Por otro lado, - Análisis Numérico II

R(x

; A) = x

^∗_k

x

_k+1

x

^∗_k

x

= ξ ¯

₁

¯ λ

^k₁

"

u

^∗₁

+ O λ

λ

!#

ξ

₁

λ

^k+1₁

"

u

₁

+ O λ

λ

k+1

!#

ξ ¯

λ ¯

^k₁

"

u

^∗₁

+ O λ

λ

₁

!#

ξ

λ

^k₁

"

u

₁

+ O λ

λ

₁

!#

= λ

"

1 + O λ

λ

!#

.

5.6. LA ITERACI ÓN DIRECTA SEG ÚN VON MISES Y EL M ÉTODO DE WIELANDT 135

Comentamos primero que para | λ

| 6 = 1, la versi´on presentada aqu´ı rapidamente entrega n´ umeros extremadamente grandes o peque˜ nos. Por lo tanto, se prefiere calcular { x

} de la siguiente forma:

˜

x

_k+1

:= Ax

, x

_k+1

:= x ˜

_k+1

k x ˜

_k+1

k . En este caso,

x

= ϑ

"

u

₁

+ O λ

λ

!#

, | ϑ

| = 1, x

^∗_k

x ˜

_k+1

= λ

₁

"

1 + O λ

λ

!#

.

Si x

se normaliza a (x

)

= 1 para una componente j con (u

)

6 = 0, entonces { x

}

^k∈N

converge para k → ∞ a un m´ ultiple de u

₁

.

El Teorema 5.13 es an´alogamente v´alido para λ

= . . . = λ

, | λ

| > | λ

r+1

| > . . . > | λ

| , cuando

x

₀

= X

i=1

ξ

u

, X

i=1

| ξ

| 6 = 0.

La presuposici´on ξ

6 = 0 o | ξ

| +. . . + | ξ

| 6 = 0 siempre est´a satisfecha en la pr´actica debido a errores de redondeo, includo cuando x

₀

no es apropiado.

La matriz A no necesariamente debe ser diagonalizable. Pero si A no lo es, el t´ermino de error O ( | λ

/λ

|

) es remplazado por O (1/k).

Cuando A posee diferentes valores propios dominantes (del mismo valor absoluto), por ejemplo en el caso de un valor propio dominante en valor absoluto complejo de una matriz A real, no hay convergencia (pero existen generalizaciones de este m´etodo para este caso).

Ejemplo 5.8 (Tarea 28, Curso 2006).

A =



 1 − 1 1

− 1 2 1

1 1 10





a) Demostrar que A satisface las condiciones para la ejecuci´ on de la iteraci´ on directa (m´ etodo de von Mises), y que x

₀

:= (0, 0, 1)

es un vector apropiado para iniciar la iteraci´ on.

b) Determinar x

₃

(usando el algoritmo b´ asico, sin normalizar), y calcular usando x

₃

y x

₂

un valor aproximado del valor propio. Para esta aproximaci´ on estimar el error rigurosamente.

Soluci´on sugerida.

a) La matriz A es real y sim´ etrica, entonces posee un sistema completo de vectores propios Q := [u

u

₂

u

₃

]. Seg´ un el Teorema de Gershgrorin hay dos valores propios, λ

y λ

, en el intervalo [ − 1, 4]; el tercer, λ

, de valor absoluto m´ aximo, pertenece al intervalo [8, 12]. Ahora sea Au

= λ

u

. Supongamos que ξ

= 0 en la representaci´ on x

₀

= ξ

u

₁

+ ξ

u

₂

+ ξ

u

₃

. En este caso, tendriamos Ax

₀

= ξ

λ

u

₂

+ ξ

λ

u

₃

, entonces

k Ax

₀

k 6 m´ax

| λ

| , | λ

| k x

₀

k 6 4 k x

₀

k = 4,

mientras que

k Ax

₀

k = (1, 1, 10)

> 10,

una contradicci´ on. Entonces ξ

6 = 0, y el vector x

₀

es apropiado.

b) Sin normalizar obtenemos

x

₁

= (1, 1, 10)

, x

₁

= (10, 11, 102)

, x

₁

= (101, 114, 1041)

. El valor propio aproximado correspondiente es

˜ λ

= x

^T₂

x

₃

x

^T₂

x

₂

= 108446

10625 = 10,206682.

Seg´ un el Teorema 4.4, sabemos que para una matriz A normal (por ejemplo, A sim´ etrica), entonces existe un valor propio λ

6 = 0 de A con

λ

− λ

λ

6 k Ax − λx k k Ax k

,

donde x y λ son aproximaciones del vector y del valor propio, respectivamente. Aqui hay que usar x = x

₂

, λ = ˜ λ

= 10,206682, y x

₃

= Ax para obtener

λ

− λ ˜

λ

6 k x

₃

− λx

k

k x

₃

k

= 2,031146

1052,0827 = 0,001931.

