C -Cohomolog´ıa - Espacios sobre una categor´ ıa 11

2. Espacios sobre una categor´ ıa 11

2.3. C -Cohomolog´ıa

Definiremos eln-´esimo grupo deC-cohomolog´ıa de unC-espacio con coeficientes en un ZC-m´oduloM (ambos de la misma varianza) como sigue:

Tenemos el siguiente funtor

CESPACIOS ^//COMP

X ^//

Y ^//CY

donde COMP es la categor´ıa complejos de cadenas yCXes el complejo de cadenas asociado al espacioX (en nuestro caso usaremos el complejo de cadenas celular y la categor´ıa de CW-complejos y funciones celulares). Para cadan>Zfijo tenemos el funtor

C_nESPACIOS ^//ZMod

X ^//

C_nX

Cnf

Y ^//CnY

Espacios sobre una categor´ıa

Dado unC-espacioX, para cadan>Ztenemos elZ-m´odulo de transformaciones naturales hom_ZCC_nX, M t C_nXcÐ^t^c Mcc>ObCStes natural

Definimos el complejo de cadenas

hom_ZCC_nX, M^XÐ^∂ⁿ¹hom_ZCC_n₁X, M

CnXcÐ^t^c Mcc>ObCz Cn1Xc^∂Ðⁿ¹ CnXcÐ^t^c Mcc>ObC

Efectivamente, la imagen de X∂n1 es transformaci´on natural pues, dada f cÐ d, se tiene

CnXc

CXfn

tc //Mc

C_nXd ^t^d ^//Md

C_n₁Xc ^∂ⁿ¹ ^//

CXfn1

C_nXc

CXfn

tc //Mc

Cn1Xd ^∂ⁿ¹ ^//CnXd ^t^d ^//Md

Finalmente tomamos la cohomolog´ıa de este complejo de co-cadena dada en la siguiente definici´on.

Definición 2.3.1. Sea X C Ð ESPACIOS un C-espacio y M C Ð ZMod un ZC-módulo de la misma varianza. Sea X Ð X una C-CW-aproximación. Definimos el n-ésimo grupo de C-cohomolog´ıa de X con coeficientes en M

H_CⁿX;M Hⁿhom_ZCCX, M

donde CX es el complejo celular de X. Para un par de C-espaciosX, A definimos H_CⁿX, A;M Hⁿhom_ZCCX, A, M

donde X, A Ð X, A es una C-CW-aproximaci´on.

DefinimosH_Cⁿ C paresÐ ZMod como el funtor H_Cⁿ C pares ^//ZMod

X, A ^//

H_CⁿX, A

Y, B ^//H_CⁿY, B

H_Cⁿu u

donde

H_Cⁿu uH_CⁿY, BÐ H_CⁿX, A

CnYc, BcÐ^t^c Mcc>ObCz CnXc, Ac^t^c^X^CÐ^u^cⁿMcc>ObC

(la barra superior indica tomar la clase en cohomolog´ıa). Podemos suponer que X, A es C-CW-aproximación por el Teorema 2.1.8 (pues se tiene la funtorialidad). Veamos queu está bien definida. Dado queues transformación natural, para cadaf cÐ d, el diagrama

Xc ^u^c ^//Yc

ud //Yd

conmuta, entonces, para cadan, el siguiente diagrama tambi´en conmuta en todas sus caras

C_nXc ^C^u^cⁿ ^//C_nYc

C_n1Xc ^C^u^cⁿ¹ ^//

∂_n^X₁^c

==z

zz zz zz zz zz zz zz zz

C_n1Yc

∂_n^Y₁^c

=={

{{ {{ {{ {{ {{ {{ {{ {{

C_nXd ^C^u^dⁿ ^//

C_nYd

CYfn

C_n₁Xd _C

u_dn1

∂^X_n1^d

==z

zz zz zz zz zz zz zz zz

CXfn1

C_n₁Yd

∂_n1^Y^d

=={

{{ {{ {{ {{ {{ {{ {{ {{

(2.3)

Sea t C_nYc Ð^t^c Mcc>ObC un cociclo en hom_ZCC_nY, M. Entonces t_cX

∂_n^Y₁^c 0 para todo c>ObC. Consideremos

u^#t tcX Cucnc>ObC

esto es,

C_nXc ^C^u^cⁿ ^//C_nYc ^t^c ^//Mc

CnXd ^C^u^dⁿ ^//

CXfⁿ

CnYd

CYfⁿ

td //Md

Espacios sobre una categor´ıa

conmuta para cadac, d>ObC. Calculemosu^#tX∂_n^X₁^c: se tiene el diagrama conmutativo

