El Teorema 3.6 entrega las f´ormulas

ˆ w

_j

=



 

 

 



exp(iϕ

j

) α

^(j)_j+1,j

+ σ

j

α

^(j)_j+2,j

...

α

^(j)_nj



 

 

 



, σ

j

=

X

n k=j+1

α

^(j)_kj

²

!

1/2

,

α

^(j)_j+1,j

= exp(iϕ

j

) α

^(j)_j+1,j

, β

j

= 1

σ

j

(σ

j

+ | α

^(j)_j+1,j

| ) .

Puesto que las primeras j columnas de U

_j

son columnas unitarias, la multiplicaci´on de U

_j

A

_j

desde la derecha con U

_j

no cambia los ceros recien generados en la columna j. La multiplicaci´on de A

_j

desde la izquierda por U

_j

no cambia las primeras j filas. Por lo tanto, hemos desarrollado completamente la transformaci´on.

Para la ejecuci´on pr´actica de la transformaci´on, aprovechamos la estructura especial de U

_j

. Sea

A

_j

=

"

A

^(j)₁₁

A

^(j)₁₂

A

^(j)₂₁

A

^(j)₂₂

#

5.2. TRANSFORMACI ´ON DE UNA MATRIZ A FORMA DE HESSENBERG O TRIDIAGONAL 123

En este caso, obtenemos

A

_j+1

=

"

A

^(j)₁₁

A

^(j)₁₂

U ˆ

_j

U ˆ

_j

A

^(j)₂₁

U ˆ

_j

A

^(j)₂₂

U ˆ

_j

# , donde

U ˆ

_j

A

^(j)₂₁

= A

^(j)₂₁

− β

j

w

_j

w

^∗_j

A

^(j)₂₁

= A

^(j)₂₁

− u ˆ

_j

z ˆ

^∗_j

,

A

^(j)₁₂

U ˆ

_j

= A

^(j)₁₂

− β

j

A

^(j)₁₂

w

_j

w

^∗_j

= A

^(j)₁₂

− y ˆ

_j

u ˆ

^∗_j

,

U ˆ

_j

A

^(j)₂₂

U ˆ

_j

= (I − β

j

w ˆ

_j

w ˆ

^∗_j

) A

^(j)₂₂

− β

j

A

^(j)₂₂

w ˆ w ˆ

^∗

= A

^(j)₂₂

− u ˆ

_j

w ˆ

^∗_j

A

^(j)₂₂

− A

^(j)₂₂

w ˆ

_j

ˆ

u

^∗_j

+ ˆ w

^∗_j

A

^(j)₂₂

w ˆ

_j

ˆ u

_j

u ˆ

^∗_j

= A

^(j)₂₂

− u ˆ

_j

ˆ s

^∗_j

− γ

j

2 u ˆ

^∗_j

−

ˆ t

_j

− γ

j

2 u ˆ

_j

ˆ u

^∗_j

, donde definimos

ˆ

u

_j

:= β

j

w ˆ

_j

, ˆ t

_j

:= A

^(j)₂₂

w ˆ

_j

, γ

j

:= ˆ w

^∗_j

ˆ t

_j

, s ˆ

^∗_j

:= ˆ w

^∗_j

A

^(j)₂₂

, z ˆ

^∗_j

:= ˆ w

^∗_j

A

^(j)₂₁

, y ˆ

_j

:= A

^(j)₁₂

w ˆ

_j

. Pero, seg´ un hip´otesis,

A

^(j)₂₁

=



 

0 · · · 0 α

^(j)_j+1,j

... ... ...

0 · · · 0 α

^(j)_nj



  ,

de manera que no hay que calcular ˆ U

_j

A

^(j)₂₁

expl´ıcitamente:

U ˆ

_j

A

^(j)₂₁

=



 

 

0 · · · 0 − exp(iϕ

j

)σ

j

... ... 0

... ... ...

0 · · · 0 0



 

  .

Adem´as, en el caso A hermitiana tomamos en cuenta que A

^(j)₁₂

U ˆ

_j

= ˆ U

_j

A

^(j)₂₁

_∗

, ˆ t

_j

= ˆ s

_j

,

entonces una computaci´on expl´ıcita no es necesaria, y el esfuerzo computacional total se

reduce a menos que la mitad. Para A general, necesitamos

⁵₃

n

³

+ O (n

²

) operaciones; para

A hermitiana, solo

²₃

n

³

+ O (n

²

) operaciones esenciales.

