Un caso de mezcla con tres tanques

En esta secci´on estudiamos un sistema en tres dimenisiones (tres tanques), la descripci´on del problema es el siguiente:

Tres tanques, A,B y C contienen V₁, V₂ y V₃ litros de salmuera respectivamente. En dichos tanques se disolvieron inicialmente a, b y c libras de sal respectivamente.. Ambos tanques est´an conectados, habiendo un flujo f₂ de salmuera del tanque B al tanque A, un flujo f₃ del tanque A al tanque B, un flujo f₄ del tanque C al tanque B, un flujo f₅ del tanque B al tanque C. Adem´as, del exterior hay un flujo de f1, con c1 libras de sal por litro, hacia el tanqueA, y del tanqueC hay un flujof₆ hacia el exterior. Deseamos determinar la cantidad de sal presente en cada tanque en el momentot.

Figura 3.5: El par´ametrou=c₁ representa la concentraci´on de entrada con el flujof₁. Para que cada tanque tenga volumen constante debe cumplirse que

f₁ =f₆ f3 =f1+f2

f3+f4 =f2+f5

f₅ =f₆+f₄

(3.16)

Por simplicidad consideremos Vi = V para i = 1,2,3. De modo que la configuraci´on de los tanques nos lleva al sistema

dx₁

dt =−f₃

V x1+ f₂

V x2+f1u dx₂

dt = f₃

V x₁+f₂+f₅

V x₂+f₄ V x₃ dx3

dt = f5

V x2−f4+f6

V x3

(3.17)

matricialmente

˙

x=Ax+bu

Observaci´on 3.2.1. Los pasos algebraicos que se siguen para determinar la soluci´on del sistema (3.17) son similares a los de la secci´on anterior.

Con

A=





−^f_V^{3 f}_V² 0

f3

V −^f2+f_V ^{5 f}_V⁴ 0 ^f_V⁵ −^f4_V^+f6



 y b=



 f₁

0 0





equivalentemente

A=





−^f_V^{3 f}_V² 0

f3

V −^f3+f_V ^{4 f}_V⁴ 0 ^f1+f_V ⁴ −^f4_V^+f1



 y b=



 f₁

0 0





con inversa

A⁻¹ = V

f₂−f₃





 1 ^f_f²

3

f2

f3

f4

f4+f1

1 1 _f ^f4

4+f1

1 1 1







= −V f₁





 1 ^f_f²

3

f2

f3

f4

f5

1 1 ^f_f⁴

5

1 1 1







de modo que el punto de equilibrio correspondiente es

x=−A⁻¹bu= V f₂−f₃





 1 ^f_f²

3

f2

f3

f4

f4+f1

1 1 _f^f4

4+f1

1 1 1









 f1

0 0



u

=



 1 1 1



V u.

(3.18)

N´otese que el punto de equilibrio (3.18) es an´alogo al punto (3.5). Veamos ahora que existe un deslizamiento para este sistema.

Supongamos que existe un planol1x1+l2x2+l3x3 =kconli>0, tenemos de (2.16) la forma expl´ıcita de Aeq

Aeq =

I−bL Lb

A= 1

V





l2f3

l1

l2(f3+f4)

l1 −^l3(f1_l^+f4)

1

l3(f1+f4) l1 −^l2_l^f4

1

f3 −(f3+f4) f4

0 (f₁+f₄) −(f₁+f₄)



 (3.19)

ahora podemos obtener los valores propios deAeqy verificar queσ(Aeq)∈R⁻. En general para valores arbitrario de l_i >0; tenemos que la matriz A_eq tiene valores propios reales negativos, ya que

Aeq



 1 1 1



=



 0 0 0





entoncesσ(Aeq) ={λ_d1 = 0, λd2, λd3}, donde

λ_d2,3 =− 1 2V

f₁+f₃+ 2f₄+f₃l₂ l₁

± 1 2V

s

f₁+f₃+ 2f₄+f₃l₂ l₁

2

− 4

l₁f₃(f₁+f₄)N donde

N =l1+l2+l3

y de aqu´ı tenemos que _l⁴

1f₃(f₁+f₄)N >0, por lo tanto λ_d2,3 ∈C⁻. λ_d2 ∈R⁻ si

f1+f3+ 2f4+f3

l2

l₁ 2

− 4

l₁f3(f1+f4)N >0 concluimos entonces queσ(A_eq)∈R⁻.

