Distorsión
Objetivo
• El alumno entenderá cuales son las condiciones de un medio para transmisión sin distorsión
• El alumno aprenderá a clasificar y medir la distorsión.
Contenido
• Distorsión
• Transmisión sin distorsión
• Clasificación de la distorsión
• Distorsión armónica
Distorsión
Definición 1. Distorsión. Es cualquier cambio en una señal que altera su forma de onda básica (en el dominio del tiempo) o bien, altera la relación entre sus componentes espectrales (domino de la frecuencia). La distorsión puede ser del tipo lineal o del tipo no lineal
Definición 2. Distorsión lineal. Es la alteración de la forma de onda de la señal transmitida y se debe a la respuesta en frecuencia no plana del medio de transmisión, que trabaja como filtro y tiende a atenuar o a resaltar algunas frecuencias del mensaje. El efecto en telefonía es que a veces se no reconocemos la voz del que nos habla porque se modifica su timbre.
Definición 3. Distorsión alineal. Es un tipo de distorsión no lineal y ocurre cuando un sistema, debido a su ganancia no línea, genera nuevas componentes espectrales en frecuencias múltiplo de las frecuencias ya presente (armónicas) o bien, genera nuevas componentes espectrales en frecuencias suma y diferencia de las frecuencias ya presentes en la señal (intermodulación). Auditivamente, se escucha como un ruido intermitente.
Transmisión sin distorsión
El estudio de un sistema que transmite sin distorsión, una señal, se realiza en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia. Para este estudio considere el sistema de la figura 1 en el cual la señal de salida
se calcula como la convolución de la señal de entrada con la respuesta a impulso del sistema , es decir:
(1)
Estudio en el dominio del tiempo
En el dominio del tiempo, la señal que entrega un sistema que transmite sin distorsión deben satisfacer las siguientes condiciones:
Figura 1. Diagrama a bloque de un sistema genérico. Tal sistema se usará para explicar la transmisión sin distorsión de las señales.
1. La salida es una réplica de la entrada.
(2)
2. La salida puede estar amplificada o atenuada respecto de la entrada.
(3)
3. La salida puede estar retrasada en tiempo respecto de la entrada.
(4)
Estudio en el dominio de la frecuencia
Se busca conocer la respuesta en frecuencia del sistema que transmite sin distorsión. Para tal fin, iguale las ecuaciones (1) y (4):
(5)
Se aplica ahora la transformada de Fourier a la ecuación (5).
(6)
Si ahora se retira la señal de entrada, la cual es común a ambos lados del signo igual, se logra
(7)
La ecuación (7) representa la respuesta en frecuencia de un sistema que transmite sin distorsión una señal. A este respecto, dado que la ecuación de respuesta en frecuencia es un complejo, se hace necesario un estudio en magnitud y fase
La ecuación (8) es la magnitud de la respuesta en frecuencia:
(8)
La gráfica de la ecuación (8) puede verse en la figura 2.a. De esta figura puede notarse lo siguiente:
−
∗ = −
=
=
• La magnitud de la respuesta en frecuencia es independiente de la frecuencia
• El ancho de banda del sistema que transmite sin distorsión es infinito
La ecuación (9) es la fase de la respuesta en frecuencia.
(9)
La gráfica de la ecuación (9) puede verse en la figura 2.9. De esta figura puede notarse que el desfasamiento que provoca el sistema en una señal que lo atraviesa es proporcional a la frecuencia.
Clasificación de la distorsión
La figura 3 exhibe la clasificación general de la distorsión que será tratada
Figura 3. Clasificación de la distorsión.
= −
Distorsión armónica
Cuando una señal senoidal excita un circuito no lineal, en la salida aparecen armónicas de esa señal, mismas que provocan que tal señal, a la salida del circuito, aparezca deformada.
Definición 4. La distorsión armónica es la alteración de la forma de onda de una señal debido a que la ganancia no lineal del sistema genera nuevas componentes espectrales en frecuencias que son múltiplo (armónicas) de las frecuencias de otras componentes espectrales ya presentes en la señal.