5.3. Computaci´ on de los valores propios de una matriz tridiagonal hermitiana Consideremos la matriz T ∈ C

^n×n

dada por

T =



 

 

α

1

β

1

γ

1

. .. ...

. .. ... β

n−1

γ

_n−1

α

n



 

  , γ

i

= ¯ β

i

, i = 1, . . . , n − 1; α

i

∈ R , i = 1, . . . , n. (5.10)

Se supone que γ

i

6 = 0 para i = 1, . . . , n − 1, sino la matriz tridiagonal puede ser particionada en dos matrices tridiagonales de tama˜ no menor cuyos problemas de valores propios pueden ser estudiados separadamente.

Teorema 5.10. Si T es una matriz tridiagonal hermitiana de la forma indicada en (5.10) y γ

i

6 = 0 para i = 1, . . . , n − 1, entonces T s´ olo tiene valores propios reales simples.

Demostraci´ on. Tarea.

Comentamos si T es una matriz real no sim´etrica con β

i

γ

i

> 0, i = 1, . . . , n − 1, entonces mediante una transformaci´on de similaridad con

D = diag(δ

1

, . . . , δ

n

), δ

1

:= 1, δ

i+1

:= δ

i

p β

i

/γ

i

,

T puede ser transformada a una matriz sim´etrica y tridiagonal ˆ T := DT D

⁻¹

. Entonces tales matrices T tambi´en poseen solo valores propios reales y simples.

Para la computaci´on de valores propios de T , necesitamos el Teorema de la Ley de Inercia de Sylvester.

Definici´ on 5.1. Sea A ∈ C

^n×n

hermitiana. Entonces se define como inercia de A al tri- ple (m, z, p), donde m, z y p es el n´ umero de valores propios negativos, zero, y positivos, respectivamente.

Teorema 5.11 (Ley de Inercia de Sylvester). Si A ∈ C

^n×n

es hermitiana y X ∈ C

^n×n

es regular, entonces A y X

^∗

AX tienen la misma inercia.

Demostraci´ on. Supongamos que

λ

1

(A) > λ

2

(A) > . . . > λ

n

(A)

son los valores propios de A, contados con su multiplicidad, y que para alg´ un r ∈ { 1, . . . , n } , λ

r

(A) es un valor propio de A positivo. Definimos el subespacio S

0

⊆ R

ⁿ

a trav´es de

S

0

:= span { X

⁻¹

q

₁

, . . . , X

⁻¹

q

_r

} , q

₁

6 = 0, . . . , q

_r

6 = 0,

donde Aq

_i

= λ

i

(A)q

_i

para i = 1, . . . , r. Utilizando la caracterizaci´on minimax de λ

r

(X

^∗

AX), donde se supone que

λ

1

(X

^∗

AX) > . . . > λ

n

(X

^∗

AX) son los valores propios de X

^∗

AX, obtenemos

λ

r

(X

^∗

AX) = m´ax

V∈Vn−r

m´ın

R(x; X

^∗

AX) | x 6 = 0, ∀ v ∈ V : x

^∗

v = 0 . (5.11)

5.3. VALORES PROPIOS DE UNA MATRIZ TRIDIAGONAL HERMITIANA 125

Ahora, escogiendo

V ˜ := S

₀^⊥

:=

w ∈ R

ⁿ

| ∀ v ∈ S

0

: w

^∗

v = 0 ∈ V

ⁿ−r

, deducimos de (5.11) que

λ

_r

(X

^∗

AX) > m´ın

R(x; X

^∗

AX) | x 6 = 0, ∀ v ∈ V ˜ : x

^∗

v = 0

= m´ın

R(x; X

^∗

AX) | x 6 = 0, x ∈ S

₀

> λ

r

(A).

Si σ

1

(X) > . . . > σ

n

(X) son los valores singulares de X , podemos demostrar que para cada y ∈ R

ⁿ

,

R(y, X

^∗

X) > σ

n

(X)

²

. Entonces, conluimos que

λ

r

(X

^∗

AX) > m´ın

y∈S0

y

^∗

(X

^∗

AX)y y

^∗

(X

^∗

X )y

y

^∗

(X

^∗

X)y y

^∗

y

> λ

r

(A)σ

n

(X)

²

. (5.12) Un argumento an´alogo, con los roles de A y X

^∗

AX intercambiados muestra que

λ

r

(A) > λ

r

(X

^∗

AX)σ

n

(X

⁻¹

)

²

= λ

r

(X

^∗

AX)

σ

1

(X)

²

. (5.13)

Combinando (5.12) y (5.13), concluimos que λ

r

(A) y λ

r

(X

^∗

AX) tienen el mismo signo, por lo tanto, A y X

^∗

AX tienen el mismo n´ umero de valores propios positivos. Aplicando este resultado a − A, concluimos que A y X

^∗

AX tienen el mismo n´ umero de valores propios negativos, y obviamente, el mismo n´ umero de valores propios zero (debidamente contados con su multiplicidad).