Cn1Xc

∂_n1^Y^cCucn1

''∂^X^c_n₁

//CnXc ^C^u^cⁿ ^//CnYc ^t^c ^//Mc

C_n1Xd

∂^Y_n^d₁ Cudn1

∂_n^X₁^d

CXfn1

C_nXd ^C^u^dⁿ ^//

CXfn

C_nYd

CYfn

td //Md

donde el primer y segundo cuadrado conmutan por la cara izquierda y cara posterior del cubo (2.3) respectivamente y las flechas superior e inferior se tienen por la conmutatividad de la cara superior e inferior del mismo diagrama (2.3). Por tanto, obtenemos

t_cXCu_cn X∂_n^X₁^c t_cCu_cnX∂_n^X₁^c

tc∂_n^Y₁^cXCucn1 conmutatividad anterior

t_cX∂_n^Y₁^c XCu_cn1

0 tcX∂_n^Y₁^c 0 por hip´otesis Esto ocurre para cadac>ObC. De aqu´ı queu^#t tcXCucnc>ObCes un cociclo en hom_ZCCX, M. Ahora veamos que cofronteras van a dar a cofronteras: sea tX∂_n^Y₁

t_cX∂_n^Y₁^cC_n₁Yc Ð Mcc>ObCuna cofrontera en hom_ZCC_n₁Y, M. Entonces u^#tX∂_n^Y₁ t_cX∂_n^Y₁^c XCu_cn1_c>ObC

tcX ∂_n^Y₁^cXCucn1c>ObC

tcX CucnX∂_n^X₁^cc>ObC

tcXCucn X∂_n^X₁^cc>ObC

Por tanto u^#tX∂_n^Y₁ es cofrontera. Y con ello u H_Cⁿu est´a bien definida.

Notemos que en el caso en que C es la categor´ıa trivial, unC-CW-complejo libre es un CW-complejo y tanto CnX como M son grupos abelianos (es decir, Z-m´odulos). Por tantoH_Cⁿhom_ZCCnX, Mes la cohomolog´ıa celular usual con coeficientes en el grupo M.

Cap´ıtulo 3

Teor´ıas de cohomolog´ıa equivariante

En este cap´ıtulo definiremos G-CW-complejo y veremos algunas de sus propiedades.

Tambi´en definiremos cohomolog´ıa equivariante de Bredon de un G-CW-complejo y veremos que esta resulta ser un ejemplo de C-cohomolog´ıa tomando C igual a la categor´ıa de ´orbitas y ciertoC-espacio asociado al G-CW-complejo. Los resultados en este cap´ıtulo fueron tomados de [3] y de [10].

3.1. La categor´ıa de ´ orbitas can´ onicas

SeaGun grupo finito. La categor´ıa de ´orbitas can´onicas denotada porOG se define como la categor´ıa cuyos objetos son los espacios de clases laterales izquierdas G~H (con la topolog´ıa discreta), es decir,

ObjOG G~HSH es subgrupo deG y cuyos morfismos son las funciones G-equivariantes

G~H ^f G~K

respecto a la traslación izquierda (es decir, la acción deGenG~H está dada pors, gH ( sgH). Esto es, f es tal que

G~H ^s ^//

G~H

f G~K s //G~K

conmuta para todo s > G. Denotaremos hom^GG~H, G~K al conjunto de funciones G-equivariantes de G~H en G~K. Vamos a clasificar c´omo son dichas funciones G- equivariantes.

Observación 3.1.1. Seaf G~H G~K cualquier funciónG-equivariante. As´ıfH aK para algún a> G. Se cumple que f es equivariante si y sólo si fgH gaK para toda g>G.

En efecto, supongamos quef G~H G~K es equivariante. EntoncesfsgH sfgH para toda s, g >G. Tomando g igual al neutro deG, se tienefsH sfH saK para todo s>G.

Ahora supongamos que fgH gaK para toda g > G. Entonces fsgH fsgH

sgaK sgaK sfgH. Por tanto f es equivariante.

Observación 3.1.2. f G~H G~K está bien definida como función si y sólo sifghH

fgH para todah>H, para todog>G.

La necesidad es inmediata. Probemos entonces la suficiencia. Supongamos que fghH fgH para todah>H, para todog>G. Sea g₁H g₂H. Entoncesg₁¹g₂H H lo que implica queg₁¹g2 >H. As´ı,fg1H fg1g₁¹g2H fg2H, es decir,f est´a bien definida.

Si definimos fgH gaK cona>Gfijo (lo cual equivale a quef sea equivariante por Observación 3.1.1), tenemos que f G~H G~K está bien definida si y sólo si fghH fgH para toda h>H por la Observación 3.1.2, pero esto equivale a queghaK gaK para toda h >H, es decir, es necesario y suficiente que a¹Ha`K. Tenemos entonces el siguiente resultado:fgH gaK está bien definida y es equivariante si y sólo sia¹Ha` K.

Para a>Gtal quea¹Ha`K, definimos

ÂaG~H G~K (3.1)

gH(gaK

EntoncesÂaes equivariante (es decir,Âa>hom^GG~H, G~K) y toda aplicaci´on equivariante G~H G~K es de esta forma.

Observaci´on 3.1.3. Âa Âb si y s´olo si aK bK

En efecto, supongamos primero queÂa Âb. EntoncesÂaH ÂbH y por definici´on deÂa yÂb se tieneaK bK. Supongamos ahora queaK bK. SeagH >G~H, entonces

ÂagH gaK ÂbgH gbK

y por la hip´otesis tenemos que gaK gbK, por tantoÂa Âb.

