El eje radical es tangente a la circunferencia inscrita:
( 1 b−c
1 c−a
1 a−b
)
0 s−c s−b s−c 0 s−a s−b s−a 0
1 b−c
1 c−a
1 a−b
= 0.
Y el punto de Feuerbach es:
0 s−c s−b s−c 0 s−a s−b s−a 0
1 b−c
1 c−a
1 a−b
=−
(s−a)(b−c) (c−a)(a−b) (s−b)(c−a) (a−b)(b−c) (s−c)(a−b) (b−c)(c−a)
.
21.2 Posibles construcciones del punto de Feuerbach se basan en los dos resultados que se expo- nen a continuaci´on. Otra construcci´on en http://webpages.ull.es/users/amontes/pdf/ejtr2354.pdf o enhttp://webpages.ull.es/users/amontes/pdf/ejtr2455.pdf.
El tri´angulo medial de ABC es perspectivo con el tri´angulo A′B′C′, formados por los otros puntos en que los lados del tri´angulo anticomplementario del tri´angulo de contacto interior, vuelven a cortar a la circunferencia inscrita a ABC.
En otras palabras: ”Sean AI, BI y CI los puntos de contacto de la circunferencia inscrita a ABC con sus lados. La paralela porAI aBICI corta a la circunferencia inscrita en A′ (este punto es el sim´etrico de AI respecto a la bisectriz enA); entonces, la recta A′Ma (Ma es el punto medio de BC) vuelve a cortarla en el punto de Feuerbach”.
Los puntos de contacto de la circunferencia inscrita conABC son (12.50):
AI(0 :a+b−c:a−b+c), BI(a+b−c: 0 :−a+b+c), CI(a−b+c:−a+b+c: 0).
La ecuaci´on de la circunferencia inscrita es (20.79):
a2yz+b2zx+c2xy− 1
4(x+y+z)( (
a2+b2+c2+ 2(−ab+bc−ca)) x+
( ) ( ) )
Las paralelas porAI a BICI, por BI aCIAI y por CI aAIBI son, respectivamente:
(a(b+c)−(b−c)2)
x+ (b−c)(a−b+c)y−(b−c)(a+b−c)z = 0,
−(c−a)(−a+b+c)x+(
b(c+a)−(c−a)2)
y+ (c−a)(a+b−c)z = 0, (a−b)(−a+b+c)x−(a−b)(a−b+c)y+(
c(a+b)−(a−b)2) z = 0.
Estas recta vuelven a cortan a la circunferencia inscrita, respectivamente, en los puntos:
A′ (
(−a+b+c)(b−c)2 : (a−b+c)b2: (a+b−c)c2 )
, B′(
(−a+b+c)a2 : (a−b+c)(c−a)2: (a+b−c)c2) , C′
(
(−a+b+c)a2: (−a+b+c)a2 : (a+b−c)(a−b)2 )
. Las ecuaciones de las rectas queA′Ma, B′Mb y C′Mc son, respectivamente:
(b2+c2−a(b+c))x+ (b−c)(−a+b+c)y+ (a−b−c)(b−c)z = 0, (−a+b−c)(c−a)x+ (c2+a2−b(c+a))y+ (c−a)(a−b+c)z = 0 (a−b)(a+b−c)x+ (−a−b+c)(a−b)y+ (a2+b2−c(a+b))z= 0;
las cuales concurren en el punto de Feuerbach.
— · —
Sea el tri´angulo ABC yAI, BI, CI los puntos de contacto de sus lados con su circunferencia inscrita, de centro I. La recta BC corta a la homot´etica de BICI, mediante la homotecia de centro en el v´ertice A y raz´on 2, en el punto A′. La recta AA′ corta aBICI en A′′. Entonces la recta determinada por los puntos BA′′∩AC y CA′′∩AB es tangente a la circunferencia inscrita en el punto de Feuerbach.
Los puntos de contacto de la circunferencia inscrita con los lados de ABC, en coordenadas baric´entricas homog´eneas respecto a ABC, son
AI(0 :a+b−c:a−b+c), BI(a+b−c: 0 :−a+b+c), CI(a−b+c:−a+b+c: 0).
La ecuaci´on de la rectaBICI y de su homot´etica, mediante la homotecia de centro enA(1 : 0 : 0) y raz´on 2, son, respectivamente:
(a−b−c)x+ (a−b)y+ (a−c)z= 0, (−a+c)x+ (−b+c)y+ (−a−b+c)z= 0.
Esta ´´ ultima corta al lado BC (x= 0) en el punto A′(0 :a+b−c:c−b).
La rectaAA′ : (a−b)y+ (a−c)z = 0 corta aBICI en el punto A′′(b−c:a−c:−a+b).
