CAPITULO 6 MÉTODOS
5.6 MODELOS DE DISTRIBUCIÓN ESPACIAL
5.6.2 MODELOS GEOESTADÍSTICOS
5.6.2.1 CO-KRIGING ORDINARIO
Mientras que la Geoestadística, tiene como objetivo el caracterizar e interpretar el comportamiento de los datos que están distribuidos espacialmente como variables regionalizadas, donde se
76 considera a una variable regionalizada una medición realizada en el espacio que presente una estructura de correlación. De manera formal se define como un proceso estocástico con un dominio contenido en un espacio euclidiano dimensional Rd, {Z(x) : x ∈ D ⊂ Rd}. Si d = 2, Z (x) puede asociarse a una variable medida en un punto x del plano. En términos prácticos Z(x) puede verse como una variable aleatoria en un punto x de una región de estudio (Webters & Oliver, 2007:49).
Según Yarus & Chambers (1994:27-33) los pasos principales de un estudio Geoestadístico son:
1. Análisis exploratorio de los datos. Se estudian los datos muestrales sin tener en cuenta su distribución geográfica. Sería una etapa de aplicación de la estadística.
2. Análisis estructural. Estudio de la continuidad espacial de la variable. Se calcula el variograma y se ajusta al mismo un variograma teórico.
Todos estos modelos tienen tres parámetros comunes (figura 5.15) que son descritos a continuación:
EFECTO PEPITA: Se denota por C0 y representa una discontinuidad puntual del semivariograma en el origen. Puede ser debido a errores de medición en la variable o a la escala de la misma. En algunas ocasiones puede ser indicativo de que parte de la estructura espacial se concentra a distancias inferiores a las observadas (Isaaks & Srivastava 1989:143; Webters &
Oliver, 2007:95).
MESETA: Es el valor máximo que adopta el semivariograma para distancias más allá de las cuales no hay autocorrelación espacial ó también puede definirse como el límite del semivariograma cuando la distancia h tiende a infinito. La meseta puede ser o no finita. Los semivariogramas que tienen meseta finita cumplen con la hipótesis de estacionariedad fuerte;
mientras que cuando ocurre lo contrario, el semivariograma define un fenómeno natural que cumple sólo con la hipótesis intrínseca que dice existen algunos fenómenos físicos en los que la varianza no es finita. La meseta se denota por C1 o por (C0 + C1) cuando la pepita es diferente de cero (Isaaks & Srivastava 1989:143; Webters & Oliver, 2007:79).
77 RANGO: En términos prácticos corresponde a la distancia a partir de la cual dos observaciones son independientes. El rango se interpreta como la zona de influencia. Existen algunos modelos de semivariograma en los que no existe una distancia finita para la cual dos observaciones sean independientes; por ello se llama rango efectivo a la distancia para la cual el semivariograma alcanza el 95% de la meseta (Isaaks & Srivastava 1989:143; Webters & Oliver, 2007:84).
Figura 5.15 Parámetros del variograma (Mejía et al., 2007)
3. Predicciones. Estimaciones de la variable en los puntos no muestrales o interpolación, considerando la estructura de correlación espacial seleccionada e integrando la información obtenida de forma directa en los puntos muestrales, así como la conseguida indirectamente en forma de tendencias conocidas.
4. Análisis de los errores estadísticos. Se realiza un análisis de validación cruzada y se calculan algunos parámetros como el error cuadrático medio para conocer los errores en la predicción.
Existen una serie de métodos que incorporan a una variable regionalizada secundaria o auxiliar con el fin de mejorar la interpolación, dentro de los que destacan el Co-kriging, Kriging con deriva externa y Regression-Kriging. El presente estudio compara los modelos derivados de la aplicación de Cokriging Ordinario y Regression-Kriging.
78 El método de Cokriging Ordinario considera dos variables aleatorias estacionarias y correlacionadas Z1(x) y Z2(x) con medias constantes pero desconocidas, m1 y m2, que son medidas en un dominio dado, pero no necesariamente en los mismos sitios de muestreo. La situación de mayor importancia para el método de cokriging ocurre cuando los sitios de muestreo de la variable de interés Zi(x) están incluidos en los sitios de muestreo de la variable secundaria Zj(x), es decir, cuando la variable auxiliar o secundaria está disponible en más sitios que la variable primaria (Webters & Oliver, 2007:219-224).
El estimador del método Cokriging Ordinario (CKO), es una combinación lineal de todos los datos disponibles para las dos variables aleatorias Z1(x) y Z2(x) con pesos i apropiados, y representa el valor estimado para la variable Z1 en el punto xo del dominio de interés (Webters &
Oliver, 2007:229):
Donde los pesos 1i y 2j os CKO que debemos determinar.
El error de estimación es R=Σi 1i Z1(xi)+Σj 2jZ2(xj)-Z1(x0) ó en forma matricial (Webters
& Oliver, 2007:229):
R = WT Z Donde
WT 11,…, w1n1,w21,…,w2n2,-1]
ZT = [Z11,…, Z1n1, Z21,…,Z2n2, Z1(x0)]
Los pesos deben satisfacer dos condiciones:
1.- El estimador CKO no debe ser sesgado.
2.- La varianza de R debe ser mínima.
Para considerar la segunda condición, varianza mínima (R), junto con las dos condiciones para los pesos, se usa el método de multiplicadores de Lagrange ( .
La varianza CKO se puede expresar como (Webters & Oliver, 2007:229):
Var{R}= Cov(Z1(x0) Z1(x0))+ 1 - Σiw1i Cov(Z1(xi)Z1(x0))- Σjw2jCov(Z2(xj)Z1(x0))
79 La ecuación CKO se puede escribir en términos de las funciones de semivariograma si se hace la suposición de que las covarianzas cruzadas de los incrementos son simétricas, es decir si(Webters & Oliver, 2007:231):
Cov [Z1(xi) Z2(xj)] = Cov [Z2(xi)Z1(xj)]
Para este caso se obtiene (Webters & Oliver, 2007:231):
Σiw1iγ(Z1(xj) Z1(xi)) + Σi´w2i´γ(Z1(xj) Z2(xi)') - 1= γ(Z1(xj)Z1(x0)) j=1,…,n1 Σiw1iγ(Z2(xj) Z1(xi)) + Σi´w2i´γ(Z2(xj) Z2(xi)') - 2= γ(Z2(xj)Z1(x0)) j=1,…,n2 Σiw1i =1
Σiw2i =0 Donde
γ(Z1(xj)Z1(xi))= γ11(xj-xi) γ(Z1(xj)Z2(xi)´)= γ12(xj-xi´)
Para la estimación del semivariograma cruzado se considera la expresión(Webters &
Oliver, 2007:222):
Donde
= Semivarianza para un intervalo de distancia
= Variable principal en el punto de muestro en las coordenadas = Variable auxiliar en el punto de muestreo
= Variable principal en el punto de muestro en las coordenadas a una distancia = Variable auxiliar en el punto de muestreo a una distancia
= Número total de pares para ese intervalo de distancia