Supongamos que se cumple la condicióna¹Ha`K. Entonces la inclusión a¹Ha`K induce una proyección natural

G~a¹HaÐ^π G~K ga¹Ha z gK equivariante.

Análogamente, si se cumple a¹Ha`K, entonces H àKa¹ y esta inclusión induce la proyección canónica equivariante

G~HÐ^π G~aKa¹ gH z gaKa¹

Teor´ıas de cohomolog´ıa equivariante

La traslaci´on por un elementoa>Gpor la derecha, induce una funci´on equivariante R_aG~HÐ G~a¹Ha

gH z gaa¹Ha

As´ı, el conjunto de funciones equivariantes, hom^GG~H, G~K consiste en todas las composiciones

G~HÐ^π G~aKa¹Ð^R^a G~K cona¹Ha`K, o equivalentemente

G~HÐ^R^a G~a¹HaÐ^π G~K

cona¹Ha`K. M´as precisamente,πXR_a R_aXπ ÂaG~HÐ G~K cona¹Ha`K. En particular, tomando K H y asumiendo que a¹Ha`H entonces

hom^GG~H, G~H RaG~H G~HSa>NGH

donde N_GH a> GS a¹Ha` H es el normalizador de H. En efecto, notemos que f > hom^GG~H, G~H si y s´olo si f Âa para alg´un a > G (Âa definida en (3.1)) tal que a¹Ha`H, es decir, a>NGH. Rec´ıprocamente, si a> NGH entonces a¹Ha`H y as´ıÂa>hom^GG~H, G~H. Por tanto

hom^GG~H, G~H ÂaG~H G~HSa>N_GH

Observemos queR_aR_b R_baG~H G~H, dondeR_a, R_b>hom^GG~H, G~H. Esto se tiene pues

G~HÐ^R^bG~b¹Hb G~HÐ^R^a G~H gH z gbH z gbaH R_bagH

Observaci´on 3.1.4. El conjunto hom^GG~H, G~H es un grupo bajo composici´on de funciones.

i) Elemento Neutro.

Seaeel elemento neutro de G, entonces

ReG~HÐ G~H gHz geH gH

luego Re IdG~H G~H es el neutro de hom^GG~H, G~H ii) Asociatividad.

RaRbRc RbaRc R_c_ba R_aR_bR_c R_aR_cb R_cba pero cba cbapues Ges grupo.

iii) Inverso.

Sea R_a>hom^GG~H, G~H, entonces a>N_GH y como N_GH es grupo tenemos a¹ >NGH R_a1 >hom^GG~H, G~H. Adem´as

R_aR_a1 R_a1a R_e Id R_a1R_a R_aa1 R_e Id

3.2. Sistemas de coeficientes gen´ ericos

Para la teor´ıa clásica de cohomolog´ıa (que cumple el axioma de la dimensión) el conoci- miento del grupo de coeficientes (H⁰en este caso) permite el cálculo de la cohomolog´ıa de cualquier complejo simplicial finito. Esencialmente esto es cierto porque los objetos con- tra´ıbles (como los simplejos) forman los bloques de construcción de todos los complejos.

Para la teor´ıa equivariante la situación es diferente. Los “bloques de construcción” son esencialmente las órbitas del grupo G, es decir, las clases laterales G~H con H subgrupo de G forman un conjunto de bloques de construcción. Por ello, un sistema de coeficientes deber´ıa contener todos los grupos HG~Hademás de las funciones equivariantes.

A continuaci´on definimos precisamente un sistema de coeficientes para despu´es definir cohomolog´ıa equivariante.

Definici´on 3.2.1. Un sistema de coeficientes gen´erico para Ges un funtor contravariante OGÐ^M Abel

Esquem´aticamente,

OG ^M ^//Abel

G~H ^//

MG~H

G~K ^//MG~K

MÂa

con a¹Ha`K.

Sean M, N OGÐ Abel sistemas de coeficientes. Un morfismo T entre M y N es una transformaci´on natural entre los funtoresM yN. Expl´ıcitamente, T es una colecci´on de homomorfismos entre grupos abelianos

T T_G_~_H MG~H NG~HG~H>ObjOG

tales que el diagrama siguiente conmuta para todo morfismoÂaG~H G~K MG~H ^T^G~H^//NG~H

MG~K ^T^G~K^//

MÂa

NG~K

NÂa

Los sistemas de coeficientes gen´ericos para G forman una categor´ıa abeliana CG FunOG^op,Abel

donde los objetos son funtores contravariantes de OG en Abel y los morfismos son las transformaciones naturales entre ellos.

Teor´ıas de cohomolog´ıa equivariante

Por ejemplo consideremosA un G-m´odulo. Definimos M OG ^//Abel

G~H ^//

A^H g a

G~K ^//A^K

MÂg

(3.2)

donde A^K a>A Sk a a¦k> K, g¹Hg` K. Note que A^H y A^K son submódulos de A. A continuación veremos que MÂg está bien definido: dado que g > G es tal que g¹Hg`K entoncesH`gKg¹. Esto implica que gAÐ A es tal que gA^K À^H. En efecto, para a>A^K

Hga ` gKg¹ga gKa ga

la ´ultima igualdad se tiene puesa>A^K. Por tanto g a>A^H. As´ı,g A^K `A^H. Denotamos este morfismo (homomorfismo de grupos abelianos) MÂg por

gH,KA^KÐ A^H az g a

Notemos que si Âg gÂ entonces g¹g >K y as´ı para toda a>A^K se tiene g¹g a a, esto es, g a g a y por definici´on g_H,K a g_H,Ka para cada a>A^K, as´ı que MÂg est´a bien definido. Veamos ahora que M es funtor.