Al existir una din´amica deslizante sobre el plano l1x1+l2x2+l3x3=k, tenemos que

LAx= l₁ l₂ l₃





−^f_V^{3 f}_V² 0

f3

V −^f3_V^{+f4 f}_V⁴ 0 ^f1+f_V ⁴ −^f4+f_V ¹







 x1

x₂ x₃





=x2S1−x1S2−x3S3

(3.20)

donde

S₁ = 1

Vl₃(f₁+f₄)− 1

Vl₂(f₃+f₄) + 1 Vl₁f₂ S2 = 1

Vl1f3− 1 Vl2f3

S3 = 1

Vl3(f1+f4)− 1 Vl2f4

se sigue queu_eq =−^LAx_Lb , de modo que existe un deslizamiento con control positivo siLAx <0.

Es importante tomar en cuenta que podemos tener varios planos con deslizamiento, por tal motivo consideramos tambi´en el objetivo de convertir la superficie en atractora con la cuenta de atracci´on la mayor posible. En adelante, veamos que podemos tener definidos cuatro planos con deslizamiento.

3.2.1. Plano 1

Para simplificar (3.20) supongamos que S₂= 0 yS₃ = 0, lo cual implica 1

Vl₁f₃− 1

Vl₂f₃ = 0 1

Vl₃(f₁+f₄)− 1

Vl₃f₄ = 0 lo cual implica quel1 =l2 yl3= _f^f4

1+f4l2. Por lo tanto LAx = x₂

1

Vl₃(f₁+f₄)− 1

Vl₂(f₃+f₄) + 1 Vl₁f₂

= 1

Vl₂x₂(f₂−f₃)<0 ∀ x₂ >0;

ya quef₃ =f₁+f₂, i.e f₃ > f₂.

Debido a la equivalenciaueq>0⇔ LAx <0, con estos valores de l1, l2 yl3, concluimos que

el deslizamiento est´a asegurado en todo el plano Lx=k. Veamos ahora cuales son los valores propios correspondientes aAeq con el valor asignado a cadali. De (3.19) se sigue que

A_eq= 1 V





−f₃ f3 0

f3 −(f₃+f4) f4

0 (f₁+f₄) −(f₁+f₄)





le corresponden los valores propios λd1 = 0

λd2,3 = − 1

2V (f1+ 2f3+ 2f4)± 1 2V

q

f₁²−4f1f3+ 4f1f4+ 4f₃²−4f3f4+ 4f₄² Sea

G=

f1+f3+ 2f4+f3

l2

l₁ 2

− 4

l₁f3(f1+f4)(l1+l2+l3) entonces, para l₁ =l₂ yl₃ = _f^f4

1+f4l₂, los valores propios son reales negativos. Pues G = (f1+f3+ 2f4+f3)²−4f3(f1+f4)

2 + f4

f₁+f₄

= (f1+ 2f3+ 2f4)²−(8f1f3+ 12f3f4)

= (f₁+ 2f₄)²−4f₃(f₁+f₄) + 4f₃² >0 3.2.2. plano 2

Consideremos ahora que en (3.20) se tieneS1= 0 yS3 = 0

l3(f1+f4)−l2(f3+f4) +l1f2 = 0 (3.21) l3(f1+f4)−l2f4 = 0 (3.22) entonces

LAx=−x₁ 1

Vl₁f₃− 1 Vl₂f₃

(3.23) de (3.21) y (3.22) se tiene que

l1 = 1

f₂f₄ (f1f3l3+f3f4l3) sustituyendo l₁ en (3.23)

LAx = −x₁ 1

Vl₁f₃− 1 Vl₂f₃

= −x₁ 1

V 1

f2f4

(f1f3l3+f3f4l3)

f3− 1 V

l3(f1+f4) f4

f3

= f₃l₃ V f2f4

(f2−f3)(f1+f4)x1

de modo que Aeq= 1

V





−2^l_l²

1f₃ ^l_l²

1(f₃+f₄)−^l_l³

1(f₁+f₄) ^l_l³

1(f₁+f₄)−^l_l²

1f₄

f3 −(f₃+f4) f4

0 (f1+f4) −(f₁+f4)





al sustituir los valorel2 = ^l3(f1_f^+f4)

4 yl1= _f¹

2f4(f1f3l3+f3f4l3) en Aeq tenemos Aeq= 1

V





−f₂ f₂ 0

f3 −(f₃+f4) f4

0 (f₁+f₄) −(f₁+f₄)





la cual, tiene valores propios λd1 = 0 λ_d2,3 = − 1

2V (f₁+f₂+f₃+ 2f₄)± 1 2V

pD₁

con

D₁ =f₁²−2f₁f₂−2f₁f₃+ 4f₁f₄+f₂²+ 2f₂f₃−4f₂f₄+f₃²+ 4f₄². Haciendo unos pasos algebraicos se puede verificar que λ2 ∈R⁻.

