Capítulo 2. Estática de los fluidos
2.5. Manómetros
Un manómetro es un instrumento de medida de la presión en fluidos (líquidos y gases) en circuitos cerrados. Tres de estos instrumentos, que se muestran en la figura 2.4, se estudian para ilustrar su uso. El inciso (a) muestra un manómetro de tubo U, que se usa para medir presiones relativamente pequeñas. En este caso la presión en el tubo se puede determinar al definir un punto 1 en el centro del tubo y un punto 2 en la superficie de la columna a la derecha. A partir de la ecuación,
p1+ ρgz1 = p2+ ρgz2
donde el nivel de referencia desde donde se miden z1 y z2, se localiza en cualquier posición deseada. Como p2 = 0 (si se elige la presión manométrica; si se desea la presión absoluta, seleccionaríamos p2 = patm) y z2− z1 = ∆z = h, se tiene,
p1 = ρgh = γh (Ec. 2.4) La figura 2.4b muestra un manómetro que se emplea para medir presiones relativamente grandes ya que podemos seleccionar γ2 como muy grande; por ejemplo, podríamos seleccionar γ2 para que sea la presión del mercurio de modo que γ2 = γHg= 13,6γagua. La presión se puede determinar si introducimos los puntos indicados. Esto es necesario porque la ecuación 2.4 aplica a todo un fluido; γ debe ser constante. El valor de γ cambia abruptamente en el punto 2. La presión en el punto 2 y en el punto 2’ es la misma ya que los puntos están a la misma elevación en el mismo fluido. Por tanto,
p2 = p2′
Problema 2.3
p1+ γ1h = p3+ γ2H (Ec. 2.5) Si se hace p3 = 0 (se utiliza presión manométrica) resulta en
p1 = −γ1h + γ2H
Figura 2.4. Manómetros: (a) manómetro de tubo en U (presiones pequeñas); (b) manómetro de tubo en U (presiones grandes); (c) micromanómetro (cambios de presión muy pequeños).
La figura 2.4c muestra un micromanómetro que se usa para medir cambios de presión muy pequeños. Introduciendo los puntos indicados, requiriendo que 𝑝𝑝3 = 𝑝𝑝3’ podemos escribir,
p1 + γ1(z1 − z2) + γ2(z2 − z3) = p5 + γ2(z5 − z4) + γ3(z4 − z3) Pero, z2 − z3 + h = H + z4 − z4 y al tomar, p5 = 0, se tiene,
p1 = γ1(z2 − z1) + γ2(h − H) + γ3H
p1 = γ1(z2 − z1) + γ2h + (γ3 − γ2)H Ec. (2.6) Problema 2.4. Por tuberías horizontales se hace circular agua y aceite. Un manómetro de doble tubo en U está conectado entre las tuberías, como se muestra en la figura. Calcular la diferencia de presión entre el tubo de agua y el de aceite.
Solución
Se identifica los puntos relevantes como se muestra en la figura. Se empieza en el punto 1 y se suma la presión cuando la elevación disminuye y se resta la presión cuando la elevación aumenta hasta llegar al punto 5, o sea,
Problema 2.4
p1+ γ1h = p3+ γ2H (Ec. 2.5) Si se hace p3 = 0 (se utiliza presión manométrica) resulta en
p1 = −γ1h + γ2H
Figura 2.4. Manómetros: (a) manómetro de tubo en U (presiones pequeñas); (b) manómetro de tubo en U (presiones grandes); (c) micromanómetro (cambios de presión muy pequeños).
La figura 2.4c muestra un micromanómetro que se usa para medir cambios de presión muy pequeños. Introduciendo los puntos indicados, requiriendo que 𝑝𝑝3 = 𝑝𝑝3’ podemos escribir,
p1 + γ1(z1 − z2) + γ2(z2 − z3) = p5 + γ2(z5 − z4) + γ3(z4 − z3) Pero, z2 − z3 + h = H + z4 − z4 y al tomar, p5 = 0, se tiene,
p1 = γ1(z2 − z1) + γ2(h − H) + γ3H
p1 = γ1(z2 − z1) + γ2h + (γ3 − γ2)H Ec. (2.6) Problema 2.4. Por tuberías horizontales se hace circular agua y aceite. Un manómetro de doble tubo en U está conectado entre las tuberías, como se muestra en la figura. Calcular la diferencia de presión entre el tubo de agua y el de aceite.
Solución
Se identifica los puntos relevantes como se muestra en la figura. Se empieza en el punto 1 y se suma la presión cuando la elevación disminuye y se resta la presión cuando la elevación aumenta hasta llegar al punto 5, o sea,
Problema 2.4
p1+ γ0(z1 − z2) − γ0ge1(z3 − z2) − γ0ge2(z4 − z3) + γ0ge3(z4 − z5) = p5
donde, γ0 = 9800 N m⁄ 3, ge1 = 1.6, ge2 ≅ 0 (aire), ge3 = 0.9, por tanto se tiene, p1− p5 = 9800[−0.40 + 1.6(0.48) + 0(0.25) − 0.9(0.25)] = 1401.4 Pa
Problema 2.6. Para una condición dada los niveles del líquido en la figura son z1 = 0.95 m, z2 = 0.70 m, z3 = 0.52 m, z4 = 0.65m y z5 = 0.72 m. Además, γ1 = 9810 N/m3, γ2 = 11500 N/m3. Los diámetros son D = 0.2 m y d = 0.01 m. (a) Calcular la presión p1 y γ en el tubo, (b) calcule el cambio en H si p1 aumenta en 100 Pa, y (c) calcular el cambio en h del manómetro de la figura (a) si h = 0.5 m de agua y ∆p1= 100 Pa.