G~H ^//

Â g2XÂg1

Â g1

A^H

G~K ^//

Â g2

A^K

MÂg1

G~L ^//A^L

MÂg2

OO aa

Seaa>A^L yg1, g2>G

MÂg₂X Âg₁a M Æg₁Xg₂a

g₁g₂ a MÂg1 XMÂg2a MÂg1 X g2 a

g1 g2 a

g₁g₂ a MÂea e a a Por tanto M es funtor.

3.3. Sistemas de coeficientes en un G-CW-complejo

Diremos que un CW-complejo K es G-CW-complejo si hay una acción celular de G sobre K tal que: para cada g>G, x>KSg x x es un subcomplejo de K. Por acción celular nos referimos a cualquier acción que satisfaga las siguientes dos condiciones:

i) siE es unan-celda de K, entonces para cadag>G,g E es de nuevo una n-celda de K.

ii) Si la acci´on env´ıa la celda en s´ı misma entonces la acci´on sobre esa celda es trivial.

A partir de un G-CW-complejo K, formamos una categor´ıa K cuyos objetos son los G-subcomplejos finitos de K y los morfismos son como sigue: dados dos objetos L, L en K, entonces

homL, L f LÐ LSfx g xpara alg´ung>G (Note que homL, L puede ser vac´ıo).

Observaci´on 3.3.1. Los morfismos deK son uno de los tres casos siguientes:

i) Inclusiones

ii) aLÐ a L dondea>G.

iii) Composiciones de los dos casos anteriores.

Dada una celda σ de K denotamos por Kσ al subcomplejo más pequeño de K que contiene a la celda σ. Estos subcomplejos serán los más importantes, pero para algunas construcciones necesitaremos considerar también complejos más generales.

Definimos un funtor can´onico contravariante (para unG-CW-complejoK fijo) θ K ^//OG

L ^//

G~G_L

L ^//G~GL θg Âg

(3.3)

dondefx g xpara algúng>GyG_L g>GSg x x ¦x>L. La aplicaciónθg Âg está bien definida pues: si g x h x para toda x > L y para algunos g, h > G entonces h¹g x x, esto es,h¹g>G_L y de aqu´ı queg>hG_L, análogamente h>gG_L. Se sigue que gG_L hG_L y por la Observación 3.1.3 se tiene Âg Âh. Además g¹G_Lg `G_L. En efecto, seas>GL yx>L, entonces

g¹sg x g¹ s g x

g¹g x puess>G_L y g x>gL`L

g¹g x x

Teor´ıas de cohomolog´ıa equivariante

Por tanto g¹sg>GL para cualquier s>GL, esto es,g¹GLg`GL. En particular, siL`L (caso i) de la Observaci´on 3.3.1)

θ K ^//OG

L_{_} ^//

G~G_L sgG_L sG_L

L ^//G~G_L

Â g

sG_L

donde la igualdadsgG_L sG_Lse tiene porqueges la inclusión y entoncesg x xpara toda x>L, es decir, g>GL. Por tanto Âg es la proyección natural. Mientras que si gLÐ gL (caso ii) de la Observación 3.3.1) entonces

θ K ^//OG

L ^//

G~GL sgGL

g L ^//G~G_{g L}

Â g

sG^__{g L}

(3.4)

Pero se tiene Gg L gGLg¹, ya que

G_{g L} s>GSs x x ¦x>g L (3.5)

s>GSs g y g y ¦y>L

s>GS g¹sg y y ¦y>L

gsg¹ >GSg¹gsg¹g y y ¦y>L puesG gGg¹ gs>GSs y y ¦y>Lg¹

gG_Lg¹

Por lo que el diagrama (3.4) queda:

θ K ^//OG

L ^//

G~G_L sgg¹G_{g L}g

g L ^//G~Gg L G~gGLg¹

Âg

sGg L

donde

gsG_{g L} sgG_L por definici´on deÂg sgg¹G_{g L}g pues G_{g L} gG_Lg¹

por lo queÂg es la multiplicaci´on por la derecha porg en este caso.

Si M OG Ð Abel es un sistema de coeficientes gen´ericos, entonces dado un G- CW-complejo finitoK, la composici´on

MXθ K ^θ ^//OG ^M ^//Abel (3.6)

se llama sistema de coeficientes (simple) deK.

Ahora generalizaremos (3.6) como sigue:

Definici´on 3.3.2. Un sistema de coeficientes locales en K es un funtor covariante L K Ð Abel.

De nuevo, los coeficientes locales en K forman una categoria abeliana LCK (los morfismos son transformaciones naturales). SiL > LCK yσ es una celda deK entonces denotaremos por Lσ a LKσ. Para Kτ `Kσ a veces denotaremos por Lτ σ a LKτ 0Kσ.

