Por el contrario, si queremos encontrar las coordenadas baricéntricas (3) de un punto P, sus coordenadas afines (y, z) se determinan con respecto a la referencia {A;−−→. En este caso, la suma de las coordenadas de P es igual a cero y no tiene coordenadas baricéntricas absolutas.
7 Interpretaci´ on de las coordenadas baric´ entricas mediante
Necesitamos determinar la expresión del área de un triángulo de esquinas D, E y F en coordenadas cartesianas (d1, d2), (e1, e2), (f1, f2) y en coordenadas báricas respectivamente. características absolutas. El producto de la suma de las coordenadas de los vértices del triángulo pedal de P es a2b2c2(u+v+w)3 y el determinante formado por ellos es S2(a2vw+b2wu+c2uv)(u+v+w ); entonces el área es como se anuncia.
8 Coordenadas baric´ entricas y referencia proyectiva
Las coordenadas homogéneas en la referencia proyectiva {A, B, C;G} son coordenadas baricéntricas con respecto a ABC. Por tanto, la ecuación de la bisectriz a BC en coordenadas baricéntricas es.
9 Coordenadas trilineales
Por el contrario, si lo que queremos es encontrar un punto del plano cuyas coordenadas homogéneas se conocen, P(x, y, z), respecto de una referencia proyectiva {A, B, C;U}, debemos tomar los catetos Pb y Pc de su ceviana de B y C, respectivamente. Tomamos un punto D en una recta d hasta A (sea d ≡ AC y D = C); ser el punto de intersección F de la recta CUc con la recta que pasa por B y paralela a d, y el punto E (en el paralelo ad que pasa por B) tal que y/x es la abscisa de F en la referencia afín {B ; −−→ .
10 Puntos de la Enciclopedia de Kimberling
En particular, si P = G, su conjugado isogonal es el punto de Lemoine o simediana (p.51), con coordenadas trilineales K(a:b:c). X104 El cuarto punto de intersección del círculo circunscrito y la hipérbola de Feuerbach.
11 Producto escalar. Distancia entre puntos
La distancia de un vértice al centro de la circunferencia es el radio R de la circunferencia, por lo que R2 (el cuadrado de la distancia de A a O) es. Esa evaluación, utilizando (2.2), nos da la expresión del radio del círculo circunscrito, que ya está expuesta en (2.5).
12 Perpendicularidad
El circuncentro es la intersección de las líneas centrales de los lados (perpendiculares a ellas en sus centros); la recta central a BC contiene los puntos Ma y (−a2 : SC : SB). El tripolar de la recta que los contiene es el punto (X312, conjugado isotómico de X57 de ENS).
13 Giro de rectas
Los catetos de las simedianas son los puntos de coordenadas (0 : b2 : c2 ), (a2 : 0 : c2 ) y (a2 : b2 : 0); Entonces las simedianas son las rectas que pasan por los vértices y que dividen el lado opuesto en la razón de los cuadrados de las longitudes de los lados adyacentes. Usando (13.56) podemos obtener la ecuación de la recta antiparalela (2) de un lado del triángulo (respecto de los otros dos lados). Es Robert Tucker quien introduce el nombre "simmediano", por el punto de concurrencia de las medianas.
Por tanto bastará con rotar el lado CA un ángulo θ = B, alrededor del vértice C; El punto medio de C y la intersección de la recta torcida con su AB está en el simediano que pasa por A, el cual está determinado. Sea P =BPb∩CPc, entonces AP es el simediano que pasa por A. Las ecuaciones de las rectas VaPb y VaPc son:. El simmediano está en la línea que une el punto medio de un lado y el punto medio de la altura de ese lado.
