An´ alisis mediante el Blow-up direccional

El an´alisis anterior solo nos permiti´o detectar las aproximaciones anal´ıticas de las curvas carac- ter´ısticas que pasan por el origen cuandos= 0, por lo que es necesario emplear otras herramientas que nos permitan determinar el comportamiento alrededor del equilibrio de forma m´as general, para ello haremos uso de las t´ecnicas de blow-up direccionales.

Consideremos nuevamente el sistema (4.15):

˙

x = P(x, y) =asx^n−sy^s+as+1x^n−s−1y^s+1+. . .+anyⁿ

˙

y = Q(x, y) =b0x^m+b1x^m−1y+b2x^m−2y²+. . .+bmy^m conas6= 0, 2≤n < m y el origen un equilibrio aislado.

Notemos primero que el polinomio caracter´ıstico, estudiado en la secci´on 2.1, para el sistema (4.15) es

Fn(θ) = −sinθ P(cosθ,sinθ),

si hacemos cosθ = 0, entonces sinθ 6= 0 por lo que F(θ) = 0 si y solo si P(0,sinθ) = 0, lo cual ocurre solo si an = 0. Por lo tanto, la direcci´on vertical ser´a una direcci´on caracter´ıstica, si y solo si a_n= 0, en cuyo caso la curva caracter´ıstica es justamente el eje y, esto se observa directamente del campo. Dicho lo anterior, solo ser´a necesario hacer el blow-up en la direcci´on x.

Hagamos entonces el blow-up direccional homog´eneo en direcci´on x, tomando x = u, y = uv, entonces

˙

u = x˙ =P(u, uv) =uⁿP(1, v)

˙

v = y˙−vu˙

u = Q(u, uv)−vuⁿP(1, v)

u =u^m−1Q(1, v)−vuⁿ⁻¹P(1, v), dividiendo el sistema por uⁿ⁻¹, obtenemos el sistema

˙

u = uP(1, v)

˙

v = u^kQ(1, v)−vP(1, v), (4.18)

donde k=m−n. Los equilibrios de este nuevo sistema (4.18) tales que u = 0, son aquellos tales que vP(1, v) = 0, es decir, el origen y aquellos equilibrios de la forma (0, v_i) tales queP(1, v_i) = 0 yv_i 6= 0.

La matriz Jacobiana del sistema (4.18) es

DX(u, v) =¯







P(1, v) u^∂P_∂y(1, v)

ku^k−1Q(1, v) u^{k ∂Q}_∂y(1, v)−P(1, v)−v^∂P_∂y(1, v)





, luego, para los puntos (0, vi), con vi ra´ız de P(1, vi),

DX(0, v¯ i) =





0 0

k(0)^k−1b^m₀ −v_i^∂P_∂y(1, v_i)



,

recordemos quev_i 6= 0, por lo que si se cumple ^∂P_∂y(1, v_i)6= 0, podemos concluir por el Teorema de la Variedad Central que estos equilibrios ser´an tipo silla, nodo o silla nodo; y su variedad central ser´a una curva de la forma v=vi+. . ., as´ı, al volver al planox-y, est´an curvas ser´an de la forma

y=vix+. . . , coincidiendo con el an´alisis obtenido en la secci´on anterior.

Por otro lado, evaluando la matriz Jacobiana en el origen obtenemos, DX(0,¯ 0) =





P(1,0) 0

k(0)^k−1Q(1,0) −P(1,0)



, por lo tanto:

Dado queP(1,0) =a₀ 6= 0 si s= 0, entonces el origen ser´a un punto silla, cuyas variedades estables e inestables ser´an tangentes a los ejes. De hechou= 0 es una curva caracter´ıstica del origen en el sistema (4.18), la cual al regresar al planox-y se transforma en el origen original, por lo que solo nos queda la curva con pendiente horizontal, las correspondientes a las ra´ıces deP(1, vi) = 0 y posiblemente el eje vertical, como hab´ıamos concluido en el Teorema 4, por lo que no existen m´as curvas adem´as de las encontradas previamente.