3.4. Cohomolog´ıa

Dado un G-CW-complejo K y un sistema de coeficientes localesL K Ð Abel, para cadanC0, definiremos eln-´esimo grupo de cohomolog´ıa equivariante de BredonH_GⁿK;L.

Orientamos las celdas de K de tal modo que Gpreserva orientaci´on.

Definici´on 3.4.1. Sea

C^qK;L f σSσ es q-celda de K}Ð

LKσ Sfσ > LKσ

LKσ

donde σ>Kq (donde Kq denota al conjunto de q-celdas de K).

El conjunto C^qK;L es grupo abeliano por ser producto cartesiano de grupos abelianos. Si f₁, f₂ > C^qK;L la operaci´on suma est´a definida como sigue: f₁f₂σ f1σ f2σ.

Definimos el homomorfismo δC^qK;L Ð C^q¹K;Lpor

δfσ Q

τ σLKτ 0Kσfτ (3.7) donde τ corre sobre el conjunto de q-celdas de K y σ es una q1-celda (la cual tiene sentido ya queKτ ÚKσ implica que τ σ 0).

El homomorfismo δ es operador frontera, es decir, δXδ 0. En efecto, sea σ una

Teor´ıas de cohomolog´ıa equivariante

q2-celda deK,

δδfσ Q

τ>Kq1

τ σLKτ 0Kσδfτ

τ>Kq1

τ σLKτ 0Kσ

ω>Kq

ωτLKω 0Kτfω

τ>K_q1

τ σ Q

ω>Kq

ωτLKτ 0Kσ X LKω 0Kτfω

τ>Kq1

ω>Kq

ωτ τ σLKω 0Kσfω pues Les funtor Q

ω>Kq

τ>Kq1

ωτ τ σLKω 0Kσ

fω 0

la ´ultima igualdad se tiene porque Pτ ω τ τ σ ∂X∂ 0 donde ∂n CnK Ð C_n₁Kes el operador de homolog´ıa celular (ver en Preliminares, Homolog´ıa celular).

Ahora, definimos una acci´on deG sobre C^qK;Lmediante

g fσ LKg¹σÐ^g Kσfg¹σ > LKσ (3.8) xz g x

para g>G,f >C^qK;L.

Notemos que est´a bien definida pues, fg¹σ > LKg¹σy porque LKg¹σÐ^g Kσfg¹σ > LKσ.

As´ı, g f >C^qK;L. Ahora veamos que es acci´on. Es claro que e f f con eel neutro de G, probemos entonces que g g₁ f gg₁ f

g g₁ fσ LKg¹σÐ^g Kσg₁ fg¹σ

LKg¹σÐ^g KσLKg₁¹g¹σÐ^g¹ Kg¹σfg₁¹g¹σ

LKg₁¹g¹σÐ^g¹ Kg¹σÐ^g Kσfg₁¹g¹σ L covariante) LKg₁¹g¹σÐ^gg¹ Kσfg₁¹g¹σ

LKgg1¹σÐ^gg¹ Kσfgg1¹σ

gg₁ fσ.

Por ´ultimo, comprobemos que es acci´on lineal:

g f₁f₂σ LKg¹σÐ^g Kσf₁f₂g¹σ

LKg¹σÐ^g Kσf₁g¹σ f₂g¹σ

LKg¹σÐ^g Kσf₁g¹σ LKg¹σÐ^g Kσf₂g¹σ

g f₁σ g f₂σ Por tanto, C^qK;Les un G-m´odulo y entonces

C_G^qK;L f >C^qK;L Sg f f ¦g>G

es un G-subm´odulo de C^qK;L.

Denotaremos de manera compacta a g fσ por Lgfg¹σ y a Lg por g. Entonces

g fσ gfg¹σ (3.9)

y reemplazando σ por gσ en (3.9) obtenemos

g fgσ gfg¹gσ gfσ (3.10) Notemos que f >C_G^qK;Lsi y s´olo si g f f para toda g>G y por (3.10), fgσ gfσpara todaσ q-celda deK yg>G. Entonces se tiene que

C_G^qK;L f>C^qK;L Sfgσ gfσ ¦g>G,¦q-celdaσ deK (3.11) Note queC_GK;Les un subcomplejo de cadena de CK;L.

Definici´on 3.4.2. El q-´esimo grupo de cohomolog´ıa equivariante del G-CW-complejo K con coeficientes enL es

H_G^qK;L H^qC_GK;L.

SiM > CGentoncesM θ es un sistema de coeficientes local, es decir,M θ> CK` LCK (θ definido en (3.3)). En el caso especial en que L M θ denotaremos

H_G^qK;M H_G^qK;M θ.

3.5. Ejemplos

A continuación veremos dos ejemplos de cálculo de cohomolog´ıa equivariante de Bredon con coeficientes en el sistemaM definido en (3.2). Cosideremos la acción del grupoZ~2Z

1, σ sobre el CW-complejo S¹ por reflexión. La estructura celular de S¹ consta de dos 0-celdas ayby dos 1-celdas α yβ. Orientamos las celdas deS¹ de la forma que la acción de Z~2Zrespete la orientación. Denotaremos por Z2 a Z~2Z.