3.2.3. Plano 3

Supongamos ahora queS1 = 0 yS2 = 0, es decir

l₃(f₁+f₄)−l₂(f₃+f₄) +l₁f₂ = 0 l3f3−l2f3 = 0 entonces

LAx=−1

V (l3(f1+f4)−l2f4).

Implicando quel1 =l2 y sustituyendo en la primer igualdad tenemos que l3 = l2(f3+f4)−l1f2

f₁+f₄

= l₂(f₃+f₄)−l₂f₂ f1+f4

= l₂(f₁+f₄) f₁+f₄

= l₂

ya quef₃ =f₁+f₂. Esta asignaci´on implica elegir el plano x₁+x₂+x₃ = _l^k

1; tal que LAx=−l1

Vf1x3 <0

implicando que existe deslizamiento en todo el plano, de forma que la din´amica deslizante es representada por

Aeq= 1 V





−2^l_l²

1f₃ ^l_l²

1(f₃+f₄)−^l_l³

1(f₁+f₄) ^l_l³

1(f₁+f₄)−^l_l²

1f₄

f3 −(f₃+f4) f4

0 (f1+f4) −(f₁+f4)





= 1 V





−f₃ f₃−f₁ f₁ f3 −(f₃+f4) f4

0 (f1+f4) −(f₁+f4)



.

(3.24)

Los valores propios de (3.24) son λd1 = 0

λd2,3 = − 1

2V (f1+ 2f3+ 2f4)± 1 2V

q

f₁²−8f1f3+ 4f1f4+ 4f₃²−4f3f4+ 4f₄² de manera que λ₂ ∈R⁻.

3.2.4. Plano 4

Ahora supongamos que en (3.20)l₁,l₂ yl₃ son tales que l₃(f₁+f₄)−l₂(f₃+f₄) +l₁f₂ = 0

l₁ > l₂ l3(f1+f4)−l2f4 ≥ 0

en particular, consideremos la asignaci´on l₁=f₃ yl₂ =f₂. Esta asignaci´on implica que l3 = l2(f3+f4)−l1f2

f₁+f₄

= f2(f3+f4)−f3f2

f1+f4

= f₂f₄ f1+f4

implicando que

l3(f1+f4)−l2f4 =

f2f4

f1+f4

(f1+f4)−l2f4= 0.

Es decirl₁ =f₃,l₂=f₂ yf₃ = _f^f2f4

1+f4, de manera que en la expresi´on general de A_eq tenemos que

Aeq = 1 V





−2^l_l²

1f₃ ^l_l²

1(f₃+f₄)−^l_l³

1(f₁+f₄) ^l_l³

1(f₁+f₄)−^l_l²

1f₄

f3 −(f₃+f4) f4

0 (f1+f4) −(f₁+f4)





= 1

V





−f₂ f₂ 0

f3 −(f₃+f4) f4

0 (f1+f4) −(f₁+f4)



.

teniendo como valores propios λ_d1 = 0 λ_d2,3 = − 1

2V (f₁+f₂+f₃+ 2f₄)± 1 2V

pD₂

con

D2 =f₁²−2f1f2−2f1f3+ 4f1f4+f₂²+ 2f2f3−4f2f4+f₃²+ 4f₄².

Lo que hemos obtenido hasta este punto son cuatro planos donde se tiene deslizamiento, lo que sigue ahora es verificar que plano presenta mayor cuenta de atracci´on, o bien, veamos en cu´al de los planos la matriz Aeq tiene los valores propios m´as a la izquierda del semiplano izquierdo, para lograr tal objetivo consideremos el siguiente problema de optimizaci´on:

3.2.5. Problema de Optimizaci´on

A continuaci´on nos proponemos elegir un plano, es decir par´ametros l₁,l₂ yl₃ positivos, tal que el conjunto {σ(A_eq)\0}este lo m´as a la izquierda deC⁻, con el objetivo de aumentar la rapidez de convergencia de las soluciones.