4.2 P y Q: Polinomios homog´eneos de grado distinto 71

Si s >0, el origen es un equilibrio no-hiperb´olico, por lo que ser´a necesario hacer un nuevo blow-up en el sistema (4.18) como mostraremos a continuaci´on.

Comenzaremos calculando el pol´ıgono de Newton para el sistema (4.18). El conjuntoN para este sistema es tal queN ⊂N1∪N2, donde

N1={(0, s),(0, s+ 1), . . . ,(0, n)}, N2 ={(k,−1),(k,0), . . . ,(k, m−1)}.

Notemos que todos los puntos pertenecientes aN1se encuentran sobre la rectai= 0, mientras que todos los puntos en N₂ se encuentran sobre la recta i =k, por lo que ninguna de estas rectas es ´util para obtener nuestros par´ametros, sin embargo, podemos obtener un segmento del pol´ıgono utilizando los puntos de menor ordenada de cada conjunto, estos son (0, s)∈N1

y (k,−1)∈N₂, ambos puntos pertenecen siempre a N ya quea_s6= 0 yb₀ 6= 0 cuandos >0.

Luego, la recta que contiene al segmento que une a estos puntos es (s+ 1)i+kj =sk,

por lo que para el segundo blow-up en el origen utilizaremos los par´ametrosα=s+ 1, β=k yd=sk.

• Hagamos primero el blow-up en direcci´onxpositiva (recordemos que sises par, se cubre tambi´en la direcci´on negativa). Tomemos el cambiou=w^α,v=w^βz, entonces

˙

w = u˙

αw^α−1 = 1

αwP(1, w^βz)

˙

z = v˙−βw^β−1zw˙

w^β =w^αk−βQ(1, w^βz)−

1 +β α

zP(1, w^βz), dividiendo porw^sk obtenemos el sistema

˙

w = = 1

s+ 1w^1−skP(1, w^kz)

˙

z = Q(1, w^kz)−

s+k+ 1 s+ 1

zw^−skP(1, w^kz), (4.19) donde

w^−skP(1, w^kz) = asz^s+as+1w^kz^s+1+. . .+anw^k(n−s)zⁿ Q(1, w^kz) = b₀+b₁w^kz+b₂w^2kz²+. . .+b_mw^kmz^m,

de modo que los equilibrios tales quew = 0, son aquellos puntos (0,z) que cumplen la¯ ecuaci´onb0−as

s+k+1 s+1

¯

z^s+1 = 0, esto ocurre si y solo si

¯

z^s+1 = b0(s+ 1) a_s(s+k+ 1). Por lo tanto, si:

◦ ses par, existe un ´unico equilibrio,

◦ ses impar yb0as>0, existen dos equilibrios,

◦ ses impar yb₀a_s<0, no existen equilibrios.

La matriz Jacobiana del sistema (4.19) evaluada en los puntos de equilibrio es DXˆ⁺(0,z) =¯





as

s+1z¯^s 0

? −^as(k+s+1)_s+1 z¯^s



,

por lo que en cualquier caso los equilibrios son tipo silla, de este modo, cada equilibrio aportar´a una curva de la forma z = ¯z+. . ., la cual se transformar´a en la curva v =

¯

zu^s+1k +. . . y finalmente, al regresar al planox-y, obtenemos la curva y= ¯zx^s+k+1s+1 +. . .

• Para el blow-up en la direcci´on x negativa, hacemos el cambio u = −w^α, v = w^βz, y luego de dividir por el factor w^sk, obtenemos el sistema

˙

w = 1

s+ 1w^1−skP(1, w^kz)

˙

z = (−1)^kQ(1, w^kz)−

s+k+ 1 s+ 1

zw^−skP(1, w^kz), (4.20) y sobre la vertical tenemos los equilibrios (0,z) que cumplan¯

¯

z^s+1= (−1)^kb₀(s+ 1) a_s(s+k+ 1) . Entonces:

◦ Sises par, existe un ´unico equilibrio.