Ejemplo 3.5.1. SeaA Zy definimos la acci´on deZ2 sobreApor σ x x. Notemos que G_a g >Z2 Sg a a Z2 y G_α 1 por tanto el sistema de coeficientes local MXθ (donde θes el funtor can´onico contravariante definido en (3.3)) es:

K ^θ ^//OZ2 ^M ^//Abel

a_{_} ^//

Z2~Z2 //A^Z² Z

MÂ1

α ^//

Z2~1 ^//

Â1

A¹ Z

MÂσ

x_{_}

β ^//Z2~1

Â σ

OO //A¹ Z σ x x

an´alogamente para byβ. Entonces C⁰S¹, M M

τ>K0

M θτ M θa M θb Z`Z

Teor´ıas de cohomolog´ıa equivariante

y las cocadenas equivariantes son

C_Z⁰₂S¹, M f >C⁰S¹, M Sg f f ¦g>Z2

f a, b Ð ZSg f f ¦g>Z2 donde la acci´on de Z2 sobre las cocadenas (Definici´on 3.8) es

σ fa MKσ aÐ^σ Kafσ a

MaÐ^σ afa M1fa

de igual maneraσ fb fb. Por tanto C_Z⁰₂S¹, M Z`Z.

Ahora,C¹S¹, M M θα M θβ Z`Zy

σ fα MKσ αÐ^σ Kαfσ α MβÐ^σ αfβ

M1fβ fβ

σ fβ fα entoncesC¹

Z2S¹, M f α, β Ð ZSfα fβ Z.

Notemos que aα degpaXf_∂α 1 y bα 1. En efecto, la composici´on

0,1 ^f^∂α ^//a, b

π //S⁰@ ^π^a ^//0,1

es la identidad, pues 0 z^f^∂α b z^π b z^πâ 0 y 1 z^f^∂α a z^π a z^πâ 1, por tanto a α degpaXf_∂α 1. La composición

0,1 ^f^∂α ^//a, b

p_b

π //S⁰@ ^π^b ^//0,1

es tal que 0z 1 y 1z 0, de aqu´ı que su grado es bα 1. Entonces el operador frontera δC⁰S¹, M Ð C¹S¹, M est´a dado por

δfα Q

τ>K0

τ αMKτ Ð Kαfτ

aαMa0αfa bαMb0αfb fa fb.

As´ı, tenemos el siguiente complejo de cocadenas

0Ð Z`ZC_Z⁰₂S¹, MÐ^δ C_Z¹₂S¹, M ZÐ 0

y por tanto los grupos de cohomolog´ıa de Bredon equivariantes son H_Z⁰₂S¹, M kerδ k1,1 Sk>Z Z H_Z¹₂S¹, M Z~Imδ Z~Z 0

H_Zⁿ₂S¹, M 0 ¦nC2

que coinciden con los grupos de cohomolog´ıa celular del espacio de ´orbitas S¹~Z2.

Ejemplo 3.5.2. SeaA Z y definimos la acci´on porσ x x. El sistema de coeficientes local M θ es

K ^θ ^//OZ2 ^M ^//Abel

a_{_} ^//

Z2~Z2 //A^Z² 0

MÂ1

α ^//

Z2~1 ^//

Â1

A¹ Z

MÂσ

x_{_}

β ^//Z2~1

Â σ

OO //A¹ Z σ x x

En este caso

C⁰S¹, M f a, bÐ 0 0 C_Z⁰₂S¹, M y

C¹S¹, M f α, β Ð Z Z`Z. Notemos queσ fα MβÐ^σ αfβ fβ, por lo que

C_Z¹₂S¹, M f α, β Ð ZSfα fβ Z Tenemos entonces el complejo de cocadenas

0Ð 0 C_Z⁰₂S¹, MÐ^δ C_Z¹₂S¹, M ZÐ 0 y as´ı

H_Z⁰₂S¹, M 0

H_Z¹₂S¹, M Z~Imδ Z~0 Z H_Zⁿ₂S¹, M 0 ¦nC2.

3.6. Otra descripci´ on para las co-cadenas

El objetivo de esta secci´on es probar que hay un isomorfismo entre el grupoC_GⁿK;M y las transformaciones naturales entre los sistemas de coeficientes gen´ericos CnK;Z y M, y en consecuencia, H_GⁿK, M HⁿhomCK;Z, M.

Teor´ıas de cohomolog´ıa equivariante

Definiremos un elemento CnK;Z > CG (es decir, un sistema de coeficientes gen´erico C_nK;Z) de la siguiente manera:

CnK;Z OG ^//Abel

G~H ^//

Âg

CnK^H;Z Pαnαg σα

G~H ^//CnK^H;Z

g CnK;ZÂg

Pαnασα

cong¹Hg`HyC_nK^H;Zes el grupo abeliano libre generado por las n-celdas deK^H. Notemos que de la definici´on deG-CW-complejo se sigue que K^H es subcomplejo de K.

