Determinación del número mínimo de flujos para el muestreo

Para calcular un balance de masa en estado estacionario para un circuito complejo, se requiere un método analítico superior, que genere n ecuaciones para n incógnitas

Cualquier flow sheet de planta puede ser reducido a una serie de nodos.

Se ha demostrado que conocido un flujo de masa, llamado flujo de referencia (usualmente la alimentación), el número mínimo de de flujos N, que deben ser muestreados para un balance de masa para un circuito complejo es:

N = 2* (F + S) -1 Donde:

F = número de flujos de alimentación S = número de nodos de separación simple.

N = número mínimo de flujos que deben ser muestreados.

Representación de nodos simples en la fig. 4

FIGURA Nº 4: Nodo de unión (a) y Nodo de separación (b)

Nodo de Unión Nodo de Separación Figura (a) Figura (b)

Los nodos de separación que producen más de dos productos, o los nodos de unión que son alimentados por más de dos flujos, pueden ser divididos a nodos simples, conectándolos por flujos que físicamente no existen.

En la figura 5a, se muestra un banco de flotación, que puede ser reducido a forma de nodos figura 5b, y divididos a nodos simples figura 5c.

El número mínimo de flujos que deben ser muestreados es:

N = 2*(1+3) -1

33 N = 7

Y como se pueden muestrear sólo 5 flujos, dos pesos más son requeridos para complementar el peso de referencia.

De la Fig. Nº 5b se puede ver que un nodo produce cuatro productos, que pueden ser divididos a tres nodos simples de separación (5c), y en general, si un nodo de separación produce n productos, entonces este puede ser dividido a(n-1) nodos simples. Es decir de la Fig. Nº 5b, se tiene un nodo de separación de 4 productos, el cual se reduce a n-1 = 4 -1 = 3 nodos de separación simples.

FIGURA Nº 5a

FIGURA Nº 5b

FIGURA Nº 5c



34 El método requiere el uso de la matriz – Conexión Cij donde cada elemento de la matriz es:

+1 para el flujo j que ingresa le nodo i

Cij = 0 Para el flujo j que no interviene en el nodo i

-1 Para el flujo j que sale del nodo i

Los contenidos de cada columna representan los flujos individuales y sumados deben ser igual a +1, -1 ó 0, cualquier otro resultado indica error en el ingreso de datos, es decir:

+1, el flujo es una alimentación

Suma de columna = 0, el flujo es interno

-1 el flujo es un producto

Los elementos de cada fila representan los nodos individuales y si el nodo ‘+1’, son entradas (nn) y el número ‘-1’, son salidas (nn). Entonces (np) y (nn) pueden ser usados para determinar, el número de nodos simples:

Número de nodos simples de unión (J) = np – 1 Número de nodos simples de separación(S) = nn – 1

TABLA Nº 10

35 Como se indico que la matriz Conexión puede ser usada para proporcionar el set de ecuaciones lineales que deben ser resueltos para producir los flujos de masa.

Una matriz de materia M, puede ser definida, donde cada elemento en la matriz es:

Mij = CijBj

Donde Bj representa el flujo de Masa de sólidos en el flujo j.

Un componente matricial A, puede también ser definido, donde cada elemento de la matriz es:

Aij = CijBjaj = Mijaj

aj, representa el valor del componente (ensayo, % en la fracción de tamaño, radio de dilución, etc.) en el flujo j.

En cualquier nodo particular, es importante que el mismo componente sea usado para fijar cada flujo, y el componente debe ser escogido para producir una ecuación con la menor sensibilidad de error. El componente puede ser seleccionado por el análisis de sensibilidad y que proporcione que el mismo componente sea usado en cualquier nodo particular, otros componentes pueden ser usados para balancear otros nodos en el circuito. Esto significa que en un balance de circuitos complejos, los componentes tales como: contenido metálico, radios de dilución, y el análisis de tamaño pueden ser usados en varias partes del circuito.

Combinando Mij y Aij dentro de una matriz produce.

ESQUEMA MATRIZ Nº 4

36 Donde aj = el número de flujos y n = el número de nodos.

Si el flujo s es el flujo de referencia (preferentemente una alimentación), y Bs = 1, entonces Bj representa la fracción del flujo de referencia que reporta al flujo j, como: Bs =1, M1s = C1s, y A1s = C1s a s.

El set de ecuaciones lineales en forma matricial que debe ser resuelto es:

ESQUEMA MATRIZ Nº 5

Una ecuación adicional puede ser incluida en el set. La planta puede ser representada como un solo nodo, tal que el peso del componente contenido en la alimentación es igual al peso del componente en los productos. Esta ecuación deberá ser usada si es posible, ya que usualmente hay muy buena separación del componente en este nodo.