Entonces,

| λ

− λ ˜

₁

| 6 0,001931 | λ

| 6 0,001931 · 12 = 0,023167.

Ejemplo 5.9 (Certamen 2, Curso 2010). Se considera la matriz A =



 − 10 − 1 − 1

− 1 2 1

− 1 1 10





a) Demostrar que A posee tres valores propio λ

< λ

, en particular λ

, λ

∈ R , y que x

₀

:= (0, 0, 1)

es un vector apropiado para iniciar la iteraci´ on directa (m´ etodo de von Mises). Aviso:

det(A − 4I ) =

− 16 − 1 2

− 1 0 1

2 1 8

= 4.

b) Determinar x

₃

(usando el algoritmo b´ asico, sin normalizar), y calcular usando x

₃

y x

₂

un valor aproximado del valor propio. Para esta aproximaci´ on estimar el error rigurosamente.

Soluci´on sugerida.

a) Dado que A es sim´ etrica, sus valores propios son reales, y los c´ırculos de Gershgorin son

K

= [ − 12, − 8], K

= [0, 4], K

= [8, 12].

5.6. LA ITERACI ÓN DIRECTA SEG ÚN VON MISES Y EL M ÉTODO DE WIELANDT 137

Dado que K

∩ K

= ∅ para i 6 = j, cada uno de los c´ırculos contiene exactamente un valor propio, es decir λ

∈ K

para i = 1, 2, 3. En el presente caso, aun no podemos decidir si el valor propio de valor absoluto m´ aximo pertenece a K

o a K

. Para obtener m´ as informaci´ on, calculamos el polinomio car´ acteristico:

p(λ; A) = det(A − λI) =

− 10 − λ − 1 − 1

− 1 2 − λ 1

− 1 1 10 − λ

= − λ

+ 2λ

+ 103λ − 200.

Debido al signo del coeficiente de λ

y sabiendo ya que hay tres valores propios distintos reales, concluimos que

p(λ)

 

 

 

 



> 0 para λ < λ

,

= 0 para λ = λ

,

< 0 para λ

< λ < λ

,

= 0 para λ = λ

,

> 0 para λ

< λ < λ

,

= 0 para λ = λ

,

< 0 para λ > λ

.

Ahora, evaluando p(2; A) = 6 > 0 concluimos que λ

< 2. Por otro lado, la traza de A es la suma de sus valores propios. En nuestro caso, λ

₁

+ λ

₂

+ λ

₃

= 2, es decir

λ

+ λ

= 2 − λ

> 0,

es decir λ

> − λ

. Dado que λ

< 0 y λ

> 0, esta desigualdad implica que

| λ

| = − λ

< λ

= | λ

| .

Por lo tanto, λ

₃

es el valor propio de mayor valor absoluto. Como A es sim´ etrica, A posee un sistema de vectores propios ortonormales. Sean u

₁

, u

₂

, u

₃

los vectores propios correspondiente a los valores propios respectivos λ

, λ

. Sea x

₀

= ξ

u

₁

+ξ

u

₂

+ξ

u

₃

. De acuerdo al Teorema 5.13 hay que demostrar que ξ

6 = 0. Ahora, si fuera ξ

= 0, se tendria que

R(x

₀

; A) = R(ξ

₁

u

₁

+ ξ

₂

u

₂

; A) = (ξ

₁

u

^T₁

ξ

₂

u

^T₂

)(λ

₁

ξ

₁

u

₁

+ λ

₂

ξ

₂

u

₂

) ξ

₁²

+ ξ

₂²

= λ

ξ

₁²

+ λ

ξ

²₂

ξ

₁²

+ ξ

₂²

= ξ

₁²

ξ

₁²

+ ξ

²₂

λ

+ ξ

₂²

ξ

₁²

+ ξ

₂²

λ

∈ [λ

, λ

] ⊂ [ − 12, 2].

Pero, efectivamente,

R(x

; A) = (0, 0, 1)( − 1, 1, 10)

= 10 6∈ [ − 12, 2], es decir ξ

6 = 0; por lo tanto, x

₀

es apropiado.

b) Iterando obtenemos x

₁

= Ax

₀

=



 − 1 1 10



 , x

₂

= Ax

₁

=



 − 1 13 102



 , x

₃

= Ax

₂

=



 − 105 129 1034



 ,

y el valor propio aproximado

λ

≈ λ ˜

= R(x

; A) = x

^T₂

x

₃

x

^T₂

x

₂

= 10,1428.

