5. Determinaci´ o i transfer` encia d’` orbites 107
5.2. Determinaci´o d’`orbites a partir de dos vectors posici´o. M`etode de Gauss
5.2. Determinaci´ o d’` orbites a partir de dos vectors posici´ o. M` etode de Gauss
5.2.1. Relaci´o entre les `arees del sector i el segment circular
Tal com ja va mostrar Gauss, el problema de determinar una `orbita a partir de dos vectors de posici´o est`a ´ıntimament relacionat amb el de trobar la relaci´o entre les `arees del sector i la del triangle determinat per l’`orbita i els dos vectors de posici´o.
Siguinr1ir2 els vectors de posici´o d´un sat`el.lit en dos instantst1it2, respectivament. L’`area,
∆, del triangle determinat pels vectors r1 ir2 dep`en de les longituds dels costats r1 ir2 i l´angle f2−f1, que supossarem menor de 180o, de forma que
∆ = 1
2r1r2sin(f2−f1).
En aquesta equaci´o f1 i f2 s´on les anomalies vertaderes en les `epoques que estem conside- rant. L’`area, S, del sector determinat per r1,r2 i l´arc de traject`oria ´es proporcional al temps transcorregut i d´acord amb la segona llei de Kepler
c=õp=p
µa(1−e2) = 2dS dt,
onaies´on el semieix gran i l´excentricitat de l’`orbita que uneix els dos punts ip´es el par`ametre de l’`orbita, p=a(1−e2). Per tant
S= 1 2
Z t2
t1
√µp dτ = 1 2
√µp(t2−t1).
D´aquesta manera obtenim
η= S
∆ =
√µp(t2−t1)
r1r2sin(f2−f1). (5.15)
5.2.2. Primera equaci´o de Gauss
Considerem l´equaci´o de la c`onica en forma polar
r= p
1 +ecosf.
Si escrivim aquesta equaci´o pels instantst1 it2 i sumem, resulta p
1 r1 + 1
r2
= 2 +e(cosf1+ cosf2) = 2 + 2ecos
f2+f1 2
cos
f2−f1 2
. (5.16) Anem a veure com podem aillar el factor ecos((f2 +f1)/2) d´aquesta equaci´o. Utilitzant la f´ormula de l´angle meitat, cosf = 2 cos2(f /2)−1 = 1−2 sin2(f /2), obtenim
√rcosf
2 = ±
rr(1 + cosf)
2 ,
√rsinf
2 = ±
rr(1−cosf)
2 ,
que, si introdu¨ım,
r = a(1−ecosE), rcosf = a(cosE−e),
es poden esciure com
√rcosf
2 = p
a(1−e) cosE
2, √
rsinf
2 = p
a(1 +e) sinE
2. (5.17)
Considerem ara els factors cos((f2 +f1)/2) i cos((f2 −f1)/2) que apareixen a (5.16). Si els multipliquem per √r1r2 i desenvolupem, resulta
√r1r2cos
f2±f1 2
=
√r2cosf2 2
√r1cosf1 2
∓
√r2sinf2 2
√r1sinf1 2
. Utilitzant les equacions (5.17), podem escriure
√r1r2cos
f2−f1 2
= acos
E2−E1 2
−aecos
E2+E1 2
, (5.18)
√r1r2cos
f2+f1 2
= −aecos
E2−E1 2
+acos
E2+E1 2
. (5.19)
Si multipliquem la segona d´aquestes equacions perei la sumem a la primera, obtenim
√r1r2
cos
f2−f1 2
+ecos
f2+f1 2
=acos
E2−E1 2
−ae2cos
E2−E1 2
, d´on
ecos
f2+f1 2
= p
√r1r2
cos
E2−E1 2
−cos
f2−f1 2
. Aquesta ´es la relaci´o buscada que substituida a (5.16) permet obtenir
p 1
r1 + 1 r2
= 2 + 2p
√r1r2cos
E2−E1 2
cos
f2−f1 2
−2 cos2
f2−f1 2
. Si ara tenim en compte (5.15), resulta
η2= µ(t2−t1)2
2r1r2cos2
f2−f1
2 r1+r2−2√r1r2cos
f2−f1 2
cos
E2−E1 2
. Aquesta equaci´o es pot reescriure com
η2= m
l+x, (5.20)
on
m = µ(t2−t1)2
2√r1r2cos
f2−f1 2
3, l = r1+r2
4√r1r2cos
f2−f1 2
−1 2, x = 1
2
1−cos
E2−E1 2
= sin2
E2−E1 4
. L´equaci´o (5.20) es coneix comprimera equaci´o de Gauss. Notem que
2√r1r2cos
f2−f1 2
2
= 2r1r2 (1 + cos(f2−f1)) = 2 (r1r2+hr1,r2i),
M`etode de Gauss 111 d´on
m = µ(t2−t1)2
[2 (r1r2+hr1,r2i)]3/2, (5.21) l = r1+r2
2[2 (r1r2+hr1,r2i)]1/2 −1
2, (5.22)
x = sin2
E2−E1 4
. (5.23)
Cl`aramentm il es poden determinar a partir der1 ir2, per`ox´es un par`ametre desconegut.
