEL APRENDIZAJE

C A P Í T U L O 3

ECUACIONES LINEALES

3.1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA

IGUALDAD

Igualdad es la expresión de dos cantidades algebraicas que tienen el mismo valor. Ambas cantidades se hallan separadas por el signo =, que se lee «igual a»

EJEMPLOS:

3.6-5 = 13 x = y+z

ECUACIÓN

Ecuación es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que sólo se verifica para determinados valores de la incógnitas.

Las incógnitas se acostumbran a representar por las Últimas letras del alfabeto: t, u, v, x, y, z.

EJEMPLOS:

X-2 = 10 4y - 1 = 6y - 4

En la ecuación x - 2 = 10, x es la incógnita. En esta ecuación x = 12 porque la igualdad sólo se verifica para este determinado valor:

Si le damos a x un valor distinto de 12, la igualdad no se verifica.

MIEMBROS DE UNA ECUACIÓN:

Una ecuación tiene dos miembros: PRIMER MIEMBRO de una ecuación, a aquella expresión que está a la IZQUIERDA del signo igual y SEGUNDO

(50)

EJEMPLO:

5x+3 = 2x + 9

5x+3 se llama primer miembro 2x+ 9 se llama segundo miembro

TERMINOS DE UNA ECUACIÓN

Se denomina términos de una ecuación a las distintas cantidades relacionadas entre si por los signos + o -; o la cantidad que esté sola en un miembro.

EJEMPLO:

7x + 4 = 8y - 3

Los términos son: 7x, 4, 8y, 3

GRADO DE UNA ECUACIÓN

En las ecuaciones de una sola incógnita, se llama grado de la ecuación al mayor exponente que tiene la incógnita en la ecuación.

x + 2 = 5x - 10 es una ecuación de primer grado porque el mayor exponente que tiene la x es 1.

x2 - 6x + 10 = 0 es una ecuación de segundo grado, por ser 2 el mayor exponente de la

incógnita.

A las ecuaciones de primer grado se les llama lineales. Cuando la ecuación tiene más de una incógnita, el grado está determinado por el término de mayor grado.

RAICES O SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN

Se llaman raíces o soluciones de una ecuación a los valores de las incógnitas que verifican o satisfacen la ecuación. Cuando se sustituyen las incógnitas por estos valores la ecuación se convierten en una igualdad.

EJEMPLO:

5x + 2 = 2x + 5

En esta ecuación x = 1, ya que al sustituir la incógnita por este valor, la ecuación queda satisfecha:

5x + 2 = 2x + 5 5(1) + 2 = 2(1) + 5

5+2 = 2+5 7 = 7

(51)

3.2. CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES

Las ecuaciones se clasifican en:

3.2.1. ECUACIONES ENTERAS

Una ecuación es entera cuando no tiene denominadores.

EJEMPLOS:

1. 2x + 8 - 3x = 5x 2. 4y + 3 = Y + 12 3. 3x + 8 = 20 - x

3.2.2. ECUACIONES RACIONALES

Son aquellas en las que no existe ninguna incógnita bajo el signo radical.

EJEMPLOS:

1. l0x + 15 = 2x - 10 2. 4y - 8 = 6y + 12

3.2.3. ECUACIONES LITERALES

Una ecuación es literal cuando además de las incógnitas tienen otras letras que representan cantidades conocidas. Una ecuación literal puede ser: entera, fraccionaria, racional o irracional.

EJEMPLOS:

1. 5x + 2a = bx + 9a 3. 2ax + b = 20ax - b 4 .

3.2.4. ECUACIONES FRACCIONARIAS

Una ecuación es fraccionaria, cuando al menos uno de sus términos es una expresión algebraica fraccionaria, por lo tanto la incógnita se encuentra en algÚn denominador. EJEMPLOS: 5x + 3x + 1 2x = 6x + 2 3x + 4x F F

(52)

2y 3 -8 y+1 = 4 y-6 X-3 X+2 -X 2x+5 = 8

3.2.5. ECUACIONES IRRACIONALES

Una ecuación es irracional cuando la incógnita aparece en un radical.