◦ Existen dos equilibrios, sis es impar, k par yb₀a_s>0, ´o

k impar yb0as<0.

◦ No existen equilibrios, sises impar, k par yb0as<0, ´o

k impar yb₀a_s>0.

La matriz Jacobiana del sistema (4.20) evaluada en los puntos de equilibrio es nueva- mente

DXˆ⁻(0,z) =¯





as

s+1z¯^s 0

? −^as(k+s+1)_s+1 z¯^s



,

luego, concluimos de nuevo que los equilibrios son sillas, los cuales aportan las curvas y = (−1)^s+1k zx¯ ^s+k+1s+1 +. . . ,

parax <0.

4.2 P y Q: Polinomios homog´eneos de grado distinto 73

• Resta realizar el blow-up en la direcci´ony. Para la direcci´on positiva hacemosu=wz^α, v=z^β y tras dividir por el factorz^sk, nos resulta el sistema

˙

w =

s+k+ 1 k

wz^−skP(1, z^k)−s+ 1

k w^k+1Q(1, z^k)

˙

z = 1

k h

w^kzQ(1, z^k)−z^1−skP(1, z^k)i ,

de donde se sigue claramente que el origen es un punto de equilibrio. La matriz Jacobiana evaluada en el es

DX˜⁺(0,0) =





as(k+s+1)

k 0

0 −^a_k^s



,

por lo tanto, el origen es una silla cuyas curvas caracter´ısticas son los ejes coordenados.

El eje w = 0, es enviado a u = 0 y finalmente es transformado en el origen; mientras que el eje z = 0 se transforma en el origen del plano u-v, por lo que ambas curvas caracter´ısticas desaparecen sin aportar nada al plano original.

• Finalmente, hacemos el blow-up en la direcci´ony negativa, tomandou=wz^α,v=−z^β, por lo que el sistema (4.18), al dividirse porz^sk, se transforma en

˙

w =

s+k+ 1 k

wz^−skP(1,−z^k) +s+ 1

k w^k+1Q(1,−z^k)

˙

z = −1 k

h

w^kzQ(1,−z^k) +z^1−skP(1,−z^k) i

, nuevamente el origen es un equilibrio cuya Jacobiana es

DX˜⁻(0,0) =





(−1)^{s as(k+s+1)}_k 0 0 (−1)^s+1a_k^s



,

de nuevo el origen es un punto silla, con los ejes como variedades estable e inestable.

Otra vez, el ejew= 0 es enviado al origen del plano original yz= 0 es enviado al origen del plano u-v, por lo que tampoco aporta curvas caracter´ısticas al plano original.

En conclusi´on, solo los equilibrios encontrados en el blow-up en direcci´on x aportan curvas caracter´ısticas al plano original.

Del an´alisis anterior, si no hay puntos de equilibrio en ninguna de las dos direcciones del segundo blow-up en el origen en la direcci´on x, podemos concluir el siguiente Teorema para la existencia de puntos de equilibrios monodr´omicos, es decir, focos o centros.

Teorema 5. Sea el origen un equilibrios aislado del sistema (4.15), si P(1, α1) no tiene ra´ıces reales distintas de cero y adem´as se cumple

H1) simpar, H2) asb0 <0, H3) k par, H4) an6= 0,

entonces localmente, el origen esfoco o un centro.

Recordando que k= m−n es la diferencia entre los grados de los polinomiosP y Q del sistema (4.15).

Ilustraremos el Teorema mediante el siguiente ejemplo:

Ejemplo 18. Consideremos una vez m´as el sistema (3.22)

˙

x = y(x²+y²)

˙

y = −x⁵. Si evaluamos el polinomioP(1, α1) obtenemos

P(1, α1) =α1(1 +α₁²)

el cual tiene por ra´ıces α_1,1 = 0, α_1,2 = i y α_1,2 = −i, por lo que P(1, α₁) no tiene ra´ıces reales distintas de cero.

