Cada función de Brown T Toph Ð Abel está representada en la categoría de complejos CW con puntos conectados por trayectorias. El objetivo de este trabajo es generalizar el teorema de representación de Brown a la categoría de espacios sobre una categoría. Dada una categoría C pequeña, definimos un espacio C-covariante (contravariante) como un funtor covariante (contravariante).
Por ejemplo, si consideramos la categoría trivial C, un espacio C es simplemente un espacio topológico. Existe una generalización del teorema de representabilidad de Brown para espacios sobre una categoría en [2].
Convenciones para complejos CW
Comenzaremos suponiendo que la homología singular que denotamos por H es conocida y que satisface los axiomas de una teoría de homología generalizada. Por lo tanto, Id,γpS∂Ip1 colapsa todo∂Ip1 al punto base excepto face1Ip. Por lo tanto, Id,γpS∂Ip1 es equivalencia homotópica y por tanto tenemos un isomorfismo en homología.
Para cada n-celdaσ de K tenemos la aplicación característica fσ I Kn. y su restricción a∂In es el mapa de incrustación f∂σ∂In Kn1. una copia para cada n celdas σ). De hecho, podemos suponer que ϕ es la aplicación γn (si la orientación cambia al aplicar σ, podemos componer ϕ con un homeomorfismo de grado 1).
Homolog´ıa celular
Un complejo X C-CW libre contravariante es un espacio C contravariante junto con un filtrado de espacios C. Un mapa f c es n-equivalencia (una equivalencia homotópica débil). Sea fY Ð Z un mapa del espacio C y sobreyectivo para cualquier complejo X C-CW libre con dimX Bn. ii) f es una equivalencia homotópica débil si y sólo si f es biyectiva para cualquier complejo libre C-CWX. Prueba. Sólo demostraremos el siguiente caso especial de partii) de este teorema.
Entonces tenemos aK bK, y por definición de a y b. y según la hipótesis tenemos que gaK gbK, entoncesÂa Âb. Diremos que un complejo CW K es un complejo G-CW si existe una acción celular de G sobre K tal que: para cada g>G, x>KSg x x es un subcomplejo de K. Por acción celular nos referimos a cualquier acción que satisfaga las dos condiciones siguientes: .. i) si E es una n-célula de K, entonces para cada g>G,g E es nuevamente una n-célula de K. ii) Si la acción controla la propia célula, entonces la acción sobre esa célula es trivial. Por lo tanto, a pesar de una retracción debido a la deformación, nYn tiene el mismo tipo de homotopía C que nYnIN nYn~. Por otro lado, dado j Yn Ð Y tal que jXf0 jXf1, tenemos un diagrama.
El axioma de la cuña nos da la siguiente biyección T. donde iYn Yn0 nYn es inclusión.
Espacios sobre una categor´ ıa 11
Col´ımites de C -espacios
La propiedad más importante del límite de homotopía es que si XÐ Y es una equivalencia de homotopía débil de espacios C covariantes, entonces también lo es el mapa inducido. Ð hokolimCY . lo cual es consecuencia del siguiente teorema cuya demostración puede consultarse en [5, Teo. 3.11]. Ahora, dado un espacio C covariante X, daremos una definición equivalente del collímite en términos de su propiedad universal.
Z. ii) Dado cualquier par N,ψcc>ObC donde N es un espacio topológico y ψc Sea C la categoría cuya clase de objetos es natural y dado i, j>Ner es un morfismo único ifiBj. En este caso, la definición de col'limit dada al principio de esta sección coincide, por tanto, con la definición habitual.
C -Cohomolog´ıa
Si la categoría C tiene un objeto terminal f, podemos tomar EC. de acuerdo con la Observación 2.1.10, entonces tenemos una equivalencia homotópica débil entre hocolimC y colimC. Además, utilizando la propiedad de colisión universal, es fácil de ver. Tenga en cuenta que en el caso en que C es la categoría trivial, un complejo C-CW libre es un complejo CW y tanto CnX como M son grupos abelianos (es decir, módulos Z). Si definimos fgH gaK con a>Gfijo (lo que equivale a que f sea equivalente según la Observación 3.1.1), entonces f G~H G~K está bien definido si y sólo si fghH f gH para todo h >H según la Nota 3.1.2, pero esto equivale a queghaK gaK para todo h >H, es decir, es necesario y suficiente que a1Ha`K.
Los "bloques de construcción" son básicamente las órbitas del grupo G, es decir, las clases laterales G~H con el subgrupo H de G forman un conjunto de bloques de construcción. Si M OG Ð es un sistema abeliano de coeficientes genéricos, entonces con respecto al complejo finito G-CWK es una composición. En [2], demostramos el teorema de representabilidad de Brown para espacios punteados sobre una categoría, pero a diferencia de él, aquí usamos una definición diferente del funtor browniano (Definición 4.2.1) y un resultado menos restrictivo (Proposición 4.2.2).