EJEMPLOS:

2x+9 = x-8 3x-2 = x+4

3.2.6. ECUACIONES EQUIVALENTES

Son ecuaciones equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

EJEMPLOS:

1. 2x + 1 = 11

2. 2x + 4 = 14 ; son ecuaciones equivalentes

3.3. RESOLUCION DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA

INCOGNITA

Para resolver una ecuación de primer grado se simplifica la expresión reduciendo términos semejantes y se efectÚan las operaciones indicadas hasta obtener una expresión de la forma:

mx + b = O, cuya solución es x = -b/m

Toda ecuación que se puede reducir a una expresión de la forma mx + b = O es una ecuación de primer grado con una incógnita.

Se debe tener en cuenta que en toda ecuación se pueden efectuar las siguientes operaciones, sin alterar la solución:

1. Sumar o restar a ambos miembros de la igualdad la misma cantidad. Si : a = b

Entonces: a + c = b + c ó a - c = b - c

2. Multiplicar o dividir ambos miembros de la igualdad por la misma cantidad diferente de cero.

(53)

Si: a = b Entonces: a . c = b . c ó a/c = b/c EJEMPLOS: 1. Resolver: 4x + 5 = -12 SOLUCIÓN: 4x + 5 = -12

4x + 5 + (-5) = -12 + (-5) Se suma -5 a ambos miembros de la ecuación. 4x + 0 = -17 Propiedad invertiva.

4x = -17 Propiedad modulativa.

1/ 4(4x)= -17.1 /4 Se multiplica por 1/4 ambos miembros de la ecuación.

1x =-17/4 Propiedad invertiva. x =-17/4 Propiedad modulativa VERIFICACIÓN 4x + 5 = -12 4(-17/4) + 5 = -12 -17+5 =-12 -12 = -12

Al resolver una ecuación no es necesario escribir todos los pasos con su correspondiente justificación ya que algunos de éstos pueden ser realizados mentalmente, tomando en cuenta las siguientes leyes:

3.3. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA

INCÓGNITA POR TRANSPOSICIÓN DE TÉRMINOS

1. Resolver: 4x + 2 = -8x + 26 F

1. U n término que aparece sumando en un miembro pasa restando al otro miembro.

2. Un término que aparece restando pasa sumando al otro miembro.

3. Un factor común que multiplica a un miembro pasa a dividir al otro miembro.

4. Un divisor común de todos los términos de un miembro pasa multiplicando al otro miembro.

5. En el primer miembro se ubica la incógnita y en el segundo las cantidades conocidas.

(54)

SOLUCIÓN:

a) Realizamos una transposición de términos, reuniendo en un miembro todos los términos que contengan la incógnita y al otro miembro los términos independientes,

4x + 8x = 26 -2

b) Reduciendo términos semejantes en cada miembro.

12x = 24

.

c) Despejando la incógnita y simplificando x = 24/12

x = 2 VERIFICACIÓN: 4x + 2 = -8x + 26 4(2) + 2 = -8(2) + 26 8 + 2 = -16 + 26 10 = 10 2. Resolver. 2x+1 2 = 4x+3 5 SOLUCIÓN:

Para evitar las fracciones se obtiene el mínimo comÚn denominador, que es 10 y se procede a operar conforme a lo estudiado:

2x+1 2 = 4x+3 5 m.c.d=10 5(2x+1) = 2(4x+3) = 10x+5 = 8x+6 = 10x-8x = 6-5 ; 2x = 1 ; x = 1/2 3. Resolver: 5 3 - 2 x+4 = 0 SOLUCIÓN:

Se efectua a operación indicada en el primer miembro de la ecuación:5 3 -

2

x+4 = 0 5(x+4)-6

3(x+4) = 0 Cuando el cociente de dos expresiones es cero, el dividendo es cero.

(55)

5(x+4)-6 = 0 5x+20-6 = 0 5x = -20+6 5x = -14 x = -14/5 5. Resolver: 2x+5 3x+2 = 7 SOLUCIÓN:

Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por (3x + 2) para eliminar el denominador: 2x+5 3x+2 = 7 (3x+2) 2x+5 3x+2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = 7(3x+2) 2x+5 = 21x+14 2x-21x = 14-5 -19x = 9 x = -9/19

Resuelva las siguientes ecuaciones: 1. 3x + 8 = 24 2. 9x - 3 = 21 3. 1/2x + 3/4= 1/8 4. 2(x+1) - (x-1) = 0 5. 2(x - 1) = 2x + 3 6. -7(x + 3) + 6(2x + 9) = 6(x + 3)

(56)

7. 4(3x + 9) - 2(5x + 7) + 7(x + 3) = -2(x + 1) + 2(x - 7) 8. x 2+ x 3 = x 5+8 9. 3 4 x + 3 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟+ 3 2 x − 1 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟− 3 2x = 9 4

3.4. PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE PRIMER

GRADO

Resolver problemas es el fin último de todo conocimiento, ya que éste carecería de importancia, si no nos proporciona las herramientas necesarias para enfrentar y resolver situaciones nuevas.