Luego, como se cumples= 1 es impar,a_sb₀ = (1)(−1)<0 yk= 2 par, concluimos por el Teorema anterior que el origen es un punto de equilibrio monodr´omico. El retrato fase de este sistema se observa en la figura 4.9.

Figura 4.9: Retrato fase del sistema,−0.2≤x≤0.2.

Cuando tenemos un equilibrio monodr´omico, sigue siendo un problema abierto el distinguir entre un centro topol´ogico y un foco, sin embargo, esto se ha podido realizar para casos particulares.

A continuaci´on mostraremos algunas condiciones suficientes, para que un equilibrio que cumpla con las hip´otesis del Teorema 5 sea un centro topol´ogico. Para ello, requerimos de las siguientes definiciones [Meiss, 2007].

4.2 P y Q: Polinomios homog´eneos de grado distinto 75

Definici´on 5. Sea x˙ = f(x), x ∈ Rⁿ. Un flujo φt(x) del campo f(x) tiene una simetr´ıa en reversa, si existe un difeomorfismo, S : Rⁿ → Rⁿ (el reversor), que conjugue el flujo con su inverso, es decir

φ−t(S(x)) =S(φ_t(x)), o equivalentemente,

−f(S(x)) =DS(x)f(x).

Definici´on 6. El conjunto fijo de un reversorS es

Fix (S) ={x:x=S(x)}.

Se puede probar que el Fix (S) es una curva enR². Ver [MacKay, 1993]. La siguiente figura ilustra el comportamiento de las soluciones de un sistema que tiene un reversorS.

Definici´on 7. Sea o(x) una ´orbita de x˙ =f(x), x ∈Rⁿ, es decir, o(x) = {φ_t(x) |t∈R}, donde φ_t(x) es el flujo de f(x). Decimos queo(x) es una ´orbita sim´etrica con respecto a S, si

S(o(x)) =o(x).

Finalmente, haremos uso del siguiente lema, establecido en [Lamb y Roberts, 1997].

Lema 2. Seao(x)una ´orbita de un flujo en un campox˙ =f(x),x∈Rⁿ, con reversorS. Entonces, una ´orbitao(x) es sim´etrica con respecto aS, si y solo si, o(x) intersecta a Fix(S), en cuyo caso, la ´orbita intersecta a Fix (S) en no m´as de dos puntos y est´a totalmente contenida en Fix (S²).

Una ´orbita o(x) intersecta a Fix (S) en precisamente dos puntos, si y solo si, la ´orbita es peri´odica (y no un punto fijo) y sim´etrica respecto a S.

De lo anterior, podemos concluir el siguiente Teorema.

Teorema 6. Sea el origen un equilibrio aislado del sistema (4.15), para el cual se cumplen las hip´otesis del Teorema 5. Si el sistema tiene reversor S y (0,0)∈Fix (S), entonces el origen es un centro topol´ogico.

Demostraci´on:

Por el Teorema 5, sabemos que el origen es un equilibrio monodr´omico, es decir un foco o un centro.

Como el origen est´a contenido en el Fix (S), que es una curva, cualquier soluci´on que se encuentre en una vecindad del origen intersecta al Fix (S), ya que las soluciones se encuentran girando.

Supongamos que el origen es un foco, entonces cualquier soluci´on tendiendo al origen, en tiempo positivo o negativo, cruzar´a el Fix (S) una infinidad de veces. Por el lema (2) sabemos que esto no puede ocurrir, ya que la ´orbita intersecta al Fix (S) en a lo m´as dos puntos, por lo que llegamos a una contradicci´on y en consecuencia, el origen es un centro.