5.2.3. Segona equaci´o de Gauss
En el que portem fet fins ara no hem utilitzat cap relaci´o entre el temps i la posici´o angular, tal com la d´ona l´equaci´o de Kepler, ´es a dir
õ
a3/2(t−tp) =E−esinE.
Si considerem aquesta equaci´o als instantst1,t2 i restem, resulta
õ
a3/2(t2−t1) =E2−E1−e(sinE2−sinE1) =E2−E1−2esin
E2−E1
2
cos
E2+E1
2
. D´acord amb l´equaci´o (5.18), podem escriure
ecos
E2+E1 2
= cos
E2−E1 2
−
√r1r2 a cos
f2−f1 2
, d´on
õ
a3/2(t2−t1) =E2−E1−sin(E2−E1) + 2
√r1r2 a sin
E2−E1 2
cos
f2−f1 2
. (5.24) Ja que
sin
E2−E1 2
= sinE2 2 cosE1
2 −cosE2 2 sinE1
2 , i si tenim en compte (5.17), aleshores
sin
E2−E1 2
=
√r1r2
√ap
sinf2 2 cosf1
2 −cosf2 2 sinf1
2
=
√r1r2
√ap sin
f2−f1 2
, (5.25) Si substituim aquesta darrera igualtat a (5.24), obtenim
t2−t1 = a3/2
√µ (E2−E1−sin(E2−E1)) + r1r2sin(f2−f1)
õp . (5.26)
D´acord amb (5.15), l´equaci´o (5.26) es pot escriure com 1−1
η = a3/2
√µ (E2−E1−sin(E2−E1)). (5.27) A partir de la relaci´o
sin(f2−f1) = 2 sin
f2−f1 2
cos
f2−f1 2
,
i si tenim en compte (5.25)
sin(f2−f1) = 2√ap
√r1r2
sin
E2−E1 2
cos
f2−f1 2
. (5.28)
D´aquesta igualtat obtenim η=
√ap(t2−t1) r1r2sin(f2−f1) =
√µ(t2−t1) 2√a√r1r2sin
E2−E1 2
cos
f2−f1 2
.
Aixecant al cub aquesta darrera igualtat i multiplicant el resultat per (5.27) obtenim η3
1−1
η
= µ(t2−t1)2
2r1r2cos
f2−f1 2
3
E2−E1−sin(E2−E1) sin3
E2−E1 2
,
que tamb´e es pot escriure com
η2(η−1) =m y, (5.29)
on
y= E2−E1−sin(E2−E1) sin3
E2−E1 2
,
im est`a definit a (5.21). L´equaci´o (5.29) ´es la segona equaci´o de Gauss.
5.2.4. Resoluci´o de les equacions de Gauss
El sistema format per les dues equacions de Gauss, (5.20) i (5.21), tamb´e el podem escriure com
η2 = m 1
l+ sin2(g/2), η2(η−1) = m 2g−sin(2g)
sin3g ,
(5.30)
on
g = E2−E1
2 ,
m = µ(t2−t1)2 [2 (r1r2+hr1,r2i)]3/2, l = r1+r2
2[2 (r1r2+hr1,r2i)]1/2 −1 2. Si eliminem g del sistema (5.30), obtenim l´equaci´o trascendent
η= 1 + m η2 W
m η2 −l
, on la funci´oW est`a definida per
W(w) = 2g−sin(2g)
sin3g , g= 2 sin−1√ w,
M`etode de Gauss 113 o b´e
W(w) = 4 3 +4
3 6 5w+4
3 6 5 8
7w2+...