Dado que j Y Ð X es un ecualizador, existe g Prueba Supongamos que construimos inductivamente para C2 el espacio C Yn1, a partir de Entonces existe un complejo C-CW libre puntual Y obtenido de Y0 uniendo las celdas, de junto con un elemento universal u>TY tal que uSY0 u0. Prueba Dado el espacio C Y0 y u0>TY0, del Lema 4.2.6 tenemos la secuencia de espacios C junto con los n-elementos universales a > TYn, donde cada Yn se obtiene de Yn1 uniendo celdas de dimensión menor o igual a incluso Es un complejo C-CW libre, ya que canónicamente satisface la construcción de la Definición 2.1.3. donde f0SYn en Yn Ð Yn1 es la inclusión y f1 IdnYn.
Entonces la clase de homotopía de C. tal que iSYn Yn0Y, es un coecualizador para f0 y f1. Ð Y más en cuál está la composición. y yo soy el compuesto. pero ϕums es isomorfismo, por lo que inXf imXg y de este x y. Entonces tu es un elemento universal de la categoría de complejos C-CW punteados y, por tanto, Y es un espacio C clasificador para T.
Teor´ ıas de cohomolog´ ıa equivariante 31
Sistemas de coeficientes gen´ ericos
Para la teoría clásica de la cohomología (que satisface el axioma de dimensión) el conocimiento del grupo de coeficientes (H0 en este caso) permite el cálculo de la cohomología de cualquier complejo simplista finito. En esencia, esto es cierto porque los objetos contráctiles (como los símplex) forman los componentes básicos de todos los complejos. Por tanto, un sistema de coeficientes debe contener todos los grupos HG~Hin además de las funciones equivalentes.
A continuación, definimos con precisión el sistema de coeficientes para posteriormente definir la cohomología equivalente. Los sistemas genéricos de coeficientes para G forman la categoría abeliana CG FunOGop,Abel. A continuación veremos que MÂg está bien definido: como g > G tal que g1Hg`K, entonces H`gKg1.
Sistemas de coeficientes en un G-CW-complejo
Nuevamente, los coeficientes locales de K forman una categoría abeliana LCK (los morfismos son transformaciones naturales).
Cohomolog´ıa
Ejemplos
Otra descripci´ on para las co-cadenas
Un coecualizador para f y g es un espacio C covariante (contravariante) X junto con una clase de homotopía C discontinua j Y Ð X, tal que . i) jXfjXg. ii) Si j Y Ð Definimos la clase de C-homotopía j Y Ð cINYc Ð En el caso en que D sea la categoría de C-espacios y un C-espacio Y represente T, diremos que Y es un objeto clasificador.
Decimos que T es un funtor browniano ZMod del ESPACIO-C si satisface las siguientes propiedades: .. ii) Axioma de cuña: para cada familia de espacios-CXii las transformaciones incluyen λiXi0 iXi. Observamos que si T es un functor que satisface los axiomas de Wedge y Mayer-Vietoris, entonces es trivial. Entonces existe un complejo C-CW libre punteado Y1 obtenido uniendo células C a X junto con un elemento 1 universal u1>TY1 tal que u1SX v.
TX existe un complejo C-CW libre punteado Yn, obtenido de v. Ahora supongamos y > TmorC, c,Sq, existe m lo suficientemente grande como para que q @ m y por lo tanto ϕum es un epimorfismo para q n. Dada una transformación punteada natural g A Ð Y y un elemento v > TX tal que vSA T gu, entonces existe una extensión f XÐ Y de g tal que vT fu .
Según el Teorema 4.2.7 existe un espacio C con puntos Y tomados de las celdas adyacentes Z (que por lo tanto es complejo C-CW) y un elemento ª-universal u>TY tal que. El teorema de representación de Brown establece que si T es un funcional browniano, entonces T está representado en la categoría de complejos C-CW. Notemos que Ac `Xc para todo c>ObC y que A es equivalente al espacio CXX, definimos la transformación naturalgAÐ Y tal que para todo c>ObC.
Representabilidad de Brown 49
Funtores de Brown y elementos universales
Sea T un functor browniano y Y un espacio C, sea el elemento u>TY n-universal si es una función. Luego demostraremos que a partir de un complejo C-CW libre de puntos (asociado con trayectorias para cada objeto en C) podemos construir inductivamente otros complejos C-CW libres junto con n elementos universales. La función ϕunn está bien definida: sea morC, c,SqÐf Yn un elemento en el col´limit.
Sea T una función de Brown, Y un complejo C-CW libre punteado, u > TY un elemento ª-universal y X, A un par C-CW. Más específicamente, existe un complejo Y punteado C-CW, único aparte de la homotopía C y una equivalencia natural.