La ecuación temporal que describe la distorsión alineal
Considere la curva de ganancia lineal de la figura 4.a. Esta curva puede ser descrita por la ecuación siguiente
(10)
Considere ahora la curva de ganancia no lineal de la figura 4.b. Esta curva puede ser descrita por la siguiente ecuación
(11)
Donde los términos de la ecuación 11 tienen los siguientes significados:
• : Es el término lineal, la señal de entrada es amplificada por un factor . • ! : Es el término cuadrático, responsable de la distorsión por segunda armónica. • "# : Es el término cúbico, responsable de la distorsión por tercera armónica. • Y así sucesivamente.
$%&=
$%&= ' ! ' "# ' ⋯
En la ecuación 11, los términos de potencias superiores a la potencia tres tienen significados similares, el término de la potencia cuarta produce la distorsión por cuarta armónica, el término de la quinta potencia produce la distorsión por quinta armónica, y así sucesivamente.
Comportamiento temporal de un sistema no lineal
La figura 5.a ilustra la curva de ganancia de un sistema no lineal al cual se le alimenta un tono puro o senoide. La salida generada por el sistema puede verse como una senoide deformada.
Comportamiento espectral de un sistema no lineal
Cuando se alimenta un tono puro a un sistema no lineal, la señal de salida es el tono deformado. El espectro de ese tono puede verse en la figura 5.c.
Demostración del comportamiento no lineal de un amplificador con JFET
El JFET es un semiconductor con comportamiento típicamente cuadrático. La figura 6 ilustra un amplificador JFET con autopolarización. La ecuación que describe la salida en función de la entrada es:
(12)
Figura 5. Respuesta temporal de un sistema con ganancia no lineal. Observe que luego de alimentar una senoide, el sistema entrega una senoide deforme.
Si la señal de entrada es un tono puro descrito como:
(13)
Sustituyamos ahora la ecuación de entrada (13) en la ecuación característica (12) y tendremos la siguiente señal:
(14)
Donde los términos de la señal que resulta significan:
• )*!⁄2 es una componente de directa.
• )*-* es la componente fundamental a frecuencia *.
• )*!⁄ ./22 * es la componente por segunda armónica (a frecuencia 2*).
Utilidad de la distorsión armónica
Los circuitos que producen distorsión armónica con todo propósito se emplean como:
• Multiplicadores de frecuencia
• Circuitos sintonizadores
• Sintetizadores de frecuencias
• Generadores de funciones de alta frecuencia
= )*-*
)$%&= )* !
2 ' )*-* −
)*!
2 ./2*
Figura 6. Circuito amplificador con JFET. Este circuito provoca típicamente un curva de ganancia cuadrática. Q1A
2N5454
R1 1kΩ
R2
1kΩ 0
Medición de la distorsión por la n-ésima armónica
La distorsión que provoca por la segunda armónica se puede cuantificar en porcentaje del voltaje de la componente fundamental de la forma que sigue:
(15)
En donde
• )!°1 es el voltaje de la segunda armónica. • )2 es el voltaje de la componente fundamental.
De forma semejante, la distorsión por tercer armónica puede cuantificarse también en un porcentaje del voltaje de la componente fundamental como:
(16)
De forma general se puede cuantificar la distorsión por la - − é45 armónica como la relación de su voltaje al voltaje de la componente fundamental.
Medición de la distorsión armónica total
La distorsión generada por todo el contenido armónico se puede expresar a partir del teorema de Parseval como:
(17)
%73° =)#°1
)2 × 100% %72° ))!°1
2 × 100%
Ejemplos de distorsión armónica
Primer ejemplo:
La curva característica de transferencia de un amplificador es:
(18)
Si la señal de entrada es:
(19)
Calcule el %<7
Sustituyendo la entrada en la ecuación de transferencia del amplificador resulta que salida es:
(20)
Entonces el %<7 se calcula como:
(21)
Segundo ejemplo
La curva característica de salida de un amplificador es:
(22)
Calcule el %<7
Dado que la ecuación representa una señal con dos componentes espectrales cuyas frecuencias no so múltiplo una de la otra, resulta que %<7 = 0
Tercer ejemplo:
La señal de salida de un amplificador ha sido cualificada mediante la siguiente ecuación
(23)
Calcule el %<7
$%&= 100 ' 50' !