Analicemos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 19. Consideremos la familia

˙

x = y^s a_sx^n−s+a_s+2x^n−s−2y²+. . .+an−s−2x²y^n−s−2+a_ny^n−s

˙

x = b₀x^m+b₂x^m−2y²+. . .+bm−3x³y^m−3+bm−1xy^m−1, (4.21) con s impar, ny m impares, asb0 <0, an6= 0 y tal que

P(1, α₁) =a_s+a_s+2α²₁+. . .+an−s−2α^n−s−2₁ +a_nα^n−s₁ , no tenga ra´ıces reales.

Como m yn son impares,k es un n´umero par, por lo que el sistema cumple con las hip´otesis del Teorema 5. Adem´as el sistema tiene como reversor aS(x) = (−x, y)^T, ya que

−f(S(x)) = −f(−x, y)

= −





y^s a_s(−x)^n−s+. . .+an−s−2(−x)²y^n−s−2+a_ny^n−s b₀(−x)^m+. . .+bm−1(−x)y^m−1





= −





y^s a_sx^n−s+. . .+an−s−2x²y^n−s−2+a_ny^n−s

− b₀x^m+. . .+bm−1xy^m−1





= −

1 0 0 −1

f(x)

= DS(x)f(x).

Finalmente, notemos que el Fix (S) es el ejey, por lo que contiene al origen. Por lo tanto, conclui- mos que el origen en esta familia es un centro.

El sistema (3.22) representa un caso particular perteneciente a esta familia de centros.

4.2 P y Q: Polinomios homog´eneos de grado distinto 77

Los dos teoremas anteriores se refieren al caso en el que el origen es del tipo monodr´omico, lo cual ocurre al no existir puntos de equilibrio en el blow-up. Cuando estos existen, obtenemos nodos no-hiperb´olicos. El siguiente Teorema resume todas las curvas caracter´ısticas que pueden existir para el origen del sistema (4.15), obtenidas mediante el an´alisis de blow-up y el Teorema 4.

Teorema 7. Sea el origen un punto de equilibrio aislado del sistema (4.15), si no se cumple alguna de las condiciones en el Teorema 5, entonces el origen es un nodo no-hiperb´olico, cuyas curvas caracter´ısticas est´an dadas por:

(i)

y=α_i x+. . . ,

donde αi es una soluci´on de la ecuaci´on P(1, αi) = 0, con αi6= 0 y ^∂P_∂y(1, αi)6= 0.

(ii) Si a_n= 0, el eje vertical tambi´en es una curva caracter´ıstica.

(iii)

y =c x^s+k+1s+1 +. . . , para x >0 donde c satisface c^s+1= _a^b0(s+1)

s(s+k+1). (iv)

y= (−1)^s+1k ¯c x^s+k+1s+1 +. . . , para x <0 donde ¯c satisface ¯c^s+1= ⁽⁻¹⁾_a ^kb0(s+1)

s(s+k+1) .

Ilustraremos el Teorema anterior mediante los siguientes ejemplos:

Ejemplo 20. Consideremos el sistema

˙

x = x³−3

2x²y−3

2xy²+y³

˙

y = 5x⁵+ 3x³y²−2y⁵. (4.22)

Tenemos entonces n = 3, m = 5, k = 2, a3 = 1 6= 0 y s = 0. Las ra´ıces de P(1, α1,r) = 0 son

−1,1/2y2, por lo que las curvas caracter´ısticas que pasan por el origen son:

h₁(x) = ⁵₄x³+. . . h₂(x) =−x+. . . h3(x) = ¹₂x+. . . h4(x) = 2x+. . .

A continuaci´on determinaremos la din´amica sobre cada una de estas curvas invariantes. Sobre la curvah₁(x) tenemos ˙x=x³+. . ., por lo que ˙x es positiva para x >0 y ˙xes negativa para x <0;

parah2(x) sustituimosx=−y+. . .en ˙y, esto es, ˙y =−10y⁵+. . .as´ı que ˙y >0 en y <0 y ˙y <0 en y > 0. En h3(x) tenemos ˙y = 182y⁵+. . . , por lo tanto ˙y >0 para y >0 y ˙y < 0 para y <0.