El Teorema 5.11 implica que las matrices A − µI y X

^∗

(A − µI )X tienen los mismos n´ umeros de valores propios positivos, cero, y negativos, es decir, A tiene los mismos n´ umeros de valores propios > µ, = µ, y < µ (µ ∈ R ). Queremos aplicar este resultado ahora a la matriz T con

X ∈ C

^n×n

, donde X

⁻¹

=



 

  1 ξ

1

. .. ...

. .. ξ

n−1

1



 

  ,

donde se debe cumplir que

X

^∗

(T − µI )X = Q = diag(q

1

, . . . , q

n

), q

i

∈ R , o sea

T − µI = (X

^∗

)

⁻¹

QX

⁻¹

=



 

  1 ξ ¯

1

. ..

. .. ...

ξ ¯

_n−1

1



 

 



 

 q

1

q

2

. ..

q

n



 





 

  1 ξ

1

. .. ...

. .. ξ

_n−1

1



 

  .

Entonces, los q

i

son cuocientes de subdeterminantes principales sucesivos de T − µI. Obvia- mente,

q

1

= α

1

− µ,

q

1

ξ

1

= β

1

(= ⇒ q

1

ξ ¯

1

= γ

1

= ¯ β

1

), q

₂

+ q

₁

| ξ

₁

|

²

= α

₂

− µ,

q

2

ξ

2

= β

2

, etc.

En general, tenemos

q

k

+ q

k−1

| ξ

_k²₋₁

| = α

k

− µ, q

k

ξ

k

= β

k

, k = 1, . . . , n, ξ

0

:= 0, q

0

:= 1, β

n

:= 0.

Dado que β

_k

6 = 0 para k = 1, . . . , n − 1, el valor ξ

_k

existe para q

_k

6 = 0, k = 1, . . . , n − 1, es decir, ξ

_k

= β

_k

/q

_k

para k = 1, . . . , n − 1. Si sucede que q

_k

= 0, remplazamos este valor por ε 1, es decir remplazamos α

k

por α

k

+ ε. Debido al Teorema 4.7, eso cambia los valores propios s´olo en ε. Entonces, siempre se calcula

q

k

= α

k

− µ − (β

_k−1

)

²

q

k−1

, k = 1, . . . , n, q

0

:= 1, β

0

:= 0. (5.14) Seg´ un el Teorema 5.11, sabemos que

# { k | q

k

< 0, 1 6 k 6 n } = # { λ | λ es valor propio de T , λ < µ } .

Este resultado lo podemos aprovechar directamente para crear un m´ etodo de bisecci´ on para calcular valores propios arbitrarios λ

_j

de T . Partiendo de la enumeraci´on λ

₁

6 λ

₂

6 . . . 6 λ

_n

y, por ejemplo, de la inclusi´on trivial

[a

0

, b

0

] := [ −k T k

∞

, k T k

∞

], (5.15) la cual incluye todos los valores propios de T , ponemos para s ∈ N

0

:

µ

s

:= a

_s

+ b

_s

2 , (5.16)

m := # { q

k

| q

k

< 0, calculados de (5.14) con µ = µ

s

} , (5.17) a

s+1

:=

( a

s

si m > j,

µ

s

sino, b

s+1

:=

( µ

s

si m > j ,

b

s

sino. (5.18)

Para este m´etodo sabemos que

s

l´ım

→∞

µ

s

= λ

j

. (5.19)

Este m´etodo es muy robusto y extremadamente eficiente.

