8 - Diseño con Medidas Repetidas en SPSS

(1)

Diseño con medidas repetidas.

Marcelo Rodríguez G.

Ingeniero Estadístico - Magister en Estadística

Universidad Católica del Maule Facultad de Ciencias Básicas

Ingeniería en Agronomía Diseño Experimental

(2)

Introducción

Denición (Diseños con Medidas Repetidas)

Se caracteriza porque todos los niveles del factor se aplican a las mismas unidades experimentales.

Las comparaciones ante los distintos tratamientos se lleva a cavo dentro de un único grupo de UE's (comparaciones intra-sujetos), no estableciéndose comparaciones entre diferentes grupos de UE's. Se reere a mediciones repetidas de la variable de dependiente en cada unidad experimental, haciendo hincapié en experimentos con

observaciones realizadas en ocasiones sucesivas en el tiempo. Las ventajas de los diseños de medidas repetidas son evidentes: requieren menos sujetos que un diseño completamente aleatorizado y permiten eliminar la variación residual debida a las diferencias entre los sujetos (pues se utilizan los mismos).

(3)

Ejemplo para un diseño de un factor con medidas repetidas

En un experimento diseñado para estudiar el efecto del paso del tiempo sobre incidencia de una plaga, a un grupo de 9 plantas se les cuenta el número de ninfas vivas. Se aplica un producto químico, más tarde, al cabo de una hora, de un día, de una semana y de un mes, se les cuanta el número de ninfas vivas. Se trata de un diseño de un factor (al que podemos llamar tiempo) con cuatro niveles (los cuatro momentos en los que se registra: al cabo de una hora, de un día, de una semana y de un mes) y una variable dependiente (la cantidad de ninfas vivas).

Planta hora día semana mes

1 16 8 8 12 2 12 9 9 10 3 12 10 10 8 4 15 13 7 11 5 18 12 12 12 6 13 13 8 10 7 18 16 10 13 8 15 9 6 6 9 20 9 11 8

(4)

Datos para un diseño de un factor con medidas repetidas

Unidades Factor A (tiempo)

Experimentales 1 2 3 · · · k Medias 1 y11 y12 y13 · · · y1k y1 2 y21 y22 y23 · · · y2k y2 3 y31 y32 y33 · · · y3k y3 ... ... ... ... ... ... ... n yn1 yn2 yn3 · · · ynk yn Media y1 y2 y3 · · · yk y

El arreglo es parecido al diseño en bloque, la diferencia radica en que en el diseño con medidas repetidas simples, a cada unidad experimental se le mide la variable dependiente en los distintos tiempos (j = 1, 2, . . . , k).

(5)

Descomposición de la suma de cuadrados

Suma de cuadrados total:

SCT =Xn i=1 k X j=1 (y_ij −y)2 Suma de cuadrados del tiempo (tratamientos):

SCA =Xn i=1 k X j=1 (y_j−y)2 Suma de cuadrados de los unidades experimentales:

SCS = n X i=1 k X j=1 (y_i−y)2 Suma de cuadrados del error:

(6)

Prueba de hipótesis

(Tabla de ANOVA)

Modelo Suma de Grados de Media Fc

cuadrados libertad cuadrática

Tiempo (Tratamiento) SCA k − 1 MCA=SCA/(k-1) MCA_MCE

Unidades Exp. SCS n − 1

Error SCE (k − 1)(n − 1) MCE=SCE/[(k-1)(n-1)]

Total SCT nk − 1

(Hipótesis)

H₀ : µ₁= µ₂= · · · = µ_k v/s H₁: µ_i 6= µ_j, para algún i, j

(Reglas para el rechazo de H0)

Fijar α y Rechace H0 si Fc >F1−α(k − 1, (k − 1)(n − 1))

(7)

Ejemplo para un diseño de un factor con medidas repetidas

Considerando el ejemplo anterior del número de ninfas vivas, pruebe la hipótesis de que existen diferencia en el número de ninfas vivas para las cuatro fechas de medición.