Presentamos el siguiente flowsheet como demostración teórica, en la Fig. Nº 6 a FIGURA Nº 6 a

37 El anterior flowsheet, la transformamos en un diagrama de nodos y flujos. Figura Nº 6 b

FIGURA Nº 6 b

FORMULA:

N = 2*(F+S)-1 N = 2*(2+3)-1 N = 9

38 Aunque hay once útiles flujos, sólo nueve necesitan ser muestreados. Los flujos (f11 y f8) como alimentación y los flujos (f9 y f10) como los productos y los flujos (f1, f2, f3, f4, f5, f6 y f7) como flujos interiores. Además no es necesario muestrear los flujos (f4 y f8).

La determinación de números de nodos de unión y separación, es de acuerdo a las fórmulas de J y S, ver página 34 y la tabla Nº 11:

TABLA Nº 11

Hay once flujos y seis nodos, los cuales pueden ser representados por la Matriz Conexión.

ESQUEMA MATRIZ Nº 6

Asumimos que B11 = 1 debido a que este es el único flujo como alimentación fresca, y para resolver esta Matriz necesitaremos hacerla cuadrática, es así que por este motivo obtendremos mas ecuaciones de uno o más nodos. Tomando como referencia los nodos N2, N4 y N5. En forma de leyes con sus correspondientes signos tanto (+1) para flujos de entrada, (-1) para sus flujos de salida y (0) para flujos que no intervienen los otros flujos en cada nodo.

Nos faltaría una ecuación, la cual obtendremos trabajando todo circuito como nodo, así:

39 NODO 2

B3 + B2 = B1

B3 a3 + B2 a2 – B1 a1 = 0 NODO 4

B6 + B9 = B5

B6 a6 + B9 a9 – B5 a5 = 0 NODO 5

B7 + B10 = B2

B7 a7 + B10 a10 – B2 a2 = 0 NODO GENERAL (Global) B9 + B10 = B2

B9 a9 + B10 a10 – B2 a2 = 0 Si B11 = 1

B9 a9 + B10 a10 – a11 = 0

ESQUEMA MATRIZ Nº 7

Haciendo A una Matriz cuadrada de (10 x 10), pasamos la última columna 11 al otro miembro con signo cambiado de la Matriz columna, para hallar los pesos B, el cual es resuelto mediante: B = F x A^-1

ESQUEMA MATRIZ Nº 8

40 EJEMPLO DE APLICACIÓN

Se tomaron 7 muestras de los 9 puntos de un circuito de flotación, ver Fig. Nº 7, los análisis muestran a continuación, en la tabla Nº12

FIGURA Nº 7

TABLA Nº 12

Flujos % de Ensayos

f1 sin muestra

f2 0.51

41

f3 0.12

f4 16.10

f5 4.20

f6 25.00

f7 sin muestra

f8 2.10

f9 1.50

El diagrama del circuito, en forma de nodos, es el siguiente.

Para poder formar nuestra Matriz conexión, debemos fijarnos en el sentido de los flujos con respecto a los nodos, sabiendo que:

TABLA Nº 13

+1 Para los flujos que ingresan a un nodo

0 Para los flujos que no intervienen en ese nodo.

-1 Para los flujos que salen de ese nodo

ESQUEMA MATRIZ Nº 9

Asumidos que F = B9 = 1 debido a que este es el único flujo de entrada y para poder resolver esta matriz necesitamos hacerla cuadrada, por este motivo obtendremos mas ecuaciones de mas nodos. Tomando como referencia los nodos 6,7 y 8, que provienen de los nodos 3 ,4 y nodo global del circuito

ESQUEMA MATRIZ Nº 10

42 Nos estaría faltando una ecuación, la cual la obtendremos trabajando todo el circuito como un nodo:

B3 + B6 = B9 Recordamos que B9 = 1.0 0.12B3 + 25.0B6 – 1.5B9 = 0 0.12B3 + 25.0B6 – 1.5 = 0

ESQUEMA MATRIZ Nº 11

Hacemos matriz A cuadrada (8 x 8), pasando la última columna al segundo miembro con signo cambiado, resultado en una matriz columna F. Para hallar los pesos B, el cual es resuelto mediante: B= F x A^-1

ESQUEMA MATRIZ Nº 12

TABLA DE RESULTADOS Nº 14

43 2.2.3. MÉTODOS DE BALANCES AJUSTADOS