Carácter Optativas Unidad temporal C7 y C8 Requisitos

previos

Materias de los tres primeros cursos

Sistemas de evaluación

Véase "Explicación general del plan de estudios", en 5.1.

Actividades formativas con su contenido en ECTS, su metodología de enseñanza y aprendizaje, y su relación con las competencias que debe adquirir el estudiante

Competencias relacionadas:

CB-4, CB-5

CG-1, CG-2, CG-3, CG-4, CG-5, CG-6, CG-9 CE-2, CE-4, CE-6

Para las actividades formativas con su contenido en ECTS y la metodología de enseñanza aprendizaje, véase

"Explicación general del plan de estudios", en 5.1.

Resultados del aprendizaje

Álgebra abstracta

Conocer la importancia de los grupos simples y el papel que desempeñan en el estudio de la estructura de los grupos finitos como factores de composición.

Conocer algunos grupos simples no abelianos, en particular el grupo alternado para n > 4.

Dominar el concepto de grupo resoluble y saber demostrar la resolubilidad o la no resolubilidad de algunos grupos importantes.

Conocer los resultados fundamentales de la teoría de Galois y su importancia para el estudio de las ecuaciones polinómicas.

Ser capaz de calcular grupos de Galois de determinados polinomios utilizando técnicas diversas y resultados conocidos previamente de la teoría de grupos.

Conocer los resultados clásicos sobre resolubilidad de polinomios por radicales y constructibilidad de figuras planas con regla y compás.

Topología algebraica

Distinguir los problemas topológicos que son susceptibles de estudiarse mediante técnicas homológicas.

Desarrollar la intuición básica subyacente en los métodos homológicos.

Agilidad en el uso de la sucesión de Mayer-Vietoris, i la consiguiente resolución de problemas por piezas, como técnica eficiente de cálculo de homología de los espacios topológicos.

Resolución de problemas topológicos clásicos mediante técnicas homológicas. Percepción por parte del/de la estudiante del alcance y generalidad de estos problemas.

Entender y saber usar adecuadamente el teorema de clasificación de superficies compactas.

Mostrar la unidad de las matemáticas mediante la comparación entre homología y cohomología de De Rham y analizar desde esta perspectiva algunos de los resultados de otras asignaturas de geometría y análisis.

Entender y usar correctamente los teoremas de separación y no separación para el cálculo de componentes conexas y homología de complementarios.

Reconocer las situaciones en las que la característica de Euler permite distinguir entre espacios topológicos.

Uso de homología local para distinguir espacios con misma homología.

Geometría diferencial II

Entender y manejar la noción de variedad diferenciable, coordenadas locales, vectores tangentes y cotangentes.

Manejar cambios de coordenadas.

Utilizar la noción de función diferenciable sobre una variedad.

Entender los operadores diferenciales y calcularlos en coordenadas: derivada de Lie, diferencial exterior.

Entender y manejar la noción de subvariedad y de aplicaciones diferenciables entre variedades.

Conocer los sistemas diferenciales en forma vectorial y de Pfaff.

Conocer la noción de subvariedad integral y las condiciones de integrabilidad. Aplicación a las EDP de primer orden.

Nociones de métricas de Riemann y de derivación covariante.

Nociones de grupos de Lie y acciones de grupos en variedades.

Álgebra conmutativa

Conocer el lenguaje, las herramientas y los resultados básicos del álgebra conmutativa, así como la importancia de esta disciplina para el estudio de la Geometría Algebraica y Aritmética, la Teoría de Números y el Álgebra Computacional.

Ampliación de Modelos matemáticos de la Física

Entender la descripción geométrica de la mecánica clásica.

Conocer las estructuras geométricas del fibrado tangente y cotangente que son importantes en la formulación geométrica de la mecánica.

Plantear y resolver problemas de cálculo de variaciones. Manejar las ecuaciones de Euler-Lagrange y de Hamilton en coordenadas e intrínsecamente.

Entender las nociones de simetrías e invariantes asociados para sistemas mecánicos.

Geometría algebraica

Saber calcular las singularidades de una curva proyectiva compleja y estudiar su cono tangente, ramas y series de Puisseux asociadas.

Saber calcular productos intersección de curvas.

Conocer las principales aplicaciones del teorema de Max Noether

Saber transformar una curva en otra con singularidades ordinarias usando transformaciones de Cremona.

Entender el concepto de serie lineal y saber calcular su grado y dimensión.

Entender las principales aplicaciones del teorema de Riemann-Roch.

Entender el concepto general de variedad algebraica y función racional.