Ejemplo 5.5. Queremos determinar el valor propio λ

2

de

T =



 



1 1 0 0 1 3 2 0 0 2 5 3 0 0 3 7



 

 ,

5.3. VALORES PROPIOS DE UNA MATRIZ TRIDIAGONAL HERMITIANA 127

s µ q

1

q

2

q

3

q

4

m

0 1,5 − 0,500000 3,500000 2,357143 1,681818 1 ⇒ λ

2

> 1,5 1 1,75 − 0,750000 2,583333 1,701613 − 0,039100 2 ⇒ λ

2

< 1,75 2 1,625 − 0,625000 2,975000 2,030462 0,942511 1 ⇒ λ

2

> 1,625 3 1,6875 − 0,687500 2,767045 1,866915 0,491712 1 ⇒ λ

₂

> 1,6875 4 1,71875 − 0,718750 2,672554 1,784555 0,237975 1 ⇒ λ

₂

> 1,71875 5 1,734375 − 0,734375 2,627327 1,743165 0,102603 1 ⇒ λ

2

> 1,734375 6 1,7421875 − 0,742187 2,605181 1,722410 0,032577 1 ⇒ λ

2

> 1,7421875 7 1,74609375 − 0,746094 2,594220 1,712017 − 0,003050 2 ⇒ λ

2

< 1,74609375 8 1,744140625 − 0,744141 2,599691 1,717215 0,014816 1 ⇒ λ

2

> 1,744140625

Cuadro 5.1. Ejemplo 5.5 (m´etodo de bisecci´on).

empezando con [a

0

, b

0

] := [1, 2]. El m´ etodo de bisecci´ on entrega la informaci´ on del Cuadro 5.1.

Ejemplo 5.6 (Tarea 30, Curso 2006). Se considera la matriz A =



 10 − 6 8

− 6 17 2

8 2 20



 .

a) Transformar A a forma tridiagonal y aplicar el m´ etodo de bisecci´ on para demostrar que A es definida positiva.

b) Usando el m´ etodo de bisecci´ on, determinar el valor propio m´ as peque˜ no hasta un error del valor absoluto 6 0,5.

Soluci´on sugerida.

a) La transformaci´ on de la matriz a forma tridiagonal necesita un paso, es decir T = A

₂

= P

₁

A

₁

P

₁

con A

₁

= A. Sabemos que

P

₁

=



 1 0 0 0

0 P ˆ

₁



 , P ˆ

₁

= I − β

₁

w ˆ

₁

w ˆ

^∗₁

.

Aqu´ı

σ

1

= √

36 + 64 = 10, β

1

= 1

10(10 + 6) = 1

160 , w ˆ

₁

= − 16

8

,

P

₁

=



 1 0 0 0 − 0,6 0,8 0 0,8 0,6



 , T = P

₁

AP

₁

=



 10 10 0 10 17 2 0 2 20



 .

Aplicando el Teorema de Gershgorin, vemos que T solo tiene valores propios no ne- gativos; dado que T es regular, 0 no es valor propio; entonces los valores propios de T (y los de A) son positivos.

b) El valor propio mas peque˜ no es λ

1

, entonces j = 1. El valor propio esta contenido en

el intervalo [a

0

:= 0, b

0

:= 32]. Obtenemos la siguiente tabla.

k a

k

b

k

µ

k

q

1

q

2

q

3

m 0 0 32 16 − 6 16.¯6 3,76 1

1 0 16 8 2 − 41 12,097 1

2 0 8 4 6 − 3.¯6 17. 09 ¯ 1

3 0 4 2 8 2,5 16,4 0

4 2 4 3 7 − 2/7 31 1

5 2 3 2,5 7,5 1,1¯6 13,5 0 Entonces sabemos que λ

1

∈ [2,5, 3].

Ejemplo 5.7 (Certamen 2, Curso 2010). Se considera la matriz A =



 − 10 3 − 4

3 2 1

− 4 1 16



 .

a) Demostrar sin calcular el polinomio caracter´ıstico que A tiene tres valores propios reales distintos.

b) Transformar A unitariamente a forma tridiagonal sim´ etrica.

c) Determinar n´ umeros α

i

, β

i

, i = 1, 2, 3, tales que α

i

6 λ

i

6 β

i

, i = 1, 2, 3, donde λ

₁

, λ

₂

, λ

₃

son los valores propios de A, y | β

_i

− α

_i

| 6 0,25, mediante el m´ etodo de bisecci´ on.

Soluci´on sugerida.

a) Puesto que A es sim´ etrica, sus valores propios son reales. Los c´ırculos de Gershgorin son

K

1

= [ − 17, − 3], K

2

= [ − 2, 6], K

3

= [11, 21].

Dado que K

ⁱ

∩ K

^j

= ∅ para i 6 = j, cada uno de los c´ırculos contiene exactamente un valor propio, es decir λ

i

∈ K

ⁱ

para i = 1, 2, 3.

b) Siguiendo el procedimiento can´ onico, determinamos U

₁

=

1 0 0 U ˆ

₁

∈ R

^3×3

In document Análisis Numérico II (página 122-128)