Sujetos hora día semana mes Promedio 1 16 8 8 12 11,00 2 12 9 9 10 10,00 3 12 10 10 8 10,00 4 15 13 7 11 11,50 5 18 12 12 12 13,50 6 13 13 8 10 11,00 7 18 16 10 13 14,25 8 15 9 6 6 9,00 9 20 9 11 8 12,00 Promedio 15,44 11,00 9,00 10,00 y =11,36 SCT = 9 X i=1 4 X j=1 (yij−11, 36)2 _{= (16 − 11, 36)}2_{+ (}_{12 − 11, 36)}2_{+ . . . + (}_{8 − 11, 36)}2₌_{410, 306.} SCA =X9 i=1 4 X j=1 (yj−11, 36)2 = 9[(15, 44 − 11, 36)2+ (11 − 11, 36)2+ (9 − 11, 36)2+ (10 − 11, 36)2] =218, 083. SCS =X9 i=1 4 X j=1 (yi−11, 36)2 = 4[(11 − 11, 36)2+ (10 − 11, 36)2+ . . . + (12 − 11, 36)2] =91, 556 SCE =SCT-SCA-SCS =410, 306 − 218, 083 − 91, 556 = 100, 667

(8)

Ejemplo para un diseño de un factor con medidas repetidas

Ordenando la información en una tabla de ANOVA

Modelo Suma de Grados de Media Fc

cuadrados libertad cuadrática

Fechas 218,083 3 72,694 17,331

Unidades 91,556 8

Error 100,667 24 4,194

Total 410,306 35

Como, Fc =17, 331 > F_0,95(3, 24) = 3, 01 y valor-p= 0, 000.

Entonces, se debería rechazar H0 : µ1= µ2 = µ3 = µ4.Por lo tanto, existe

un efecto en el número de ninfas vivas, atribuible a las cuatro fechas de medición.

(9)

Diseño de un factor con medidas repetidas en SPSS

(Ejemplo de un Diseño con medidas repetidas simples en SPSS)

En SPSS, Analizar -> Modelo lineal general -> Medidas repetidas. 1 Póngale el Nombre al factor intra-intrasujeto, en este ejemplo el

nombre sería fechas.

2 Indique el Número de niveles (en este ejemplo es 4). 3 Seleccionar Añadir y luego Denir.

4 Seleccionar los tratamientos (fechas) y trasladarlas a la lista Variables intra-sujetos.

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

Diseño de un factor con medidas repetidas en SPSS

Se ofrecen varios estadísticos para poner a prueba la hipótesis nula referida al efecto del factor tiempo (son métodos alternativos al visto anteriormente). Contiene cuatro estadísticos multivariantes.

Se interpretan de la misma manera que el resto de estadísticos ya estudiados: puesto que el valor−p (Sig.) asociado a cada uno de ellos es menor que 0,05, podemos rechazar la hipótesis nula de igualdad de medias

y concluir que el número de ninfas promedios diere a través del tiempo.

(17)

Diseño de un factor con medidas repetidas en SPSS

En los modelos de medidas repetidas es necesario suponer que las varianzas de las diferencias entre cada dos niveles del factor MR son iguales. Con, por ejemplo, 4 niveles, tenemos 6 pares de combinaciones dos a dos entre niveles: 1-2, 1-3, 1-4, 2-3, 2-4 y 3-4. Calculando las diferencias entre las puntuaciones de esos 6 pares, tendremos 6 nuevas variables. En el modelo de un factor MR suponemos que las varianzas de esas 6 variables son iguales.

Puesto que el valor−p asociado al estadístico W (0,804) es mayor que 0,05, no podemos rechazar la hipótesis de esfericidad. Por lo tanto, se esta cumpliendo el supuesto de igualdad de varianzas y se podría utilizar esta técnica (en caso que no se cumpla el supuesto se deben utilizar la prueba de Esfericidad asumida (la que calculamos)).

(18)

Diseño de un factor con medidas repetidas en SPSS

Observando los resultados de la tabla vemos que las cuatro versiones del estadístico F (la no corregida y las tres corregidas) conducen a la misma conclusión, que a su vez coincide con la ya alcanzada utilizando la aproximación multivariada.

puesto que el valor−p (Sig.) es menor que 0,05, podemos rechazar la hipótesis de igualdad de medias y concluir que el número de ninfas promedio no es la misma en las cuatro medidas obtenidas. Estos cálculos los obtuvimos anteriormente con formulas.

(19)

Diseño de un factor con medidas repetidas en SPSS

La tabla recoge, para cada contraste, la información necesaria para contrastar la hipótesis nula de que el polinomio o componente evaluado vale cero en la población.

Podemos concluir, por tanto, que las medias del número de ninfas, en cada momento temporal se ajustan signicativamente tanto a una línea recta (componente lineal) como a una curva (componente cuadrático).

Conviene señalar que, cuando existe más de un componente signicativo, suele interpretarse el de mayor orden.

(20)

Diseño de un factor con medidas repetidas en SPSS

(21)

Diseño de un factor con medidas repetidas en SPSS

(22)

Diseño de un factor con medidas repetidas en SPSS

Gráco de perl: Ajuste polinomial

Podemos observar en él que número de ninfas va disminuyendo con el paso del tiempo, pero sólo hasta el momento 3 (una semana), a partir del cual se observa una ligera recuperación.