L´argument w sempre ´es positiu i m´es petit que 1 per les ´orbites el.l´ıptiques. Per determinar η de forma iterativa, es put usar el m`etode de la secant
ηi+1=ηi−f(ηi) ηi−ηi−1
f(ηi)−f(ηi−1) on
f(x) = 1−x+ m x2W
m η2 −l
. i pel que podem prendre els valors inicials
η0 = 12 22+ 10
22 s
1 + 44 9
m
l+ 5/6, η1=η0+ 0.1, η2=η0. 5.2.5. Algorisme de Gauss
Donats r1 = (x1, y1, z1) i r2 = (x2, y2, z2) aix´ı com els dos innstantst1 it2, calculem τ = t2−t1,
r1 = hr1,r1i1/2, r2 = hr2,r2i1/2, cos(f2−f1) = hr1,r2i
r1r2 , f2−f1 6=π.
A continuaci´o calculem
sin(f2−f1) = ± x1y2−x2y1
|x1y2−x2y1|
p1−cos2(f2−f1), m = µ(t2−t1)2
2√r1r2cos
f2−f1 2
3, l = r1+r2
4√r1r2cos
f2−f1 2
−1 2.
A l´expressi´o del sin(f2−f1), el signe + corresp`on al moviment directe (wz ≥0) i el−el retr`ograd (wz <0), onw´es un vector unitari en la direcci´o der1∧r2. Per tal de resoldre el sistema format per les dues equacions de Gauss, (5.20) i (5.21), iniciem un procediment iteratiu. Prenem com aproximaci´o inicial η= 1, i a continuaci´o calculem
x = m
η2 −l, cos
E2−E1 2
= 1−2x, sin
E2−E1 2
= p
4x(1−x),
y = E2−E1−sin(E2−E1) sin3
E2−E1 2
, η = 1 +y(l+x).
Iterem el c`alcul de x,E2−E1, y i η fins tenir determinada aquesta darrera quantitat amb la precissi´o desitjada. Finalment, podem calcular
√a = (t2−t1)√µ 2η√r1r2cos
f2−f1
2
sin
E2−E1
2 , f = 1− a
r1
(1−cos(E2−E1)), g = t2−t1− a3/2
√µ(E2−E1−sin(E2−E1)),
˙
r1 = r2−fr1
g .
5.2.6. C`alcul dels elements orbitals
L’`orbita del sat`el.lit que passa per r1 i r2 sempre es mou en el pla determinat per aquests dos vectors. A fi de determinar la inclinaci´oid´aquest pla respecte de l´equador, aix´ı com l´ascen- si´o recta del node ascendent, calculem en primer lloc dos vectors unit`aris ortogonals que estiguin en aquest pla
e1 = r1
r1, (5.31)
eo = ro
ro, (5.32)
on ro = r2− hr2,e1i e1. Notem que els vectors ro i e1 s´on perpendiculars. Amb aquests dos vectors podem determinar el vector director del plaw=e1∧eo. L´equaci´o (9.23) permet calcular l´argument del node ascendent i la inclinaci´o. Tamb´e podem determinar l´argument de latitud, que utilitzarem m´es endavant, de
u1= arctan z1
−x1wy +y1wx.
A fi de determinar el elements orbitals restants, hem de menester la relaci´o entre les `arees dels segment i sector circular calculats a la secci´o anterior. Aleshores podem determinar el par`ametre de l’`orbita
p= 1 µ
2∆η τ
2
,
en termes de l´ınterval τ =t2−t1 i l’`area, ∆ del triangle determinat pels vectors r1 ir2
∆ = 1
2r1r2sin(f2−f1) = 1 2r1ro. Per determinar l´excentricitat recordem quer =p/(1 +ecosf), d´on
ecosf1 = p r1 −1, ecosf2 = p
r2 −1.
D´altra banda
cosf2 = cosf1cos(f2−f1)−sinf1sin(f2−f1)
= hr2,e1i
r2 cosf1−ro r2sinf1,
5.3. DETERMINACI ´O D’ `ORBITES A PARTIR DE DOS VECTORS POSICI ´O. SOLUCI ´O DEL PROBLEMA MITJANC