INFERENCIA ESTADÍSTICA
5.3 ESTIMACIÓN POR INTERVALO
Como ya se ha comentado previamente, las estimaciones puntuales obtenidas a partir de una muestra diferirán del parámetro poblacional y, en consecuencia, quedará un margen de incertidumbre que se expresa en términos del error estándar del estimador. Así, resulta natural la pretensión de disponer de una medida del parámetro poblacional que incorpore tanto la estimación puntual como su error estándar. Esta medida es el intervalo de confianza, que facilita un rango de valores dentro del cual se encontrará el verdadero valor del parámetro poblacional con un cierto grado de confianza. En este apartado se describe detenidamente el procedimiento para la construcción de un intervalo de confianza para la media poblacional. Los principios básicos del cálculo e interpretación de intervalos de confianza para otros parámetros son similares y se discutirán en los siguientes temas.
5.3.1 Distribución t de Student
El método más extendido para el cálculo de intervalos de confianza se basa en las propiedades de la distribución muestral del estimador. Por el teorema central del límite sabemos que, para cualquier variable aleatoria con media μ y varianza σ2, la distribución de las medias muestrales
5 1.2 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Las medidas de tendencia central informan acerca de cuál es el valor más representativo de una determinada variable o, dicho de forma equivalente, estos estimadores indican alrededor de qué valor se agrupan los datos observados. Las medidas de tendencia central de la muestra sirven tanto para resumir los resultados observados como para realizar inferencias acerca de los parámetros poblacionales correspondientes. A continuación se describen los principales estimadores de la tendencia central de una variable.
1.2.1 Media aritmética
La media aritmética, denotada por x, se define como la suma de cada uno de los valores muestrales dividida por el número de observaciones realizadas. Si denotamos por n el tamaño muestral y por xi el valor observado para el sujeto i-ésimo, i = 1, ..., n, la media vendría dada por
n x x
x x
x n n n
i i
+ +
= +
=
=
1 1 2 ...
1
.
La media es la medida de tendencia central más utilizada y de más fácil
interpretación. Corresponde al “centro de gravedad” de los datos de la muestra. Su principal limitación es que está muy influenciada por los valores extremos y, en este caso, puede no ser un fiel reflejo de la tendencia central de la distribución.
Ejemplo 1.4 En este y en los sucesivos ejemplos sobre estimadores muestrales, se utilizarán los valores del colesterol HDL obtenidos en los 10 primeros sujetos del estudio “European Study on Antioxidants, Myocardial Infarction and Cancer of the Breast“ (EURAMIC), un estudio multicéntrico de casos y controles realizado entre 1991 y 1992 en ocho países Europeos e Israel para evaluar el efecto de los
es aproximadamente normal con media μ y varianza σ2/n si el tamaño muestral es suficientemente grande; es decir,
8 5.3.1 Distribución t de Student
El método más extendido para el cálculo de intervalos de confianza se basa en las propiedades de la distribución muestral del estimador. Por el teorema central del límite sabemos que, para cualquier variable aleatoria con media μ y varianza σ 2, la
distribución de las medias muestrales x es aproximadamente normal con media μ y varianza σ 2/n si el tamaño muestral es suficientemente grande; es decir,
→ N n
x ~ μ,σ2
o, de forma equivalente, aplicando la estandarización de una distribución normal )
1 , 0
~ N( n x− →
σ μ .
Esta cantidad estandarizada depende de dos parámetros desconocidos: la media poblacional μ, que es el parámetro objeto de inferencia, y la desviación típica
poblacional σ, que es un parámetro auxiliar necesario para conocer el error estándar en la estimación de μ. Parece entonces lógico sustituir en la expresión anterior el valor desconocido de σ por la desviación típica muestral s. Sin embargo, como s es un
estimador de σ que conlleva a su vez un error de muestreo, el estadístico resultante (x - μ)/(s/ n) presentará una mayor imprecisión. Puede probarse que la distribución de este estadístico ya no será normal, sino que seguirá aproximadamente una distribución conocida como t de Student con n - 1 grados de libertad y denotada por tn-1,
~ 1
→ −
− tn
s n
x μ .
o, de forma equivalente, aplicando la estandarización de una distribución normal
8 5.3.1 Distribución t de Student
El método más extendido para el cálculo de intervalos de confianza se basa en las propiedades de la distribución muestral del estimador. Por el teorema central del límite sabemos que, para cualquier variable aleatoria con media μ y varianza σ 2, la
distribución de las medias muestrales x es aproximadamente normal con media μ y varianza σ 2/n si el tamaño muestral es suficientemente grande; es decir,
→ N n
x ~ μ,σ2
o, de forma equivalente, aplicando la estandarización de una distribución normal )
1 , 0
~ N( n x− → σ
μ .