ConsiderandoLAxdada por (3.20) y la condici´on LAx <0 para tener deslizamiento, implica que deben cumplirse las desigualdades

l₃(f₁+f₄)−l₂(f₃+f₄) +l₁f₂ ≤ 0 l₁f₃−l₂f₃ ≥ 0 l₃(f₁+f₄)−l₂f₄ ≥ 0 no todas iguales a cero. Equivalentemente

l3(f1+f4) ≤ l2(f3+f4)−l1f2 (3.25)

l1 ≥ l2 (3.26)

l₃(f₁+f₄) ≥ l₂f₄ (3.27)

de (3.25) y (3.27) deducimos que

l2f4≤l3(f1+f4)≤l2(f3+f4)−l1f2 ⇒ l2f4

f₁+f₄ ≤l3 ≤ l2(f3+f4)−l1f2

f₁+f₄

´

esta ´ultima desigualdad representa una cota paral3. Podemos resumir las desigualdades (3.26), (3.27) y (3.28) al par de desigualdades

l1≥l2 y l₂f₄ f1+f4

≤l3 ≤ l₂(f₃+f₄)−l₁f₂ f1+f4

equivalentemente

l2

l1

≤1 y 0≤ f4

f₁+f₄ l2

l₁

≤ l3

l₁ ≤ f3+f4

f₁+f₄ l2

l₁

− f2

f₁+f₄ ≤ f5

f₁+f₄ = 1

(3.28)

la ´ultima desigualdad se deduce de la condici´on f3+f4 =f2+f5. En la segunda desigualdad de (3.28) debe cumplirse que

0≤ f₃+f₄ f1+f4

l₂ l1

− f₂ f1+f4

⇔ f₂ f3+f4

≤ l₂ l1

implicando que las restricciones (3.28) pueden reescribirse como f₂

f₃+f₄ ≤ l₂

l₁ ≤1 y 0≤ f₄

f₁+f₄ l₂

l₁

≤ l₃

l₁ ≤ f₃+f₄ f₁+f₄

l₂ l₁

− f₂

f₁+f₄ ≤ f₅

f₁+f₄ = 1.

(3.29)

Es decir, hemos encontrado una cota para ^l_l²

1 y ^l_l³

1. Por lo tanto podemos resolver en general el problema

hm´ın_l

2 l1,^l_l³

1

i







−

f₁+f₃+ 2f₄+f₃l₂ l₁

± s

f₁+f₃+ 2f₄+f₃l₂ l₁

2

−4f₃(f₁+f₄)N







(3.30)

sujeta a las restricciones (3.29) donde

N = 1 +l₂ l1

+l₃ l1

.

Sea

D=

f₁+f₃+ 2f₄+f₃l₂ l₁

2

−4f₃(f₁+f₄)

1 +l₂ l₁ +l₃

l₁

consideremos las cota encontrada para ^l_l³

1, tal que D_m =

f₁+f₃+ 2f₄+f₃l₂ l₁

2

−4f₃(f₁+f₄)

1 +l₂

l₁ + f₄ f₁+f₄

l₂ l₁

donde D≥D_m. Tomemos ahora el cambio de variablex = ^l_l²

1, de modo que podemos ver la expresi´on Dm como

D_m(x) = (f₁+f₃+ 2f₄+f₃x)²−4f₃(f₁+f₄)

1 +x+ f₄ f1+f4

x

calculando el m´ınimo de la funci´on D_m(x) dD_m(x)

dx =−2f₃(f₁−f₃+ 2f₄−xf₃) teniendo como punto cr´ıtico x= ^f1+2f_f^4−f3

3 , se sigue que d²D_m(x)

dx = 2f₃² >0 entoncesx= ^f1+2f_f^4−f3

3 representa un m´ınimo para la funci´on D_m(x), adem´as se verifica que Dm

f1+ 2f4−f3

f3

= 4f4(f1+f2)>0.

Concluimos entonces que el m´ınimo de la funci´on D_m(x) es positivo, y por la desigualdad D≥D_m se sigue queD >0, es decir, los valores propios son reales. Finalmente, el problema de optimizar (3.30) nos lleva a que

l2

l₁ = 1 ⇒ f4

f₁+f₄ ≤ l3

l₁ ≤1

⇒ l3

l₁ = 1

tales condiciones implican que l1 =l2 =l3, como estas son las condiciones para li >0 en el plano 3, concluimos que en dicho plano se presenta mayor rapidez de convergencia.