14 Conjugado isogonal
De manera similar, las líneas perpendiculares que pasan por B y C a los lados correspondientes del triángulo pedal resultan ser los conjugados isogonales de BP (con respecto a BA y BC) y CP (con respecto a CA y CB). Está claro que los puntos de Brocard Ω1 y Ω2 (su construcción se da en la página 117) son conjugados isogonales. 2S = cotagA+ cotagB+ cotagC Las puntas de Brocard no son los centros de un triángulo del tipo ETC, Enciclopedia Kimberling, (forman un par con dos centros, ver página 23); Sin embargo, los puntos de la línea que definen, como el centro y el punto infinito, son centros.
Respecto al punto P(u : v : w) en coordenadas baricéntricas respecto al triángulo ABC, las brocardianas del punto P son los puntos. Los puntos I1 e I2 se llaman puntos de Jerabk, forman un par bic'céntrico y son los puntos de Brocard del centro I = (a:b:c). El centro de la homotecia es uno de los dos puntos de Jerabko del triángulo.
15 F´ ormula de Conway. Centros de perspectividad de Kiepert
Estos seis tamaños son iguales y coinciden con la mitad de la longitud de los segmentos que son paralelos a los lados hasta el punto de paralelas iguales (página 5), incluidos entre los lados del triángulo de referencia. 3S :−c2), que forman un triángulo equilátero (2) (teorema de Napoleón), y los centros correspondientes de. El triángulo XY Z se llama primer triángulo de Brocard, que es inversamente similar a ABC con una relación de similitud de 2 cosω/√.
El triángulo externo de Gallatly-Kiepert también está en perspectiva con el triángulo externo. SiXY Z es un triángulo en perspectiva de Kiepert con ABC, con centro de perspectiva K(θ), sea el círculo De manera similar, se consideran los círculos Y(Y C) y Z(ZA). 4Sω2 −3S2 Caso en el que el cuerpo del triángulo XY Z es degenerado (sus vértices están alineados).
16 Teorema de Jacobi
En aras de la brevedad, llamaremos a XY Z el triángulo de Jacobi (en relación con los ángulos θa, θb y θc) y el centro en perspectiva de los triángulos ABC y el teorema de Kosnita.- Las líneas que conectan respectivamente los vértices A, B y C de un triángulo dado ABC con los circuncentros de los triángulos BCO, CAO y ABO (O el circuncentro de ABC) son concurrentes. Esto es
El centro en perspectiva de los triángulos de Jacobi isoconexos, en este caso, es JˆA/2(. El triángulo de Jacobi es aquel cuyos vértices son simétricos a los centros con respecto a los lados correspondientes. Finalmente, las coordenadas del incentro(1) de BAIc son: 1) Las coordenadas de los centros de los triángulos IaCB, CIbAyBAIc, con relación a sí mismos son, respectivamente.
17 Polaridad trilineal
Esto proporciona un método para construir el tripolar de una línea: si intersecta los lados opuestos de los vértices A, B y C en los puntos X, Y y Z, respectivamente, sea A′= Y B∩CZ, Pa =AA ′∩BC y Pc= Y Pa∩AB, entonces el tripolo de XY Z es el punto P =AA′∩CPc. A pesar de recibir esta correspondencia entre puntos y rectas y entre rectas y puntos, el nombre de polaridad trilineal no es en realidad una polaridad, ya que, además de definirse sobre puntos de los lados o sobre rectas que pasan por los nodos, los puntos dirigidos no se corresponden con líneas simultáneas. Este punto es el centro de perspectiva de ABC y del triángulo cuyos vértices son las intersecciones de los lados correspondientes de los triángulos de contacto interior y ortopédico.
18 Conjugado isot´ omico. Complemento y anticomplemento
Cociente ceviano
El centro de perspectiva (SA: SB: SC) de ABC y el triángulo ortopédico del punto de De Longschamps (p. 36) es el conjugado isotómico del ortocentro H (SBSC: SCSA: SASB). El triángulo PaPbPc se denomina triángulo preceviano o anticviano de ABC, terminología justificada por el hecho de que ABC es el triángulo ceviano de P en PaPbPc. El centro del círculo inscrito en el triángulo medial es el complemento del centro, ya que tal círculo es homotético del círculo inscrito mediante la homotética del centro en G y la razón −1/2.