Solución
a. En correspondencia con la figura (a), se tiene,
h = (0.72 − 0.70)m = 0.02 m, H = (0.65 − 0.52)m = 0.13 m
Del análisis de presión entre los diferentes puntos, y sustituyendo los valores dados en la ecuación, se tiene,
p1 = γ1(z2 − z1) + γ2h + (γ3− γ2)H
p1 = 9800(0.70 − 0.95) + 11500(0.02) + (14000 − 11500)(0.13) = −1895 Pa b. Si la presión p1 varia en 100 Pa hasta p1 = −1895 Pa, el cambio en H corresponde a,
∆H = 2∆p1D2⁄d2
−γ1+ 2γ2+ 2(γ3− γ2) D2⁄d2
∆H = 2(20)2(100)
−9800 + 2(11500) + 2(14000 − 11500)(20)2 = 0.0397 m ≅ 4.0 cm
c. Para el manómetro de la figura a, la presión p1 está dada por p = γh. Supongamos que inicialmente h = 0.50 m. Entonces la presión inicialmente corresponde a, p1= 9800(0.50) = 4900 Pa. Si p aumenta en 100 Pa, h se puede hallar por p1 = γh, es decir, h = p1⁄ , o sea, h = 5000 9800γ ⁄ = 0.51 m, luego, ∆h = 0.51 − 0.50 = 0.01 m.
Entonces un aumento de 100 Pa aumenta h en 1 cm en el manómetro mostrado en la figura (a), 25% del cambio en el micromanómetro.
Problema 2.6
Problema 2.7. Para el manómetro de tubo inclinado que se muestra en la figura, obtener una expresión general para la deflexión del líquido, L, en el tubo inclinado, debido a la diferencia de presión aplicada, Δp. Obtener también una expresión para la sensibilidad del manómetro y analice el efecto sobre la sensibilidad de D, d, θ y ge (gravedad específica) Solución
Al aplicar la ecuación de la hidrostática entre los puntos 1 y 2, (ecuación 2.4) se tiene, p − p0 = ∆p = ρlg(h1+ h2) (a)
Para eliminar h1, se considera que el volumen de líquido del manómetro permanece constante; por tanto, el volumen desplazado del depósito debe ser igual al volumen que sube en el tubo, es decir,
πD2h1
4 = πd2L
4 , o sea, h1 = (d D)
2
Además, de la geometría del manómetro, h2 = L sinθ. Sustituyendo en la ecuación (a), se obtiene,
∆p = ρlg [L sen θ + L (d D)
2
] = ρlgL [ sen θ + (d D)
2
] , o sea,
L = ∆p
ρlg [ sen θ + (dD)2] (b)
Para encontrar la sensibilidad del manómetro, es necesario comparar esto con la desviación h que experimentaría un simple manómetro de tubo en U, usando agua (densidad ρ), siendo h = ∆p ρg⁄ , por lo cual la sensibilidad s es entonces,
s =L h =
1
gel[ sen θ + (dD)2] (c)
donde hemos usado gel = ρl/ρ. Este resultado muestra que, para aumentar la sensibilidad, gel, sen θ y d/D cada uno debe hacerse lo más pequeño posible.
Figura 2.5. Análisis del manómetro de tubo inclinado
Problema 2.7. Para el manómetro de tubo inclinado que se muestra en la figura, obtener una expresión general para la deflexión del líquido, L, en el tubo inclinado, debido a la diferencia de presión aplicada, Δp. Obtener también una expresión para la sensibilidad del manómetro y analice el efecto sobre la sensibilidad de D, d, θ y ge (gravedad específica) Solución
Al aplicar la ecuación de la hidrostática entre los puntos 1 y 2, (ecuación 2.4) se tiene, p − p0 = ∆p = ρlg(h1+ h2) (a)
Para eliminar h1, se considera que el volumen de líquido del manómetro permanece constante; por tanto, el volumen desplazado del depósito debe ser igual al volumen que sube en el tubo, es decir,
πD2h1
4 = πd2L
4 , o sea, h1 = (d D)
2
Además, de la geometría del manómetro, h2 = L sinθ. Sustituyendo en la ecuación (a), se obtiene,
∆p = ρlg [L sen θ + L (d D)
2
] = ρlgL [ sen θ + (d D)
2
] , o sea,
L = ∆p
ρlg [ sen θ + (dD)2] (b)
Para encontrar la sensibilidad del manómetro, es necesario comparar esto con la desviación h que experimentaría un simple manómetro de tubo en U, usando agua (densidad ρ), siendo h = ∆p ρg⁄ , por lo cual la sensibilidad s es entonces,
s =L h =
1
gel[ sen θ + (dD)2] (c)
donde hemos usado gel = ρl/ρ. Este resultado muestra que, para aumentar la sensibilidad, gel, sen θ y d/D cada uno debe hacerse lo más pequeño posible.
Figura 2.5. Análisis del manómetro de tubo inclinado