Probemos ahora que para cada par ^l_l²

1 y ^l_l³

1 la matrizA_eq es Metzler. Para Aeq= 1

V





−f₃^l_l²

1 (f₃+f₄)^l_l²

1 −(f₁+f₄)^l_l³

1 (f₁+f₄)^l_l³

1 −f₄^l_l²

1

f3 −(f3+f4) f4

0 (f₁+f₄) −(f₁+f₄)





con las restricciones (3.29). Para que A_eq sea matriz Metzler solo debemos probar que dos entradas del primer renglon tiene valores m´ınimos no negativos para planos admisibles, de forma que

(f₃+f₄)l₂ l1

−(f₁+f₄)l₃ l1

≥ 0 (3.31)

(f₁+f₄)l₃ l1

−f₄l₂ l1

≥ 0. (3.32)

Con (3.32);

m´ın

(f3+f4)l2

l1

−(f1+f4)l3

l1

=

f2

f₃+f₄

(f3+f4)−

f2

f₃+f₄

f3+f4

f₁+f₄ − f2

f₁+f₄

(f1+f4)

= f2 >0

Con (3.33);

m´ın

(f₁+f₄)l₃ l1

−f₄l₂ l1

=

f₄ f1+f4

(f1+f4)−f4

= 0 Concluimos que Aeq es Metzler.

En el siguiente ejemplo damos un sistema de control en el cual se tomar´on los valores l₁ = f₃, l₂ =l₂ yl₃ = _f^f2f4

1+f4.

Ejemplo 3.2.1. Consideremos el sistema (3.17) con valores num´ericos

f₂ = 2 f₃= 3

f₄ = 4 f₅= 5

f1 = f6= 1

V = 100

matricialmente se tiene

˙ x=













−₁₀₀³ ₁₀₀² 0

3

100 −₁₀₀⁷ ₁₀₀⁴

0 ₁₀₀⁵ −₁₀₀⁵











 x+



 1 0 0



u

equivalentemente

A=





−0,03 0,02 0 0,03 −0,07 0,04

0 0,05 −0,05





con valores propios

λ₁ = −3.8033×10⁻³ λ2 = −3.5690×10⁻² λ3 = −0.11051.

Ahora con el plano l1x1+l2x2+l3x3 =k, donde l1= 3, l2 = 3 y l3 = ⁸₅ se tiene que A_eq=





−0.02 0.02 0 0.03 −0.07 0.04

0 0.05 −0.05





con valores propios

λ_d1 = 0 λ_d2 = −0.03 λd3 = −0.11.

Tenemos el punto de equilibrio

x = −A⁻¹bu

= V

f1





 1 ^f_f²

3

f2

f3

f4 f1+f4

1 1 _f1+f4^f4

1 1 1









 f₁

0 0





=



 1 1 1



V u=



 100 100 100



u.

Aceptando la asignaci´on conr₁ = 0 y r₂>0, por asignar

k = 1

2L(x1+x2)

= 1

2L −A⁻¹br1− −A⁻¹br2

= L



 50 50 50



r₂

con control

u(x) =







0 si l1x1+l2x2+l3> k u_eq si l₁x₁+l₂x₂+l₃=k r₂ si l₁x₁+l₂x₂+l₃< k

(3.33) donde

0≤u_eq≤r₂ con

ueq = −LAx Lb

= − 1

l1f1

l₁ l₂ l₃





−0.02 0.02 0 0.03 −0.07 0.04

0 0.05 −0.05



x

=

0.03−0.03l₂ l1

x1+

0.07l₂

l1

−0.05l₃ l1

−0.02

x2+

0.05l₃ l1

−0.04l₂ l1

x3.

Aqu´ı conviene determinar el valor der₂. Se sigue de los valores para las variablesl_i >0 que u_eq= 0.01x₁−1.3333×10⁻²x₂−7.8886×10⁻³¹x₃

o bien

u_eq= 0.01x₁−1.3333×10⁻²x₂. Para x=



 x₁ x2

x3



∈[0,200]³ tenemos que

m´axu_eq≤0.01 (200) = 2 ⇒ r₂ = 2.

concluimos que

0≤u_eq≤2

A continuaci´on presentamos una simulaci´on para ilustrar los resultados anteriores.

Figura 3.6: En esta simulaci´on se tom´o la condici´on inicial x₀ = (40,50,60)^T. La curva roja representa la soluci´on al sistema (3.17) conu, mientras que la otra curva representa la soluci´on con deslizamiento.

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