Los puntos de intersecci´on de las rectasBA′′ y AC y de las rectas CA′′ y AB son, respectiva- mente,
Ba(−b+c: 0 :a−b), Ca(−b+c:−a+c: 0).
La recta que pasa por estos puntos tiene por ecuaci´on:
BaCa: (a−b)(a−c)x−(a−b)(b−c)y+ (a−c)(b−c)z = 0.
Esta es la recta tangente a la circunferencia inscrita en el punto de Feuerbach.
Este resultado nos da un criterio para construir el punto de Feuerback: ”Es el sim´etrico de BI respecto a IBa”. o ”Es el sim´etrico de CI respecto a ICa”.
Si en vez de partir del v´ertice A, hacemos el estudio desde los v´ertices B o C, procediendo c´ıclicamente, se obtiene el mismo punto de tangencia con la circunferencia inscrita de las rectas CbAb y AcBc. realmente ocurre que Ab= Ac,Ba=Bc y Ca =Cb.
•Las rectasAA′, BB′ y CC′ son paralelas:
AA′: (a−b)y+ (a−c)z = 0, BB′ : (b−c)z+ (b−a)x= 0, CC′ : (c−a)x+ (c−b)y = 0, y su punto del infinito es
(b−c:c−a:a−b), que es elX514 en ETC.
— · —
Dado un tri´angulo ABC, sea I el centro de la circunferencia inscrita, T un punto de ´esta y t su tangente en T. Las perpendiculares a IA, IB e IC por I cortan a t en A′, B′ y C′, respectivamente. Entonces, las rectas AA′, BB′ y CC′ son concurrentes.
Las perpendicular aIA, IB e IC por I(a:b:c) tienen por ecuaciones
2bc(bc+SA)x−c(a(bc+SA) +bSB −cSC)y−b(a(bc+SA)−bSB +cSC)z= 0,
−c(b(ca+SB)−cSC+aSA)x+ 2ca(ca+SB)y−a(b(ca+SB) +cSC −aSA)z = 0,
−b(c(ab+SC) +aSA−bSB)x−a(c(ab+SC)−aSA+bSB)y+ 2ab(ab+SC)z = 0.
La tangente com´un a la circunferencia inscrita y de los nueve puntos de ABC en el punto com´un (punto de Feuerbach), (
(b−c)2(b+c−a) : (c−a)2(c+a−b) : (a−b)(a+b−c)) , tiene por ecuaci´on (p´ag. 126):
x y z
La intersecci´on de esta recta con las tres anteriores da los puntos A′
(
(b−c)(2abc−a2(b+c)+(b−c)2(b+c)) :b(c−a)(a+c−b)(a+b−2c) :c(a−b)(b+a−c)(a+c−2b) )
, B′
(
a(b−c)(c+b−a)(b+a−2c) : (c−a)(2abc−b2(c+a)+(c−a)2(c+a)) :c(a−b)(b+a−c)(b+c−2a) )
, C′
(
a(b−c)(c+b−a)(c+a−2b) :b(c−a)(a+c−b)(c+b−2a) : (a−b)(2abc−c2(a+b)+(a−b)2(a+b)) )
. Las rectas AA′, BB′ y CC′ concurren en el punto del tipo de los de la Enciclopedia de Kim- berling:
(
a(b−c)(b+c−a)(a−2b+c)(a+b−2c) :b(c−a)(c+a−b)(b−2c+a)(b+c−2a) : c(a−b)(a+b−c)(c−2a+b)(c+a−2b)
) .
Este punto es el producto baric´entrico del X650, conjugado isogonal del polo trilineal de la rectaIO (recta que pasa por el incentro y circuncentro de ABC) por el punto X903; ´este ´ultimo punto es el de concurrencia de las rectasAD′, BE′, CF′, siendoD′, E′, F′ los sim´etricos, respecto al baricentro G, de los puntos de corte D, E, F de la recta GI con los lados BC, CA, AB. En efecto:
La rectaIO es:
bc(−bSB +cSC)x+ac(aSA−cSC)y+ab(−aSA+bSB)z = 0.
El conjugado isogonal de su polo trilineal es
(a2bc(−bSB +cSC) :b2ac(aSA−cSC) :c2ab(−aSA+bSB))
= (a(b+c−a)(b−c) :b(c+a−b)(c−a) :c(a+b−c)(a−b)), que es el puntoX650 en ETC.
Por otra parte, la rectaGI, (b−c)x+ (c−a)y+ (a−b)z = 0, corta a los ladosBC,CA yAB en
D(0 :a−b, a−c), E(a−b: 0 :c−b), F(a−c:b−c: 0).