Entender la equivalencia entre las categorías de las variedades algebraicas afines sobre un cuerpo algebraicamente cerrado y la categoría de álgebras finitamente generadas reducidas.

Conocer ejemplos clásicos de variedades algebraicas.

Teoría de Números

Conocer tres resultados clásicos de esta disciplina donde se pone de manifiesto que en Teoría de Números es frecuente que para la resolución de problemas aritméticos de enunciado elemental se utilicen y combinen herramientas de todas las áreas de las matemáticas: álgebra, análisis, geometría, etc.

-Ley de reciprocidad cuadrática de Gauss;

-Principio local-global para la resolubilidad de ecuaciones diofánticas de segundo grado;

-Teorema de la progresión aritmética de Dirichlet.

Observaciones/aclaraciones por módulo o materia Contenidos de la MO Álgebra y Geometría

Álgebra abstracta

Grupos simples. Teorema de Jordan-Hölder. Grupos resolubles.

p-grupos y teoremas de Sylow.

Extensiones de cuerpos. Extensiones algebraicas, simples, finitas, normales, separables...

Grupo de Galois. Teorema fundamental y correspondencia de Galois.

Grupo de Galois de un polinomio y su cálculo para grados 2, 3 y 4.

Extensiones ciclotómicas y cíclicas.

Aplicaciones de la teoría de Galois: no resolubilidad de ecuaciones de grado mayor que 4, caracterización de la resolubilidad por radicales y de la constructibilidad con regla y compás.

Topología algebraica

Poliedros

Homología simplicial. Grupos de cadenas. Morfismos entre complejos de cadenas. Sucesiones exactas de complejos. Aplicaciones: homología relativa y Mayer- Vietoris.

Homología singular. Invariancia homotópica. Cadenas pequeñas y Mayer-Vietoris. Homología relativa. Teorema de comparación. Homología local y aplicaciones.

Aplicaciones a la topología de las esferas. Teoremas de separación y no separación. Grado de morfismos. Teorema del punto fijo de Brower. Número de enlace entre esferas.

Clasificación de superficies.

Geometría diferencial II

Variedades diferenciables.

Fibrados tangente y cotangente.

Campos y formas diferenciales.

Campos tensoriales.

Derivada de Lie.

Subvariedades.

Sistemas diferenciales y teorema de Frobenius.

Métricas Riemannianas.

Derivación covariante.

Nociones de grupos de Lie.

Álgebra conmutativa

Anillos e ideales.

Módulos.

Anillos y módulos de fracciones.

Descomposición primaria.

Dependencia entera y valoraciones.

Condiciones de cadena.

Anillos noetherianos y artinianos.

Anillos de valoración discreta y dominios de Dedekind.

Completaciones.

Teoría de la dimensión.

Ampliación de Modelos matemáticos de la Física

Mecánica de Newton en variedades de Riemann.

Mecánica de Lagrange y de Hamilton.

Sistemas mecánicos simples.

Variedades simplécticas.

Simetrías y teorema de Noether.

Cálculo de variaciones.

El sólido rígido.

Geometría algebraica

Curvas algebraicas planas.

-Curvas planas. Teorema de los ceros de Hilbert.

-Singularidades de curvas planas. Series de Puisseux

-Intersección de curvas planas: Teoremas de Bézout y Max Noether -Transformaciones de Cremona

-Divisores y series lineales -Teorema de Riemann-Roch Variedades algebraicas

- Variedades algebraicas afines y proyectivas.

- Funciones y transformaciones racionales. Anillo de funciones.

- Ejemplos: superficies racionales, grasmanianas, variedades abelianas.

Teoría de Números

Congruencias cuadráticas. Símbolos de Legendre y Jacobi. Ley de reciprocidad cuadrática de Gauss.

Números p-ádicos: construcción y propiedades. Lema de Hensel.

Formas cuadráticas sobre cuerpos arbitrarios y su clasificación sobre el cuerpo de los números racionales. Teorema de Hasse-Minkowski. Aplicación: el principio local-global para ecuaciones diofánticas cuadráticas.

Series de Dirichlet. Semiplanos de convergencia. Función zeta de Riemann. Caracteres de Dirichlet y sus funciones L. Productos de Euler. Prolongación analítica.

Demostración del teorema de la progresión aritmética de Dirichlet.

Descripción de las competencias

Descripción de la materia principal 11

Denominación de la materia

Sistemas dinámicos y análisis

Créditos

ECTS 30.0 Carácter Optativas

In document Datos de la solicitud - Facultat de Matemàtiques i Estadística (página 43-47)