Finalmente, la din´amica sobre h₄(x) esta dada por ˙y =−⁴⁷₃₂y⁵+. . ., entonces ˙y > 0 paray < 0 y

˙

y <0 para y >0.

Notemos que tenemos dos sectores parab´olicos comprendidos entre h₁ y h₃, ambos saliendo del origen; y tenemos otros dos sectores parab´olicos comprendidos entre h2 yh4 ambos convergiendo al origen. Nos resta determinar como son los cuatro sectores comprendidos entre una direcci´on que

entra y una que sale, para ello es necesario determinar el signo de ˙θ en cada sector, la velocidad angular del sistema es

θ˙ = 1 r²

5x⁶+ 3x⁴y²−2xy⁵−yx³+3

2x²y²+3

2xy³−y⁴

por lo que en una vecindad del origen el signo, sgn( ˙θ) =sgn ³₂y²(x²+xy)−y(x³+y³)

para el sector comprendido entre h₁ y h₂ del lado derecho del eje y obtuvimos ˙θ > 0 por lo tanto, ´este es un sector hiperb´olico, de igual modo tenemos otro sector hiperb´olico en el sector comprendido entre h1 y h2 del lado contrario, ya que ˙θ tambi´en es positivo. Por ´ultimo, para los dos sectores que se encuentran entre h₃ y h₄ a ambos lados tenemos que ˙θ >0 por lo que ambos sectores son el´ıpticos. En conclusi´on, el retrato fase del sistema (4.22) queda determinado por la figura 4.10.

Figura 4.10: Retrato fase del sistema.

Ejemplo 21. Consideremos el siguiente sistema

˙

x = 3xy²

˙

y = x⁶+y⁶. Notemos en este ejemplo ques= 2. Luego,

P(1, α1) = 3α²₁,

por lo que solo tiene a cero como ra´ız y ninguna distinta de ´el. Podemos concluir entonces, por el Teorema, que el origen es un nodo no hiperb´olico cuyas curvas caracter´ısticas son:

el ejey, ya quean=a3= 0 ybm =b6 6= 0,

4.2 P y Q: Polinomios homog´eneos de grado distinto 79

y la curva

y=h₁(x) =c₀x²+. . . , dondec₀ = ₁₂¹¹₃

.

Analicemos ahora la estabilidad de cada curva. Claramente, el flujo sobre el eje vertical es siem- pre hacia arriba ya que ˙y > 0 para toda y. Luego, para ver la estabilidad sobre la otra curva caracter´ıstica, sustituimos su aproximaci´on en ˙x, esto es,

˙

x = 3xy²

= 3x(c₀x²+. . .)²

= 3c²₀x⁵+. . . ,

por lo que el flujo sobre la curva caracter´ıstica es a la derecha six >0 y hacia la izquierda en caso contrario, es decir, la curva es inestable.

Dado que tenemos dos curvas caracter´ısticas, tenemos una vecindad del origen dividida en cuatro sectores. Como los dos sectores superiores est´an delimitados solo por curvas inestables, ambos sectores ser´an del tipo parab´olico. Para los sectores inferiores calculamos la velocidad angular ya que ambos se encuentran delimitados por una curva estable y una inestable, obteniendo

θ˙ = 1

r² x⁷+xy⁶−3xy³ , por lo que en una vecindad del origen sgn( ˙θ) = −sgn 3xy³

. En el sector comprendido entre la parte positiva de h₁(x) y la parte negativa del eje y la velocidad angular es positiva, por lo que tenemos un sector hiperb´olico, mientras que en el opuesto la velocidad es negativa, por lo que tenemos nuevamente un sector hiperb´olico.

La siguiente figura nos muestra la simulaci´on del retrato fase del sistema para este ejemplo.

Figura 4.11: Retrato fase del sistema, −0.6≤x, y≤0.6

Ejemplo 22. Analicemos nuevamente el sistema (2.25)

˙

x = y(y²−x²)

˙

y = x⁴.