Adem´as, se tiene queg K^H `K^H, entoncesCnK;ZÂg est´a bien definida.

Para todoH yH tal queg¹Hg`H, se tiene el siguiente diagrama conmutativo C_nK^H;Z ^∂^G^~^H^//C_n1K^H;Z

CnK^H;Z

∂_G_~H

//Cn1K^H;Z

pues el operador ∂ de homolog´ıa celular es equivariante. Entonces, el diagrama C_nK;ZG~H ^∂^G^~^H^//C_n₁K;ZG~H

CnK;ZG~H

∂_G_~H

//Cn1K;ZG~H

conmuta.

Es claro que ∂X∂ 0. Por tanto, se tiene un complejo de cadenas Ð C_n₁K;Z^∂Ðⁿ¹C_nK;ZÐ^∂ⁿ C_n₁K;Z Ð

Enseguida, construiremos una transformaci´on fÂ>homC_nK;Z, M a partir de f >

C_GⁿK;MconM > CG. Para cada n-celda σ en K se cumple que fσ >M θKσ MG~G_K_σ. Seaσ`K^H. Notemos que H`G_K_σ pues para h>H se tiene

h x x¦x>K^H

h x x¦x>K^Hσ puesK^Hσ `K^H h>G_K_σ

por tanto,H`G_K_σ, es decir a¹Ha`G_K_σ paraa 1. As´ı, tenemos definido OG ^M ^//Abel

G~H ^//

Â1

MG~H

G~G_K_σ ^//MG~G_K_σ

MÂ1

dondeÂ1gH gG_K_σ. En particular, dado quefσ >MG~G_K_σ, tenemos el elemento MÂ1fσ >MG~H.

Denotaremos

fÂG~Hσ MG~HÐ^Â¹ G~GKσfσ

gH z gG_K_σ Para f >C_GⁿK;M fijo, definimos

fÂG~H CnK^H;Z Ð MG~H Q

n_ασ_αz Q

n_α ÂfG~Hσ_α

Lema 3.6.1. El homomorfismo fÂG~H CnK^H;Z Ð MG~H es natural respecto a los morfismos de OG, esto es, el siguiente diagrama conmuta

CnK^H;Z^f^Â^G^~^H^//MG~H

CnK^H;Z

fÂG~H//MG~H

MÂg

OO (3.12)

Demostraci´on. Seaσ una n-celda enK^H, entonces MÂg X ÂfG~Hσ MÂgMG~H^ÂÐ¹ G~G_K_σfσ

MG~H Ð^Â^g G~H Ð^Â¹ G~G_Kσfσ

sH z sgH z sgG_K_σ puesM es contravariante Por otra parte

fÂG~Hg σ MG~HÐ^Â¹ G~G_K_{g σ}fg σ

MG~H ^Â¹ G~GKg σgfσ por Obs. (3.11

MG~H ^Â¹ G~G_K_{g σ}M θKσ ^g Kg σfσ def. deg MG~H ^Â¹ G~G_K_{g σ}MG~G_K_gσ ^Â^g G~G_K_σfσ por def. deθ

MG~H ^Â¹ G~G_K_{g σ} ^Â^g G~G_K_σfσ

sH (sGKg σ (sgG_K_σ puesM es contravariante

Teor´ıas de cohomolog´ıa equivariante

Por tanto el diagrama conmuta.

Paraf >C_GⁿK;Mhemos definido una transformaci´on naturalfÂ>homCnK;Z, M. Probaremos en la siguiente observaci´on que se da el caso rec´ıproco.

Lema 3.6.2. Una transformaci´on fÂ> homC_nK;Z, M determina un elemento f >

C_GⁿK;M θ.

Demostraci´on. Sea σ una n-celda en K. Dado que σ ` Kσ ` K^G^K^σ entonces σ >

C_nK^G^Kσ;Z, en consecuencia

C_nK^G^K^σ;Z^f^Â^G^~Ð^G^K^σMG~G_K_σ est´a bien definido. Definimos

f σSσ es n-celda de K Ð

M θKτ

σz ÂfG~G_Kσσ >MG~G_Kσ M θKσ

donde τ corre sobre las n-celdas de K. De aqu´ı que f >CⁿK;M θ. Probemos ahora que f es equivariante, es decir,f >C_GⁿK;M θ.

Notemos primero que g¹G_K_{g σ}g g¹G_{g K}_σg G_K_σ, por el argumento que se dio en (3.5). Entonces,ÂgG~G_K_{g σ}Ð G~G_K_σest´a bien definida. Dado quefÂes transformaci´on natural, para G_K_{g σ}, G_K_{g σ}BG, el siguiente diagrama conmuta

C_nK^G^K^{g σ};Z^f^Â^G^~^G^K^{g σ}^//MG~G_K_{g σ}

C_nK^G^K^σ;Z

fÂG~GKσ //MG~G_Kσ

MÂg M θg

OO (3.13)

As´ı

fg σ ÂfG~G_K_{g σ}g σ por definici´on MÂg ÂfG~GKσσ diagrama (3.13)

M θg ÂfG~G_K_σσ

gfÂG~G_K_σσ por definici´on de g gfσ por definici´on de f por tanto f >C_GⁿK;M θ.