Los problemas que se pueden resolver, al interpretar el enunciado por medio de una ecuación de primer grado con una incógnita son muy variados y no existe una regla fija para hacerlo.

En general, se puede afirmar que para resolver un problema en forma correcta se debe disponer de una doble habilidad: por un lado, se debe traducir el enunciado verbal a una expresión algebraica; y por el otro, se debe resolver correctamente la ecuación.

Las siguientes consideraciones nos ayudarán a plantear y resolver problemas

1. Lea cuidadosamente el problemas hasta que lo comprenda perfectamente lo que se pide.

2. Identifique las cantidades tanto las conocidas como las desconocidas.

3. Busque fórmulas que relacionen las cantidades conocidas con las desconocidas. 4. Trace figuras o diagramas si es necesario.

5. Haga que una de las cantidades desconocidas quede representada por una variable, por ejemplo x, y trate de representar a todas las demás en función de dicha variable. Este es un paso importante y debe realizarse con cuidado.

6. Resuelva la ecuación y escriba las soluciones de todas las partes requeridas del problema.

7. Verificar todas las soluciones en el problema original.

EJERCICIOS:

1. Encuentre un número tal que 3 más un sexto del número es igual a 2/3. SOLUCION:

(57)

Representamos cada parte del número en la forma siguiente

3 más un sexto del número es = dos tercios del número

3 + x

6 = 2x

3 Ahora resolvemos la ecuación

3+x 6 = 2x 3 3.3 + 3.x 6 = 3. 2x 3 9 + x 2 = 2x ; 18 + x = 4x ; x - 4x = -18 - 3x = -18 x = -18/-3 x = 6 VERIFICACIÓN

3 más un sexto del número: 3+6

6 = 3 + 1 = 4

dos tercios del número: 2

3.6 = 2 + 2 = 4

2. Un concierto produjo $ 60.000 por la venta de 8.000 entradas. Si su precio fue de $6 y $10. ¿Cuántas entradas de cada tipo se vendieron?

SOLUCIÓN:

Sea: x = el número de entradas vendidas a $6 entonces:

8.000 - x = el número de entradas vendidas a $10 Ahora formamos una ecuación con el valor de las entradas, antes y después de mezcladas.

Valor antes de mezcladas = valor después de mezcladas valor de las entradas $ 6 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ + valor de las entradas $10 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ = valor de las entradas vendidas ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ 6x + 10(8000-x) = 60000

(58)

6x + 80000 - 10x = 60000 -4x = -2 0000 x = 20000 4 x = 5000 (entradas de $ 10) 8000 - x = 3000 (entradas de $ 10)

3. Si un lado de un triángulo mide las dos quintas partes del perímetro P, el segundo mide 70cm y el tercero corresponde a la cuarta parte del perímetro, ¿Cuál es dicho perímetro ?

SOLUCIÓN:

Sea P = el perímetro,

Trazamos un triángulo e indicamos sus lados 2 5P 70 cm P 4 Sabemos que: P = a + b + c p = P 4 + 70 + 2P 5 20P = 20.P 4 + (20)70 + 20. 2P 5 20P = 5P + 1400 + 8P 7P = 1400 p = 1400 7 p = 200 cm VERIFICACIÓN: lado 1 = P 4 = 200 4 = 50cm. lado 2 = 70cm = 70cm

(59)

lado 3 = 2P 4 = 400 5 = 80cm 200 cm(perimetro)

4. Cortar un alambre de 3,8m. e longitud en dos partes, tales que una de ellas mida un metro más que la otra.

SOLUCIÓN:

- Un esquema gráfico del problema ayuda a su interpretación:

3,8 m

x x - l

- Llamamos x al pedazo más largo del alambre, x - 1 m será el pedazo más corto.