= 5-100
$%&=112.5 + 250-100 − 12.5./200
%<7 12.5250 × 100% 5%
$%& 4 + 200./100 + 10./150
Primero se quita el cuadrado de la expresión trigonométrica, es decir, se aplica una identidad trigonométrica y resulta que:
(24)
Obsérvese que en la expresión anterior se tiene la suma ⋯ + 2.5./200 + 2-200 para resolver esta situación de dos componentes en cuadratura se emplea la siguiente identidad trigonométrica
(25)
Aplicando la ecuación (23) a la ecuación (22) se puede resolver de la forma que sigue
(26)
Así que la distorsión armónica total se calcula como:
(27)
Intermodulación
Cuando una señal excita un circuito no lineal, en la salida aparecen componentes espectrales nuevas que no son armónicas de esa señal. Estas nuevas componentes provocan que la señal, a la salida del circuito, aparezca deformada.
Definición 5. La intermodulación es la alteración de la forma de onda de una señal debido a que la ganancia no lineal del sistema genera nuevas componentes espectrales en frecuencias que son suma y resta de las frecuencias de las componentes espectrales ya presentes en la señal.
Ecuaciones para el comportamiento no lineal y cuadrático de un amlificador
Considere nuevamente el circuito amplificador con JFET de la figura 5. Tal amplificador tiene una curva de ganancia característicamente cuadrática y que es modelada por la ecuación (12). Si ahora la entrada es la suma de dos tonos puros, es decir:
$%&= 50 '250./100 + 2.5 + 2.5./200 + 2-200
./. + A- =!+ A!./ B − CA
D
$%& 52.5 + 25./100 + =2.5!+ 2!./ B200 − C2.5D2
(28)
Donde
(29)
Sustituyendo la ecuación 28 en la ecuación 12 se logra
(30)
Desarrollando la ecuación (30) y agrupando términos se logra
(29)
Donde
• H+ H!: es el termino correspondiente a la salida correspondiente a la entrada H • IJ+ J!K: es el término correspondiente la salida correspondiente a la entrada J
• 2 HJ: es término se conoce como producto cruzado.
Los dos primeros términos de la ecuación (29) indican un comportamiento lineal ya que cada entrada genera su propia salida: el efecto de estos términos ya ha sido estudiado. El tercer término, conocido como producto cruzado, corresponde a un comportamiento no lineal y es el objeto de interés del presente segmento.
El producto cruzado
Es el producto cruzado que apareció en la ecuación 29 y corresponde a:
(30)
= H' J
H= )H-H
J= )J-IJK
$%&= IH' JK ' IH' JK !
$%&= H' H! ' IJ' J!K '2 HJ
Si se sustituyen la pareja de ecuaciones (29) en la ecuación (30) se logra
(31)
Donde puede observarse que:
• )H)JcosIH− JK: es una componente espectral en frecuencia diferencia • )H)JcosIH' JK: es una componente espectral en frecuencia suma
Ejemplo:
Si dos senoides de frecuencias 1UQV y de 20UQV ingresan a un amplificador de ganancia cuadrática, calcule cuantas componentes espectrales sale y a cuales frecuencias.
Cada senoide de entrada genera una componente de directa, su propia frecuencia y una segunda armónica. Además, el producto cruzado genera dos componentes espectrales a frecuencias suma y diferencia. Así que a la salida del sistema se tienen 7 componentes espectrales en las siguientes frecuencias:
Para la senoide de 1U QV se tiene
"7
1U QV 2UQV
La senoide de 20U QV genera (se repite la componente de directa)
"7 20U QV 40UQV
El producto cruzado genera
19U QV
21U QV