El triángulo de Cevi PaPbPc de P(u: v : w) y el triángulo de Cevi QaQbQc de Q(x: y : z) son perspectiva y su centro de perspectiva se conoce como cociente de Cevi de P y Qy. Se denota por P/Q. Dado el triángulo ABC y el punto P, sean A′, B′ y C′ los centros de las semejanzas directas que presentan. Entonces ABC y A′B′C′ son perspectivas y el centro de la perspectiva es el conjugado isogonal del complemento de P.
19 Ecuaci´ on de la circunferencia. Centro y radio
Dividiendo por u+v+w y observando que lo que está entre paréntesis es lineal en x, y, z, podemos establecer Γ como la ecuación del círculo general. En particular, la ubicación geométrica de los puntos conjugados isogonales de la recta del infinito. Vamos a utilizar este hecho para obtener la ecuación del círculo circunscrito del triángulo de referencia, a partir de la ecuación de una sección cónica circunscrita.
19.72) Si se inserta lyz+mzx+nxy= 0 en la ecuación del cono circunscrito, las ecuaciones resultan:. Con esto podemos expresar la ecuación de un círculo cuyo centro y radio se conocen en la forma general dada por (19.71). Por lo tanto, el centro de un polo en forma de cono está en la línea del infinito.
20 Ecuaciones de circunferencias particulares
Para obtener el centro y el radio del círculo de Euler, como método general, se pueden utilizar las fórmulas (19.76) que dan el centro y luego, con base en la ecuación de un círculo (19.73), cuando se conoce el centro y el radio, determinarlo. Para obtener la ecuación del círculo radical del escrito, calculamos las potencias de los vértices del triángulo de referencia con respecto a él (usando (11.40)). El centro del círculo Γa es (. 1) Cualesquiera que sean los tres puntos X, Y y Z en los lados (no necesariamente como se definen aquí).
Cuando luego sustituimos las coordenadas de estos puntos en la ecuación del círculo general (19.71), llegamos a las tres ecuaciones. Para cualquier punto de la mencionada circunferencia apolínea, se comprueba que las bisectrices interior y exterior, en el vértice P, del triángulo P D1D2 pasan por Si y Se. Tenga en cuenta que los ejes radicales (§19.2) de cada círculo apolíneo y del círculo circunscrito son las simedianas (13.57).
21 Puntos de tangencia de circunferencias notables
En otras palabras: “Sean AI, BI y CI los puntos de contacto del círculo inscrito ABC con sus lados. El paralelo que pasa por AI aBICI corta la circunferencia inscrita en A′ (este punto es la simetría de AI con respecto a la bisectriz en A); luego la recta A'Ma (Ma es la bisectriz de BC) la corta nuevamente en el punto de Feuerbach”. Entonces la recta definida por los puntos BA′′∩AC y CA′′∩AB toca el círculo trazado en el punto de Feuerbach.
Los puntos de contacto del círculo inscrito con los lados de ABC, en coordenadas baricéntricas homogéneas con respecto a ABC, son. Dado un triángulo ABC, sea I el centro del círculo inscrito, T un punto del mismo y t la tangente a T. La tangente común al círculo inscrito y a los nueve puntos de ABC en el punto común (punto de Feuerbach) , .
Brocard (circunferencia), 119 Brocard (diámetro), 119 Brocard (primera punta), 57 Brocard (primer triángulo), 67 Brocard (segunda punta), 58 Brocard (tercera punta), 66 brocardianos de una punta, 58 centro de P– correspondencias, 107. Teorema de Ceva, 53 Teorema de Jacobi, 71 Teorema de Kariya, 95 Teorema de Kosnita, 74 Teorema de la bisectriz, 10 Teorema de Menelao, 14 Teorema de Miquel, 120 Teorema de Nagel, 71 Napoleón-W 4, 23 Sansón-W, 6, 3 el Samson-W.