Esta cantidad estandarizada depende de dos parámetros desconocidos: la media poblacional μ, que es el parámetro objeto de inferencia, y la desviación típica
poblacional σ, que es un parámetro auxiliar necesario para conocer el error estándar en la estimación de μ. Parece entonces lógico sustituir en la expresión anterior el valor desconocido de σ por la desviación típica muestral s. Sin embargo, como s es un
estimador de σ que conlleva a su vez un error de muestreo, el estadístico resultante (x - μ)/(s/ n) presentará una mayor imprecisión. Puede probarse que la distribución de este estadístico ya no será normal, sino que seguirá aproximadamente una distribución conocida como t de Student con n - 1 grados de libertad y denotada por tn-1,
~ 1
→ −
− tn
s n
x μ .
63 Estimación por intervalo
Pastor-Barriuso R.
Esta cantidad estandarizada depende de dos parámetros desconocidos: la media poblacional μ, que es el parámetro objeto de inferencia, y la desviación típica poblacional σ, que es un parámetro auxiliar necesario para conocer el error estándar en la estimación de μ. Parece entonces lógico sustituir en la expresión anterior el valor desconocido de σ por la desviación típica muestral s.
Sin embargo, como s es un estimador de σ que conlleva a su vez un error de muestreo, el estadístico resultante
9 La distribución t de Student es una distribución simétrica alrededor de 0 y de aspecto parecido al de una distribución normal estandarizada, aunque menos apuntada en el centro y con más probabilidad en los extremos (Figura 5.1). Los grados de libertad de una distribución t de Student determinan su dispersión: al aumentar los grados de libertad, disminuye la variabilidad y la distribución t de Student se aproxima a una distribución normal estandarizada. Cuanto menor sea el tamaño muestral n, mayor será
t de
Student otorgará una mayo ( )/(s/ n)
el tamaño muestral es grande, s facilitará un estimación precisa de σ
distribución de dicho estadístico será aproximadamente normal. En la Tabla 5 del Apéndice se presentan los percentiles de la distribución t de Student para distintos grados de libertad.
[Figura 5.1 aproximadamente aquí]
Ejemplo 5.6 De la Tabla 5 del Apéndice se obtiene que el percentil 97,5 en una distribución t de Student con 2, 5, 10 y 30 grados de libertad es respectivamente t2;0,975 = 4,303, t5;0,975 = 2,571, t10;0,975 = 2,228 y t30;0,975 = 2,042. Por tratarse de distribuciones simétricas en 0, el percentil 2,5 coincide con el correspondiente percentil 97,5 con signo opuesto; es decir, t2;0,025 = -4,303, t5;0,025 = -2,571, t10;0,025
= -2,228 y t30;0,025 = -2,042. Por tanto, el 95% central de la distribución t de Student con 2, 5, 10 y 30 grados de libertad está comprendido entre ± 4,303, ± 2,571, ± 2,228 y ± 2,042, respectivamente. Así, puede observarse que la dispersión de la distribución t de Student disminuye al aumentar los grados de
x− presentará una mayor imprecisión. Puede probarse que la distribución de este estadístico ya no será normal, sino que seguirá aproximadamente una distribución conocida como t de Student con n – 1 grados de libertad y denotada por tn–1,
8 5.3.1 Distribución t de Student
El método más extendido para el cálculo de intervalos de confianza se basa en las propiedades de la distribución muestral del estimador. Por el teorema central del límite sabemos que, para cualquier variable aleatoria con media μ y varianza σ 2, la
distribución de las medias muestrales x es aproximadamente normal con media μ y varianza σ 2/n si el tamaño muestral es suficientemente grande; es decir,
→ N n x ~ μ,σ2
o, de forma equivalente, aplicando la estandarización de una distribución normal )
1 , 0
~ N( n x− →
σ μ .
Esta cantidad estandarizada depende de dos parámetros desconocidos: la media poblacional μ, que es el parámetro objeto de inferencia, y la desviación típica
poblacional σ, que es un parámetro auxiliar necesario para conocer el error estándar en la estimación de μ. Parece entonces lógico sustituir en la expresión anterior el valor desconocido de σ por la desviación típica muestral s. Sin embargo, como s es un
estimador de σ que conlleva a su vez un error de muestreo, el estadístico resultante (x - μ)/(s/ n) presentará una mayor imprecisión. Puede probarse que la distribución de este estadístico ya no será normal, sino que seguirá aproximadamente una distribución conocida como t de Student con n - 1 grados de libertad y denotada por tn-1,
~ 1
→ −
− tn
s n
x μ .
La distribución t de Student es una distribución simétrica alrededor de 0 y de aspecto parecido al de una distribución normal estandarizada, aunque menos apuntada en el centro y con más probabilidad en los extremos (Figura 5.1). Los grados de libertad de una distribución t de Student determinan su dispersión: al aumentar los grados de libertad, disminuye la variabilidad y la distribución t de Student se aproxima a una distribución normal estandarizada. Cuanto menor sea el tamaño muestral n, mayor será el error de la desviación típica muestral s y, en consecuencia, la distribución t de Student otorgará una mayor dispersión al estadístico
9 La distribución t de Student es una distribución simétrica alrededor de 0 y de aspecto parecido al de una distribución normal estandarizada, aunque menos apuntada en el centro y con más probabilidad en los extremos (Figura 5.1). Los grados de libertad de una distribución t de Student determinan su dispersión: al aumentar los grados de libertad, disminuye la variabilidad y la distribución t de Student se aproxima a una distribución normal estandarizada. Cuanto menor sea el tamaño muestral n, mayor será
t de
Student otorgará una mayo ( )/(s/ n)
el tamaño muestral es grande, s facilitará un estimación precisa de σ
distribución de dicho estadístico será aproximadamente normal. En la Tabla 5 del Apéndice se presentan los percentiles de la distribución t de Student para distintos grados de libertad.
[Figura 5.1 aproximadamente aquí]
Ejemplo 5.6 De la Tabla 5 del Apéndice se obtiene que el percentil 97,5 en una distribución t de Student con 2, 5, 10 y 30 grados de libertad es respectivamente t2;0,975 = 4,303, t5;0,975 = 2,571, t10;0,975 = 2,228 y t30;0,975 = 2,042. Por tratarse de distribuciones simétricas en 0, el percentil 2,5 coincide con el correspondiente percentil 97,5 con signo opuesto; es decir, t2;0,025 = -4,303, t5;0,025 = -2,571, t10;0,025
= -2,228 y t30;0,025 = -2,042. Por tanto, el 95% central de la distribución t de Student con 2, 5, 10 y 30 grados de libertad está comprendido entre ± 4,303, ± 2,571, ± 2,228 y ± 2,042, respectivamente. Así, puede observarse que la dispersión de la distribución t de Student disminuye al aumentar los grados de
x− . Por el contrario, si el tamaño muestral es grande, s facilitará una estimación precisa de σ, de tal forma que la distribución de dicho estadístico será aproximadamente normal. En la Tabla 5 del Apéndice se presentan los percentiles de la distribución t de Student para distintos grados de libertad.
Ejemplo 5.6 De la Tabla 5 del Apéndice se obtiene que el percentil 97,5 en una distribución t de Student con 2, 5, 10 y 30 grados de libertad es respectivamente t2;0,975 = 4,303, t5;0,975 = 2,571, t10;0,975 = 2,228 y t30;0,975 = 2,042. Por tratarse de distribuciones simétricas en 0, el percentil 2,5 coincide con el correspondiente percentil 97,5 con signo opuesto; es decir, t2;0,025 = – 4,303, t5;0,025 = – 2,571, t10;0,025 = – 2,228 y t30;0,025 = – 2,042. Por tanto, el 95% central de la distribución t de Student con 2, 5, 10 y 30 grados de libertad está comprendido entre ± 4,303, ± 2,571, ± 2,228 y ± 2,042, respectivamente. Así, puede observarse que la dispersión de la distribución t de Student disminuye al aumentar los grados de libertad, aproximándose a una distribución normal estandarizada (95% de los valores entre ± 1,96, Ejemplo 3.11).
5.3.2 Intervalo de confianza para una media poblacional
A partir de los resultados anteriores puede construirse un intervalo de confianza para la media poblacional. En general, la estimación por intervalo lleva asociada una probabilidad o nivel de confianza, denotada en términos porcentuales por 100(1 – α)%, que indica la cobertura del parámetro poblacional. Aunque en la práctica se utilizan casi exclusivamente los intervalos de confianza al 95% (α = 0,05), nos referiremos aquí de forma genérica al intervalo de confianza al 100(1 – α)% para la media poblacional. Utilizando la aproximación t de Student al estadístico La distribución t de Student es una distribución simétrica alrededor de 0 y de aspecto
parecido al de una distribución normal estandarizada, aunque menos apuntada en el centro y con más probabilidad en los extremos (Figura 5.1). Los grados de libertad de una distribución t de Student determinan su dispersión: al aumentar los grados de libertad, disminuye la variabilidad y la distribución t de Student se aproxima a una distribución normal estandarizada. Cuanto menor sea el tamaño muestral n, mayor será
t de
Student otorgará una mayo ( )/(s/ n)
el tamaño muestral es grande, s facilitará un estimación precisa de σ
distribución de dicho estadístico será aproximadamente normal. En la Tabla 5 del Apéndice se presentan los percentiles de la distribución t de Student para distintos grados de libertad.
[Figura 5.1 aproximadamente aquí]
Ejemplo 5.6 De la Tabla 5 del Apéndice se obtiene que el percentil 97,5 en una distribución t de Student con 2, 5, 10 y 30 grados de libertad es respectivamente t2;0,975 = 4,303, t5;0,975 = 2,571, t10;0,975 = 2,228 y t30;0,975 = 2,042. Por tratarse de distribuciones simétricas en 0, el percentil 2,5 coincide con el correspondiente percentil 97,5 con signo opuesto; es decir, t2;0,025 = -4,303, t5;0,025 = -2,571, t10;0,025
= -2,228 y t30;0,025 = -2,042. Por tanto, el 95% central de la distribución t de Student con 2, 5, 10 y 30 grados de libertad está comprendido entre ± 4,303, ± 2,571, ± 2,228 y ± 2,042, respectivamente. Así, puede observarse que la dispersión de la distribución t de Student disminuye al aumentar los grados de
x− , se sigue que hay una probabilidad 1 – α de que dicho estadístico esté
64
Inferencia estadística
Pastor-Barriuso R.
Figura 5.1
-3 -2 -1 0 1 2 3
f(x)
xx
N(0, 1)
-3 -2 -1 0 1 2 3
t30
t10
t5
t2
Figura 5.1 Función de densidad de la distribución t de Student con 2, 5, 10 y 30 grados de libertad, y fun- ción de densidad normal estandarizada.
comprendido entre los percentiles α/2 y 1 – α/2 de una distribución t de Student con n – 1 grados de libertad, denotados respectivamente por tn–1,α/2 y tn–1,1–α/2; esto es,
10 libertad, aproximándose a una distribución normal estandarizada (95% de los valores entre ± 1,96, Ejemplo 3.11).
5.3.2 Intervalo de confianza para una media poblacional
A partir de los resultados anteriores puede construirse un intervalo de confianza para la media poblacional. En general, la estimación por intervalo lleva asociada una
probabilidad o nivel de confianza, denotada en términos porcentuales por 100(1 - α)%, que indica la cobertura del parámetro poblacional. Aunque en la práctica se utilizan casi exclusivamente los intervalos de confianza al 95% (α = 0,05), nos referiremos aquí de forma genérica al intervalo de confianza al 100(1 - α)% para la media poblacional.
Utilizando la aproximación t de Student al estadístico (x - μ)/(s/ n), se sigue que hay una probabilidad 1 - α de que dicho estadístico esté comprendido entre los percentiles α/2 y 1 - α/2 de una distribución t de Student con n – 1 grados de libertad, denotados respectivamente por tn-1,α/2 y tn-1,1-α/2; esto es,
μ α
α
α = −
− <
< − −
−1, /2 n 1,1 /2 1
n t
s n t x
P .
Este resultado se representa gráficamente en la Figura 5.2. Por la simetría de la distribución t de Student, tn-1,α/2 = -tn-1,1-α/2 y la expresión anterior puede rescribirse como
μ α
α
α = −
− <
<
− n−1,1− /2 tn−1,1− /2 1 s n
t x
P .
Para despejar la media poblacional, se multiplica cada término de la desigualdad por el error estándar s/ n y a continuación se resta la media muestral x, resultando que
Este resultado se representa gráficamente en la Figura 5.2. Por la simetría de la distribución t de Student, tn–1,α/2 = – tn–1,1–α/2 y la expresión anterior puede rescribirse como
10 libertad, aproximándose a una distribución normal estandarizada (95% de los valores entre ± 1,96, Ejemplo 3.11).
5.3.2 Intervalo de confianza para una media poblacional
A partir de los resultados anteriores puede construirse un intervalo de confianza para la media poblacional. En general, la estimación por intervalo lleva asociada una
probabilidad o nivel de confianza, denotada en términos porcentuales por 100(1 - α)%, que indica la cobertura del parámetro poblacional. Aunque en la práctica se utilizan casi exclusivamente los intervalos de confianza al 95% (α = 0,05), nos referiremos aquí de forma genérica al intervalo de confianza al 100(1 - α)% para la media poblacional.
Utilizando la aproximación t de Student al estadístico (x - μ)/(s/ n), se sigue que hay una probabilidad 1 - α de que dicho estadístico esté comprendido entre los percentiles α/2 y 1 - α/2 de una distribución t de Student con n – 1 grados de libertad, denotados respectivamente por tn-1,α/2 y tn-1,1-α/2; esto es,
μ α
α
α = −
− <
< − −
−1, /2 n 1,1 /2 1
n t
s n t x
P .
Este resultado se representa gráficamente en la Figura 5.2. Por la simetría de la distribución t de Student, tn-1,α/2 = -tn-1,1-α/2 y la expresión anterior puede rescribirse como
μ α
α
α = −
− <
<
− n−1,1− /2 tn−1,1− /2 1 s n
t x
P .
Para despejar la media poblacional, se multiplica cada término de la desigualdad por el error estándar s/ n y a continuación se resta la media muestral x, resultando que
Para despejar la media poblacional, se multiplica cada término de la desigualdad por el error estándar
9 La distribución t de Student es una distribución simétrica alrededor de 0 y de aspecto parecido al de una distribución normal estandarizada, aunque menos apuntada en el centro y con más probabilidad en los extremos (Figura 5.1). Los grados de libertad de una distribución t de Student determinan su dispersión: al aumentar los grados de libertad, disminuye la variabilidad y la distribución t de Student se aproxima a una distribución normal estandarizada. Cuanto menor sea el tamaño muestral n, mayor será
t de
Student otorgará una mayo ( )/(s/ n)
el tamaño muestral es grande, s facilitará un estimación precisa de σ
distribución de dicho estadístico será aproximadamente normal. En la Tabla 5 del Apéndice se presentan los percentiles de la distribución t de Student para distintos grados de libertad.
[Figura 5.1 aproximadamente aquí]
Ejemplo 5.6 De la Tabla 5 del Apéndice se obtiene que el percentil 97,5 en una distribución t de Student con 2, 5, 10 y 30 grados de libertad es respectivamente t2;0,975 = 4,303, t5;0,975 = 2,571, t10;0,975 = 2,228 y t30;0,975 = 2,042. Por tratarse de distribuciones simétricas en 0, el percentil 2,5 coincide con el correspondiente percentil 97,5 con signo opuesto; es decir, t2;0,025 = -4,303, t5;0,025 = -2,571, t10;0,025
= -2,228 y t30;0,025 = -2,042. Por tanto, el 95% central de la distribución t de Student con 2, 5, 10 y 30 grados de libertad está comprendido entre ± 4,303, ± 2,571, ± 2,228 y ± 2,042, respectivamente. Así, puede observarse que la dispersión de la distribución t de Student disminuye al aumentar los grados de
x− y a continuación se resta la media muestral
5 1.2 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Las medidas de tendencia central informan acerca de cuál es el valor más representativo de una determinada variable o, dicho de forma equivalente, estos estimadores indican alrededor de qué valor se agrupan los datos observados. Las medidas de tendencia central de la muestra sirven tanto para resumir los resultados observados como para realizar inferencias acerca de los parámetros poblacionales correspondientes. A continuación se describen los principales estimadores de la tendencia central de una variable.
1.2.1 Media aritmética
La media aritmética, denotada por x, se define como la suma de cada uno de los valores muestrales dividida por el número de observaciones realizadas. Si denotamos por n el tamaño muestral y por xi el valor observado para el sujeto i-ésimo, i = 1, ..., n, la media vendría dada por
n x x
x x
x n n n
i i
+ +
= +
=
=
1 1 2 ...
1 .
La media es la medida de tendencia central más utilizada y de más fácil
interpretación. Corresponde al “centro de gravedad” de los datos de la muestra. Su principal limitación es que está muy influenciada por los valores extremos y, en este caso, puede no ser un fiel reflejo de la tendencia central de la distribución.
Ejemplo 1.4 En este y en los sucesivos ejemplos sobre estimadores muestrales, se utilizarán los valores del colesterol HDL obtenidos en los 10 primeros sujetos del estudio “European Study on Antioxidants, Myocardial Infarction and Cancer of the Breast“ (EURAMIC), un estudio multicéntrico de casos y controles realizado entre 1991 y 1992 en ocho países Europeos e Israel para evaluar el efecto de los
, resultando que
11 α
μ α
α = −
− −1,1− /2 < < + −1,1− /2 1 n t s
n x t s
x
P n n .
Así, el intervalo de confianza (IC) al 100(1 - α)% para la media poblacional viene determinado por
n t s
x± n−1,1−α/2 ,
que depende tanto de la estimación puntual x (valor central del intervalo) como de su error estándar s/ n.
[Figura 5.2 aproximadamente aquí]
Los límites del intervalo están determinados por datos muestrales y, en consecuencia, el intervalo de confianza variará en función de la muestra seleccionada. El principio fundamental de la estimación por intervalo radica en que, de todas las posibles muestras del mismo tamaño de la población de referencia, el 100(1 - α)% de los intervalos
resultantes incluirá el parámetro poblacional. Así, aunque no es posible saber si efectivamente un intervalo concreto incluye o no el parámetro desconocido, se tendrá una confianza del 100(1 - α)% en que el único intervalo disponible esté entre aquellos que contienen dicho parámetro. En otras palabras, el nivel de confianza de un intervalo hace referencia a la frecuencia con la cual el método produce intervalos certeros y no a la probabilidad de que el intervalo obtenido en una muestra concreta incluya el
parámetro poblacional.
Ejemplo 5.7 En al Figura 5.3 se presentan los IC al 95% para la media poblacional del colesterol HDL en 100 muestras aleatorias de tamaño n = 10
Así, el intervalo de confianza (IC) al 100(1 – α)% para la media poblacional viene determinado por
11 α
μ α
α = −
− −1,1− /2 < < + −1,1− /2 1 n t s
n x t s
x
P n n .
Así, el intervalo de confianza (IC) al 100(1 - α)% para la media poblacional viene determinado por
n t s
x± n−1,1−α/2 ,
que depende tanto de la estimación puntual x (valor central del intervalo) como de su error estándar s/ n.
[Figura 5.2 aproximadamente aquí]
Los límites del intervalo están determinados por datos muestrales y, en consecuencia, el intervalo de confianza variará en función de la muestra seleccionada. El principio fundamental de la estimación por intervalo radica en que, de todas las posibles muestras del mismo tamaño de la población de referencia, el 100(1 - α)% de los intervalos resultantes incluirá el parámetro poblacional. Así, aunque no es posible saber si efectivamente un intervalo concreto incluye o no el parámetro desconocido, se tendrá una confianza del 100(1 - α)% en que el único intervalo disponible esté entre aquellos que contienen dicho parámetro. En otras palabras, el nivel de confianza de un intervalo hace referencia a la frecuencia con la cual el método produce intervalos certeros y no a la probabilidad de que el intervalo obtenido en una muestra concreta incluya el
parámetro poblacional.
Ejemplo 5.7 En al Figura 5.3 se presentan los IC al 95% para la media poblacional del colesterol HDL en 100 muestras aleatorias de tamaño n = 10