Para estimar el error, utilixamos la parte (iii) del Teorema 5.4. Aqu´ı esto significa que existe un valor propio λ

de A tal que

λ

− ˜ λ

λ

6 k Ax

₂

− 10,1428x

k

k Ax

₂

k

= k x

₃

− 10,1428x

k k x

₃

k

= 94,9019

1047,3 = 0,0906.

Evidentemente, j = 3, y puesto que λ

∈ [8, 12], llegamos a

| λ

₃

− λ ˜

₃

| 6 12 × 0,0906 = 1,0874.

Mejores cotas son posibles.

Nos damos cuenta que la velocidad de convergencia de la iteraci´on directa depende deci- sivamente del cuociente | λ

/λ

| < 1. Ahora, sean λ

, . . . , λ

los valores propios de A. Si µ es una aproximaci´on del valor propio λ

y 0 < | λ

− µ | < | λ

− µ | para todo j ∈ { 1, . . . , n }\{ i } , entonces A − µI es regular y los valores propios τ

= 1/(λ

− µ) de (A − µI )

⁻¹

satisfacen

∀ j ∈ { 1, . . . , n }\{ i } : | τ

| > | τ

| .

Ademas, m´ax

_i6=j

| τ

| / | τ

| es peque˜ no cuando la aproximaci´on del valor propio era buena.

Entonces, la iteraci´on directa aplicada a (A − µI )

⁻¹

converge rapidamente. Esta es la idea del método de interación “inversa”, conocida también como M´ etodo de Wielandt. La observación decisiva para su ejecución es que no hay que calcular expl´ıcitamente la matriz (A − µI)

⁻¹

; al lugar de eso, en cada paso se resuleve el sistema lineal

(A − µI)˜ x

_k+1

= x

, x

_k+1

:= 1

k x ˜

_k+1

k x ˜

_k+1

,

lo que cuesta poco esfuerzo computacional si una vez por siempre se ha calculado una descomposici´on triangular (por lo menos, con b´ usqueda del privot en la columna) de A − µI.

Entonces, si P (A − µI )Q = LR, calculamos para k ∈ N

sucesivamente los vectores z

, v

, w

y ˜ x

_k+1

:

z

= P x

, Lv

= z

, Rw

= v

, Q

x ˜

_k+1

= w

.

Ahora, usando la nueva aproximaci´on ˜ x

_k+1

, podriamos calcular una nueva aproximaci´on del valor propio, determinar una nueva descomposici´on triangular, etc. Pero, en general, el esfuerzo computacional para realizar eso es exagerado.

El siguiente teorema provee informaci´on acerca de un vector inicial apropiado.

Teorema 5.14. Sea A ∈ C

ⁿ^×ⁿ

diagonalizable, Au

= λu

, i = 1, . . . , n, k u

k

= 1 para todo i, donde U =

u

₁

. . . u

es el sistema completo de vectores propios de A y P (A − µI )Q = LR con matrices de permutaci´ on P y Q, L una matriz triangular inferior con diagonal (1, . . . , 1) y elementos de valor absoluto 6 1, y R una matriz triangular superior. Adem´ as definimos el ´ındice s a trav´ es de

| %

| = m´ın

16i6n

| %

| ,

5.6. LA ITERACI ÓN DIRECTA SEG ÚN VON MISES Y EL M ÉTODO DE WIELANDT 139

y R ˆ := diag(%

⁻₁₁¹

, . . . , %

⁻_nn¹

)R. En este caso, si µ no es un valor propio, sabemos que

16j6n

m´ın | λ

− µ | 6 √

n | %

| cond

_k·k₂

(U ) 6 m´ın

16j6n

| λ

− µ |k L

⁻¹

k

k R ˆ

⁻¹

k

cond

_k·k₂

(U ) √ n.

Si definimos x

₁

por

RQ

x

₁

= %

e

₁

(lo que corresponde a x

₀

:= %

P

Le

), y el ´ındice k por

| ξ

| = m´ax

16i6n

| ξ

| , donde x

₁

= X

i=1

ξ

u

, entonces sabemos que el valor propio corespondiente λ

satisface

| λ

− µ | 6 n

^3/2

| %

| cond

_k·k₂

(U ).

Eso significa que si los valores propios de A son suficientemente separados (comparado con m´ın

16j6n

| λ

− µ | ), entonces

| λ

− µ | = m´ın

16j6n

| λ

− µ |

y x

₁

es una aproximaci´ on apropiada para iniciar la iteraci´ on inversa.

Demostraci´ on. Cambiar el valor %

en la descomposici´on triangular a cero es equivalente a cambiar A − µI a

B := A − µI − %

P

Le

e

^T_s

Q

,

y la matriz B es singular. En este caso, el Teorema 5.7, aplicado al valor propio cero de B y el valor propio λ