Los sim´etricos de estos respecto a G(1 : 1 : 1) son:
D′(2(2a−b−c) :a+b−2c:a−2b+c), E′(a+b−2c: 2(−a+ 2b−c) :−2a+b+c),
F′(−a+ 2b−c: 2a−b−c: 2(a+b−2c)).
Las ecuaciones de las rectasAD′,BE′ y CF′ son
(a−2b+c)y+(−a−b+2c)z = 0, (2a−b−c)x+(a+b−2c)z= 0, (−2a+b+c)x+(−a+2b−c)y = 0, que concurren enX903:
((a+b−2c)(a−2b+c) : (b+c−2a)(b−2c+a) : (c+a−2b)(c−2a+b)) .
(http://webpages.ull.es/users/amontes/pdf/ejtr2317.pdf).
21.3 El eje radical de la circunferencia de los nueve puntos N(R/2) y la exinscrita Ia(ra), se obtiene restando las ecuaciones de ambas, por lo que tiene de ecuaci´on:
(2s2−SA)x+ (2c2−4cs+ 2s2−SB)y+ (2b2−4bs+ 2s2−SC)z = 0, o bien
(a+b)(a+c)x+ (a+b)(b−c)y−(b−c)(a+c)z= 0, ´o x
b−c+ y
a+c− z
a+b = 0.
Para comprobar que el eje radical es tangente a ambas circunferencias (y, por consiguiente, su punto de tangencia es com´un a ambas) basta con comprobar que lo es a una de ellas. Para que sea tangente aIa(ra), debe contener a su polo respecto a la ella; es decir, se debe anular la expresi´on que resulta de sustituir en la ecuaci´on tangencial de Ia(ra) los coeficientes de la ecuaci´on del eje radical:
( 1 b−c
1 a+c
−1 a+b
)
0 −s(s−b)2(s−c) −s(s−b)(s−c)2
−s(s−b)2(s−c) 0 s2(s−b)(s−c)
−s(s−b)(s−c)2 s2(s−b)(s−c) 0
1 b−c
1 a+c
−1 a+b
= 0.
Y el punto de tangencia es:
0 −s(s−b)2(s−c) −s(s−b)(s−c)2
−s(s−b)2(s−c) 0 s2(s−b)(s−c)
−s(s−b)(s−c)2 s2(s−b)(s−c) 0
1 b−c
1 a+c
−1 a+b
=
s(b−c)2 (c−s)(a+c)2 (b−s)(a+b)2
.
An´alogamente, se obtienen los otros puntos de tangencia de las circunferencias de los nueve puntos con Ib(rb) yIc(rc):
((c−s)(b+c)2:s(c−a)2 : (a−s)(b+a)2) , (
(b−s)(c+b)2 : (a−s)(c+a)2:s(a−b)2) . Estos tres puntos de tangencia forman un tri´angulo ( tri´angulo de Feuerbach) perspectivo con ABC y su centro de perspectividad es el punto de coordenadas
((−a2+ (b−c)2)(b+c)2 : (−b2+ (c−a)2)(c+a)2 : (−c2+ (a−b)2)(a+b)2) , que es el puntoX12 en ETC, y que se puede, tambi´en, expresar como:
((b+c)2
s−a : (c+a)2
s−b : (a+b)2 s−c
) .
— · —
El centro radical de las circunferencias exinscritas (punto de igual potencia respecto a las tres) es el punto de Spieker (p´ag 104):
Si un punto (x :y : z) tiene la misma potencia respecto a las tres circunferencias exinscritas, debe satisfacer al sistema de ecuaciones:
s2x+ (s−c)2y+ (s−b)2z = (s−c)2x+s2y+ (s−a)2z = (s−b)2x+ (s−a)2y+s2z = 0.
Restando el segundo miembro de estas igualdades al primero y el tercero al segundo, resultan las ecuaciones:
− − − −
cuya soluci´on son las coordenadas del punto de Spieker, Sp(b+c:c+a:a+b),X10 de ETC.
— · —
Sea α a circunferencia pasando por los puntos medios Mb y Mc de los lados AC y AB, respectivamente, y tocando internamente a la circunferencia A–exinscrita, Γa, en el punto X. Similarmente se consideran las circunferencia β y γ tangentes internamente en los puntos Y y Z a las circunferencias Γb y Γc. Entonces, los tri´angulos ABC y XY Z son perspectivos, con centro de perspectividad en el punto de coordenadas baric´( entricas
(b+c−a)(b+c)2 : (a−b+c)(a+c)2: (a+b−c)(a+b)2) . (Verhttp://webpages.ull.es/users/amontes/pdf/ejtr2457.pdf)