- La suma de los pedazos es de 3,8m. luego, la ecuación que interpreta en enunciado será: x + x - 1 = 3,8 2x = 3,8 + 1 2x = 4,8 x = 4,8/2 x = 2,4 m

- El pedazo más largo mide 2,4 m y el pedazo más corto: x - 1 = 2,4m - 1m = l,4m

- 2,4m + l,4m = 3,8m

5. La suma de dos nÚmeros pares consecutivos es 106. Cuales son los nÚmeros.

SOLUCIÓN:

- Llamamos x al menor de los nÚmeros pares. x + 2 será el siguiente par

- La ecuación que embolsa el enunciado es: x + x + 2 = 106

2x = 106 - 2 2x = 104

(60)

x = 104/2 x = 52

- El otro nÚmero par es: x + 2 = 52 + 2 = 54

- Los pares consecutivos cuya suma es 106 son 52 y 54.

6. Hallar la medida de dos ángulos suplementarios, cuyos valores están en razón de 4 a 5.

SOLUCIÓN:

- La suma de dos ángulos suplementarios es 180 grados.

- Si x es el ángulo menor, entonces 180 - x será el ángulo mayor. - Planteamos la proporción que sugiere el enunciado:

x 180-x = 4 5 5x = 4(180-x) 5x = 720-4x 5x+4x = 720 9x = 720 x = 720 9 x = 80

- El ángulo mayor será: 180 - x =

180 - 80 = 100

- Los ángulos miden 80 y 100 grados.

7. El denominador de una fracción excede en tres unidades al numerador, si se suma 2 a cada término de la fracción resulta una fracción equivalente a 1/2. Hallar la fracción original.

SOLUCIÓN:

- Numerador: x

- Denominador: x + 3

- Sumando 2 a cada término tendremos:

- Numerador: x + 2

(61)

- Esta fracción es igual a 1/2, entonces: x+2 X+5 = 1 2 x+5 = 2(x+2) x+5 = 2x+4 x-2x = 4-5 -x = -1 x = 1

- Reemplazando valores en la primera fracción: x x+3 1 1+3 = 1 4

La fracción original es: 1/4

8. Pedro puede hacer un trabajo en tres días y Daniel puede hacerla en 5 días. En que tiempo lo harán trabajando conjuntamente.

SOLUCIÓN:

- Pedro hace el trabajo en 3 días: 1/3 en un día. - Daniel hace el trabajo en 5 días: 1/5 en un día. - Pedro y Daniel lo hacen en x días: 1/x en un día.

1 3+ 1 5= 1 x 5 + 3 15 = 1 x 8 15= 1 x 8x = 15 x =15 8 = 1 7 8

- Pedro y Daniel trabajando conjuntamente harán el trabajo en un día y 7/8 de día más.

(62)

Resuelva los siguientes problemas.

1. Encuéntrense tres números enteros consecutivos cuya suma sea 60. R: 19,20,21. 2. En un grupo de 35 estudiantes había 10 hombres menos que el doble de mujeres.

Determínese cuantos había de cada sexo. R: 20 y 15.

3. Juan tiene 12 monedas más que Enrique y entre ambos tienen 78. Cuántas monedas tiene cada uno. R: 33 Y 45.

4. Si el triple de un nÚmero se resta de 8 veces el nÚmero, el resultado es 45. Hallar el número. R: 9.

5. El largo de un rectángulo es el triple del ancho y su perímetro es de 56cm. Hallar sus dimensiones. R: 7cm, 21cm.

6. Si un lado de un triangulo es igual a un cuarto del perímetro P, el segundo mide 3m, y el tercero mide un tercio del perímetro. ¿Cuál es el perímetro?.

7. La suma de la mitad, la tercera y la quinta parte de un nÚmero es 31. Hallar el nÚmero. R: 30.

8. El numerador de una fracción es dos unidades mayor que el denominador. Si se suma 1 a cada término la fracción resulta equivalente a 3/2. Hallar la fracción original. R: 5/3.

9. Hallar el nÚmero que sumando al numerador y al denominador de 7/10 convierte a esta fracción en otra equivalente a 3/4. R: 2.

10. Pedro puede levantar un muro en 6 días y Julián en 8 días. En qué tiempo harán el muro trabajando conjuntamente. R: 3 3/7 días.

11. Juan y Antonio trabajando juntos pueden abrir una zanja en 12 horas. Antonio t Tomás pueden abrirla en 15 horas. Antonio trabajando sólo tardará 25 horas. Qué tiempo tardarían en abrir la zanja Juan y Tomás. R: 14 3/7 horas.

12. Una función musical escolar produjo $12600 por la venta de 3500 entradas. Si las entradas costaban $2 y $4 ¿Cuántas de cada tipo se vendieron?.

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects :