En el primer caso, el comportamiento está completamente determinado por la parte lineal del sistema, según el teorema de Hartman y Grobman. En el Capítulo 2 presentaremos la técnica del Blow-up o explosión, esta técnica es la principal herramienta en el estudio de los equilibrios no hiperbólicos y especialmente en el estudio de sistemas con parte lineal cero. En la primera sección de este capítulo analizamos sistemas con polinomios homogéneos del mismo grado, este es un caso presentado en la literatura, mostraremos cómo podemos conocer el comportamiento en equilibrio a través del cálculo de una integral.
En la segunda sección, hacemos nuestra contribución al estudio de sistemas con parte lineal cero, el estudio de sistemas no lineales cuyos componentes son polinomios homogéneos de diferentes grados, utilizando técnicas de explosión, presentadas en el Capítulo 2, y buscando curvas analíticas. . El ejemplo más sencillo y conocido es el de las coordenadas polares en el plano, que analizaremos en el siguiente apartado.
T´ ecnicas de Blow-up Homog´ eneas
Blow-up Polar
Los cambios de coordenadas utilizados son únicos en el punto de equilibrio, ya que asignan una curva a un punto, por lo que estos cambios no son difeomorfismos. El ejemplo más sencillo y conocido es el de las coordenadas polares en el plano, que analizaremos en el siguiente apartado. y podemos ver este cambio como una extensión del origen del plano al círculo = 0. Para conocer el retrato de fase alrededor del origen en el plano x-y, estudiaremos las singularidades pertenecientes al círculo = 0 en R× [ 0.2 π).
Usaremos la inflación polar para determinar el retrato de fase alrededor del origen del siguiente sistema. En a) se muestra la explosión polar en el origen, mientras que en b) tenemos el retrato de fase a su alrededor para el sistema (2.3).
Blow-up Direccional
Usando una transformación similar, obtenemos un aumento en la dirección y para obtener la información en r = 0 y θ=π/2. Combinando la información obtenida al inflar en la dirección x y en la dirección y, descubriremos cuál es el retrato de fase en el sistema original. La combinación de todas las curvas obtenidas al inflar en las direcciones x e y confirma el retrato de fase obtenido mediante el inflado polar, como se muestra en la Figura 2.8.
Si realizamos la inflación en la dirección x cambiando x=u,y=uv y dividiendo por u2, obtenemos el sistema. Para este sistema tenemos F1(θ) = cos2θ, por lo que la dirección característica es vertical, y entonces sólo es necesario hacer el inflado en la dirección y.
T´ ecnicas de Blow-up Cuasi-homog´ eneas
Polar Cuasi-homog´ eneo
Direccional Cuasi-homog´ eneo
Por si resulta extraño, la inflación en dirección xpositiva también nos da información en dirección negativa sin necesidad de repetir los cálculos. Además, si β es impar, la ampliación intercambia las soluciones entre el segundo y tercer cuadrante del avión. Si α es par, es necesario realizar el inflado en dirección negativa, la cual, al igual que la dirección positiva, proviene de un difeomorfismo del semicilindro R×(π2,3π2 ) al plano u-v.
Como mencionamos antes, la inflación en la dirección x negativa es el cambio x = −uα, y=uβv, dicho cambio se puede obtener con la función ψ:R2→R2 definida por. Se sigue un análisis similar para la inflación en la dirección y, tanto negativa como positiva.
Pol´ıgono de Newton
Por tanto, si X = (P, Q) podemos descomponerlo en sus componentes cuasi homogéneos de tipo (α, β) como. Tomemos entonces el cambiox=uvα,y=vβ, de modo que el sistema (2.20) ahora pueda escribirse como. La matriz jacobiana del sistema (2.27) es. Cuando evaluamos los saldos que tenemos. Por lo tanto, ambas son sillas equilibradas como se muestra en el retrato de fase de la Figura 2.22a).
2, por lo que no hay soluciones reales, es decir, no tenemos puntos de equilibrio final en el sistema (3.18). Por tanto, el origen es un foco no hiperbólico, estable ya que G < 0. Si s > 0, el origen es un equilibrio no hiperbólico, por lo que será necesario realizar una nueva explosión en el sistema (4.18) que mostraremos a continuación.
Finalmente, inflamos en la dirección y negativa, con u=wzα,v=−zβ, de modo que el sistema (4.18), cuando se divide por zsk, queda. Por lo tanto, el retrato de fases del sistema es como se muestra en la Figura 4.12. XQm(X, Y)−Y Pm(X, Y) = XQ(X, Y) por lo que los puntos de equilibrio en el infinito serán aquellos que así lo sean.
Observemos que ˆQ(X, Y) es un polinomio homogéneo de grado m−l, por lo que se deduce. Por tanto, las soluciones de la ecuación (4.26) son las rectas de la forma. Notemos que P(1, α) = 1, por lo que no tiene raíces y en consecuencia no hay más curvas características en el origen.
Comportamiento en el infinito 35
Ejemplos
Si proyectamos sobre el plano Y = 1 obtenemos el mismo sistema, por lo que el punto (0,1,0) también es inestable. Por lo tanto, cualquier trayectoria que se acerque al origen debe hacerlo a lo largo del eje x, y el origen es un nodo no hiperbólico. Entonces, el eje x positivo es estable y el eje x negativo es inestable, lo cual es fácil de ver si restringimos el sistema a y = 0, entonces ˙x = −x2, por lo que el origen es semiestable.
Notemos también que ˙θ=−rsinθ <0 para θ∈(0, π), por lo que el flujo en el semiplano superior es en el sentido de las agujas del reloj, por lo tanto, 'es un iptic del sector el'. El eje w = 0 se envía a u = 0 y finalmente se transforma en el origen; mientras que el eje z = 0 pasa a ser el origen del plano u-v, por lo que ambas curvas características desaparecen sin aportar nada al plano original. Por el lema (2) sabemos que esto no puede suceder, ya que la órbita Fix (S) corta como máximo dos puntos, por lo que llegamos a una contradicción y en consecuencia el origen es un punto medio.
Como m y n son impares, k es un número par, por lo que el sistema satisface las hipótesis del Teorema 5. Si µ >0, entonces a3b0 =−µ <0, es decir, las hipótesis del Teorema 5, y además, el sistema es un Caso especial de la familia de centros (4.21), donde concluimos que el origen es el centro topológico.
Sistemas con parte lineal cero 55
Ejemplos
Por tanto, el origen es un centro topológico; Además, toda órbita periódica fuera del origen tiene un período T = 2π/r2, que se obtiene de ˙θ. En este caso, todas las trayectorias giran alrededor del origen infinitas veces cuando t→ ∞ y r →0. El sector (0, θ∗) es parabólico, al igual que su opuesto (π, π+θ∗), ya que ambas curvas características son convergentes.
P y Q: Polinomios homog´ eneos de grado distinto
- Aproximaci´ on de curvas anal´ıticas para el caso s = 0
- An´ alisis mediante el Blow-up direccional
- Puntos al infinito
Por el Teorema Fundamental del Álgebra sabemos que hay como máximo soluciones reales a la ecuación, por lo que para este caso tenemos como máximo curvas características, que tienen la forma El análisis anterior sólo nos permitió detectar las aproximaciones analíticas de las curvas características que pasan por el origen cuando s= 0, por lo que es necesario utilizar otras herramientas que nos permitan determinar el comportamiento en torno al equilibrio. De manera más general, para hacer esto usaremos técnicas de inflación direccional. De hecho, u= 0 es una curva característica del origen en el sistema (4.18), que al regresar al plano x-y se transforma en el origen original, por lo que solo tenemos la curva con pendiente horizontal, que corresponde a las raíces. de P( 1, vi) = 0 y posiblemente el eje vertical, como concluimos en el Teorema 4, por lo que no hay más curvas que las encontradas anteriormente.
Nuevamente, el eje w= 0 se envía al origen del plano original y z= 0 se envía al origen del plano u-v, por lo que tampoco aporta ninguna curva característica al plano original. Finalmente, para los dos sectores que están entre h3 y h4 a ambos lados tenemos que ˙θ >0, por lo que ambos sectores son elípticos. En el sector entre la parte positiva de h1(x) y la parte negativa del eje y la velocidad angular es positiva, por lo que tenemos un sector hiperbólico, mientras que por el contrario la velocidad es negativa, por lo que tenemos nuevamente un sector hiperbólico.
Recalquemos claramente que k= 1 es impar, por lo que no satisface las hipótesis de que sea un punto monodrómico, por lo que es un nodo no hiperbólico. Por otro lado, P(1, α) =μα3, por lo que este polinomio no tiene raíces reales distintas de cero, en consecuencia no tendremos curvas características derivadas del mismo. Por otro lado, si µ < 0, no se cumplen todas las condiciones del Teorema 5 y por tanto el origen será un nodo no hiperbólico cuyas curvas características dadas por el Teorema (7) serán .
Tenga en cuenta que ˙y=−x5, es independiente de µ, por lo que si x >0, ˙y <0 y el flujo será descendente, mientras que será ascendente si x <0 (esto también nos dice que proporciona información para el dirección del flujo en el centro). Está claro que todos los coeficientes en Q son cero excepto deb0, por lo que rápidamente concluimos que este sistema tiene los únicos puntos en el infinito en (0,±1,0), lo que coincide con nuestro análisis anterior, como se muestra en la Fig. siguiente. . Si k >1 oran= 0, tenemos la matriz cero, por lo que será necesario un análisis más extenso como el de la técnica de explosión.
Para estudiar el equilibrio (c1, c2,0) usaremos la proyección en el plano X= 1, el sistema proyectado en este plano es. donde d1≈30.4423, por lo que el equilibrio tiene una variedad estable y hay una variedad central de la forma η=β+. Como no hay soluciones que converjan a puntos de equilibrio en el infinito excepto las que pertenecen al ecuador de la esfera, todas las curvas eventualmente convergerán al origen, incluso las soluciones con condiciones iniciales en sectores hiperbólicos, aunque no parece ser así localmente. entonces resulta que el origen es casi asintóticamente estable cuando se estudia globalmente.