Notemos claramente que k= 1 es impar por lo que no cumple con las hip´otesis para ser un punto monodr´omico, por lo cual es un nodo no hiperb´olico. Luego,a3 = 1 6= 0 por lo que el eje vertical no es una curva caracter´ıstica.

ComoP(1, α₁) =α₁(α²₁−1) tiene por ra´ıces distintas de cero a α₁ =±1, entonces tenemos como curvas caracter´ısticas a

h_1,2(x) =±x+. . .

Dado ques= 1 es impar yasb0 = (−1)(1)<0 no existen m´as curvas caracter´ısticas en el semiplano x >0. Sin embargo, comok= 1 es impar tenemos otras dos curvas caracter´ısticas en el semiplano x <0, cuya aproximaci´on es

h_3,4(x) =± r

−2

3x³+. . .

Finalmente, observemos que ˙y=x⁴, por lo que el flujo es hacia arriba sobre todo el plano, excep- to cuando x = 0, por lo que particularmente sobre las curvas caracter´ısticas el flujo es tambi´en siempre hacia arriba, de modo que las curvas caracter´ısticas pertenecientes al semi-plano y > 0 son inestables y las pertenecientes al semiplano y <0 son estables. De lo anterior se sigue que el sector comprendido entre la parte superior de la curvah2 yh3 es parab´olico, al igual que su opues- to; y que el sector comprendido entreh3yh4es hiperb´olico, as´ı como el comprendido entreh1yh2. Por lo tanto, el retrato fase del sistema es como se muestra en la figura 4.12.

Figura 4.12: Retrato fase del sistema.

4.2 P y Q: Polinomios homog´eneos de grado distinto 81

En el siguiente ejemplo, analizaremos un sistema sencillo pero que depende de un par´ametro, vere- mos c´omo puede variar el retrato fase alrededor del origen de acuerdo al signo del par´ametro.

Ejemplo 23. Consideremos el sistema

˙

x = µy³

˙

y = −x⁵ (4.23)

con µ6= 0 (ya que si µ= 0 el ejey es un continuo de equilibrios).

Claramente, el origen es el ´unico punto de equilibrio del sistema. Por otro lado,P(1, α) =µα³, por lo que no existen ra´ıces reales distintas de cero para este polinomio, en consecuencia, no tendremos curvas caracter´ısticas provenientes de ´el. Por otro lado, tenemosa3 =µ6= 0, implicando que el eje y tampoco es una curva caracter´ıstica.

Luego,s= 3 es impar y k=m−n= 2 es par, de modo que, tenemos dos casos:

Siµ >0, entoncesa₃b0 =−µ <0, por lo que se cumplen las hip´otesis del Teorema 5 y m´as a´un, el sistema es un caso particular de la familia de centros (4.21), concluyendo entonces que el origen es un centro topol´ogico.

En cambio, si µ < 0, no se cumplen todas las condiciones del Teorema 5 y por lo tanto, el origen ser´a un nodo no hiperb´olico, cuyas curvas caracter´ısticas, dadas por el Teorema (7) ser´an

y =±⁴ r−2

3µx⁶+. . . , conx∈(−∞,∞).

Notemos que ˙y=−x⁵, es independiente deµ, por lo que si x >0, ˙y <0 y el flujo ser´a hacia abajo, mientras que ser´a hacia arriba si x < 0 (esto tambi´en nos da informaci´on sobre el sentido del flujo en el centro). Luego, ˙x=µy³, entonces, siy >0, ˙x <0, en cambio siy <0,

˙

x >0, de acuerdo a esto, obtenemos cuatro sectores hiperb´olicos como se observa en la figura 4.13.

Los retratos fase alrededor del origen, paraµnegativa y positiva, se observan en la siguiente figura.

µ <0 µ >0 Figura 4.13: Retratos fase del sistema (4.23), de acuerdo al par´ametroµ.

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