Veamos que las construcciones de los lemas 3.6.1 y 3.6.2 son inversas la una de la otra.

Teorema 3.6.3. La funci´on

C_GⁿK;MÐ^ϕ homC_nK;Z, M f z ϕf Âf ¢¨¨¨

¦¨¨¨¤

CnK^H;Z ^ϕÐ^f^G^~^H MG~H

σz MG~H ^Â¹ G~GKσfσ

£¨¨¨§¨¨

¨¥HBG

es isomorfismo de grupos abelianos.

Demostración. Recordemos la función definida en la Proposición 3.6.2 homCnK;Z, MÐ^φ C_GⁿK;M

fÂz

σSσ esn-celda enK ^{φ Â}Ð ^f M θKσ

σz ÂfG~GKσσ

Es f´acil ver que φes homomorfismo de grupos. Probemos que φes el inverso deϕ:

seaf >C_GⁿK;M, entonces

φϕf σSσ esn-celda enK Ð M θKσ

para cada n-celda σ en K se tiene

φϕfσ ϕfG~G_K_σσ por def. de φ MG~GKσ Â1

G~GKσfσ por def. de ϕ

Idfσ puesMÂ1 Id

fσ

esto es,φXϕ Id. Ahora, sea fÂ>homC_nK;Z, M

ϕφ Âf ϕφ Âf

¢¨¨¦¨¨

CnK^H;Z Ð MG~H

σ z MG~H ^Â¹ G~G_K_σφ Âfσ

£¨¨§¨¨

¥HBG

¢¨¨¦¨¨

CnK^H;Z Ð MG~H

σ z MG~H ^Â¹ G~GKσ ÂfG~GKσσ

£¨¨§¨¨

¥^HBG

ÂfG~H CnK^H;Z Ð MG~HHBG fÂ

donde la ´ultima igualdad se tiene pues el diagrama (3.12) conmuta. Por tantoϕφ Âf Âf, y se sigue que ϕes isomorfismo.

Lema 3.6.4. El isomorfismo ϕ C_GⁿK;MÐ homC_nK;Z, M es compatible con el operador frontera, es decir, el siguiente diagrama conmuta:

C_GⁿK;M

//homCnK;Z, M

X∂

C_Gⁿ¹K;M ^ϕ ^//homCn1K;Z, M

(3.14)

donde la flecha vertical izquierda δ es el operador frontera definida en (3.7).

Demostraci´on. Seaσ>Cn1K;ZG~H Cn1K^H;Z yf >C_GⁿK;M. Por un lado,

ϕδf ¢¨¨¨

¦¨¨¨¤

CnK^H;Z ^ϕ^δfÐ^G~HMG~H

σ z MG~HÐ^Â¹ G~G_K_σδfσ

£¨¨¨§¨¨

¨¥HBG

Teor´ıas de cohomolog´ıa equivariante

donde el homomorfismo ϕδfG~H en cadaσ es ϕδfG~Hσ MG~HÐ^Â¹ G~G_K_σδfσ

MG~HÐ^Â¹ G~G_K_σ Q

τ σM θKτ 0Kσfτ

τ σMG~HÐ^Â¹ G~GKσM θKτ 0Kσfτ Q

τ σMG~H ^Â¹ G~G_K_σMG~G_K_σ ^π G~G_K_τfτ (def.θ) Q

τ σMG~H ^Â¹ G~G_K_σ ^π G~G_K_τfτ

con

G~HÐ^Â¹ G~G_K_σÐ^π G~G_K_τ sHz sG_K_σz sG_K_τ Por otra parte,

ϕf X∂G~Hσ ϕfG~H X∂_G_~_Hσ ϕfG~H∂_G_~_Hσ

ϕfG~HQ

τ στ por def. de ∂_G_~_H Q

τ σϕfG~Hτ Q

τ σMG~H ^Â¹ G~G_K_τfτ por def. deϕfG~H por tanto el diagrama (3.14) conmuta.

Tenemos entonces un isomorfismo entre complejos de cadenas y as´ı, los grupos de cohomolog´ıa asociados a los complejos son isomorfos, es decir,

H_GⁿK;MÐ^ϕ HⁿhomCK;Z, M es isomorfismo.

SeaK un G-CW complejo. CuandoC OGy X C ^//ESPACIOS

G~H ^//

Âg

K^H

G~L ^//K^L

entoncesCnX es el funtor

C ^X ^//ESPACIOS ^Cⁿ ^//Abel

G~H ^//

K^H ^//C_nK^H;Z

G~L ^//K^L

OO //CnK^L;Z

es decir, C_nX es el funtorC_nK;Z. As´ı

Hⁿhom_ZCCX, M HⁿhomCK;Z, M

pero del Lema 3.6.4 se tiene que

HⁿhomCnK;Z, M H_GⁿK;M

por tanto, la C-cohomolog´ıa del C-espacio X con coeficientes en el ZC-m´oduloM coincide con la cohomolog´ıa equivariante de Bredon del G-CW-complejoK con coeficientes enM, esto es,

H_CⁿX;M H_GⁿK;M.

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